3.7: Kuanguka kwa bure

Malengo ya kujifunza

• Matumizi equations kinematic na vigezo y na g kuchambua free-kuanguka mwendo.
• Eleza jinsi maadili ya msimamo, kasi, na mabadiliko ya kasi wakati wa kuanguka kwa bure.
• Kutatua kwa nafasi, kasi, na kuongeza kasi kama kazi ya wakati wakati kitu ni katika kuanguka bure.

Matumizi ya kuvutia ya Equation 3.3.2 kupitia Equation 3.5.22 inaitwa kuanguka bure, ambayo inaelezea mwendo wa kitu kinachoanguka katika uwanja wa mvuto, kama vile karibu na uso wa Dunia au vitu vingine vya mbinguni vya ukubwa wa sayari. Hebu tuchukue mwili unaanguka kwa mstari wa moja kwa moja kwa uso, hivyo mwendo wake ni moja-dimensional. Kwa mfano, tunaweza kukadiria kina cha shimoni la mgodi wima kwa kuacha mwamba ndani yake na kusikiliza mwamba kugonga chini. Lakini “kuanguka,” katika mazingira ya kuanguka kwa bure, haimaanishi kuwa mwili unahamia kutoka urefu mkubwa hadi urefu mdogo. Ikiwa mpira unatupwa juu, usawa wa kuanguka kwa bure hutumika sawa na kupanda kwake pamoja na ukoo wake.

Mvuto

Ukweli wa ajabu zaidi na usiotarajiwa juu ya vitu vya kuanguka ni kwamba ikiwa upinzani wa hewa na msuguano hauna maana, basi mahali fulani vitu vyote vinaanguka kuelekea katikati ya Dunia na kuongeza kasi ya mara kwa mara, bila kujitegemea kwa wingi wao. Ukweli huu wa majaribio haukutarajiwa kwa sababu tumezoea madhara ya upinzani wa hewa na msuguano kwamba tunatarajia vitu vya mwanga kuanguka polepole kuliko vizito. Hadi Galileo Galilei (1564—1642) alipothibitisha vinginevyo, watu waliamini kuwa kitu kikubwa kina kasi zaidi katika kuanguka huru. Sasa tunajua hii sio kesi. Kutokuwepo kwa upinzani wa hewa, vitu nzito hufika chini wakati huo huo kama vitu nyepesi wakati imeshuka kutoka urefu sawa Kielelezo\(\PageIndex{1}\).

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Nyundo na manyoya huanguka na kuongeza kasi ya mara kwa mara ikiwa upinzani wa hewa ni mdogo. Hii ni tabia ya jumla ya mvuto sio ya kipekee kwa Dunia, kama mwanaanga David R. Scott alionyesha mwaka 1971 kwenye Mwezi, ambapo kasi ya mvuto ni 1.67 m/s ² tu na hakuna anga.

Katika ulimwengu wa kweli, upinzani wa hewa unaweza kusababisha kitu nyepesi kuanguka polepole kuliko kitu kikubwa cha ukubwa sawa. Mpira wa tenisi unafikia chini baada ya baseball imeshuka kwa wakati mmoja. (Inaweza kuwa vigumu kuchunguza tofauti kama urefu si mkubwa.) Upinzani wa hewa unapinga mwendo wa kitu kupitia hewa, na msuguano kati ya vitu—kama vile kati ya nguo na chute ya kufulia au kati ya jiwe na bwawa ambalo linashuka-pia hupinga mwendo baina yao.

Kwa hali nzuri ya sura hizi chache za kwanza, kitu kinachoanguka bila upinzani wa hewa au msuguano kinaelezwa kuwa katika kuanguka kwa bure. Nguvu ya mvuto husababisha vitu kuanguka kuelekea katikati ya Dunia. Kwa hiyo kuongeza kasi ya vitu vya kuanguka bure huitwa kuongeza kasi kutokana na mvuto. Kuharakisha kutokana na mvuto ni mara kwa mara, ambayo ina maana tunaweza kutumia equations kinematic kwa kitu chochote kuanguka ambapo upinzani hewa na msuguano ni duni. Hii inatufungua darasa pana la hali ya kuvutia.

Kuharakisha kutokana na mvuto ni muhimu sana kwamba ukubwa wake unapewa ishara yake mwenyewe, g. ni mara kwa mara katika eneo lolote duniani na ina thamani ya wastani

\[g = 9.81\; m/s^{2}\; (or\; 32.2\; ft/s^{2}) \ldotp\]

Ingawa g inatofautiana kutoka 9.78 m/s ² hadi 9.83 m/s ², kulingana na latitude, urefu, miundo ya msingi ya kijiolojia, na topografia ya ndani, hebu tutumie thamani ya wastani ya 9.8 m/s ² iliyozunguka kwa takwimu mbili muhimu katika maandishi haya isipokuwa isipokuwa maalum vinginevyo. Kupuuza madhara haya kwa thamani ya g kutokana na msimamo juu ya uso wa Dunia, pamoja na madhara yanayotokana na mzunguko wa Dunia, tunachukua mwelekeo wa kuongeza kasi kutokana na mvuto kuwa chini (kuelekea katikati ya Dunia). Kwa kweli, mwelekeo wake unafafanua kile tunachokiita wima. Kumbuka kwamba kama kuongeza kasi katika equations kinematic ina thamani +g au -g inategemea jinsi tunavyofafanua mfumo wetu wa kuratibu. Ikiwa tunafafanua mwelekeo wa juu kama chanya, basi = -g = -9.8 m/s ², na ikiwa tunafafanua mwelekeo wa chini kama chanya, basi = g = 9.8 m/s ².

Mwendo mmoja wa mwelekeo unaohusisha Mvuto

Njia bora ya kuona vipengele vya msingi vya mwendo unaohusisha mvuto ni kuanza na hali rahisi na kisha kuendelea kuelekea ngumu zaidi. Kwa hiyo, tunaanza kwa kuzingatia mwendo wa moja kwa moja juu na chini bila upinzani wa hewa au msuguano. Dhana hizi zinamaanisha kasi (kama kuna yoyote) ni wima. Kama kitu imeshuka, tunajua kasi ya awali ni sifuri wakati katika kuanguka bure. Wakati kitu kushoto kuwasiliana na chochote uliofanyika au kurusha, kitu ni katika kuanguka bure. Wakati kitu kinatupwa, kina kasi sawa ya awali katika kuanguka kwa bure kama ilivyokuwa kabla ya kutolewa. Wakati kitu huja katika kuwasiliana na ardhi au kitu kingine chochote, ni tena katika kuanguka bure na kuongeza kasi yake ya g ni halali tena. Chini ya hali hizi, mwendo ni moja-dimensional na ina kasi ya mara kwa mara ya ukubwa g.Tunawakilisha makazi yao ya wima na ishara y.

Ulinganisho wa Kinematic kwa Vitu katika kuanguka kwa bure

Tunadhani hapa kwamba kuongeza kasi ni sawa na -g (pamoja na mwelekeo mzuri zaidi).

\[v =v _{0} - gt \label{3.15}\]

\[y = y_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} gt^{2} \label{3.16}\]

\[v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g(y - y_{0}) \label{3.17}\]

Kutatua matatizo Mkakati: Free Fall

1. Chagua juu ya ishara ya kuongeza kasi ya mvuto. Katika Equation\ ref {3.15} kupitia Equation\ ref {3.17}, kuongeza kasi g ni hasi, ambayo inasema mwelekeo chanya ni juu na mwelekeo hasi ni chini. Katika baadhi ya matatizo, inaweza kuwa na manufaa kuwa na kuongeza kasi g kama chanya, kuonyesha mwelekeo chanya ni chini.
2. Chora mchoro wa tatizo. Hii husaidia taswira ya fizikia inayohusika.
3. Rekodi maarifa na haijulikani kutoka kwa maelezo ya tatizo. Hii husaidia kubuni mkakati wa kuchagua equations sahihi kutatua tatizo.
4. Chagua ni ipi ya Equation\ ref {3.15} kupitia Equation\ ref {3.17} itumike kutatua kwa haijulikani.

Mfano 3.14: Kuanguka kwa bure kwa mpira

Kielelezo\(\PageIndex{2}\) kinaonyesha nafasi za mpira, kwa vipindi vya 1-s, na kasi ya awali ya 4.9 m/s chini, ambayo inatupwa kutoka juu ya jengo la urefu wa 98-m. (a) Ni muda gani unapita kabla ya mpira kufikia ardhi? (b) Ni kasi gani inapofika chini?

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): nafasi na kasi katika vipindi 1-s ya mpira kutupwa chini kutoka jengo mrefu katika 4.9 m/s.

Mkakati

Chagua asili juu ya jengo na mwelekeo mzuri juu na mwelekeo hasi chini. Ili kupata wakati ambapo nafasi ni -98 m, tunatumia Equation\ ref {3.16}, na y _{0 = 0}, v ₀ = -4.9 m/s, na g = 9.8 m/s ².

Suluhisho

1. Badilisha maadili yaliyotolewa katika equation: $$y = y_ {0} + v_ {0} t -\ frac {1} {2} gt^ {2} $$ $-98.0\; m = 0 - (4.9\; m/s) t -\ frac {1} {2} {2} (9.8\; m/s^ {2}) t^ {2}\ LdOTP$Hii rahisi fies kwa $$t^ {2} + t - 20 = 0\ lDotP$$Hii ni equation quadratic na mizizi t = -5.0 s na t = 4.0 s. mizizi chanya ni moja sisi wanavutiwa na, tangu wakati t = 0 ni wakati ambapo mpira hutolewa juu ya jengo. (Wakati t = -5.0 s inawakilisha ukweli kwamba mpira uliotupwa juu kutoka ardhini ungekuwa hewani kwa 5.0 s wakati ulipopita na juu ya jengo kusonga chini kwa 4.9 m/s.)
2. Kutumia Equation\ ref {3.15}, tuna $$v =v _ {0} - gt = -4.9\; m/s - (9.8\; m/s^ {2}) (4.0\; s) = -44.1\; m/s\ ldotp$$

Umuhimu

Kwa hali ambapo mizizi miwili inapatikana kutoka kwa usawa wa quadratic wakati wa kutofautiana, lazima tuangalie umuhimu wa kimwili wa mizizi yote ili kuamua ni sahihi. Kwa kuwa t = 0 inalingana na wakati ambapo mpira ulitolewa, mzizi hasi ungeendana na muda kabla ya mpira kutolewa, ambao hauna maana ya kimwili. Wakati mpira unapopiga ardhi, kasi yake sio sifuri mara moja, lakini mara tu mpira unapoingiliana na ardhi, kasi yake sio g na huharakisha kwa thamani tofauti kwa muda mfupi hadi kasi ya sifuri. Tatizo hili linaonyesha umuhimu wa kuanzisha mfumo sahihi wa kuratibu na kuweka ishara za g katika milinganyo ya kinematic thabiti.

Mfano 3.15: Mwendo wa Wima wa Baseball

kugonga hits baseball moja kwa moja zaidi katika sahani nyumbani na mpira ni hawakupata 5.0 s baada ni akampiga Kielelezo\(\PageIndex{3}\). (a) kasi ya awali ya mpira ni nini? (b) Urefu wa kiwango cha juu mpira unafikia nini? (c) Inachukua muda gani kufikia urefu wa juu? (d) Ni nini kuongeza kasi ya juu ya njia yake? (e) Ni kasi gani ya mpira wakati ni hawakupata? Kudhani mpira ni hit na hawakupata katika eneo moja.

Kielelezo\(\PageIndex{3}\): baseball hit moja kwa moja juu ni hawakupata na catcher 5.0 s baadaye.

Mkakati

Chagua mfumo wa kuratibu na mhimili wa y mzuri ambao ni sawa juu na wenye asili yaani mahali ambapo mpira hupigwa na kukamatwa.

Suluhisho

1. Ulinganisho\ ref {3.16} anatoa $y = y_ {0} + v_ {0} t -\ frac {1} {2} gt^ {2} $$ $0 = 0 + v_ {0} (5.0\; s) -\ frac {1} {2} (9.8\; m/s^ {2}) (5.0\; s) ^ {2}\ ldotpu $$ambayo inatoa v ₀ = 24.5 m/sec.
2. Katika urefu wa juu, v = 0. Kwa v ₀ = 24.5 m/s, Equation\ ref {3.17} inatoa $v^ {2} = v_ {0} ^ {2} - 2 g (y - y_ {0}) $$ $0 = (24.5\; m/s^ {2}) - 2 (9.8\; m/s^ {2}) (y - 0) $$au $$y = 30.6\; m\ ldotp $$
3. Ili kupata wakati ambapo v = 0, tunatumia Equation\ ref {3.15}: $$v = v_ {0} - gt $$ $0 = 24.. 5\; m/s - (9.8\; m/s^ {2}) t\ lDOTP $Hii inatoa t = 2.5 s Tangu mpira unaongezeka kwa 2.5 s, wakati wa kuanguka ni 2.5 s.
4. Kuharakisha ni 9.8 m/s ² kila mahali, hata wakati kasi ni sifuri juu ya njia. Ingawa kasi ni sifuri juu, inabadilika kwa kiwango cha 9.8 m/s ² chini.
5. Kasi katika t = 5.0 s inaweza kuamua na Equation\ ref {3.15}: $$\ kuanza {mgawanyiko} v & = v_ {0} - gt\\ & = 24.5\; m/s - 9.8\; m/s {2} (5.0\; s)\\ & = -24.5\; m/s\ ldotp\ mwisho {mgawanyiko} $$

Umuhimu

Mpira unarudi kwa kasi uliyokuwa nayo ilipoondoka. Hii ni mali ya jumla ya kuanguka kwa bure kwa kasi yoyote ya awali. Tulitumia equation moja kwenda kutoka kutupa kukamata, na hakuwa na kuvunja mwendo katika makundi mawili, juu na chini. Sisi ni kutumika kufikiria athari ya mvuto ni kujenga kuanguka bure chini kuelekea Dunia. Ni muhimu kuelewa, kama ilivyoonyeshwa katika mfano huu, kwamba vitu vinavyohamia juu mbali na Dunia pia viko katika hali ya kuanguka kwa bure.

Zoezi 3.7

Chunk ya barafu huvunja glacier na huanguka 30.0 m kabla ya kugonga maji. Kutokana na kuanguka kwa uhuru (hakuna upinzani wa hewa), inachukua muda gani ili kugonga maji? Ni kiasi gani kinachoongezeka kwa kasi, kasi ya chunk ya barafu au umbali wake uliosafiri?

Mfano 3.16: Nyongeza ya roketi

roketi ndogo na nyongeza blasts mbali na vichwa moja kwa moja kwenda juu. Wakati wa urefu wa kilomita 5.0 na kasi ya 200.0 m/s, hutoa nyongeza yake. (a) Urefu wa juu ambao nyongeza hupata nini? (b) Je! Ni kasi gani ya nyongeza kwa urefu wa kilomita 6.0? Puuza upinzani wa hewa.

Kielelezo\(\PageIndex{4}\): roketi hutoa nyongeza yake kwa urefu uliopewa na kasi. Je, nyongeza huenda juu na jinsi ya haraka?

Mkakati

Tunahitaji kuchagua mfumo wa kuratibu kwa kasi ya mvuto, ambayo tunachukua kama hasi chini. Tunapewa kasi ya awali ya nyongeza na urefu wake. Tunazingatia hatua ya kutolewa kama asili. Tunajua kasi ni sifuri katika nafasi ya juu ndani ya muda wa kuongeza kasi; hivyo, kasi ya nyongeza ni sifuri katika urefu wake wa juu, hivyo tunaweza kutumia habari hii pia. Kutokana na uchunguzi huu, tunatumia Equation\ ref {3.17}, ambayo inatupa urefu wa juu wa nyongeza. Pia tunatumia Equation\ ref {3.17} ili kutoa kasi katika kilomita 6.0. Kasi ya awali ya nyongeza ni 200.0 m/s.

Suluhisho

1. Kutoka Equation\ ref {3.17},\(v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g(y - y_{0})\). Kwa v = 0 na y ₀ = 0, tunaweza kutatua kwa y: $$y =\ frac {v_ {0} ^ {2}} {-2g} =\ frac {(2.0\ mara 10^ {2}\; m/s) ^ {2}} {-2 (9.8\; m/s^ {2})} = 2040.8\; m\ LDOTP $Suluhisho hili linatoa urefu wa juu wa nyongeza katika mfumo wetu wa kuratibu, ambao una asili yake wakati wa kutolewa, hivyo urefu wa juu wa nyongeza ni takribani kilomita 7.0.
2. Urefu wa kilomita 6.0 unafanana na y = 1.0 x 10 ³ m katika mfumo wa kuratibu tunayotumia. Hali nyingine za awali ni y ₀ = 0, na v ₀ = 200.0 m/s Tuna, kutoka Equation\ ref {3.17}, $v^ {2} = (200.0\; m/s) ^ {2} - 2 (9.8\; m/s {2}) (1.0\ mara 10^ {3}\; m)\ RightArrow v =\ pm 142.8\; m/s\ ldodo tp $$

Umuhimu

Tuna suluhisho chanya na hasi katika (b). Kwa kuwa mfumo wetu wa kuratibu una mwelekeo mzuri zaidi, +142.8 m/s inalingana na kasi ya juu ya 6000 m wakati wa mguu wa juu wa trajectory ya nyongeza. Thamani v = -142.8 m/s inalingana na kasi ya 6000 m kwenye mguu wa chini. Mfano huu pia ni muhimu kwa kuwa kitu kinapewa kasi ya awali kwa asili ya mfumo wetu wa kuratibu, lakini asili iko kwenye urefu juu ya uso wa Dunia, ambayo lazima izingatiwe wakati wa kutengeneza suluhisho.

Masimulizi

Tembelea tovuti hii ili ujifunze kuhusu kuchora polynomials. Sura ya curve inabadilika kama vipindi vinavyorekebishwa. Tazama curves kwa masharti ya mtu binafsi (kwa mfano, y = bx) ili kuona jinsi wanavyoongeza ili kuzalisha safu ya polynomial.