3.5: Mwendo na Kuongeza kasi (Sehemu ya 1)

Malengo ya kujifunza

• Tambua mlinganyo gani wa mwendo unatakiwa kutumiwa kutatua kwa haijulikani.
• Tumia equations sahihi ya mwendo ili kutatua tatizo la harakati mbili za mwili.

Unaweza nadhani kwamba zaidi ya kuongeza kasi ya, kusema, gari kusonga mbali na ishara ya kuacha, zaidi makazi ya gari ya katika muda fulani. Lakini, sisi si maendeleo equation maalum ambayo inahusiana kuongeza kasi na makazi yao. Katika sehemu hii, tunaangalia usawa wa urahisi wa mahusiano ya kinematic, kuanzia ufafanuzi wa uhamisho, kasi, na kuongeza kasi. Sisi kwanza kuchunguza kitu kimoja katika mwendo, aitwaye single-mwili mwendo. Kisha sisi kuchunguza mwendo wa vitu viwili, aitwaye mbili mwili harakati matatizo.

Nukuu

Kwanza, hebu tufanye baadhi ya kurahisisha katika notation. Kuchukua muda wa awali kuwa sifuri, kama wakati unapimwa na stopwatch, ni kurahisisha sana. Tangu muda uliopita ni\(\Delta\) t = t _f - t ₀, kuchukua t _{0 = 0} ina maana kwamba\(\Delta\) t = t _f, wakati wa mwisho juu ya stopwatch. Wakati wa awali unachukuliwa kuwa sifuri, tunatumia usajili 0 ili kutaja maadili ya awali ya nafasi na kasi. Hiyo ni, x ₀ ni nafasi ya awali na v ₀ ni kasi ya awali. Sisi kuweka hakuna subscripts juu ya maadili ya mwisho. Hiyo ni, t ni mara ya mwisho, x ni nafasi ya mwisho, na v ni kasi ya mwisho. Hii inatoa kujieleza rahisi kwa muda uliopita,\(\Delta\) t = t. pia simplifies kujieleza kwa x makazi yao, ambayo sasa ni\(\Delta\) x = x - x ₀. Pia, inaeleza usemi wa mabadiliko katika kasi, ambayo sasa ni\(\Delta\) v = v - v ₀. Kwa muhtasari, kwa kutumia notation kilichorahisishwa, na wakati wa awali kuchukuliwa kuwa sifuri,

\[\Delta t = t\]

\[\Delta x = x - x_{0}\]

\[\Delta v = v - v_{0},\]

ambapo usajili 0 unaashiria thamani ya awali na ukosefu wa usajili unaashiria thamani ya mwisho katika mwendo wowote unaozingatiwa.

Sasa tunafanya dhana muhimu kwamba kasi ni mara kwa mara. Dhana hii inatuwezesha kuepuka kutumia calculus ili kupata kasi ya haraka. Kwa kuwa kasi ni mara kwa mara, kasi ya wastani na instantaneous ni sawa-yaani,

\[\bar{a} = a = constant \ldotp\]

Hivyo, tunaweza kutumia ishara a kwa kuongeza kasi wakati wote. Kutokana na kuongeza kasi ya kuwa mara kwa mara haina kikomo kwa umakini hali tunaweza kujifunza wala haina kuharibu usahihi wa matibabu yetu. Kwa jambo moja, kuongeza kasi ni mara kwa mara katika idadi kubwa ya hali. Zaidi ya hayo, katika hali nyingine nyingi tunaweza kuelezea mwendo kwa usahihi kwa kuchukua kasi ya mara kwa mara sawa na kuongeza kasi ya wastani kwa mwendo huo. Mwishowe, kwa mwendo wakati ambapo kasi ya mabadiliko ya kasi, kama vile gari kuharakisha kasi ya juu na kisha kusimama kwa kuacha, mwendo unaweza kuchukuliwa katika sehemu tofauti, ambayo kila mmoja ina kasi yake ya mara kwa mara.

Uhamisho na Msimamo kutoka kwa kasi

Ili kupata equations zetu mbili za kwanza, tunaanza na ufafanuzi wa kasi ya wastani:

\[\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \ldotp\]

Kubadilisha notation kilichorahisishwa kwa mavuno ya\(\Delta\) x na\(\Delta\) t

\[\bar{v} = \frac{x - x_{0}}{t} \ldotp\]

Kutatua kwa x inatupa

\[x = x_{0} + \bar{v} t,\label{3.10}\]

ambapo kasi ya wastani ni

\[\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2} \ldotp \label{3.11}\]

equation\(\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2}\) huonyesha ukweli kwamba wakati kuongeza kasi ni mara kwa mara, v ni wastani rahisi ya kasi ya awali na ya mwisho. Kielelezo\(\PageIndex{1}\) inaonyesha dhana hii graphically. Katika sehemu (a) ya takwimu, kasi ni mara kwa mara, na kasi inaongezeka kwa kiwango cha mara kwa mara. Kasi ya wastani wakati wa 1-h kutoka 40 km/h hadi 80 km/h ni 60 km/h:

\[\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2} = \frac{40\; km/h + 80\; km/h}{2} = 60\; km/h \ldotp\]

Kwa sehemu (b), kuongeza kasi sio mara kwa mara. Wakati wa 1-h, kasi ni karibu na 80 km/h kuliko kilomita 40/h Hivyo, kasi ya wastani ni kubwa kuliko sehemu (a).

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): (a) Graph ya kasi dhidi ya wakati na kuongeza kasi ya mara kwa mara kuonyesha kasi ya awali na ya mwisho v ₀ na v. kasi ya wastani ni\(\frac{1}{2}\) (v ₀ + v) = 60 km/h. (b) graph ya kasi dhidi ya wakati na kuongeza kasi inayobadilika na wakati. Kasi ya wastani haitolewa na\(\frac{1}{2}\) (v ₀ + v), lakini ni kubwa kuliko 60 km/h.

Kutatua kwa kasi ya mwisho kutoka kwa kasi na Muda

Tunaweza kupata equation nyingine muhimu kwa kuendesha ufafanuzi wa kuongeza kasi:

\[a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \ldotp\]

Kubadilisha nukuu kilichorahisishwa kwa\(\Delta\) v na\(\Delta\) t inatupa

\[a = \frac{v - v_{0}}{t}\; (constant\; a) \ldotp\]

Kutatua kwa v mavuno

\[v = v_{0} + at\; (constant\; a) \ldotp \label{3.12}\]

Mfano 3.7: Kuhesabu kasi ya mwisho

Ndege inashuka kwa kasi ya awali ya 70.0 m/s na kisha hupungua kwa 1.50 m/s ² kwa 40.0 s. kasi yake ya mwisho ni nini?

Mkakati

Kwanza, tunatambua ujuzi: v ₀ = 70 m/s, a = -1.50 m/s ², t = 40 s.

Pili, sisi kutambua haijulikani; katika kesi hii, ni ya mwisho kasi v _f.

Mwisho, tunaamua ni equation gani ya kutumia. Ili kufanya hivyo tunajua ni equation gani ya kinematic inatoa haijulikani kwa suala la ujuzi. Tunahesabu kasi ya mwisho kwa kutumia Equation\ ref {3.12}, v = v ₀ + katika.

Suluhisho

Badilisha maadili inayojulikana na kutatua:

\[v = v_{0} + at = 70.0\; m/s + (-1.50\; m/s^{2})(40.0\; s) = 10.0\; m/s \ldotp\]

Kielelezo\(\PageIndex{2}\) ni mchoro unaoonyesha vectors kasi na kasi.

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Ndege inashuka kwa kasi ya awali ya 70.0 m/s na hupungua hadi kasi ya mwisho ya 10.0 m/s kabla ya kuelekea terminal. Kumbuka kuongeza kasi ni hasi kwa sababu mwelekeo wake ni kinyume na kasi yake, ambayo ni chanya.

Umuhimu

Kasi ya mwisho ni ndogo sana kuliko kasi ya awali, kama inavyotakiwa wakati unapunguza kasi, lakini bado ni chanya (angalia takwimu). Kwa inji za ndege, kurudi nyuma kunaweza kudumishwa kwa muda mrefu wa kutosha kuacha ndege na kuanza kuihamisha nyuma, ambayo inaonyeshwa na kasi ya mwisho ya mwisho, lakini sio hapa.

Mbali na kuwa na manufaa katika kutatua tatizo, equation v = v ₀ + katika inatupa ufahamu katika mahusiano kati ya kasi, kuongeza kasi, na wakati. Tunaweza kuona, kwa mfano, kwamba

• Mwisho kasi inategemea jinsi kubwa kuongeza kasi ni na muda gani unaendelea
• Ikiwa kasi ni sifuri, basi kasi ya mwisho inalingana na kasi ya awali (v = v ₀), kama inavyotarajiwa (kwa maneno mengine, kasi ni mara kwa mara)
• Ikiwa ni hasi, basi kasi ya mwisho ni chini ya kasi ya awali

Uchunguzi huu wote unafaa intuition yetu. Kumbuka kuwa daima ni muhimu kuchunguza equations msingi katika mwanga wa intuition yetu na uzoefu kuangalia kwamba wao kweli kuelezea asili kwa usahihi.

Kutatua kwa Msimamo wa Mwisho na Kuongeza kasi

Tunaweza kuchanganya equations uliopita ili kupata equation ya tatu ambayo inaruhusu sisi kuhesabu nafasi ya mwisho ya kitu inakabiliwa na kasi ya mara kwa mara. Tunaanza na

\[v = v_{0} + at \ldotp\]

Kuongeza v ₀ kwa kila upande wa equation hii na kugawa kwa 2 the

\[\frac{v_{0} + v}{2} = v_{0} + \frac{1}{2} at \ldotp\]

Tangu\(\frac{v_{0} + v}{2} = \bar{v}\) kwa kuongeza kasi ya mara kwa mara, tuna

\[\bar{v} = v_{0} + \frac{1}{2} at \ldotp\]

Sasa sisi badala ya maneno haya kwa\(\bar{v}\) equation kwa ajili ya makazi yao, x = x ₀ +\(\bar{v}\) t, kujitoa

\[x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}\; (constant\; a) \ldotp \label{3.13}\]

Mfano 3.8: Kuhesabu Uhamisho wa Kitu cha Kuharakisha

Dragsters inaweza kufikia kasi ya wastani ya 26.0 m/s ². Tuseme dragster kuchochea kasi kutoka kupumzika kwa kiwango hiki kwa 5.56 s Kielelezo\(\PageIndex{3}\). Je, ni mbali gani kusafiri katika wakati huu?

Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Jeshi la Marekani Top Mafuta majaribio Tony “Sarge” Schumacher huanza mbio na burnout kudhibitiwa. (mikopo: Luteni Col. William Thurmond. Picha kwa hisani ya Jeshi la Marekani)

Mkakati

Kwanza, hebu tuchukue mchoro Mchoro\(\PageIndex{4}\). Sisi ni aliuliza kupata makazi yao, ambayo ni x kama sisi kuchukua x ₀ kuwa sifuri. (Fikiria kuhusu x ₀ kama mstari wa kuanzia wa mbio. Inaweza kuwa mahali popote, lakini tunaiita sifuri na kupima nafasi nyingine zote kuhusiana nayo.) Tunaweza kutumia equation\(x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}\) wakati sisi kutambua v ₀, a, na t kutoka taarifa ya tatizo.

Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Mchoro wa dragster ya kuharakisha.

Suluhisho

Kwanza, tunahitaji kutambua maarifa. Kuanzia kupumzika ina maana kwamba v ₀ = 0, a hutolewa kama 26.0 m/s ² na t inapewa kama 5.56 s.

Pili, sisi badala ya maadili inayojulikana katika equation kutatua kwa haijulikani:

\[x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2} \ldotp\]

Kwa kuwa nafasi ya awali na kasi ni sifuri, equation hii simplifies kwa

\[x = \frac{1}{2} at^{2} \ldotp\]

Kubadilisha maadili yaliyotambuliwa ya a na t inatoa

\[x = \frac{1}{2} (26.0\; m/s^{2})(5.56\; s)^{2} = 402\; m \ldotp\]

Umuhimu

Kama sisi kubadilisha 402 m kwa maili, tunaona kwamba umbali kufunikwa ni karibu sana na robo moja ya maili, umbali wa kiwango kwa ajili ya racing Drag. Kwa hiyo, jibu letu ni la busara. Hii ni makazi ya kuvutia kufunika katika 5.56 s tu, lakini dragsters juu-notch wanaweza kufanya robo maili katika muda hata kidogo kuliko hii. Kama dragster walipewa kasi ya awali, hii ingekuwa kuongeza mwingine mrefu kwa equation umbali. Kama kuongeza kasi sawa na wakati ni kutumika katika equation, umbali kufunikwa itakuwa kubwa zaidi.

Nini kingine tunaweza kujifunza kwa kuchunguza equation\(x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}\)? Tunaweza kuona mahusiano yafuatayo:

• Uhamisho unategemea mraba wa muda uliopita wakati kasi sio sifuri. Katika Mfano 3.8, dragster inashughulikia moja tu ya nne ya umbali wa jumla katika nusu ya kwanza ya muda uliopita.
• Ikiwa kasi ni sifuri, basi kasi ya awali inalingana na kasi ya wastani (v ₀ =\(\bar{v}\)), na\(x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}\) inakuwa x = x ₀ + v ₀ t.

Kutatua kwa kasi ya mwisho kutoka Umbali na Kuongeza kasi

Equation ya nne muhimu inaweza kupatikana kutoka kwa uharibifu mwingine wa algebraic wa equations uliopita. Ikiwa tunatatua v = v ₀ + saa kwa t, tunapata

\[t = \frac{v - v_{0}}{a} \ldotp\]

Kubadilisha hii na\(\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2}\) ndani\(x = x_{0} + \bar{v} t\), tunapata

\[v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})\; (constant\; a) \ldotp \label{3.14}\]

Mfano 3.9: Kuhesabu kasi ya mwisho

Tumia kasi ya mwisho ya dragster katika Mfano 3.8 bila kutumia habari kuhusu wakati.

Mkakati

Equation\(v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})\) ni walau inafaa kwa kazi hii kwa sababu inahusiana kasi, kuongeza kasi, na makazi yao, na hakuna taarifa wakati inahitajika.

Suluhisho

Kwanza, tunatambua maadili inayojulikana. Tunajua kwamba v ₀ = 0, tangu dragster huanza kutoka kupumzika. Tunajua pia kwamba x - x ₀ = 402 m (hii ilikuwa jibu katika Mfano 3.8). Kuongeza kasi ya wastani ilitolewa na = 26.0 m/s ². Pili, sisi badala knowns katika equation\(v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})\) na kutatua kwa v:

\[v^{2} = 0 + 2(26.0\; m/s^{2})(402\; m) \ldotp\]

Hivyo,

\[v^{2} = 2.09 \times 10^{4}\; m/s^{2}\]

\[v = \sqrt{2.09 \times 10^{4}\; m^{2}/s^{2}} = 145\; m/s \ldotp\]

Umuhimu

Kasi ya 145 m/s ni karibu 522 km/h, au kuhusu 324 mi/h, lakini hata kasi hii ya breakneck ni mfupi wa rekodi kwa maili ya robo. Pia, kumbuka kuwa mizizi ya mraba ina maadili mawili; tulichukua thamani nzuri ili kuonyesha kasi katika mwelekeo sawa na kuongeza kasi.

Uchunguzi wa equation\(v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})\) unaweza kuzalisha ufahamu wa ziada katika mahusiano ya jumla kati ya wingi wa kimwili:

• Kasi ya mwisho inategemea jinsi kasi kubwa na umbali juu ya ambayo hufanya.
• Kwa kasi ya kudumu, gari linaloenda mara mbili kwa haraka haliacha tu katika umbali wa mara mbili. Inachukua mengi zaidi kuacha. (Hii ndiyo sababu tumepunguza maeneo ya kasi karibu na shule.)