8.5: Mipango ya Nishati na Utulivu

Last updated
Save as PDF

Page ID: 176998

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Malengo ya kujifunza

Kujenga na kutafsiri grafu ya nishati uwezo
Eleza uhusiano kati ya utulivu na nishati

Mara nyingi, unaweza kupata habari nzuri kuhusu tabia ya nguvu ya mfumo wa mitambo tu kwa kutafsiri grafu ya nishati yake ya uwezo kama kazi ya nafasi, inayoitwa mchoro wa nishati ya uwezo. Hii inafanywa kwa urahisi kwa mfumo wa mwelekeo mmoja, ambao uwezo wa nishati inaweza kupangwa katika moja ya pande mbili-kwa mfano, U (x) dhidi ya x-kwenye kipande cha karatasi au programu ya kompyuta. Kwa mifumo ambayo mwendo wake ni katika mwelekeo zaidi ya moja, mwendo unahitaji kujifunza katika nafasi tatu-dimensional. Tutapunguza utaratibu wetu wa mwendo mmoja tu.

Kwanza, hebu tuangalie kitu, kwa uhuru kuanguka kwa wima, karibu na uso wa Dunia, kwa kutokuwepo kwa upinzani wa hewa. Nishati ya mitambo ya kitu imehifadhiwa, E = K + U, na nishati inayoweza, kuhusiana na sifuri kwenye kiwango cha chini, ni U (y) = mgy, ambayo ni mstari wa moja kwa moja kupitia asili na mteremko mg. Katika grafu iliyoonyeshwa kwenye Mchoro$\PageIndex{1}$, x-axis ni urefu juu ya ardhi y na y-axis ni nishati ya kitu.

Nishati, katika vitengo vya Joules, imepangwa kama kazi ya urefu juu ya ardhi kwa mita. Grafu ya uwezo wa nishati U ni mstari wa moja kwa moja nyekundu kupitia asili, ambapo y ndogo sifuri sawa na sifuri. Equation ya mstari hutolewa kama U ya y sawa m g y. grafu ya jumla ya nishati E ambayo ni sawa na K pamoja U ni mara kwa mara, ambayo inaonekana kama mstari mweusi usawa. Urefu juu ya ardhi ambapo E na U grafu intersect ni y ndogo max. Nishati kati ya nyekundu U line na mhimili usawa sisi U ndogo A. nishati kati ya nyekundu U ya y line na nyeusi E line ni K ndogo A. — Kielelezo$\PageIndex{1}$: Grafu ya nishati ya uwezo kwa kitu katika kuanguka kwa wima bure, na kiasi mbalimbali kilichoonyeshwa.

Mstari wa nishati E inawakilisha nishati ya mara kwa mara ya mitambo ya kitu, wakati nguvu za kinetic na uwezo, K _A _{na U A}, zinaonyeshwa kwa urefu fulani y _A. Unaweza kuona jinsi nishati ya jumla imegawanywa kati ya nishati ya kinetic na uwezo kama urefu wa kitu kinabadilika. Kwa kuwa nishati ya kinetic haiwezi kamwe kuwa hasi, kuna nishati ya juu ya uwezo na urefu wa juu, ambayo kitu kilicho na nishati ya jumla kilichopewa hawezi kuzidi:

\[K = E - U \geq 0,\]

\[U \leq E \ldotp\]

Kama sisi kutumia mvuto uwezo nishati kumbukumbu uhakika wa sifuri katika y ₀, tunaweza kuandika upya uwezo wa mvuto nishati U kama mgy. Kutatua kwa matokeo y katika

\[y \leq \frac{E}{mg} = y_{max} \ldotp\]

Tunaona katika maneno haya kwamba wingi wa nishati ya jumla iliyogawanywa na uzito (mg) iko kwenye urefu wa juu wa chembe, au y _max. Katika urefu wa kiwango cha juu, nishati ya kinetic na kasi ni sifuri, hivyo kama kitu kilichokuwa kikienda kwenda juu, kasi yake ingekuwa kupitia sifuri huko, na y _max itakuwa hatua ya kugeuka katika mwendo. Katika ngazi ya chini, y ₀ = 0, nishati ya uwezo ni sifuri, na nishati ya kinetic na kasi ni kiwango cha juu:

\[U_{0} = 0 = E - K_{0},\]

\[E = K_{0} = \frac{1}{2} mv_{0}^{2},\]

\[v_{0} = \pm \sqrt{\frac{2E}{m}} \ldotp\]

Kasi ya kiwango cha juu ± v ₀ inatoa kasi ya awali inayohitajika kufikia y _max, urefu wa juu, na -v ₀ inawakilisha kasi ya mwisho, baada ya kuanguka kutoka y _max. Unaweza kusoma habari hii yote, na zaidi, kutoka kwa mchoro wa nishati ambao tumeonyesha.

Fikiria mfumo wa wingi wa spring juu ya uso usio na msuguano, usio na usawa, ili mvuto na nguvu ya kawaida ya kuwasiliana haifanyi kazi na inaweza kupuuzwa (Kielelezo$\PageIndex{2}$). Hii ni kama mfumo wa mwelekeo mmoja, ambao nishati ya mitambo E ni ya mara kwa mara na ambayo uwezo wa nishati, kwa heshima ya nishati ya sifuri kwenye uhamisho wa sifuri kutoka kwa urefu usio na urefu wa spring, x = 0, ni U (x) =$\frac{1}{2}$ kx ².

Kielelezo a ni mfano wa glider kati ya chemchemi kwenye wimbo usawa hewa. Kielelezo b ni grafu ya nishati katika Joules kama kazi ya uhamisho kutoka urefu usiotambulishwa kwa mita. Nishati ya uwezo U ya x imepangwa kama parabola nyekundu zaidi ya ufunguzi. Kazi U ya x ni sawa na nusu moja k x squared. Hatua ya usawa ni chini ya parabola, ambapo x ndogo sifuri sawa na sifuri. Nishati ya jumla E ambayo ni sawa na K pamoja na U na ni mara kwa mara imepangwa kama mstari mweusi usio na usawa. Vipengele ambapo mstari wa E jumla hukutana na uwezo wa U Curve huitwa kama pointi za kugeuka. Hatua moja ya kugeuka ni chini ya x ndogo max, na nyingine ni pamoja na x ndogo max. — Kielelezo$\PageIndex{2}$: (a) glider kati ya chemchemi kwenye wimbo wa hewa ni mfano wa mfumo wa usawa wa molekuli. (b) Mchoro wa nishati ya uwezo wa mfumo huu, na kiasi mbalimbali kilichoonyeshwa.

Unaweza kusoma aina hiyo ya habari kutoka kwa mchoro wa nishati ya uwezo katika kesi hii, kama ilivyo kwa mwili katika kuanguka kwa wima bure, lakini tangu nishati ya uwezo wa spring inaelezea nguvu ya kutofautiana, unaweza kujifunza zaidi kutoka kwenye grafu hii. Kama kwa kitu katika kuanguka bure wima, unaweza kuthibitisha kimwili halali mbalimbali ya mwendo na maadili ya juu ya umbali na kasi, kutoka mipaka ya nishati kinetic, 0 ≤ K ≤ E. Kwa hiyo, K = 0 na U = E katika hatua ya kugeuka, ambayo kuna mbili kwa uwezo wa elastic spring nishati,

\[x_{max} = \pm \sqrt{\frac{2E}{k}} \ldotp\]

Mwendo wa glider umefungwa kwenye kanda kati ya pointi za kugeuka, -x _max ≤ x ≤ x _max. Hii ni kweli kwa thamani yoyote (chanya) ya E kwa sababu nishati ya uwezo ni unbounded kwa heshima na x Kwa sababu hii, pamoja na sura ya uwezo wa nishati Curve, U (x) inaitwa uwezo usio na uwezo vizuri. Chini ya uwezo vizuri, x = 0, U = 0 na nishati ya kinetic ni kiwango cha juu, K = E, hivyo v _max = ±$\sqrt{\frac{2E}{m}}$.

Hata hivyo, kutoka kwenye mteremko wa pembe hii ya nishati, unaweza pia kuthibitisha habari kuhusu nguvu kwenye glider na kuongeza kasi yake. Tuliona mapema kwamba hasi ya mteremko wa nishati inayoweza ni nguvu ya spring, ambayo katika kesi hii pia ni nguvu ya wavu, na hivyo ni sawa na kasi. Wakati x = 0, mteremko, nguvu, na kuongeza kasi ni sifuri, hivyo hii ni hatua ya usawa. Hasi ya mteremko, upande wowote wa hatua ya usawa, inatoa nguvu inayoelekeza nyuma ya hatua ya usawa, F = ± kx, hivyo usawa unaitwa imara na nguvu inaitwa nguvu ya kurejesha. Hii ina maana kwamba U (x) ina kiwango cha chini cha jamaa huko. Ikiwa nguvu upande wowote wa hatua ya usawa ina mwelekeo kinyume na mwelekeo huo wa mabadiliko ya msimamo, usawa unaitwa imara, na hii ina maana kwamba U (x) ina kiwango cha juu cha jamaa huko.

Mfano 8.10: Mchoro wa Nishati ya Quartic na Quadratic

Nishati inayoweza uwezo kwa chembe inayoendelea mwendo wa mwelekeo mmoja kando ya x-axis ni U (x) = ^{2 (x ⁴ - x 2}), ambapo U iko katika joules na x iko katika mita. Chembe si chini ya majeshi yoyote yasiyo ya kihafidhina na nishati yake ya mitambo ni mara kwa mara katika E = -0.25 J. (a) Je, mwendo wa chembe imefungwa kwa mikoa yoyote kwenye x-axis, na kama ni hivyo, ni nini? (b) Je, kuna pointi za usawa, na ikiwa ni hivyo, wapi na ni imara au imara?

Mkakati

Kwanza, tunahitaji graph nishati uwezo kama kazi ya x. kazi ni sifuri katika asili, inakuwa hasi kama ongezeko x katika mwelekeo chanya au hasi (x ² ni kubwa kuliko x ⁴ kwa x <1), na kisha inakuwa chanya katika kutosha kubwa |x|. Grafu yako inapaswa kuangalia kama uwezo wa mara mbili vizuri, na zeros kuamua na kutatua equation U (x) = 0, na extremes kuamua kwa kuchunguza derivatives kwanza na ya pili ya U (x), kama inavyoonekana katika Kielelezo$\PageIndex{3}$.

Grafu ya nishati ya uwezo U katika vitengo vya Joules kama kazi ya x katika vitengo vya mita kwa nishati moja-dimensional, quartic na quadratic uwezo, inavyoonekana kwa kiasi mbalimbali kilichoonyeshwa. Kiwango cha usawa kinaendesha kutoka -1.2 hadi 1.2, kilichoandikwa kwa vipindi 0.5 m na kwa mistari ya gridi ya kila 0.1 m wadogo wima anaendesha kutoka -0.55 hadi +0.55, iliyoandikwa kwa vipindi 0.1 J na mistari ya gridi kila 0.05 J. kazi U ya x sawa na mara 2 kiasi x hadi nne bala x mraba. Kazi hii inakwenda infinity katika plus na minus x usio, ni sifuri katika x sawa na sifuri na ina thamani ya chini ya -0.5 J katika x takriban sawa na -0.7 m na +0.7 m. kiwango cha chini katika x chanya ni kinachoitwa kama hatua Q na kiwango cha chini katika x hasi ni kinachoitwa kama hatua bala Q. mhimili, katika maeneo mawili, saa x=-1 na x=+1. Nishati ya jumla E ni sawa na -0.25 J na inaonyeshwa kama mstari wa usawa kwa thamani hiyo. Ni intersects U ya x grafu katika maeneo manne, ilivyoelezwa kutoka kushoto kwenda kulia. Sehemu ya kushoto iko kwenye thamani ya x kati ya -0.95 na -0.9 na imeandikwa kama hatua bala R. mahali inayofuata ambapo U = -0.25 iko katika thamani x kati ya -0.4 na -0.35 na inaitwa kama hatua bala P. mahali inayofuata ambapo U = -0.25 ni kwa thamani x kati ya 0.35 na 0.4 na imeandikwa kama hatua P. mahali ambapo U = -0.25 ni thamani x kati ya 0.9 na 0.95 na ni kinachoitwa kama uhakika R. — Kielelezo$\PageIndex{3}$: Grafu ya nishati ya uwezo kwa nishati moja-dimensional, quartic na quadratic uwezo, na kiasi mbalimbali imeonyeshwa.

Unaweza kupata maadili ya (a) mikoa ya kuruhusiwa kando ya x-axis, kwa thamani iliyotolewa ya nishati ya mitambo, kutokana na hali ya kuwa nishati ya kinetic haiwezi kuwa hasi, na (b) pointi za usawa na utulivu wao kutoka kwa mali ya nguvu (imara kwa kiwango cha chini cha jamaa na imara kwa jamaa upeo wa nishati uwezo). Unaweza tu jicho la jicho la grafu ili kufikia majibu ya ubora kwa maswali katika mfano huu. Kwamba, baada ya yote, ni thamani ya michoro za nishati.

Unaweza kuona kwamba kuna mikoa miwili ya kuruhusiwa kwa mwendo (E> U) na pointi tatu za usawa (mteremko$\frac{dU}{dx}$ = 0), ambayo katikati ni imara$\left( \dfrac{d^{2}U}{dx^{2}} < 0 \right)$, na nyingine mbili ni imara$\left(\dfrac{d^{2}U}{dx^{2}} > 0 \right)$.

Suluhisho

Ili kupata mikoa ya kuruhusiwa kwa x, tunatumia hali $$K = E - U = -\ frac {1} {4} - 2 (x^ {4} - x^ {2})\ geq 0\ ldOTP $Ikiwa tunamaliza mraba katika x 2, hali hii inafungua$2 \left(x^{2} − \dfrac{1}{2} \right)^{2} \leq \frac{1}{4}$, ambayo tunaweza kutatua kupata $$\ frac {1} {2} -\ sqrt {\ frac
ParseError: EOF expected (click for details)
```
Callstack:
    at (Kiswahili/Chuo_Kikuu_Fizikia_I_-_Mitambo,_Sauti,_oscillations,_na_Waves_(OpenStax)/08:_Nishati_na_Uhifadhi_wa_Nishati/8.05:_Mipango_ya_Nishati_na_Utulivu), /content/body/section[2]/div/div/ol/li[1]/span[2], line 1, column 2
```
\ leq x^ {2}\ leq\ frac {1} {2} +\ sqrt {\ frac {1} {8}}\ ldotp $$Hii inawakilisha mikoa miwili iliyoruhusiwa, x _p ≤ x ≤ x _{_R} na -x R ≤ x ≤ ∙ x _p, ambapo x _p = 0.38 na x _R = 0.92 (katika mita).
Ili kupata pointi za usawa, tunatatua equation $$\ frac {dU} {dx} = 8x^ {3} - 4x = 0 $$na kupata x = 0 na x = ± x _Q, ambapo x _Q =$\frac{1}{\sqrt{2}}$ = 0.707 (mita). Derivative ya pili $$\ frac {d^ {2} U} {dx^ {2}} = 24x^ {2} - $4$ ni hasi katika x = 0, hivyo nafasi hiyo ni kiwango cha juu cha jamaa na usawa kuna msimamo. Derivative pili ni chanya katika x = ± x _Q, hivyo nafasi hizi ni jamaa minima na kuwakilisha usawa imara.

Umuhimu

Chembe katika mfano huu inaweza oscillate katika eneo kuruhusiwa kuhusu mojawapo ya pointi mbili imara msawazo tulizopata, lakini haina nishati ya kutosha kutoroka kutoka kwa namna yoyote uwezo vizuri hutokea kwa awali kuwa katika. Uhifadhi wa nishati ya mitambo na uhusiano kati ya nishati ya kinetic na kasi, na uwezo wa nishati na nguvu, kukuwezesha kuthibitisha habari nyingi kuhusu tabia ya ubora wa mwendo wa chembe, pamoja na baadhi ya taarifa kiasi, kutoka grafu ya nishati yake uwezo.

Zoezi 8.10

Rudia Mfano 8.10 wakati nishati ya mitambo ya chembe ni +0.25 J.

Kabla ya kumaliza sehemu hii, hebu tufanye mazoezi ya kutumia njia kulingana na nishati ya uwezo wa chembe ili kupata nafasi yake kama kazi ya wakati, kwa mfumo wa moja-dimensional, molekuli spring kuchukuliwa mapema katika sehemu hii.

Mfano 8.11: Kufutwa kwa sinusoidal

Pata x (t) kwa chembe inayohamia na nishati ya mitambo ya mara kwa mara E> 0 na nishati ya uwezo U ($\frac{1}{2}$x) = kx ², wakati chembe inapoanza kupumzika wakati t = 0.

Mkakati

Tunafuata hatua sawa na tulivyofanya katika Mfano 8.9. Mbadala uwezo wa nishati U katika Equation 8.4.9 na sababu nje constants, kama m au k Kuunganisha kazi na kutatua kujieleza kusababisha kwa nafasi, ambayo sasa ni kazi ya muda.

Suluhisho

Badilisha nishati ya uwezo katika Equation 8.4.9 na kuunganisha kwa kutumia solver muhimu kupatikana kwenye utafutaji wa wavuti:

\ [t =\ int_ {x_ {0}} ^ {x}\ frac {dx} {\ sqrt {\ kushoto (\ dfrac {k} {m}\ haki)\ Big [\ kushoto (\ dfrac {2E} {k}\ haki) - x^ {2}\ Big]}} =\ sqrt {\ frac {m} {k}}\ Big]} [\ sin^ {-1}\ kushoto (\ dfrac {x} {\ sqrt {\ frac {2E} {k}}}\ haki) -\ sin^ {-1}\ kushoto (\ frac {x_ {0}} {\ sqrt {\ frac {2E} {2E}} {k}}\ haki)\ Big]\ ldOTP $Kutoka hali ya awali katika t = 0, nishati ya awali ya kinetic ni sifuri na nishati ya awali ya uwezo ni$\frac{1}{2}$ kx ₀ ² = E, ambayo unaweza kuona kwamba$\frac{x_{0}}{\sqrt{\left(\dfrac{2E}{k}\right)}}$ = ± 1 na ^{dhambi -1} (±) = ± 90°. Sasa unaweza kutatua kwa x:

\[x(t) = \sqrt{\left(\dfrac{2E}{k}\right)} \sin \Big[\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}\right)t \pm 90^{o} \Big] = \pm \sqrt{\left(\dfrac{2E}{k}\right)} \cos \Big[ \left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}\right)t \Big] \ldotp\]

Umuhimu

Aya chache mapema, sisi inajulikana mfumo huu moleku-spring kama mfano wa oscillator harmonic. Hapa, tunatarajia kwamba oscillator harmonic executes oscillations sinusoidal na makazi yao upeo wa$\sqrt{\left(\dfrac{2E}{k}\right)}$ (aitwaye amplitude) na kiwango cha oscillation ya$\left(\dfrac{1}{2 \pi}\right) \sqrt{\frac{k}{m}}$ (inayoitwa frequency). Majadiliano zaidi kuhusu oscillations yanaweza kupatikana katika Oscillations.

Zoezi 8.11

Pata x (t) kwa mfumo wa moleku-spring katika Mfano 8.11 ikiwa chembe huanza kutoka x ₀ = 0 saa t = 0. Kasi ya awali ya chembe ni nini?