3.6: Mwendo na Kuongeza kasi (Sehemu ya 2)

Kuweka equations Pamoja

Katika mifano ifuatayo, tunaendelea kuchunguza mwendo mmoja wa mwelekeo, lakini katika hali zinazohitaji kudanganywa kidogo zaidi ya algebraic. Mifano pia hutoa ufahamu katika mbinu za kutatua matatizo. Kumbuka kwamba ifuatavyo ni zinazotolewa kwa ajili ya kumbukumbu rahisi kwa equations zinahitajika. Kuwa na ufahamu kwamba equations hizi si huru. Katika hali nyingi tuna haijulikani mbili na tunahitaji equations mbili kutoka kuweka kutatua kwa haijulikani. Tunahitaji equations nyingi kama kuna haijulikani kutatua hali fulani.

Muhtasari wa Ulinganifu wa Kinematic (mara kwa mara a)

\[x = x_{0} + \bar{v}t\]

\[\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2}\]

\[v = v_{0} + at\]

\[x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}\]

\[v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})\]

Kabla ya kuingia katika mifano, hebu tuangalie baadhi ya equations kwa karibu zaidi ili kuona tabia ya kuongeza kasi kwa maadili uliokithiri. Kupanga upya\(v = v_0 + at\), tuna

\[a = \frac{v - v_{0}}{t} \ldotp\]

Kutokana na hili tunaona kwamba, kwa muda wa mwisho, ikiwa tofauti kati ya kasi ya awali na ya mwisho ni ndogo, kasi ni ndogo, inakaribia sifuri katika kikomo ambacho kasi ya awali na ya mwisho ni sawa. Kinyume chake, katika kikomo t → 0 kwa tofauti ya mwisho kati ya kasi ya awali na ya mwisho, kuongeza kasi inakuwa usio.

Vile vile, upya upya\(v^2 = v^2_0 + 2a(x-x_0) \), tunaweza kueleza kasi kwa suala la kasi na uhamisho:

\[a = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2(x - x_{0})} \ldotp\]

Hivyo, kwa tofauti ya mwisho kati ya kasi ya awali na ya mwisho kasi inakuwa usio katika kikomo makazi yao inakaribia sifuri. Mbinu kuongeza kasi sifuri katika kikomo tofauti katika kasi ya awali na ya mwisho mbinu zero kwa makazi yao ya mwisho.

Mfano 3.10: Je, gari linaenda mbali?

Juu ya saruji kavu, gari linaweza kupungua kwa kiwango cha 7.00 m/s ², wakati juu ya saruji ya mvua inaweza kupungua kwa 5.00 m/s ² tu. Pata umbali unaohitajika kuacha gari kusonga saa 30.0 m/s (kuhusu 110 km/h) juu ya (a) saruji kavu na (b) saruji ya mvua. (c) Rudia mahesabu yote na kupata uhamisho kutoka mahali ambapo dereva anaona mwanga wa trafiki kugeuka nyekundu, akizingatia wakati wake wa majibu ya 0.500 s ili kupata mguu wake juu ya kuvunja.

Mkakati

Kwanza, tunahitaji kuteka mchoro Mchoro\(\PageIndex{1}\). Kuamua ni equations gani ni bora kutumia, tunahitaji kuandika maadili yote inayojulikana na kutambua hasa kile tunachohitaji kutatua.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Mchoro wa sampuli ili kutazama kupungua na kuacha umbali wa gari.

Suluhisho

1. Kwanza, tunahitaji kutambua ujuzi na kile tunachotaka kutatua. Tunajua kwamba v ₀ = 30.0 m/s, v = 0, na = -7.00 m/s ² (a ni hasi kwa sababu iko katika mwelekeo kinyume na kasi). Tunachukua x0 kuwa sifuri. Sisi ni kuangalia kwa ajili ya makazi yao\(\Delta\) x, au x - x ₀. Pili, tunatambua equation ambayo itatusaidia kutatua tatizo. Equation bora ya kutumia ni $$v^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a (x - x_ {0})\ ldOTP $$Ulinganisho huu ni bora kwa sababu unajumuisha moja tu haijulikani, x Tunajua maadili ya vigezo vingine vyote katika equation hii. (Equations nyingine ingekuwa kuruhusu sisi kutatua kwa x, lakini zinahitaji sisi kujua muda wa kuacha, t, ambayo hatujui. Tunaweza kuitumia, lakini ingekuwa leda mahesabu ya ziada.) Tatu, sisi upya equation kutatua kwa x: $$x - x_ {0} =\ frac {v^ {2} - v_ {0} ^ {2}} {2a} $na badala ya thamani inayojulikana: $$x - 0 =\ frac {0^ {2} - (30.0\; m/s) ^ {2} {2} {2 (-7.00\; m/s^ 2 {})}\ ldOTP $Kwa hiyo, $$x = 64.3\; m\; juu ya\; kavu\; saruji\ ldotp $$
2. Sehemu hii inaweza kutatuliwa kwa njia sawa na (a). Tofauti pekee ni kwamba kuongeza kasi ni -5.00 m/s ². Matokeo ni $$x_ {mvua} = 90.0\; m\; juu ya\; mvua\; saruji\ ldotp$$
3. Wakati dereva anapogusa, umbali wa kuacha ni sawa na ilivyo katika (a) na (b) kwa saruji kavu na mvua. Kwa hiyo, ili kujibu swali hili, tunahitaji kuhesabu jinsi gari linasafiri wakati wa majibu, na kisha kuongeza hiyo wakati wa kuacha. Ni busara kudhani kasi inabakia mara kwa mara wakati wa majibu ya dereva. Ili kufanya hivyo, sisi, tena, tunatambua ujuzi na kile tunachotaka kutatua. Tunajua kwamba\(\bar{v}\) = 30.0 m/s, t _mmenyuko = 0.500 s, na _majibu = 0. Tunachukua x _0-mmenyuko kuwa sifuri. Tunatafuta _{mmenyuko wa} x. Pili, kama kabla, sisi kutambua equation bora kutumia. Katika kesi hiyo, x = x ₀ +\(\bar{v}\) t kazi vizuri kwa sababu thamani tu haijulikani ni x, ambayo ni nini tunataka kutatua kwa. Tatu, sisi badala ya knowns kutatua equation: $$x = 0 + (30.0\; m/s) (0.500\; s) = 15.0\; m\ ldOTP $Hii ina maana gari safari 15.0 m wakati dereva humenyuka, na kufanya makazi yao jumla katika kesi mbili za saruji kavu na mvua 15.0 m kubwa kuliko kama alijibu mara moja. Mwisho, sisi kisha kuongeza makazi yao wakati wa kukabiliana na makazi yao wakati wa kusimama (Kielelezo\(\PageIndex{2}\)), $$x_ {braking} + x_ {mmenyuko} = x_ {jumla}, $$na kupata (a) kuwa 64.3 m + 15.0 m = 79.3 m wakati kavu na (b) kuwa 90.0 m + 15.0 m = 105 m wakati wa mvua.

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Umbali muhimu wa kuacha gari unatofautiana sana, kulingana na hali ya barabara na wakati wa majibu ya dereva. Inavyoonekana hapa ni umbali wa kusimama kwa lami kavu na mvua, kama ilivyohesabiwa katika mfano huu, kwa gari kusafiri awali saa 30.0 m/s. inavyoonekana pia umbali jumla alisafiri kutoka hatua wakati dereva kwanza anaona mwanga kugeuka nyekundu, kuchukua 0.500-s majibu wakati.

Umuhimu

Mahamisho yaliyopatikana katika mfano huu yanaonekana kuwa ya busara kwa kuacha gari linalohamia haraka. Inapaswa kuchukua muda mrefu kuacha gari kwenye lami ya mvua kuliko kavu. Inashangaza kwamba wakati wa majibu huongeza kwa kiasi kikubwa kwa uhamisho, lakini muhimu zaidi ni njia ya jumla ya kutatua matatizo. Sisi kutambua knowns na kiasi kuamua, kisha kupata equation sahihi. Ikiwa kuna zaidi ya moja haijulikani, tunahitaji equations nyingi za kujitegemea kama kuna haijulikani kutatua. Kuna mara nyingi zaidi ya njia moja ya kutatua tatizo. Sehemu mbalimbali za mfano huu zinaweza, kwa kweli, kutatuliwa na njia zingine, lakini ufumbuzi uliowasilishwa hapa ni mfupi zaidi.

Mfano 3.11: Kuhesabu Muda

Tuseme gari linaunganisha kwenye trafiki ya barabara kuu kwenye barabara ya urefu wa 200 m. Ikiwa kasi yake ya awali ni 10.0 m/s na inaharakisha saa 2.00 m/s ², inachukua muda gani gari kusafiri 200 m juu ya barabara? (Taarifa hiyo inaweza kuwa na manufaa kwa mhandisi wa trafiki.)

Mkakati

Kwanza, tunapata mchoro Mchoro\(\PageIndex{3}\). Tunaulizwa kutatua kwa muda t Kama hapo awali, tunatambua kiasi kinachojulikana cha kuchagua uhusiano rahisi wa kimwili (yaani, equation na haijulikani, t.)

Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Mchoro wa gari kuharakisha kwenye barabara ya barabara kuu.

Suluhisho

Tena, tunatambua ujuzi na kile tunachotaka kutatua. Tunajua kwamba x ₀ = 0, v ₀ = 10 m/s, = 2.00 m/s ², na x = 200 m.

Tunahitaji kutatua kwa t. equation x = x ₀ + v ₀\(\frac{1}{2}\) t + katika ² kazi bora kwa sababu haijulikani tu katika equation ni t variable, ambayo tunahitaji kutatua. Kutokana na ufahamu huu tunaona kwamba wakati sisi pembejeo knowns katika equation, sisi kuishia na equation quadratic.

Tunahitaji upya equation kutatua kwa t, kisha kubadili knowns katika equation:

\[200\; m = 0\; m + (10.0\; m/s)t + \frac{1}{2}(2.00\; m/s^{2})t^{2} \ldotp\]

Sisi kisha kurahisisha equation. Vitengo vya mita hufuta kwa sababu viko katika kila muda. Tunaweza kupata vitengo vya sekunde kufuta kwa kuchukua t = t s, ambapo t ni ukubwa wa muda na s ni kitengo. Kufanya hivyo majani

\[200 = 10t + t^{2} \ldotp\]

Sisi kisha kutumia formula quadratic kutatua kwa t,

\[t^{2} + 10t - 200 = 0\]

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a},\]

ambayo hutoa ufumbuzi mbili: t = 10.0 na t = -20.0. Thamani hasi kwa muda ni ya maana, kwani ingekuwa na maana tukio lilitokea 20 s kabla ya mwendo kuanza. Tunaweza kuondokana na ufumbuzi huo. Hivyo,

\[ t = 10.0\; s \ldotp\]

Umuhimu

Wakati wowote equation ina mraba haijulikani, kuna ufumbuzi mbili. Katika matatizo mengine ufumbuzi wote ni wa maana; kwa wengine, suluhisho moja tu ni la busara. Jibu la 10.0-s linaonekana kuwa la busara kwa barabara kuu ya barabara kuu.

Zoezi 3.5

Roketi ya manned inaharakisha kwa kiwango cha 20 m/s ² wakati wa uzinduzi. Inachukua muda gani roketi kufikia kasi ya 400 m/s?

mfano 3.12: Kuharakisha Spaceship

Spaceship imeacha obiti ya Dunia na iko njiani kuelekea Mwezi. Inaharakisha saa 20 m/s ² kwa dakika 2 na inashughulikia umbali wa kilomita 1000. Je, ni kasi ya awali na ya mwisho ya spaceship?

Mkakati

Tunaulizwa kupata kasi ya awali na ya mwisho ya spaceship. Kuangalia equations kinematic, tunaona kwamba equation moja haitatoa jibu. Lazima tutumie equation moja ya kinematic kutatua kwa moja ya kasi na kuibadilisha katika equation nyingine kinematic kupata kasi ya pili. Hivyo, sisi kutatua mbili ya equations kinematic wakati huo huo.

Suluhisho

Kwanza sisi kutatua kwa v ₀ kutumia\(x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2} = \frac{1}{2}t^{2}\):

\[x - x_{0} = v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2} = \frac{1}{2}t^{2}\]

\[1.0 \times 10^{6}\; m = v_{0} (120.0\; s) + \frac{1}{2} (20.0\; m/s^{2})(120.0\; s)^{2}\]

\[v_{0} = 7133.3\; m/s \ldotp\]

Kisha sisi badala v ₀ katika v = v ₀ + katika kutatua kwa kasi ya mwisho:

\[v = v_{0} + at = 7133.3\; m/s + (20.0\; m/s^{2})(120.0\; s) = 9533.3\; m/s \ldotp\]

Umuhimu

Kuna vigezo sita katika makazi yao, wakati, kasi, na kuongeza kasi kwamba kuelezea mwendo katika mwelekeo mmoja. Hali ya awali ya tatizo fulani inaweza kuwa mchanganyiko wengi wa vigezo hivi. Kwa sababu ya tofauti hii, ufumbuzi hauwezi kuwa rahisi kama mbadala rahisi katika moja ya equations. Mfano huu unaonyesha kwamba ufumbuzi wa kinematics unaweza kuhitaji kutatua equations mbili za kinematic wakati huo huo.

Kwa misingi ya kinematics imara, tunaweza kuendelea na mifano mingine mingi ya kuvutia na maombi. Katika mchakato wa kuendeleza kinematics, tumeelezea pia mbinu ya jumla ya kutatua matatizo ambayo hutoa majibu sahihi na ufahamu katika mahusiano ya kimwili. Ngazi inayofuata ya utata katika matatizo yetu ya kinematiki inahusisha mwendo wa miili miwili inayohusiana, inayoitwa matatizo mawili ya kufuatilia mwili.

Matatizo mawili ya kufuatilia Mwili

Hadi mpaka hatua hii tumeangalia mifano ya mwendo unaohusisha mwili mmoja. Hata kwa tatizo la magari mawili na umbali wa kuacha kwenye barabara za mvua na kavu, tumegawanya tatizo hili katika matatizo mawili tofauti ili kupata majibu. Katika tatizo la harakati mbili za mwili, mwendo wa vitu ni pamoja na maana, haijulikani tunayotafuta inategemea mwendo wa vitu vyote viwili. Ili kutatua matatizo haya tunaandika equations ya mwendo kwa kila kitu na kisha kutatua yao wakati huo huo kupata haijulikani. Hii ni mfano katika Kielelezo\(\PageIndex{4}\).

Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Hali ya kufuatilia mwili mbili ambapo gari 2 ina kasi ya mara kwa mara na gari 1 ni nyuma na kuongeza kasi ya mara kwa mara. Gari 1 upatikanaji wa samaki na gari 2 kwa wakati mmoja baadaye.

Muda na umbali unaohitajika kwa gari 1 kukamata gari 2 inategemea umbali wa awali gari 1 linatokana na gari 2 pamoja na kasi ya magari yote na kasi ya gari 1. Equations kinematic kuelezea mwendo wa magari yote lazima kutatuliwa ili kupata haya haijulikani.

Fikiria mfano unaofuata.

Mfano 3.13: Duma Kuambukizwa Gazelle

Duma inasubiri kujificha nyuma ya kichaka. Duma huonyesha pazia lililopita saa 10 m/s. papo hapo pazia hupita duma, duma kuchochea kasi kutoka kupumzika saa 4 m/s ² kukamata pazia. (a) Inachukua muda gani duma kukamata ganda? (b) Uhamisho wa pazia na duma ni nini?

Mkakati

Tunatumia seti ya equations kwa kuongeza kasi ya mara kwa mara ili kutatua tatizo hili. Kwa kuwa kuna vitu viwili katika mwendo, tuna equations tofauti ya mwendo kuelezea kila mnyama. Lakini ni nini kinachounganisha equations ni parameter ya kawaida ambayo ina thamani sawa kwa kila mnyama. Ikiwa tunaangalia tatizo kwa karibu, ni wazi parameter ya kawaida kwa kila mnyama ni msimamo wao x wakati mwingine t.Tangu wote huanza saa x ₀ = 0, uhamisho wao ni sawa wakati wa baadaye t, wakati duma inakamata na gazelle. Kama sisi kuchukua equation ya mwendo kwamba kutatua kwa ajili ya makazi yao kwa kila mnyama, tunaweza kisha kuweka equations sawa na kila mmoja na kutatua kwa haijulikani, ambayo ni wakati.

Suluhisho

1. Equation kwa gazelle: Gazelle ina kasi ya mara kwa mara, ambayo ni kasi yake ya wastani, kwani haiharakisha. Kwa hiyo, tunatumia Equation 3.5.7 na x ₀ = 0: $$x = x_ {0} +\ bar {v} t =\ bar {v} t\ ldOTP$$equation kwa duma: Duma inaharakisha kutoka kupumzika, kwa hiyo tunatumia Equation 3.5.17 na x ₀ = ₀ na v 0 = 0: $$x = x_ {0} + v_ {0} t +\ frac {1} {2} katika^ {2} =\ frac {1} {2} katika^ {2}\ lDOTP$$ Sasa tuna equation ya mwendo kwa kila mnyama mwenye parameter ya kawaida, ambayo inaweza kuondolewa ili kupata suluhisho. Katika kesi hii, sisi kutatua kwa t: $$x =\ bar {v} t =\ frac {1} {2} katika^ {2} $$ $t =\ frac {2\ bar {v} {a}\ lDOTP $$Gazelle ina kasi ya mara kwa mara ya 10 m/s, ambayo ni kasi yake ya wastani. Kuongezeka kwa duma ni 4 m/s ². Kutathmini t, wakati wa duma kufikia pazia, tuna $$t =\ frac {2\ bar {v}} {a} =\ frac {2 (10)} {4} = 5\; s\ ldotp$$
2. Ili kupata uhamisho, tunatumia equation ya mwendo kwa ajili ya duma au pazia, kwani wanapaswa kutoa jibu sawa. Uhamisho wa duma: $$x =\ frac {1} {2} katika^ {2} =\ frac {1} {2} {2} (4) (5) ^ {2} - 50\; m\ ldOTP $$ Uhamisho wa pazia: $$x =\ bar {v} t = 10 (5) = 50\; m\ LDOTP $Tunaona kwamba wote wawili wanahamia ments ni sawa, kama ilivyotarajiwa.

Umuhimu

Ni muhimu kuchambua mwendo wa kila kitu na kutumia milinganyo sahihi ya kinematic kuelezea mwendo wa mtu binafsi. Pia ni muhimu kuwa na mtazamo mzuri wa kuona tatizo la harakati mbili za mwili ili kuona parameter ya kawaida inayounganisha mwendo wa vitu vyote viwili.

Zoezi 3.6

Baiskeli ina kasi ya mara kwa mara ya 10 m/s. mtu huanza kutoka mapumziko na kuanza kukimbia kupata hadi baiskeli katika 30 s wakati baiskeli ni katika nafasi sawa na mtu. Je! Ni kasi gani ya mtu?