6.7: Drag Nguvu na Kasi ya mwisho
- Page ID
- 176996
- Express nguvu Drag hesabu
- Eleza matumizi ya nguvu ya Drag
- Eleza kasi ya mwisho
- Tambua kasi ya terminal ya kitu kutokana na wingi wake
Nguvu nyingine ya kuvutia katika maisha ya kila siku ni nguvu ya kuburudisha kitu wakati inahamia kwenye maji (ama gesi au kioevu). Unahisi nguvu Drag wakati hoja mkono wako kwa njia ya maji. Unaweza pia kuhisi kama wewe hoja mkono wako wakati wa upepo mkali. Haraka unasonga mkono wako, ni vigumu kusonga. Wewe kujisikia ndogo Drag nguvu wakati Tilt mkono wako hivyo tu upande huenda kwa njia ya hewa-umepungua eneo la mkono wako kwamba inakabiliwa na mwelekeo wa mwendo.
Drag vikosi
Kama msuguano, nguvu ya drag daima inapinga mwendo wa kitu. Tofauti na msuguano rahisi, nguvu ya drag ni sawia na kazi fulani ya kasi ya kitu katika maji hayo. Kazi hii ni ngumu na inategemea sura ya kitu, ukubwa wake, kasi yake, na maji yaliyo ndani. Kwa vitu vingi vingi kama vile baiskeli, magari, na baseballs zisizohamia polepole mno, ukubwa wa nguvu ya drag\(F_D\) ni sawia na mraba wa kasi ya kitu. Tunaweza kuandika uhusiano huu hesabu kama\(F_D \propto v^2\). Wakati wa kuzingatia mambo mengine, uhusiano huu unakuwa
\[F_{D} = \frac{1}{2} C \rho A v^{2}, \label{6.5}\]
wapi\(C\) mgawo wa drag,\(A\) ni eneo la kitu ambacho kinakabiliwa na maji, na\(\rho\) ni wiani wa maji. (Kumbuka kwamba wiani ni wingi kwa kiasi kitengo.) Equation hii pia inaweza kuandikwa kwa mtindo zaidi ya jumla kama\(F_D = bv^2\), ambapo b ni sawa mara kwa mara na\(0.5C \rho A\). Tumeweka n exponent kwa equations hizi kama 2 kwa sababu wakati kitu ni kusonga kwa kasi ya juu kwa njia ya hewa, ukubwa wa nguvu Drag ni sawia na mraba wa kasi. Kama tutakavyoona katika Fluid Mechanics, kwa chembe ndogo kusonga kwa kasi ya chini katika maji, n exponent ni sawa na 1.
Drag nguvu\(F_D\) ni sawia na mraba wa kasi ya kitu. Kihisabati,
\[F_{D} = \frac{1}{2} C \rho A v^{2},\]
wapi\(C\) mgawo wa drag,\(A\) ni eneo la kitu ambacho kinakabiliwa na maji, na\(\rho\) ni wiani wa maji.
Wanariadha kama vile wabunifu gari kutafuta kupunguza nguvu Drag kupunguza nyakati zao mbio (Kielelezo\(\PageIndex{1A}\)). Aerodynamic kuchagiza ya gari inaweza kupunguza nguvu Drag na hivyo kuongeza gari ya gesi mileage. Thamani ya mgawo wa drag\(C\) imedhamiriwa kwa usawa, kwa kawaida na matumizi ya handaki ya upepo (Kielelezo\(\PageIndex{1B}\)).
Mgawo wa drag unaweza kutegemea kasi, lakini tunadhani kuwa ni mara kwa mara hapa. Meza\(\PageIndex{1}\) orodha baadhi ya coefficients kawaida Drag kwa aina ya vitu. Angalia kwamba mgawo wa drag ni kiasi cha dimensionless. Kwa kasi ya barabara kuu, zaidi ya 50% ya nguvu ya gari hutumiwa kuondokana na drag ya hewa. Kasi ya cruising yenye ufanisi zaidi ya mafuta ni karibu 70—80 km/h (karibu 45—50 mi/h). Kwa sababu hii, wakati wa mgogoro wa mafuta ya 1970 nchini Marekani, kasi ya juu ya barabara iliwekwa saa 90 km/h (55 mi/h).
| Kitu | C |
|---|---|
| Airfoil | 0.05 |
| Toyota Camry | 0.28 |
| Ford Focus | 0.32 |
| Honda Civil | 0.36 |
| Ferrari Testarossa | 0.37 |
| Dodge Ram | 0.43 |
| Sphere | 0.45 |
| Hummer H2 SUV | 0.64 |
| Skydiver (miguu kwanza) | 0.70 |
| Baiskeli | 0.90 |
| Skydiver (usawa) | 1.0 |
| Safu ya gorofa ya mviringo | 1.12 |
Utafiti mkubwa unaendelea katika ulimwengu wa michezo ili kupunguza Drag. Vipande vya mipira ya golf vinatengenezwa upya, kama vile nguo ambazo wanariadha huvaa. Racers baiskeli na baadhi ya waogeleaji na wakimbiaji kuvaa bodysuits kamili. Australia Cathy Freeman alikuwa amevaa suti kamili ya mwili katika Olimpiki ya Sydney 2000 na kushinda medali ya dhahabu katika mbio ya 400-m. Waogeleaji wengi katika michezo ya Olimpiki ya Beijing ya 2008 walivaa suti za mwili (Speedo); huenda ikawa na tofauti katika kuvunja rekodi nyingi za dunia (Kielelezo\(\PageIndex{2}\)). Waogeleaji wengi wasomi (na baiskeli) huvua nywele zao za mwili. Uvumbuzi huo unaweza kuwa na athari za kukata milliseconds katika mbio, wakati mwingine hufanya tofauti kati ya dhahabu na medali ya fedha. Matokeo moja ni kwamba miongozo makini na sahihi lazima kuendelea maendeleo ili kudumisha uadilifu wa mchezo.
Terminal kasi
Baadhi ya hali ya kuvutia iliyounganishwa na sheria ya pili ya Newton hutokea wakati wa kuzingatia madhara ya vikosi vya Drag juu ya kitu cha kusonga. Kwa mfano, fikiria skydiver kuanguka kwa njia ya hewa chini ya ushawishi wa mvuto. Vikosi viwili vinavyotenda juu yake ni nguvu ya mvuto na nguvu ya drag (kupuuza nguvu ndogo ya buoyant). Nguvu ya chini ya mvuto inabakia mara kwa mara bila kujali kasi ambayo mtu anahamia. Hata hivyo, kama kasi ya mtu inavyoongezeka, ukubwa wa nguvu ya drag huongezeka mpaka ukubwa wa nguvu ya drag ni sawa na nguvu ya mvuto, hivyo huzalisha nguvu ya wavu ya sifuri. Nguvu ya sifuri ina maana kwamba hakuna kasi, kama inavyoonekana na sheria ya pili ya Newton. Kwa hatua hii, kasi ya mtu inabakia mara kwa mara na tunasema kwamba mtu amefikia kasi yake ya mwisho (\(v_T\)). Kwa kuwa\(F_D\) ni sawia na kasi squared, skydiver nzito lazima kwenda kwa kasi kwa F D sawa uzito wake. Hebu tuone jinsi hii inafanya kazi nje zaidi quantitatively.
Katika kasi ya terminal,
\[F_{net} = mg - F_{D} = ma = 0 \ldotp\]
Hivyo,
\[mg = F_{D} \ldotp\]
Kutumia equation kwa nguvu Drag, tuna
\[mg = \frac{1}{2} C \rho A v_{T}^{2} \ldotp\]
Kutatua kwa kasi, tunapata
\[v_{T} = \sqrt{\frac{2mg}{\rho CA}} \ldotp\]
Fikiria wiani wa hewa ni\(\rho\) = 1.21 kg/m 3. Kichwa cha kushuka kwa kasi cha kilo 75 kina eneo la msalaba wa takriban A = 0.18 m 2 na mgawo wa drag wa takriban C = 0.70. Tunaona kwamba
\[v_{T} = \sqrt{\frac{2(75\; kg)(9.80\; m/s^{2})}{(1.21\; kg/m^{3})(0.70)(0.18\; m^{2})}} = 98\; m/s = 350\; km/h \ldotp\]
Hii inamaanisha skydiver yenye uzito wa kilo 75 hufikia kasi ya terminal ya karibu 350 km/h wakati wa kusafiri kwenye nafasi ya pike (kichwa cha kwanza), kupunguza eneo hilo na drag yake. Katika nafasi ya kuenea-tai, kwamba kasi terminal inaweza kupungua kwa karibu 200 km/h kama eneo kuongezeka. Kasi hii ya mwisho inakuwa ndogo sana baada ya kufungua parachute.
Kupata kasi terminal ya 85-kg skydiver kuanguka katika nafasi kuenea-tai.
Mkakati
Katika kasi ya mwisho,\(F_{net} = 0\). Hivyo, nguvu ya drag kwenye skydiver lazima iwe sawa na nguvu ya mvuto (uzito wa mtu). Kutumia equation ya nguvu ya Drag, tunapata\(mg = \frac{1}{2} \rho C A v^{2}\).
Suluhisho
Kasi ya terminal\(v_T\) inaweza kuandikwa kama
\[v_{T} = \sqrt{\frac{2mg}{\rho CA}} = \sqrt{\frac{2(85\; kg)(9.80\; m/s^{2})}{(1.21\; kg/m^{3})(1.0)(0.70\; m^{2})}} = 44\; m/s \ldotp\]
Umuhimu
Matokeo haya ni sambamba na thamani ya v T zilizotajwa hapo awali. Skydiver 75-kg kwenda miguu kwanza alikuwa na kasi terminal ya v T = 98 m/s. vunja chini lakini alikuwa ndogo frontal eneo na hivyo Drag ndogo kutokana na hewa.
Kupata kasi terminal ya 50-kg skydiver kuanguka katika kuenea-tai mtindo.
Ukubwa wa kitu kinachoanguka kwa njia ya hewa hutoa matumizi mengine ya kuvutia ya drag ya hewa. Ikiwa utaanguka kutoka kwenye tawi la 5-m-juu la mti, utaweza kuumiza - labda kuvunja mfupa. Hata hivyo, squirrel ndogo hufanya hivyo wakati wote, bila kuumiza. Huna kufikia kasi ya terminal kwa umbali mfupi sana, lakini squirrel hufanya.
Nukuu inayofuata ya kuvutia juu ya ukubwa wa wanyama na kasi ya mwisho ni kutoka kwa insha ya 1928 na mwanabiolojia wa Uingereza, J.B. S. Haldane, iliyoitwa “On Kuwa Size Right.”
“Kwa panya na mnyama mdogo, [mvuto] hutoa hatari yoyote. Unaweza kuacha panya chini ya shimoni la mgodi wa elfu; na, kwa kuwasili chini, hupata mshtuko mdogo na huenda mbali, ikiwa ni pamoja na kwamba ardhi ni laini sana. Panya huuawa, mtu amevunjika, na farasi hupasuka. Kwa upinzani uliowasilishwa kwa harakati na hewa ni sawa na uso wa kitu cha kusonga. Kugawanya urefu wa mnyama, upana, na urefu wa kila mmoja kwa kumi; uzani wake umepungua hadi elfu, lakini uso wake ni mia tu. Hivyo upinzani wa kuanguka katika kesi ya mnyama mdogo ni kiasi mara kumi zaidi kuliko nguvu ya kuendesha gari.”
Utegemezi wa juu wa quadratic wa hewa juu ya kasi hauna kushikilia ikiwa kitu ni chache sana, kinaenda polepole sana, au iko katikati ya denser kuliko hewa. Kisha tunaona kwamba nguvu ya Drag ni sawia tu na kasi. Uhusiano huu unatolewa na sheria ya Stokes.
Kwa kitu spherical kuanguka katika kati, nguvu Drag ni
\[F_{s} = 6 \pi r \eta v, \label{6.6}\]
wapi\(r\) Radius ya kitu,\(\eta\) ni mnato wa maji, na\(v\) ni kasi ya kitu.
Mifano nzuri ya sheria ya Stokes hutolewa na microorganisms, poleni, na chembe za vumbi. Kwa sababu kila moja ya vitu hivi ni ndogo sana, tunaona kwamba wengi wa vitu hivi husafiri bila kusaidiwa tu kwa kasi ya mara kwa mara (terminal). Velocities ya terminal kwa bakteria (ukubwa kuhusu\ (1\,\ mu m) inaweza kuwa karibu\ (2\,\ mu m/s Ili kuhamia kwa kasi zaidi, bakteria nyingi huogelea kwa kutumia flagella (organelles umbo kama mikia midogo) ambazo zinaendeshwa na motors ndogo zilizoingia kwenye seli.
Vimbi katika ziwa vinaweza kuhamia kwa kasi kubwa ya terminal (takriban 5\(\mu\) m/s), hivyo inaweza kuchukua siku kwa ajili yake kufikia chini ya ziwa baada ya kuwekwa juu ya uso.
Kama sisi kulinganisha wanyama wanaoishi katika ardhi na wale walio katika maji, unaweza kuona jinsi Drag ina kusukumwa mageuzi. Samaki, pomboo, na hata nyangumi wakubwa huelekezwa kwa umbo ili kupunguza vikosi vya drag. Ndege ni spishi zinazohamia na zinazohamia zinazoruka umbali mkubwa mara nyingi huwa na sifa maalum kama vile shingo ndefu. Makundi ya ndege huruka kwa sura ya kichwa cha mkuki kama kundi linaunda muundo ulioelekezwa (Kielelezo\(\PageIndex{3}\)). Kwa binadamu, mfano mmoja muhimu wa kurahisisha ni sura ya mbegu, ambayo inahitaji kuwa na ufanisi katika matumizi yao ya nishati.
Katika maandamano ya hotuba, tunafanya vipimo vya nguvu ya drag kwenye vitu tofauti. Vitu vinawekwa kwenye hewa ya sare iliyoundwa na shabiki. Tumia namba ya Reynolds na mgawo wa drag.
Video\(\PageIndex{1}\): Mitambo ya maji - Drag nguvu - Flow simulation
Calculus ya Vikosi vya msuguano Velocyty-Tegemezi
Wakati mwili unapopiga juu ya uso, nguvu ya msuguano juu yake ni takriban mara kwa mara na imetolewa na\(\mu_{k}N\). Kwa bahati mbaya, nguvu ya msuguano juu ya mwili inayohamia kupitia kioevu au gesi haifanyi hivyo tu. Nguvu hii ya drag kwa ujumla ni kazi ngumu ya kasi ya mwili. Hata hivyo, kwa mwili unaohamia kwenye mstari wa moja kwa moja kwa kasi ya wastani kwa njia ya kioevu kama maji, nguvu ya msuguano inaweza mara nyingi kuhesabiwa na
\[f_{R} = -bv,\]
ambapo b ni mara kwa mara ambayo thamani inategemea vipimo na sura ya mwili na mali ya kioevu, na\(v\) ni kasi ya mwili. Hali mbili ambazo nguvu ya msuguano inaweza kuwakilishwa equation hii ni motorboat inayohamia kupitia maji na kitu kidogo kinachoanguka polepole kupitia kioevu.
Hebu fikiria kitu kinachoanguka kupitia kioevu. Mchoro wa bure wa mwili wa kitu hiki na mwelekeo mzuri chini unaonyeshwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{4}\). Sheria ya pili ya Newton katika mwelekeo wima inatoa equation tofauti
\[mg - bv = m \frac{dv}{dt},\]
ambapo tumeandika kuongeza kasi kama\(\frac{dv}{dt}\). Kama v kuongezeka, nguvu msuguano\(–bv\) kuongezeka mpaka mechi mg. Katika hatua hii, hakuna kasi na kasi inabakia mara kwa mara katika kasi ya terminal v T. Kutoka equation uliopita,
\[mg - bv_{T} = 0,\]
kwa hivyo
\[v_{T} = \frac{mg}{b} \ldotp\]
Tunaweza kupata kasi ya kitu kwa kuunganisha equation tofauti kwa\(v\). Kwanza, sisi upya masharti katika equation hii ili kupata
\[\frac{dv}{g- \left(\dfrac{b}{m}\right)v} = dt \ldotp \label{eq20}\]
Kutokana kwamba\(v = 0\) katika\ 9t = 0\), ushirikiano wa Equation\ ref {eq20} mavuno
\[\int_{0}^{v} \frac{dv'}{g- \left(\dfrac{b}{m}\right)v'} = \int_{0}^{t} dt',\]
au
\[- \frac{m}{b} \ln \left(g - \dfrac{b}{m} v' \right) \Bigg|_{0}^{v} = t' \big|_{0}^{t} ,\]
wapi\(v'\) na\(t'\) ni dummy vigezo ya ushirikiano. Kwa mipaka iliyotolewa, tunaona
\[- \frac{m}{b} [ \ln \left(g - \dfrac{b}{m} v \right) - \ln g] = t \ldotp\]
Tangu\(\ln A − \ln B = \ln (\left(\frac{A}{B}\right)\), na\(\ln (\left(\frac{A}{B}\right) = x\) ina maana\(e^x = \dfrac{A}{B}\), sisi kupata
\[\frac{g - \left(\dfrac{bv}{m}\right)}{g} = e^{- \frac{bt}{m}},\]
na
\[v = \frac{mg}{b} \big( 1 - e^{- \frac{bt}{m}} \big) \ldotp\]
Kumbuka kwamba kama t →\(\infty\), v →\(\frac{mg}{b}\) = v T, ambayo ni kasi ya mwisho.
Nafasi wakati wowote inaweza kupatikana kwa kuunganisha equation kwa v. Kwa v =\(\frac{dy}{dt}\),
\[dy = \frac{mg}{b} \big( 1 - e^{- \frac{bt}{m}} \big)dt \ldotp\]
Kutokana y = 0 wakati t = 0,
\[\int_{0}^{y} dy' = \frac{mg}{b} \int_{0}^{t} \big( 1 - e^{- \frac{bt}{m}} \big)dt',\]
ambayo samlar kwa
\[y = \frac{mg}{b} t + \frac{m^{2}g}{b^{2}} \big( e^{- \frac{bt}{m}} - 1 \big) \ldotp\]
motorboat ni kusonga katika ziwa kwa kasi v 0 wakati motor yake ghafla freezes juu na ataacha. Mashua kisha hupungua chini ya nguvu ya msuguano\(f_R = −bv\).
- Je, ni kasi na nafasi ya mashua kama kazi ya muda?
- Ikiwa mashua hupungua kutoka 4.0 hadi 1.0 m/s katika s 10, ni umbali gani unasafiri kabla ya kuacha?
Suluhisho
- Pamoja na motor kusimamishwa, nguvu pekee ya usawa kwenye mashua ni f R = -bv, hivyo kutoka sheria ya pili ya Newton, $$m\ frac {dv} {dt} = -bv, $$ ambayo tunaweza kuandika kama $$\ frac {dv} {v} = -\ frac {b} {m} dt\ lDOTP $Kuunganisha usawa huu kati ya wakati sifuri wakati kasi ni v 0 na wakati t wakati kasi ni v, tuna $$\ int_ {0} ^ {v}\ frac {dv'} {v'} = -\ frac {b} {m}\ int_ {0} ^ {t} dt'\ ldotp $$ Hivyo, $$\ ln\ frac {v} {v} {v_ {0}} = -\ frac {b} m} t, $ambayo $$, tangu lNa = x inamaanisha e x = A, tunaweza kuandika hii kama $$v = v_ {0} e^ {-\ frac {bt} {m}}\ ldOTP $Sasa kutoka ufafanuzi wa kasi, $$\ frac {dx} {dt} = v_ {0} e^ {-\ frac {bt} {m}}, $$hivyo tuna $$ dx = v_ {0} e^ {-\ frac {bt} {m}} dt\ lDotP$Kwa nafasi ya awali sifuri, tuna $$\ int_ {0} e^ {x} dx' = v_ {0}\ int_ {0} ^ {t} e^ {t} e^ {t} e^ {x} dx' = v_ {0}\ int_ {0} ^ {t} e^ {t} e ^ {-\ frac {bt'} {m}} dt', $$na $$x = -\ frac {mv_ {0}} {b} e^ {-\ frac {bt} {m} {m}}\ Big|_ {0} ^ {t} =\ frac {mv_ {0}} {b}\ big (1 - e^ -\\ frac {bt} {b}\ big (1 - e^ -\ Frac {bt} m}}\ big)\ ldOTP $kama ongezeko la muda,\(e^{- \frac{bt}{m}}\) → 0, na nafasi ya mashua inakaribia thamani ya kikwazo $$x_ {max} =\ frac {mv_ {0}} {b}\ ldOTP $$Ingawa hii inatuambia kwamba mashua inachukua muda usio na kipimo kufikia x max, mashua huacha kwa ufanisi baada ya muda unaofaa. Kwa mfano, katika t =\(\frac{10m}{b}\), tuna $$v = v_ {0} e^ {-10}\ simeq 4.5\ mara 10^ {-5} v_ {0}, $$ ambapo sisi pia tuna $$x = x_ {max}\ kubwa (1 - e ^ {-10}\ kubwa)\ simeq 0.99995x_ {max}\ lDOTP $Kwa hiyo, mashua 'S kasi na msimamo kimsingi kufikiwa maadili yao ya mwisho.
- Kwa v 0 = 4.0 m/s na v = 1.0 m/s, tuna 1.0 m/s = (4.0 m/s)\(e^{(- \frac{bt}{m})(10\; s)}\), hivyo $$\ ln 0.25 = -\ ln 4.0 = -\ frac {b} {m} {m} (10\; s), $$na $$\ frac {b} {m} =\ frac {1} {10}\ ln 4.0\; s^ {-1} = 0.14\; s^ {1} -1}\ LdOTP $Sasa nafasi ya kikwazo cha mashua ni $$x_ {max} =\ frac {mv_ {0}} {b} =\ frac {4.0\; m/s} {0.14\; s^ {-1}}} = 29\; m\ ldotp$$
Umuhimu
Katika mifano miwili iliyopita, tulipata maadili ya “kupunguza”. Kasi ya mwisho ni sawa na kasi ya upeo, ambayo ni kasi ya kitu kilichoanguka baada ya muda mrefu (kiasi) kilichopita. Vilevile, umbali wa kikomo wa mashua ni umbali mashua itasafiri baada ya muda mrefu kupita. Kutokana na mali ya kuoza kielelezo, wakati kushiriki kufikia mojawapo ya maadili haya ni kweli si muda mrefu sana (hakika si kiasi usio wa muda!) lakini hupatikana haraka kwa kuchukua kikomo kwa infinity.
Tuseme nguvu ya kupinga ya hewa kwenye skydiver inaweza kuhesabiwa na\(f = −bv^2\). Ikiwa kasi ya terminal ya skydiver 100-kg ni 60 m/s, thamani ya b ni nini?