7.2: Kazi
- Page ID
- 176975
- Kuwakilisha kazi iliyofanywa na nguvu yoyote
- Tathmini kazi iliyofanywa kwa vikosi mbalimbali
Katika fizikia, kazi inawakilisha aina ya nishati. Kazi imefanywa wakati nguvu vitendo juu ya kitu ambacho hupitia makazi yao kutoka nafasi moja hadi nyingine. Vikosi vinaweza kutofautiana kama kazi ya msimamo, na uhamisho unaweza kuwa pamoja na njia mbalimbali kati ya pointi mbili. Sisi kwanza kufafanua nyongeza ya kazi dW kufanyika kwa nguvu\(\vec{F}\) kaimu kwa njia ya infinitesimal makazi yao d\(\vec{r}\) kama dot bidhaa ya wadudu hawa wawili:
\[dW = \vec{F} \cdotp d \vec{r} = |\vec{F}||d \vec{r}| \cos \theta \ldotp \label{7.1}\]
Kisha, tunaweza kuongeza michango kwa ajili ya makazi yao infinitesimal, pamoja na njia kati ya nafasi mbili, kupata jumla ya kazi.
Kazi iliyofanywa na nguvu ni muhimu ya nguvu kuhusiana na uhamisho kando ya njia ya uhamisho:
\[W_{AB} = \int_{path\; AB} \vec{F} \cdotp d \vec{r} \ldotp \label{7.2}\]
Vectors kushiriki katika ufafanuzi wa kazi iliyofanywa na nguvu kaimu juu ya chembe ni mfano katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\).
Sisi kuchagua kueleza bidhaa dot katika suala la ukubwa wa wadudu na cosine ya angle kati yao, kwa sababu maana ya bidhaa dot kwa ajili ya kazi inaweza kuweka katika maneno zaidi moja kwa moja katika suala la ukubwa na pembe. Tunaweza sawa vizuri wameonyesha bidhaa dot katika suala la vipengele mbalimbali kuletwa katika Vectors. Katika vipimo viwili, hizi zilikuwa vipengele vya x- na y katika kuratibu za Cartesian, au r- na\(\varphi\) -vipengele katika kuratibu polar; katika vipimo vitatu, ilikuwa tu x-, y-, na z-vipengele. Chaguo gani ni rahisi zaidi inategemea hali hiyo. Kwa maneno, unaweza kueleza Equation\ ref {7.1} kwa kazi iliyofanywa na nguvu inayofanya juu ya uhamisho kama bidhaa ya sehemu moja inayofanya sambamba na sehemu nyingine. Kutoka kwa mali ya vectors, haijalishi ikiwa unachukua sehemu ya nguvu inayofanana na uhamisho au sehemu ya makazi ya sambamba na nguvu-unapata matokeo sawa kwa njia yoyote.
Kumbuka kwamba ukubwa wa nguvu mara cosine ya angle nguvu hufanya kwa mwelekeo fulani ni sehemu ya nguvu katika mwelekeo uliopewa. Vipengele vya vector vinaweza kuwa chanya, hasi, au sifuri, kulingana na iwapo pembe kati ya vector na mwelekeo wa sehemu ni kati ya 0° na 90° au 90° na 180°, au ni sawa na 90°. Matokeo yake, kazi iliyofanywa na nguvu inaweza kuwa chanya, hasi, au sifuri, kulingana na kama nguvu ni kwa ujumla katika mwelekeo wa makazi yao, kwa ujumla kinyume na makazi yao, au perpendicular kwa makazi yao. Kazi ya juu inafanywa na nguvu iliyotolewa wakati iko kwenye mwelekeo wa uhamisho (cos\(\theta\) = ± 1), na kazi ya sifuri inafanywa wakati nguvu inapingana na uhamisho (cos\(\theta\) = 0).
Vitengo vya kazi ni vitengo vya nguvu vinavyoongezeka kwa vitengo vya urefu, ambavyo katika mfumo wa SI ni newtons mara mita, N • m Mchanganyiko huu huitwa Joule, kwa sababu za kihistoria ambazo tutasema baadaye, na hufupishwa kama J. mfumo wa Kiingereza, bado hutumiwa nchini Marekani, kitengo cha nguvu ni pound (lb) na kitengo cha umbali ni mguu (ft), hivyo kitengo cha kazi ni pound-mguu (ft • lb).
Kazi Imefanywa na Vikosi vya Mara kwa mara na Majeshi
Kazi rahisi zaidi ya kutathmini ni kwamba imefanywa na nguvu ambayo ni mara kwa mara katika ukubwa na mwelekeo. Katika kesi hii, tunaweza kuondokana na nguvu; muhimu iliyobaki ni makazi ya jumla, ambayo inategemea tu pointi za mwisho A na B, lakini si kwa njia kati yao:
\[W_{AB} = \vec{F} \cdotp \int_{A}^{B} d \vec{r} = \vec{F} \cdotp (\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A}) = |\vec{F}||\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A}| \cos \theta\; (constant\; force) \ldotp \nonumber\]
Tunaweza pia kuona hili kwa kuandika Equation\ ref {7.2} katika kuratibu Cartesian na kutumia ukweli kwamba vipengele vya nguvu ni mara kwa mara:
\[\begin{split} W_{AB} & = \int_{path\; AB} \vec{F} \cdotp d \vec{r} = \int_{path\; AB} (F_{x} dx + F_{y} dy + F_{z} dz) = F_{x} \int_{A}^{B} dx + F_{y} \int_{A}^{B} dy + F_{z} \int_{A}^{B} dz \\ & = F_{x} (x_{B} - x_{A}) + F_{y} (y_{B} - y_{A}) + F_{z} (z_{B} - z_{A}) = \vec{F} \cdotp (\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A}) \ldotp \end{split} \nonumber\]
Kielelezo\(\PageIndex{2a}\) kinaonyesha mtu anayefanya nguvu ya mara kwa mara\(\vec{F}\) pamoja na kushughulikia kwa mower wa lawn, ambayo inafanya angle\(\theta\) na usawa. Uhamisho wa usawa wa mower wa lawn, juu ya ambayo nguvu hufanya, ni\(\vec{d}\). Kazi iliyofanywa kwenye mower wa lawn ni
\[W = \vec{F} \cdotp \vec{d} = Fd \cos \theta,\nonumber \]
ambayo takwimu pia inaonyesha kama sehemu ya usawa ya nguvu mara ukubwa wa makazi yao.
Kielelezo\(\PageIndex{2b}\) kinaonyesha mtu anayeshikilia mkoba. Mtu lazima awe na nguvu ya juu, sawa na ukubwa wa uzito wa mkoba, lakini nguvu hii haifanyi kazi, kwa sababu uhamisho juu ya ambayo hufanya ni sifuri. Hivyo kwa nini hatimaye kujisikia uchovu tu kufanya briefcase, kama wewe si kufanya kazi yoyote juu yake? Jibu ni kwamba nyuzi misuli katika mkono wako ni kuambukizwa na kufanya kazi ndani ya mkono wako, hata kama nguvu misuli yako exert nje juu ya briefcase haina kufanya kazi yoyote juu yake. (Sehemu ya nguvu wewe exert pia inaweza kuwa mvutano katika mifupa na mishipa ya mkono wako, lakini misuli mingine katika mwili wako itakuwa kufanya kazi ya kudumisha nafasi ya mkono wako.)
Katika Kielelezo\(\PageIndex{2c}\), ambapo mtu katika (b) anatembea kwa usawa na kasi ya mara kwa mara, kazi iliyofanywa na mtu kwenye mkoba bado ni sifuri, lakini sasa kwa sababu angle kati ya nguvu exerted na makazi yao ni 90° (\(\vec{F}\)perpendicular to\(\vec{d}\)) na cos 90° = 0.
Kiasi gani kazi ni kufanyika juu ya mower lawn na mtu katika Kielelezo\(\PageIndex{2a}\) kama yeye exerts nguvu ya mara kwa mara ya 75.0 N katika angle 35° chini ya usawa na inasubu mower 25.0 m juu ya ardhi ngazi?
Mkakati
Tunaweza kutatua tatizo hili kwa kubadili maadili yaliyotolewa katika ufafanuzi wa kazi iliyofanywa kwenye kitu kwa nguvu ya mara kwa mara, iliyoelezwa katika equation W = Fd cos\(\theta\). Nguvu, angle, na uhamisho hutolewa, ili kazi tu W haijulikani.
Suluhisho
Equation kwa ajili ya kazi ni
\[W = Fd \cos \theta \ldotp \nonumber \]
Kubadilisha maadili inayojulikana hutoa
\[W = (75.0\; N)(25.0\; m) \cos(35.0^{o}) = 1.54 \times 10^{3}\; J \ldotp \nonumber \]
Umuhimu
Japokuwa kilojoules moja na nusu inaweza kuonekana kama kazi nyingi, tutaona katika Potential Energy and Conservation of Energy kwamba ni kuhusu kazi nyingi tu kama unavyoweza kufanya kwa kuchoma moja ya sita ya gramu ya mafuta.
Unapopiga nyasi, vikosi vingine vinatenda kwenye mower wa lawn badala ya nguvu unazofanya - yaani, nguvu ya kuwasiliana ya ardhi na nguvu ya mvuto wa Dunia. Hebu fikiria kazi iliyofanywa na majeshi haya kwa ujumla. Kwa kitu kinachohamia juu ya uso, uhamisho d\(\vec{r}\) ni tangent kwa uso. Sehemu ya nguvu ya kuwasiliana juu ya kitu ambacho ni perpendicular kwa uso ni nguvu ya kawaida\(\vec{N}\). Tangu cosine ya angle kati ya kawaida na tangent kwa uso ni sifuri, tuna
\[dW_{N} = \vec{N} \cdotp d \vec{r} = \vec{0} \ldotp \nonumber \]
Nguvu ya kawaida haifanyi kazi chini ya hali hizi. (Kumbuka kwamba ikiwa uhamisho d\(\vec{r}\) hakuwa na sehemu ya jamaa perpendicular kwa uso, kitu ingekuwa kuondoka uso au kuvunja kwa njia hiyo, na hakutakuwa na nguvu yoyote ya kawaida ya kuwasiliana. Hata hivyo, kama kitu ni zaidi ya chembe, na ina muundo wa ndani, nguvu ya kawaida ya kuwasiliana inaweza kufanya kazi juu yake, kwa mfano, kwa kuiondoa au kuharibika sura yake. Hii itatajwa katika sura inayofuata.)
Sehemu ya nguvu ya kuwasiliana kwenye kitu ambacho ni sawa na uso ni msuguano,\(\vec{f}\). Kwa kitu hiki kinachotembea juu ya uso, msuguano wa kinetic\(\vec{f}_{k}\) ni kinyume na d\(\vec{r}\), kuhusiana na uso, hivyo kazi iliyofanywa na msuguano wa kinetic ni hasi. Ikiwa ukubwa wa\(\vec{f}_{k}\) ni mara kwa mara (kama itakuwa kama majeshi mengine yote juu ya kitu yalikuwa mara kwa mara), basi kazi iliyofanywa na msuguano ni
\[W_{fr} = \int_{A}^{B} \vec{f}_{k} \cdotp d \vec{r} = - f_{k} \int_{A}^{B} |dr| = - f_{k} |l_{AB}| \ldotp \label{7.3}\]
ambapo |l AB | ni njia urefu juu ya uso. (Kumbuka kwamba, hasa kama kazi iliyofanywa na nguvu ni hasi, watu wanaweza kutaja kazi iliyofanywa dhidi ya nguvu hii, ambapo dW dhidi = -dW na. Kazi iliyofanywa dhidi ya nguvu inaweza pia kutazamwa kama kazi inayotakiwa kushinda nguvu hii, kama katika “Ni kiasi gani kazi inahitajika kushinda...?”) Nguvu ya msuguano wa tuli, hata hivyo, inaweza kufanya kazi nzuri au hasi. Unapotembea, nguvu ya msuguano wa tuli inayotumiwa na ardhi kwenye mguu wako wa nyuma huharakisha kwa sehemu ya kila hatua. Ikiwa unapunguza kasi, nguvu ya ardhi kwenye mguu wako wa mbele inakuwezesha. Kama wewe ni kuendesha gari yako katika kikomo kasi ya moja kwa moja, kiwango kunyoosha ya barabara, kazi hasi kufanyika kwa msuguano kinetic ya upinzani hewa ni uwiano na kazi chanya kufanyika kwa msuguano tuli wa barabara juu ya magurudumu gari. Unaweza kuvuta rug kutoka chini ya kitu kwa namna ambayo inakuja nyuma kuhusiana na rug, lakini mbele ya jamaa na sakafu. Katika kesi hiyo, msuguano wa kinetic unaofanywa na rug juu ya kitu inaweza kuwa katika mwelekeo sawa na uhamisho wa kitu, jamaa na sakafu, na kufanya kazi nzuri. Chini ya msingi ni kwamba unahitaji kuchambua kila kesi fulani ili kuamua kazi iliyofanywa na majeshi, ikiwa ni chanya, hasi au sifuri.
Unaamua kusonga kitanda chako kwenye nafasi mpya kwenye sakafu yako ya usawa ya chumba cha kulala. Nguvu ya kawaida juu ya kitanda ni 1 kN na mgawo wa msuguano ni 0.6. (a) Wewe kwanza kushinikiza kitanda 3 m sambamba na ukuta na kisha 1 m perpendicular kwa ukuta (A hadi B katika Kielelezo\(\PageIndex{3}\)). Ni kazi gani inayofanywa na nguvu ya msuguano? (b) Wewe si kama nafasi mpya, hivyo hoja kitanda moja kwa moja nyuma ya nafasi yake ya awali (B kwa A katika Kielelezo\(\PageIndex{3}\)). Kazi ya jumla ilifanyika nini dhidi ya msuguano kusonga kitanda mbali na nafasi yake ya awali na kurudi tena?
Mkakati
Ukubwa wa nguvu ya msuguano wa kinetic juu ya kitanda ni mara kwa mara, sawa na mgawo wa mara msuguano nguvu ya kawaida, f K =\(\mu_{K}\) N. kazi hiyo ni W fr = -f K d, ambapo d ni urefu wa njia iliyopitishwa. Makundi ya njia ni pande za pembetatu sahihi, hivyo urefu wa njia huhesabiwa kwa urahisi. Kwa sehemu (b), unaweza kutumia ukweli kwamba kazi iliyofanywa dhidi ya nguvu ni hasi ya kazi iliyofanywa na nguvu.
Suluhisho
- Kazi iliyofanywa na msuguano ni $$W = - (0.6) (1\; kN) (3\; m + 1\; m) = - 2.4\; kJ\ ldotp\ nonumber $$
- Urefu wa njia kando ya hypotenuse ni\(\sqrt{10}\) m, hivyo kazi ya jumla iliyofanywa dhidi ya msuguano ni $$W = (0.6) (1\; kN) (3\; m + 1\; m +\ sqrt {10}\; m) = 4.3\; KJ\ ldotp\ nonumber $$
Umuhimu
Njia ya jumla ambayo kazi ya msuguano ilipimwa ilianza na kumalizika kwa hatua moja (ilikuwa njia iliyofungwa), ili uhamisho wa jumla wa kitanda ulikuwa sifuri. Hata hivyo, kazi ya jumla haikuwa sifuri. Sababu ni kwamba majeshi kama msuguano yanawekwa kama majeshi yasiyo ya kihafidhina, au vikosi vya dissipative, kama tunavyojadili katika sura inayofuata.
Je, msuguano kinetic milele kuwa nguvu ya mara kwa mara kwa njia zote?
Nguvu nyingine juu ya mower lawn iliyotajwa hapo juu ilikuwa nguvu ya mvuto wa Dunia, au uzito wa mower. Karibu na uso wa Dunia, nguvu ya mvuto juu ya kitu cha molekuli m ina ukubwa wa mara kwa mara, mg, na mwelekeo wa mara kwa mara, kwa wima chini. Kwa hiyo, kazi iliyofanywa na mvuto juu ya kitu ni bidhaa ya dot ya uzito wake na uhamisho wake. Mara nyingi, ni rahisi kuelezea bidhaa ya dot kwa kazi ya mvuto kulingana na vipengele vya x-, y-, na z-vipengele vya vectors. Mfumo wa kuratibu wa kawaida una usawa wa x-axis na y-axis vertically up. Kisha nguvu ya mvuto ni -mg\(\hat{j}\), hivyo kazi iliyofanywa kwa mvuto, juu ya njia yoyote kutoka A hadi B, ni
\[W_{grav,\; AB} = -mg \hat{j} \cdotp (\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A}) = -mg (y_{B} - y_{A}) \ldotp \label{7.4}\]
Kazi iliyofanywa na nguvu ya mara kwa mara ya mvuto juu ya kitu inategemea tu uzito wa kitu na tofauti katika urefu kwa njia ambayo kitu kinahamishwa. Mvuto hufanya kazi hasi juu ya kitu kinachoendelea juu (y B> y A), au, kwa maneno mengine, lazima ufanye kazi nzuri dhidi ya mvuto ili kuinua kitu juu. Vinginevyo, mvuto hufanya kazi nzuri juu ya kitu kinachoendelea kushuka (y B <y A), au unafanya kazi hasi dhidi ya mvuto ili “kuinua” kitu chini, kudhibiti asili yake hivyo haitoi chini. (“Kuinua” hutumiwa kinyume na “tone”.)
Unainua kitabu cha maktaba kikubwa zaidi, uzito wa 20 N, 1 m chini kutoka kwenye rafu, na kubeba m 3 kwa usawa kwenye meza (Kielelezo\(\PageIndex{4}\)). Je! Mvuto hufanya kazi ngapi kwenye kitabu? (b) Unapomaliza, unahamisha kitabu katika mstari wa moja kwa moja nyuma kwenye nafasi yake ya awali kwenye rafu. Kazi ya jumla ilifanyika nini dhidi ya mvuto, kusonga kitabu mbali na nafasi yake ya awali kwenye rafu na kurudi tena?
Mkakati
Tumeona tu kwamba kazi iliyofanywa kwa nguvu ya mara kwa mara ya mvuto inategemea tu uzito wa kitu kilichohamishwa na tofauti katika urefu kwa njia iliyochukuliwa, W AB = -mg (Yb ∙ y A). Tunaweza kutathmini tofauti kwa urefu ili kujibu (a) na (b).
Suluhisho
- Kwa kuwa kitabu kinaanza kwenye rafu na kinainuliwa y B - y A = -1 m, tuna $$ W = - (20\; N) (- 1\; m) = 20 J\ ldotp\ nonumber$$
- Kuna tofauti ya sifuri kwa urefu kwa njia yoyote inayoanza na kuishia mahali pale kwenye rafu, hivyo W = 0.
Umuhimu
Gravity anafanya kazi chanya (20 J) wakati kitabu hatua chini kutoka rafu. Nguvu ya mvuto kati ya vitu viwili ni nguvu ya kuvutia, ambayo inafanya kazi nzuri wakati vitu vinakaribia pamoja. Mvuto hufanya kazi ya sifuri (0 J) wakati kitabu kinaendelea kwa usawa kutoka kwenye rafu hadi meza na kazi hasi (-20 J) wakati kitabu kinatoka kwenye meza hadi kwenye rafu. Kazi ya jumla iliyofanywa kwa mvuto ni sifuri [20 J + 0 J + (-20 J) = 0].
Tofauti na msuguano au majeshi mengine dissipative, ilivyoelezwa katika Mfano\(\PageIndex{2}\), jumla ya kazi kufanyika dhidi ya mvuto, juu ya njia yoyote imefungwa, ni sifuri. Kazi nzuri imefanywa dhidi ya mvuto kwenye sehemu za juu za njia iliyofungwa, lakini kiasi sawa cha kazi hasi hufanyika dhidi ya mvuto kwenye sehemu za chini. Kwa maneno mengine, kazi iliyofanywa dhidi ya mvuto, kuinua kitu juu, ni “kupewa nyuma” wakati kitu kinarudi chini. Vikosi kama mvuto (wale wanaofanya kazi zero juu ya njia yoyote iliyofungwa) huwekwa kama majeshi ya kihafidhina na huwa na jukumu muhimu katika fizikia.
Je, mvuto wa dunia unaweza kuwa nguvu ya mara kwa mara kwa njia zote?
Kazi Imefanywa na Vikosi vinavyotofautiana
Kwa ujumla, majeshi yanaweza kutofautiana kwa ukubwa na mwelekeo kwenye pointi katika nafasi, na njia kati ya pointi mbili zinaweza kupigwa. Kazi isiyo ya kawaida iliyofanywa na nguvu ya kutofautiana inaweza kuelezwa kwa suala la vipengele vya nguvu na uhamisho kando ya njia,
\[dW = F_{x} dx + F_{y} dy + F_{z} dz \ldotp \nonumber\]
Hapa, vipengele vya nguvu ni kazi za msimamo kando ya njia, na uhamisho hutegemea usawa wa njia. (Ingawa tulichagua kuonyesha dW katika kuratibu za Cartesian, kuratibu nyingine zinafaa zaidi kwa hali fulani.) Equation\ ref {7.2} inafafanua kazi ya jumla kama mstari muhimu, au kikomo cha jumla ya kiasi kidogo cha kazi. Dhana ya kimwili ya kazi ni moja kwa moja: unahesabu kazi kwa uhamisho mdogo na uwaongeze. Wakati mwingine hisabati inaweza kuonekana ngumu, lakini mfano unaofuata unaonyesha jinsi wanavyoweza kufanya kazi kwa usafi.
Kitu kinachotembea njia ya parabolic y = (0.5 m -1) x 2 kutoka asili A = (0, 0) hadi hatua B = (2 m, 2 m) chini ya hatua ya nguvu\(\vec{F}\) = (5 N/m) y\(\hat{i}\) + (10 N/m) x\(\hat{j}\) (Kielelezo\(\PageIndex{5}\)). Tumia kazi iliyofanyika.
Mkakati
Vipengele vya nguvu vinapewa kazi za x na y.Tunaweza kutumia equation ya njia ya kueleza y na dy kwa suala la x na dx; yaani,
\[y = (0.5\; m^{−1})x^{2}\; and\; dy = 2(0.5\; m^{−1})xdx \ldotp \nonumber\]
Kisha, muhimu kwa ajili ya kazi ni muhimu tu ya kazi ya x.
Suluhisho
Kipengele cha chini cha kazi ni
\[\begin{split} dW & = F_{x} dx + F_{y} dy = (5\; N/m)ydx + (10\; N/m)xdy \\ & = (5\; N/m)(0.5\; m^{−1})x^{2} dx + (10\; N/m)2(0.5\; m^{−1})x^{2} dx = (12.5\; N/m^{2})x^{2} dx \ldotp \end{split} \nonumber\]
Muhimu wa x 2 ni\(\frac{x^{3}}{3}\), hivyo
\[W = \int_{0}^{2\; m} (12.5\; N/m^{2})x^{2} dx = (12.5\; N/m^{2}) \frac{x^{3}}{3} \Bigg|_{0}^{2\; m} = (12.5\; N/m^{2}) \left(\dfrac{8}{3}\right) = 33.3\; J \ldotp \nonumber\]
Umuhimu
Muhimu huu haukuwa vigumu kufanya. Unaweza kufuata hatua sawa, kama katika mfano huu, kuhesabu integrals line anayewakilisha kazi kwa nguvu ngumu zaidi na njia. Katika mfano huu, kila kitu kilitolewa kwa suala la vipengele vya x- na y, ambazo ni rahisi kutumia katika kutathmini kazi katika kesi hii. Katika hali nyingine, magnitudes na pembe inaweza kuwa rahisi.
Pata kazi iliyofanywa na nguvu sawa katika Mfano\(\PageIndex{4}\) juu ya njia ya ujazo, y = (0.25 m ї 2) x 3, kati ya pointi sawa A = (0, 0) na B = (2 m, 2 m).
Uliona katika Mfano\(\PageIndex{4}\) kwamba kutathmini mstari muhimu, unaweza kupunguza kwa muhimu juu ya variable moja au parameter. Kawaida, kuna njia kadhaa za kufanya hivyo, ambayo inaweza kuwa rahisi zaidi au chini, kulingana na kesi fulani. Katika Mfano\(\PageIndex{4}\), sisi kupunguzwa line muhimu kwa muhimu juu ya x, lakini tunaweza sawa vizuri wamechagua kupunguza kila kitu kwa kazi ya y Hatukufanya hivyo kwa sababu kazi katika y kuhusisha mizizi mraba na exponents sehemu, ambayo inaweza kuwa chini ya ukoo, lakini kwa madhumuni ya mfano, sisi kufanya hii sasa. Kutatua kwa x na dx, kwa upande wa y, pamoja na njia ya parabolic, tunapata
\[x = \sqrt{\frac{y}{(0.5\; m^{-1})}} = \sqrt{(2\; m)y}\; and\; dx = \sqrt{(2\; m)} \times \frac{1}{2} \frac{dy}{\sqrt{y}} = \frac{dy}{\sqrt{(2\; m^{-1})y} }\ldotp \nonumber\]
Vipengele vya nguvu, kwa suala la y, ni
\[F_{x} = (5\; N/m)y\; and\; F_{y} = (10\; N/m)x = (10\; N/m) \sqrt{(2 m)y}, \nonumber\]
hivyo kipengele cha kazi kidogo kinakuwa
\[\begin{split} dW & = F_{x} dx + F_{y} dy = \frac{(5\; N/m)y dy}{\sqrt{(2\; m^{-1})y}} + (10\; N/m) \sqrt{(2\; m)y} dy \\ & = (5\; N \cdotp m^{-1/2}) \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2}\right) \sqrt{y} dy = (17.7\; N \cdotp m^{-1/2}) y^{1/2} dy \ldotp \end{split} \nonumber\]
Muhimu wa y 1/2 ni\(\frac{2}{3}\) y 3/2, hivyo kazi iliyofanywa kutoka A hadi B ni
\[W = \int_{0}^{2\; m} (17.7\; N \cdotp m^{-1/2}) y^{1/2} dy = (17.7\; N \cdotp m^{-1/2}) \frac{2}{3} (2\; m)^{2/3} = 33.3\; J \ldotp \nonumber\]
Kama inavyotarajiwa, hii ni matokeo sawa na hapo awali.
Nguvu moja muhimu sana na inayotumika sana ni nguvu inayotumiwa na spring kikamilifu ya elastic, ambayo inatimiza sheria ya Hooke\(\vec{F}\) = -k\(\Delta \vec{x}\), ambapo k ni mara kwa mara ya spring, na\(\Delta \vec{x}\) =\(\vec{x}\) -\(\vec{x}_{eq}\) ni uhamisho kutoka nafasi ya spring isiyopigwa (usawa) (Sheria za Newton za Mwendo). Kumbuka kuwa msimamo usiotambulishwa ni sawa na msimamo wa usawa ikiwa hakuna vikosi vingine vinavyofanya (au, ikiwa ni, hughairi). Vikosi kati ya molekuli, au katika mfumo wowote unaosababishwa na uhamisho mdogo kutoka kwa usawa thabiti, hufanya takriban kama nguvu ya spring.
Ili kuhesabu kazi iliyofanywa na nguvu ya spring, tunaweza kuchagua x-axis pamoja na urefu wa spring, kwa upande wa urefu wa kuongezeka, kama katika Mchoro\(\PageIndex{6}\), na asili katika nafasi ya usawa x eq = 0. (Kisha chanya x inalingana na kunyoosha na hasi x kwa compression.) Kwa uchaguzi huu wa kuratibu, nguvu ya spring ina sehemu ya x tu, F x = -kx, na kazi iliyofanywa wakati mabadiliko x kutoka x A hadi x B ni
\[W_{spring,\; AB} = \int_{A}^{B} F_{x} dx = - k \int_{A}^{B} xdx = -k \frac{x^{2}}{2} \Big|_{A}^{B} = - \frac{1}{2} k \big( x_{B}^{2} - x_{A}^{2} \big) \ldotp \label{7.5}\]
Kumbuka kwamba W AB inategemea tu juu ya pointi za mwanzo na za mwisho, A na B, na ni huru ya njia halisi kati yao, kwa muda mrefu kama inaanza saa A na kuishia saa B. yaani, njia halisi inaweza kuhusisha kwenda na kurudi kabla ya kumalizika.
Kitu kingine cha kuvutia kutambua kuhusu Equation\ ref {7.5} ni kwamba, kwa kesi hii moja-dimensional, unaweza kuona kwa urahisi mawasiliano kati ya kazi iliyofanywa na nguvu na eneo chini ya pembe ya nguvu dhidi ya uhamisho wake. Kumbuka kwamba, kwa ujumla, moja-dimensional muhimu ni kikomo cha jumla ya infinitesimals, f (x) dx, inayowakilisha eneo la vipande, kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{7}\). Katika Equation\ ref {7.5}, tangu F = -kx ni mstari wa moja kwa moja na mteremko -k, wakati uliopangwa dhidi ya x, “eneo” chini ya mstari ni mchanganyiko wa algebraic wa “maeneo” ya triangular, ambapo “maeneo” juu ya x-axis ni chanya na wale walio chini ni hasi, kama inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{8}\). Ukubwa wa moja ya “maeneo” haya ni nusu tu ya msingi wa pembetatu, pamoja na x-axis, mara urefu wa pembetatu, pamoja na mhimili wa nguvu. (Kuna alama za nukuu karibu na “eneo” kwa sababu bidhaa hii ya msingi ina vitengo vya kazi, badala ya mita za mraba.)
Spring kikamilifu elastic inahitaji 0.54 J ya kazi ili kunyoosha 6 cm kutoka nafasi yake ya usawa, kama katika Kielelezo\(\PageIndex{6b}\). (a) Ni nini spring yake ya mara kwa mara k? (b) Ni kiasi gani cha kazi kinachohitajika ili kunyoosha 6 cm ya ziada?
Mkakati
Kazi “inahitajika” inamaanisha kazi iliyofanywa dhidi ya nguvu ya spring, ambayo ni hasi ya kazi katika Equation\ ref {7.5}, yaani
\[W = \frac{1}{2} k (x_{B}^{2} - x_{A}^{2}) \ldotp \nonumber\]
Kwa sehemu (a), x A = 0 na x B = 6 cm; kwa sehemu (b), x B = 6 cm na x B = 12 cm. Katika sehemu (a), kazi hutolewa na unaweza kutatua kwa mara kwa mara ya spring; kwa sehemu (b), unaweza kutumia thamani ya k, kutoka sehemu (a), kutatua kazi.
Suluhisho
- \ [W = 0.54\; J =\ frac {1} {2} k [(6\; cm) ^ {2} - 0],\; hivyo\; k = 3\; N/cm\ ldotp\ nambari $$
- \ [W =\ frac {1} {2} (3\; N/cm) [(12\; cm) ^ {2} - (6\; cm) ^ {2}],\; hivyo\; k = 1.62\; J\ ldotp\ nonumber $$
Umuhimu
Kwa kuwa kazi iliyofanywa na nguvu ya spring inajitegemea njia, unahitaji tu kuhesabu tofauti katika kiasi\(\frac{1}{2}\) kx 2 kwenye pointi za mwisho. Kumbuka kwamba kazi inahitajika kunyoosha spring kutoka cm 0 hadi 12 ni mara nne ambayo inahitajika kunyoosha kutoka cm 0 hadi 6, kwa sababu kazi hiyo inategemea mraba wa kiasi cha kunyoosha kutoka usawa,\(\frac{1}{2}\) kx 2. Katika hali hii, kazi ya kunyoosha spring kutoka cm 0 hadi 12 pia ni sawa na kazi kwa njia ya composite kutoka 0 hadi 6 cm ikifuatiwa na kunyoosha ziada kutoka cm 6 hadi 12. Kwa hiyo, 4W (0 cm hadi 6 cm) = W (0 cm hadi 6 cm) + W (6 cm hadi 12 cm), au W (6 cm hadi 12 cm) = 3W (0 cm hadi 6 cm), kama tulivyopata hapo juu.
Spring katika Mfano\(\PageIndex{5}\) imesisitizwa 6 cm kutoka urefu wake wa usawa. (a) Je! Nguvu ya spring inafanya kazi nzuri au hasi na (b) ni ukubwa gani?