8.3: Vikosi vya Kihafidhina na visivyo
- Page ID
- 176994
- Tabia nguvu ya kihafidhina kwa njia kadhaa tofauti
- Eleza hali ya hisabati ambayo inapaswa kuridhika na nguvu ya kihafidhina na vipengele vyake
- Eleza nguvu ya kihafidhina kati ya chembe za mfumo kwa nishati ya uwezo wa mfumo
- Tumia vipengele vya nguvu ya kihafidhina katika matukio mbalimbali
Katika Nishati ya Uwezo na Uhifadhi wa Nishati, mabadiliko yoyote kati ya kinetic na nishati ya uwezo yalihifadhi nishati ya jumla ya mfumo. Hii ilikuwa njia ya kujitegemea, maana yake ni kwamba tunaweza kuanza na kuacha katika pointi zozote mbili katika tatizo, na nishati ya jumla ya mfumo-kinetic pamoja na uwezo-katika pointi hizi ni sawa na kila mmoja. Hii ni tabia ya nguvu ya kihafidhina. Tulihusika na nguvu za kihafidhina katika sehemu iliyotangulia, kama nguvu ya mvuto na nguvu ya spring. Wakati kulinganisha mwendo wa mpira wa miguu katika Kielelezo 8.2.1, nishati ya jumla ya mfumo kamwe mabadiliko, ingawa nguvu mvuto uwezo wa soka kuongezeka, kama mpira kuongezeka jamaa na ardhi na kuanguka nyuma ya awali mvuto uwezo nishati wakati soka mchezaji upatikanaji wa samaki mpira. Majeshi yasiyo ya kihafidhina ni vikosi vya kupotosha kama vile msuguano au upinzani wa hewa. Vikosi hivi huchukua nishati mbali na mfumo kama mfumo unavyoendelea, nishati ambayo huwezi kupata nyuma. Majeshi haya ni njia tegemezi; kwa hiyo ni mambo ambapo kitu kuanza na ataacha.
Kazi iliyofanywa na nguvu ya kihafidhina inajitegemea njia; kwa maneno mengine, kazi iliyofanywa na nguvu ya kihafidhina ni sawa kwa njia yoyote inayounganisha pointi mbili:
\[W_{AB,\; path-1} = \int_{AB,\; path-1} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} = W_{AB,\; path-2} = \int_{AB,\; path-2} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} \ldotp \label{8.8}\]
Kazi iliyofanywa na nguvu isiyo ya kihafidhina inategemea njia iliyochukuliwa. Kwa usawa, nguvu ni kihafidhina ikiwa kazi inayofanya karibu na njia yoyote iliyofungwa ni sifuri:
\[W_{closed\; path} = \oint \vec{E}_{cons} \cdotp d \vec{r} = 0 \ldotp \label{8.9}\]
Katika Equation\ ref {8.9}, tunatumia nukuu ya mduara katikati ya ishara muhimu kwa mstari muhimu juu ya njia iliyofungwa, nukuu inayopatikana katika maandiko mengi ya fizikia na uhandisi.] Equations\ ref {8.8} na\ ref {8.9} ni sawa kwa sababu njia yoyote iliyofungwa ni jumla ya njia mbili: kwanza kwenda kutoka A hadi B, na pili kwenda kutoka B hadi A. kazi iliyofanyika kwenda kwenye njia kutoka B hadi A ni hasi ya kazi iliyofanywa kwenda kwenye njia sawa kutoka A hadi B, ambapo A na B ni pointi mbili njia iliyofungwa:
\[\begin{split} 0 = \int \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} & = \int_{AB,\; path-1} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} + \int_{BA,\; path-2} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} \\ & = \int_{AB,\; path-1} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} - \int_{AB,\; path-2} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} = 0 \ldotp \end{split}\]
Unaweza kuuliza jinsi sisi kwenda juu ya kuthibitisha kama au nguvu ni kihafidhina, tangu ufafanuzi kuhusisha yoyote na njia zote kutoka A hadi B, au yoyote na njia zote imefungwa, lakini kufanya muhimu kwa ajili ya kazi, una kuchagua njia fulani. Jibu moja ni kwamba kazi kufanyika ni huru ya njia kama kazi infinitesimal\(\vec{F} \cdotp d \vec{r}\) ni tofauti halisi, njia infinitesimal wavu kazi ilikuwa sawa na tofauti halisi ya nishati kinetic\(dW_{net} = m\vec{v}\; \cdotp d\vec{v}= d \frac{1}{2}mv^{2}\), wakati sisi inayotokana kazi ya nishati theorem katika Kazi-Nishati Theorem . Kuna hali ya hisabati ambayo unaweza kutumia ili kupima kama kazi isiyo ya kawaida iliyofanywa na nguvu ni tofauti kabisa, na nguvu ni kihafidhina. Hali hizi zinahusisha tu upambanuzi na hivyo ni rahisi kutumia. Katika vipimo viwili, hali ya\(\vec{F} \cdotp d \vec{r}\) = F x dx + F y dy kuwa tofauti halisi ni
\[\frac{dF_{x}}{dy} = \frac{dF_{y}}{dx} \ldotp \label{8.10}\]
Unaweza kukumbuka kwamba kazi iliyofanywa na nguvu katika Mfano 7.2.4 ilitegemea njia. Kwa nguvu hiyo,
\[F_{x} = (5\; N/m)y\; and\; F_{y} = (10\; N/m)x \ldotp\]
Kwa hiyo,
\[\left(\dfrac{dF_{x}}{dy}\right) = 5\; N/m \neq \left(\dfrac{dF_{y}}{dx}\right) = 10\; N/m,\]
ambayo inaonyesha ni nguvu isiyo ya kihafidhina. Je, unaweza kuona nini unaweza kubadilisha ili kuifanya nguvu ya kihafidhina?
Ni ipi kati ya vikosi viwili vilivyofuata ni kihafidhina na ambavyo sio? Kudhani a na b ni mara kwa mara na vitengo sahihi:
- \(axy^{3} \hat{i} + ayx^{3} \hat{j},\)
- \(a \left[ \left(\dfrac{y^{2}}{x}\right) \hat{i} + 2y \ln \left(\dfrac{x}{b}\right) \hat{j} \right],\)
- \(\frac{ax \hat{i} + ay \hat{j}}{x^{2} + y^{2}}\)
Mkakati
Tumia hali iliyoelezwa katika Equation\ ref {8.10}, yaani, kwa kutumia derivatives ya vipengele vya kila nguvu iliyoonyeshwa. Ikiwa derivative ya sehemu ya y ya nguvu kuhusiana na x ni sawa na derivative ya x-sehemu ya nguvu kwa heshima na y, nguvu ni nguvu ya kihafidhina, ambayo ina maana njia iliyochukuliwa kwa nishati ya uwezo au mahesabu ya kazi daima hutoa matokeo sawa.
Suluhisho
a:
\[\frac{dF_{x}}{dy} = \frac{d(axy^{3})}{dy} = 3axy^{2} \nonumber\]
na
\[\frac{dF_{y}}{dx} = \frac{d(ayx^{3})}{dx} = 3ayx^{2}, \nonumber\]
hivyo nguvu hii ni yasiyo ya kihafidhina.
b:
\[\frac{dF_{x}}{dy} = \frac{d \left(\dfrac{ay^{2}}{x}\right)}{dy} = \frac{2ay}{x} \nonumber\]
na
\[\frac{dF_{y}}{dx} = \frac{d(2ay \ln \left(\dfrac{x}{b}\right))}{dx} = \frac{2ay}{x}, \nonumber\]
hivyo nguvu hii ni kihafidhina.
c:
\[\frac{dF_{x}}{dy} = \frac{d \left(\dfrac{ax}{(x^{2} + y^{2})}\right)}{dy} = - \frac{ax(2y)}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = \frac{dF_{y}}{dx} = \frac{d \left(\dfrac{ay}{(x^{2} + y^{2})}\right)}{dx },\]
tena kihafidhina.
Umuhimu
Hali katika Equation\ ref {8.10} ni derivatives kama kazi za variable moja; katika vipimo vitatu, hali sawa zipo zinazohusisha derivatives zaidi.
Nguvu mbili-dimensional, kihafidhina ni sifuri juu ya x- na y-axes, na inatimiza hali\(\left(\dfrac{dF_{x}}{dy}\right) = \left(\dfrac{dF_{y}}{dy}\right)\) = (4 N/m 3) xy. Ukubwa wa nguvu ni nini\(x = y = 1\, m\)?
Kabla ya kuondoka sehemu hii, tunaona kwamba majeshi yasiyo ya kihafidhina hawana nishati inayohusishwa nao kwa sababu nishati inapotea kwa mfumo na haiwezi kubadilishwa kuwa kazi muhimu baadaye. Kwa hiyo daima kuna nguvu ya kihafidhina inayohusishwa na kila nishati inayoweza. Tumeona kwamba uwezo wa nishati hufafanuliwa kuhusiana na kazi iliyofanywa na vikosi vya kihafidhina. Uhusiano huo, Equation 8.2.1, ulihusisha muhimu kwa kazi; kuanzia na nguvu na uhamisho, umeunganishwa ili kupata kazi na mabadiliko katika nishati inayoweza. Hata hivyo, ushirikiano ni operesheni inverse ya upambanuzi; unaweza sawa vizuri wameanza na nishati uwezo na kuchukuliwa derivative yake, kuhusiana na makazi yao, kupata nguvu. Uongezekaji mdogo wa nishati ya uwezo ni bidhaa ya dot ya nguvu na makazi ya infinitesimal,
\[dU = - \vec{F}\; \cdotp d \vec{l} = - F_{l}dl \ldotp\]
Hapa, tulichagua kuwakilisha uhamisho katika mwelekeo wa kiholela na d\(\vec{l}\), ili usiingizwe kwenye mwelekeo wowote wa kuratibu. Pia tulielezea bidhaa ya dot kwa suala la ukubwa wa uhamisho usio na maana na sehemu ya nguvu katika mwelekeo wake. Wote kiasi hizi ni scalars, hivyo unaweza kugawanya na dl kupata
\[F_{l} = - \frac{dU}{dl} \ldotp \label{8.11}\]
Equation hii inatoa uhusiano kati ya nguvu na nishati inayohusishwa nayo. Kwa maneno, sehemu ya nguvu ya kihafidhina, katika mwelekeo fulani, inalingana na hasi ya derivative ya nishati inayohusiana na uwezo, kuhusiana na uhamisho katika mwelekeo huo. Kwa mwendo mmoja wa mwelekeo, sema pamoja na x-axis, Equation\ ref {8.11} kutoa nguvu nzima ya vector,
\[\bar{F} = F_{x} \hat{i} = - \frac{\partial U}{\partial x} \hat{i} \ldotp\]
Katika vipimo viwili,
\[ \begin{align} \bar{F} &= F_{x} \hat{i} + F_{y} \hat{j} \\[4pt] &= - \left(\dfrac{\partial U}{\partial x}\right) \hat{i} - \left(\dfrac{\partial U}{\partial y}\right) \hat{j} \ldotp \end{align}\]
Kutoka kwa usawa huu, unaweza kuona kwa nini Equation\ ref {8.11} ni hali ya kazi kuwa tofauti halisi, kwa upande wa derivatives ya vipengele vya nguvu. Kwa ujumla, notation ya sehemu ya derivative hutumiwa. Kama kazi ina vigezo vingi ndani yake, derivative ni kuchukuliwa tu ya kutofautiana sehemu derivative bayana. vigezo vingine ni uliofanyika mara kwa mara. Katika vipimo vitatu, unaongeza neno lingine kwa kipengele cha z, na matokeo ni kwamba nguvu ni hasi ya gradient ya nishati inayoweza. Hata hivyo, hatuwezi kuangalia mifano tatu-dimensional tu bado.
Nishati ya uwezo kwa chembe inayoendelea mwendo mmoja wa mwelekeo pamoja na x-axis ni
\[U(x) = \frac{1}{4} cx^{4}, \nonumber\]
ambapo c = 8 N/m 3. Nishati yake ya jumla katika x = 0 ni 2 J, na sio chini ya majeshi yoyote yasiyo ya kihafidhina. Pata (a) nafasi ambapo nishati yake ya kinetic ni sifuri na (b) majeshi katika nafasi hizo.
Mkakati
- Tunaweza kupata nafasi ambapo K = 0, hivyo nishati inayoweza kuwa sawa na nishati ya jumla ya mfumo uliopewa.
- Kutumia Equation\ ref {8.11}, tunaweza kupata nguvu tathmini katika nafasi zilizopatikana kutoka sehemu ya awali, kwani nishati ya mitambo imehifadhiwa.
Suluhisho
- Nishati ya jumla ya mfumo wa 2 J inalingana na nishati ya elastic ya quartic kama ilivyoelezwa katika tatizo $2\; J =\ frac {1} {4} (8\; N/m^ {3}) x_ {f} ^ {4}\ LDOTP $$Kutatua kwa x f matokeo katika x f = ± 1 m.
- Kutoka Equation\ ref {8.11}, $F_ {x} = -\ frac {dU} {dx} = -cx^ {3}\ ldotp $$ Hivyo, kutathmini nguvu katika ± 1 m, tunapata $$\ vec {F} = - (8\; N/m^ {3}) (\ pm 1\; m) ^ {3}\ kofia {i} =\ pm 8\; N\ kofia {i}\ ldOTP $Katika nafasi zote mbili, ukubwa wa majeshi ni 8 N na maelekezo yanaelekea asili, kwani hii ni uwezo wa nishati kwa ajili ya nguvu kurejesha.
Umuhimu
Kupata nguvu kutoka nishati ya uwezo ni hesabu rahisi kuliko kupata nishati ya uwezo kutoka kwa nguvu, kwa sababu kutofautisha kazi kwa ujumla ni rahisi kuliko kuunganisha moja.
Kupata nguvu juu ya chembe katika Mfano\(\PageIndex{2}\) wakati nishati yake kinetic ni 1.0 J katika\(x = 0\).