3.8: Kupata kasi na Uhamisho kutoka kwa kasi

Last updated
Save as PDF

Page ID: 176340

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Malengo ya kujifunza

Pata equations kinematic kwa kuongeza kasi ya mara kwa mara kwa kutumia calculus muhimu.
Tumia uundaji muhimu wa equations ya kinematic katika kuchambua mwendo.
Kupata fomu ya kazi ya kasi dhidi ya muda kutokana na kazi kuongeza kasi.
Kupata fomu ya kazi ya nafasi dhidi ya muda kutokana na kazi kasi.

Sehemu hii akubali una background ya kutosha katika calculus kuwa ukoo na ushirikiano. Katika Velocity Instantaneous na kasi na Wastani na Instantaneous kuongeza kasi sisi ilianzisha kazi kinematic ya kasi na kuongeza kasi kwa kutumia derivative. Kwa kuchukua derivative ya kazi msimamo tuligundua kasi kazi, na vivyo hivyo kwa kuchukua derivative ya kazi kasi tuligundua kazi kuongeza kasi. Kutumia calculus muhimu, tunaweza kufanya kazi nyuma na kuhesabu kazi ya kasi kutoka kwa kazi ya kuongeza kasi, na kazi ya msimamo kutoka kazi ya kasi.

Equations Kinematic kutoka Integral Calculus

Hebu tuanze na chembe na kuongeza kasi a (t) ni kazi inayojulikana ya wakati. Tangu wakati derivative ya kazi kasi ni kuongeza kasi,

\[\frac{d}{dt} v(t) = a(t),\]

tunaweza kuchukua muhimu kwa muda usiojulikana wa pande zote mbili, kutafuta

\[\int \frac{d}{dt} v(t) dt = \int a(t) dt + C_{1},\]

ambapo C ₁ ni mara kwa mara ya ushirikiano. Tangu$\int \frac{d}{dt} v(t) dt = v(t)$, kasi hutolewa na

\[v(t) = \int a(t) dt + C_{1} \ldotp \label{3.18}\]

Vile vile, derivative wakati wa kazi msimamo ni kazi kasi,

\[\frac{d}{dt} x(t) = v(t) \ldotp\]

Hivyo, tunaweza kutumia manipulations sawa hisabati sisi tu kutumika na kupata

\[x(t) = \int v(t) dt + C_{2}, \label{3.19}\]

ambapo C ₂ ni mara kwa mara ya pili ya ushirikiano.

Tunaweza hupata milinganyo kinematic kwa kuongeza kasi ya mara kwa mara kwa kutumia integrals hizi. Kwa (t) = a, mara kwa mara, na kufanya ushirikiano katika Equation\ ref {3.18}, tunaona

\[v(t) = \int a dt + C_{1} = at + C_{1} \ldotp\]

Ikiwa kasi ya awali ni v (0) = v ₀, basi

\[v_{0} = 0 + C_{1} \ldotp\]

Kisha, C ₁ = v ₀ na

\[v(t) = v_{0} + at,\]

ambayo ni Equation 3.5.12. Kubadilisha maneno haya katika Equation\ ref {3.19} inatoa

\[x(t) = \int (v_{0} + at) dt + C_{2} \ldotp\]

Kufanya ushirikiano, tunaona

\[x(t) = v_{0} t + \frac{1}{2} at^{2} + C_{2} \ldotp\]

Kama x (0) = x ₀, tuna

\[x_{0} = 0 + 0 + C_{2} \ldotp\]

hivyo, C ₂ = x ₀. Kubadilisha nyuma katika equation kwa x (t), sisi hatimaye

\[x(t) = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} at^{2} \ldotp\]

ambayo ni Equation 3.5.17.

Mfano 3.17: Mwendo wa Motorboat

Motorboat inasafiri kwa kasi ya mara kwa mara ya 5.0 m/s inapoanza kupungua ili kufika kwenye kizimbani. Kuharakisha kwake ni (t) =$-\frac{1}{4}$ t m/s ². (a) Kazi ya kasi ya motorboat ni nini? (b) Wakati gani kasi hufikia sifuri? (c) ni nafasi ya kazi ya motorboat nini? (d) Je, ni uhamisho wa motorboat kutoka wakati unapoanza kupungua hadi wakati kasi ni sifuri? (e) Graph kasi na nafasi kazi.

Mkakati

(a) Ili kupata kazi ya kasi tunapaswa kuunganisha na kutumia hali ya awali ili kupata mara kwa mara ya ushirikiano. (b) Sisi kuweka kazi kasi sawa na sifuri na kutatua kwa t. (c) Vile vile, ni lazima kuunganisha ili kupata nafasi ya kazi na kutumia hali ya awali ili kupata mara kwa mara ya ushirikiano. (d) Kwa kuwa nafasi ya awali inachukuliwa kuwa sifuri, tunapaswa tu kutathmini kazi ya msimamo saa t = 0.

Suluhisho

Tunachukua t = 0 kuwa wakati ambapo mashua huanza kupungua.

Kutoka kwa fomu ya kazi ya kuongeza kasi tunaweza kutatua Equation\ ref {3.18} kupata v (t): $$v (t) =\ int a (t) dt + C_ {1} =\ int -\ frac {1} {4} tdt + C_ {1} = -\ frac {1} {8} t^ {2 +} C_ {1}\ lDotP$AT t = 0 tuna v (0) = 5.0 m/s = 0 + C _{1, hivyo C ₁} = 5.0 m/s au v (t) = 5.0 m/s -$\frac{1}{8}$ t ².
v (t) = 0 = 5.0 m/s -$\frac{1}{8}$ t ² (\ Mshale wa kulia\) t = 6.3 s
Tatua Equation\ ref {3.19}: $$x (t) =\ int v (t) dt + C_ {2} =\ int (5.0 -\ frac {1} {8} t^ {2}) dt + C_ {2} = 5.0t -\ frac {1} {24} t^ {3} + C_ {2}\ lDOTP $katika t = 0, sisi kuweka x (0) = 0 = x ₀, tangu sisi ni nia tu katika makazi yao kutoka wakati mashua kuanza decelerate. Tuna $$x (0) = 0 = C_ {2}\ ldOTP $Kwa hiyo, equation kwa nafasi ni $$x (t) = 5.0t -\ frac {1} {24} t^ {3}\ ldotp $$
Kwa kuwa nafasi ya kwanza inachukuliwa kuwa sifuri, tunapaswa tu kutathmini x (t) wakati kasi ni sifuri. Hii hutokea kwa t = 6.3 s Kwa hiyo, makazi yao ni $$x (6.3) = 5.0 (6.3) -\ frac {1} {24} (6.3) ^ {3} = 21.1\; m\ ldotp$$

Grafu A ni njama ya kasi katika mita kwa sekunde kama kazi ya muda katika sekunde. Velocity ni mita tano kwa sekunde mwanzoni na hupungua hadi sifuri. Grafu B ni njama ya nafasi katika mita kama kazi ya muda kwa sekunde. Nafasi ni sifuri mwanzoni, kuongezeka kufikia kiwango cha juu kati ya sekunde sita na saba, na kisha kuanza kupungua. — Kielelezo$\PageIndex{1}$: (a) Velocity ya motorboat kama kazi ya muda. Motorboat inapungua kasi yake hadi sifuri katika 6.3 s Wakati mwingine zaidi kuliko hii, kasi inakuwa hasi-maana, mashua ni kugeuza mwelekeo. (b) Nafasi ya motorboat kama kazi ya muda. Katika t = 6.3 s, kasi ni sifuri na mashua imesimama. Wakati mwingine zaidi kuliko hii, kasi inakuwa hasi - maana, kama mashua inaendelea hoja na kuongeza kasi sawa, ni reverses mwelekeo na vichwa nyuma kuelekea ambapo asili.

Umuhimu

Kazi ya kuongeza kasi ni ya mstari kwa wakati hivyo ushirikiano unahusisha polynomials rahisi. Katika Kielelezo$\PageIndex{1}$, tunaona kwamba kama sisi kupanua ufumbuzi zaidi ya uhakika wakati kasi ni sifuri, kasi inakuwa hasi na mashua reverses mwelekeo. Hii inatuambia kwamba ufumbuzi unaweza kutupa habari nje ya maslahi yetu ya haraka na tunapaswa kuwa makini wakati wa kutafsiri.

Zoezi 3.8

Chembe huanza kutoka kupumzika na ina kazi ya kuongeza kasi$a(t)=\left(5-\left(10 \frac{1}{s}\right) t\right) \frac{m}{s^{2}}$. (a) Kazi ya kasi ni nini? (b) Kazi ya msimamo ni nini? (c) Ni lini kasi sifuri?