3.4: Kiwango cha wastani na cha haraka

Malengo ya kujifunza

• Tumia kasi ya wastani kati ya pointi mbili kwa wakati.
• Tumia kasi ya papo hapo kutokana na fomu ya kazi ya kasi.
• Eleza asili ya vector ya kuongeza kasi ya haraka na kasi.
• Eleza tofauti kati ya kuongeza kasi ya wastani na kuongeza kasi ya haraka.
• Kupata instantaneous kuongeza kasi kwa wakati maalum juu ya grafu ya kasi dhidi ya wakati.

Umuhimu wa kuelewa kasi huongeza uzoefu wetu wa kila siku, pamoja na kufikia kubwa ya anga ya nje na ulimwengu mdogo wa fizikia ya subatomic. Katika mazungumzo ya kila siku, kuharakisha njia za kuharakisha; kutumia kanyagio la kuvunja husababisha gari kupungua. Tunajua na kasi ya gari letu, kwa mfano. Zaidi ya kuongeza kasi, mabadiliko makubwa katika kasi zaidi ya muda fulani. Kuharakisha huonekana sana katika fizikia ya majaribio. Katika majaribio ya kasi ya chembe ya mstari, kwa mfano, chembe za subatomic zinaharakisha kasi ya juu sana katika majaribio ya mgongano, ambayo inatuambia habari kuhusu muundo wa ulimwengu wa subatomic pamoja na asili ya ulimwengu. Katika nafasi, mionzi ya cosmic ni chembe za subatomic ambazo zimeharakishwa kwa nguvu za juu sana katika supernovas (kulipuka nyota kubwa) na viini vya galactic hai. Ni muhimu kuelewa taratibu zinazoharakisha mionzi ya cosmic kwa sababu mionzi hii ina mionzi yenye kupenya sana ambayo inaweza kuharibu umeme unaozunguka kwenye spacecraft, kwa mfano.

Wastani wa kuongeza kasi

Ufafanuzi rasmi wa kuongeza kasi ni sawa na dhana hizi tu ilivyoelezwa, lakini ni zaidi ya umoja.

Wastani wa kuongeza kasi

Wastani wa kuongeza kasi ni kiwango ambacho kasi hubadilika:

\[\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{f} - v_{0}}{t_{f} - t_{0}}, \label{3.8}\]

ambapo\(\bar{a}\) ni kuongeza kasi ya wastani, v ni kasi, na t ni wakati. (bar juu ya maana kuongeza kasi ya wastani.)

Kwa sababu kasi ni kasi katika mita iliyogawanywa na wakati kwa sekunde, vitengo vya SI vya kuongeza kasi mara nyingi hufupishwa m/s ² —yaani mita kwa mraba wa pili au mita kwa sekunde kwa sekunde. Hii inamaanisha kwa mita ngapi kwa pili kasi inabadilika kila pili. Kumbuka kwamba kasi ni vector-ina ukubwa wote na mwelekeo - ambayo ina maana kwamba mabadiliko katika kasi inaweza kuwa mabadiliko katika ukubwa (au kasi), lakini pia inaweza kuwa mabadiliko katika mwelekeo. Kwa mfano, kama mwanariadha kusafiri saa 10 km/h kutokana mashariki kupungua kwa kuacha, reverses mwelekeo, inaendelea kukimbia yake katika 10 km/h kutokana magharibi, kasi yake imebadilika kutokana na mabadiliko katika mwelekeo, ingawa ukubwa wa kasi ni sawa katika pande zote mbili. Hivyo, kuongeza kasi hutokea wakati kasi inabadilika kwa ukubwa (ongezeko au kupungua kwa kasi) au kwa uongozi, au wote wawili.

Kuharakisha kama Vector

Kuharakisha ni vector katika mwelekeo sawa na mabadiliko katika kasi,\(\Delta\) v. Kwa kuwa kasi ni vector, inaweza kubadilika kwa ukubwa au katika mwelekeo, au wote wawili. Kwa hiyo, kuongeza kasi ni mabadiliko katika kasi au mwelekeo, au wote wawili.

Kumbuka kwamba ingawa kuongeza kasi ni katika mwelekeo wa mabadiliko katika kasi, si mara zote katika mwelekeo wa mwendo. Wakati kitu kinapungua, kasi yake ni kinyume na mwelekeo wa mwendo wake. Ingawa hii ni kawaida inajulikana kama deceleration Kielelezo\(\PageIndex{1}\), tunasema treni ni kuongeza kasi katika mwelekeo kinyume na mwelekeo wake wa mwendo.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): treni Subway katika Sao Paulo, Brazil, decelerates kama anakuja katika kituo cha. Inaharakisha katika mwelekeo kinyume na mwelekeo wake wa mwendo. (mikopo: Yusuke Kawasaki)

Neno deceleration inaweza kusababisha machafuko katika uchambuzi wetu kwa sababu si vector na haina uhakika kwa mwelekeo maalum kwa heshima na mfumo kuratibu, hivyo hatutumii. Kuharakisha ni vector, hivyo tunapaswa kuchagua ishara sahihi kwa ajili yake katika mfumo wetu wa kuratibu waliochaguliwa. Katika kesi ya treni katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\), kuongeza kasi ni katika mwelekeo mbaya katika mfumo wa kuratibu uliochaguliwa, kwa hiyo tunasema treni inaendelea kuongeza kasi.

Ikiwa kitu kinachoendelea kina kasi katika mwelekeo mzuri kuhusiana na asili iliyochaguliwa na inapata kasi ya mara kwa mara, kitu hatimaye kinakuja kupumzika na hurudia mwelekeo. Ikiwa tunasubiri kwa muda mrefu, kitu kinapita kupitia asili kinachoenda kinyume chake. Hii ni mfano katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\).

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): kitu katika mwendo na vector kasi kuelekea mashariki chini ya kuongeza kasi hasi suala la mapumziko na reverses mwelekeo. Inapita asili kwenda katika mwelekeo kinyume baada ya muda mrefu wa kutosha.

mfano 3.5: Kuhesabu Wastani wa Kuongeza kasi: Racehorse Majani Gate

racehorse inayotoka kwenye lango huharakisha kutoka kupumzika hadi kasi ya 15.0 m/s kutokana na magharibi katika 1.80 s. kasi yake ya wastani ni nini?

Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Racehorses kuongeza kasi nje ya lango. (mikopo: Jon Sullivan)

Mkakati

Kwanza tunapata mchoro na kugawa mfumo wa kuratibu kwenye tatizo Kielelezo\(\PageIndex{4}\). Hili ni tatizo rahisi, lakini daima husaidia kuiangalia. Kumbuka kwamba sisi hawawajui mashariki kama chanya na magharibi kama hasi. Hivyo, katika kesi hii, tuna kasi hasi.

Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Tambua mfumo wa kuratibu, taarifa iliyotolewa, na nini unataka kuamua.

Tunaweza kutatua tatizo hili kwa kutambua\(\Delta\) v na\(\Delta\) t kutoka taarifa fulani, na kisha kuhesabu kuongeza kasi ya wastani moja kwa moja kutoka equation\(\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{f} - v_{0}}{t_{f} - t_{0}}\).

Suluhisho

Kwanza, tambua ujuzi: v _{0 = 0}, v _f = -15.0 m/s (ishara hasi inaonyesha mwelekeo kuelekea magharibi),\(\Delta\) t = 1.80 s Pili, pata mabadiliko katika kasi. Kwa kuwa farasi inatoka sifuri hadi —15.0 m/s, mabadiliko yake katika kasi yanafanana na kasi yake ya mwisho:

\[\Delta v = v_{f} - v_{0} = v_{f} = -15.0\; m/s \ldotp\]

Mwisho, badala ya maadili inayojulikana (\(\Delta\)v na\(\Delta\) t) na kutatua kwa haijulikani\(\bar{a}\):

\[\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{-15.0\; m/s}{1.80\; s} = -8.33\; m/s^{2} \ldotp\]

Umuhimu

Ishara mbaya ya kuongeza kasi inaonyesha kwamba kasi ni kuelekea magharibi. Kuongeza kasi ya 8.33 m/s ² kutokana na magharibi inamaanisha farasi huongeza kasi yake kwa 8.33 m/s kutokana magharibi kila pili; yaani, mita 8.33 kwa sekunde kwa sekunde, ambayo tunaandika kama 8.33 m/s ². Hii ni kweli kasi ya wastani, kwa sababu safari sio laini. Tunaona baadaye kwamba kuongeza kasi ya ukubwa huu ingehitaji mpanda farasi kunyongwa kwa nguvu karibu sawa na uzito wake.

Zoezi 3.3

Protoni katika kasi ya kasi ya mstari huharakisha kutoka kupumzika hadi 2.0 × 10 ⁷ m/s katika 10 ^—4 s. kasi ya wastani ya protoni ni nini?

instantaneous kuongeza kasi

Instantaneous kuongeza kasi a, au kuongeza kasi kwa papo maalum kwa wakati, ni kupatikana kwa kutumia mchakato huo kujadiliwa kwa kasi instantaneous. Hiyo ni, tunahesabu kasi ya wastani kati ya pointi mbili kwa wakati uliotengwa na\(\Delta\) t na kuruhusu\(\Delta\) kufikia sifuri. Matokeo yake ni derivative ya kasi kazi v (t), ambayo ni instantaneous kuongeza kasi na ni walionyesha hesabu kama

\[a(t) = \frac{d}{dt} v(t) \ldotp \label{3.9}\]

Kwa hiyo, sawa na kasi kuwa derivative ya kazi ya msimamo, kuongeza kasi ya haraka ni derivative ya kazi ya kasi. Tunaweza kuonyesha hii graphically kwa njia sawa na kasi instantaneous. Katika Kielelezo\(\PageIndex{5}\), kasi ya haraka kwa wakati t ₀ ni mteremko wa mstari wa tangent kwa grafu ya kasi dhidi ya wakati wakati t ₀. Tunaona kwamba wastani wa kuongeza kasi\(\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t}\) mbinu instantaneous kuongeza kasi kama Δt inakaribia sifuri. Pia katika sehemu (a) ya takwimu, tunaona kwamba kasi ina kiwango cha juu wakati mteremko wake ni sifuri. Wakati huu unafanana na sifuri ya kazi ya kuongeza kasi. Kwa sehemu (b), kasi ya haraka kwa kasi ya chini inavyoonyeshwa, ambayo pia ni sifuri, kwani mteremko wa curve ni sifuri huko, pia. Kwa hiyo, kwa kazi ya kasi iliyotolewa, zero za kazi ya kuongeza kasi hutoa kiwango cha chini au kasi ya juu.

Kielelezo\(\PageIndex{5}\): Katika grafu ya kasi dhidi ya wakati, kasi ya haraka ni mteremko wa mstari wa tangent. (a) Inaonyeshwa ni kasi\(\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{f} - v_{0}}{t_{f} - t_{0}}\) ya wastani kati ya nyakati\(\Delta\) t = t ₆ -\(\Delta\) t ₁, t = t ₅ - t ₂, na\(\Delta\) t = t ₄ - t ₃. Wakati\(\Delta\) t → 0, kasi ya wastani inakaribia kasi ya haraka kwa wakati t ₀. Kwa mtazamo (a), kuongeza kasi ya papo hapo inavyoonekana kwa uhakika juu ya kasi ya kasi kwa kasi ya juu. Kwa hatua hii, kasi ya haraka ni mteremko wa mstari wa tangent, ambayo ni sifuri. Wakati mwingine wowote, mteremko wa mstari wa tangent-na hivyo kuongeza kasi ya instantaneous - haitakuwa sifuri. (b) Same kama (a) lakini umeonyesha kwa kuongeza kasi instantaneous katika kasi ya chini.

Ili kuonyesha dhana hii, hebu tuangalie mifano miwili. Kwanza, mfano rahisi unaonyeshwa kwa kutumia Kielelezo 3.3.4 (b), grafu ya wakati wa kasi ya Mfano 3.3, ili kupata kasi ya graphically. Grafu hii inaonyeshwa kwenye Mchoro\(\PageIndex{6}\) (a), ambayo ni mstari wa moja kwa moja. Grafu inayofanana ya kuongeza kasi dhidi ya wakati hupatikana kutoka kwenye mteremko wa kasi na inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{6}\) (b). Katika mfano huu, kazi ya kasi ni mstari wa moja kwa moja na mteremko wa mara kwa mara, hivyo kuongeza kasi ni mara kwa mara. Katika mfano unaofuata, kazi ya kasi ina utegemezi wa kazi ngumu zaidi kwa wakati.

Kielelezo\(\PageIndex{6}\): (a, b) Grafu ya kasi dhidi ya wakati ni mstari na ina mteremko wa mara kwa mara (a) ambao ni sawa na kuongeza kasi, umeonyeshwa katika (b).

Ikiwa tunajua fomu ya kazi ya kasi, v (t), tunaweza kuhesabu kasi ya haraka (t) wakati wowote katika mwendo kwa kutumia Equation\ ref {3.9}.

Mfano 3.6: Kuhesabu kasi ya haraka

Chembe iko katika mwendo na inaharakisha. Fomu ya kazi ya kasi ni v (t) = 20t - 5t ² m/s.

1. Pata fomu ya kazi ya kuongeza kasi.
2. Pata kasi ya instantaneous saa t = 1, 2, 3, na 5 s.
3. Pata kasi ya haraka kwa t = 1, 2, 3, na 5 s.
4. Tafsiri matokeo ya (c) kwa mujibu wa maelekezo ya vectors ya kasi na kasi.

Mkakati

Tunapata fomu ya kazi ya kuongeza kasi kwa kuchukua derivative ya kazi ya kasi. Kisha, tunahesabu maadili ya kasi ya haraka na kuongeza kasi kutoka kwa kazi zilizopewa kwa kila mmoja. Kwa sehemu (d), tunahitaji kulinganisha maelekezo ya kasi na kasi kila wakati.

Suluhisho

1. a (t) =\(\frac{dv(t)}{dt}\) dv (t) dt = 20 ÷ 10t m/s ₂
2. v (1 s) = 15 m/s, v (2 s) = 20 m/s, v (3 s) = 15 m/s, v (5 s) = -25 m/s
3. a (1 s) = 10m/s ², a (2 s) = 0m/s ², a (3 s) = -10m/s ², a (5 s) = -30m/s ²
4. Katika t = 1 s, kasi v (1 s) = 15 m/s ni chanya na kuongeza kasi ni chanya, hivyo kasi na kasi ni katika mwelekeo huo. Chembe inahamia kwa kasi.

Katika t = 2 s, kasi imeongezeka hadi v (2 s) = 20 m/s, ambapo ni kiwango cha juu, ambayo inalingana na wakati ambapo kasi ni sifuri. Tunaona kwamba kasi ya juu hutokea wakati mteremko wa kazi ya kasi ni sifuri, ambayo ni sifuri tu ya kazi ya kuongeza kasi.

Katika t = 3 s, kasi ni v (3 s) = 15 m/s na kuongeza kasi ni hasi. Chembe imepunguza kasi yake na vector ya kuongeza kasi ni hasi. Chembe inapungua.

Katika t = 5 s, kasi ni v (5 s) = -25 m/s na kuongeza kasi inazidi hasi. Kati ya nyakati t = 3 s na t = 5 s chembe imepungua kasi yake hadi sifuri halafu kuwa hasi, hivyo kugeuza mwelekeo wake. Chembe sasa inaharakisha tena, lakini kwa upande mwingine.

Tunaweza kuona matokeo haya graphically katika Kielelezo\(\PageIndex{7}\).

Kielelezo\(\PageIndex{7}\): (a) Velocity dhidi ya wakati. Mistari ya tangent huonyeshwa mara kwa mara 1, 2, na 3 s. mteremko wa mistari ya tangents ni kasi. Katika t = 3 s, kasi ni chanya. Katika t = 5 s, kasi ni hasi, kuonyesha chembe imebadilisha mwelekeo. (b) Kuharakisha dhidi ya wakati. Kulinganisha maadili ya kasi iliyotolewa na dots nyeusi na mteremko unaofanana wa mistari ya tangent (mteremko wa mistari kupitia dots nyeusi) katika (a), tunaona ni sawa.

Umuhimu

Kwa kufanya uchambuzi wa namba na graphical wa kasi na kasi ya chembe, tunaweza kujifunza mengi kuhusu mwendo wake. Uchunguzi wa namba hujaza uchambuzi wa kielelezo kwa kutoa mtazamo wa jumla wa mwendo. Zero ya kazi ya kuongeza kasi inalingana na upeo wa kasi katika mfano huu. Pia katika mfano huu, wakati kasi ni chanya na katika mwelekeo sawa na kasi, kasi huongezeka. Kama kasi inaelekea sifuri, hatimaye kuwa hasi, kasi hufikia kiwango cha juu, baada ya hapo huanza kupungua. Ikiwa tunasubiri kwa muda mrefu, kasi pia inakuwa hasi, kuonyesha mabadiliko ya mwelekeo. Mfano halisi wa ulimwengu wa aina hii ya mwendo ni gari yenye kasi inayoongezeka hadi kiwango cha juu, baada ya hapo huanza kupunguza kasi, inakuja kuacha, halafu inarudia mwelekeo.

Zoezi 3.4

ndege ardhi juu ya barabara ya kusafiri mashariki. Eleza kasi yake.

Kupata Jisikie kwa Kuharakisha

Wewe ni pengine kutumika kwa uzoefu kuongeza kasi wakati hatua katika lifti, au hatua juu ya kanyagio gesi katika gari lako. Hata hivyo, kuongeza kasi hutokea kwa vitu vingine vingi katika ulimwengu wetu ambavyo hatuna mawasiliano ya moja kwa moja. Jedwali 3.2 inatoa kasi ya vitu mbalimbali. Tunaweza kuona ukubwa wa kasi kupanua juu ya amri nyingi za ukubwa.

Jedwali 3.2 - Maadili ya kawaida ya Kuharakisha

(mikopo: Wikipedia: Maagizo ya ukubwa (kuongeza kasi))

Kuharakisha	Thamani (m/s ^2)
Treni ya kasi	0.25
Lifti	2
Cheetah	5
Kitu katika kuanguka bure bila upinzani hewa karibu na uso wa Dunia	9.8
Space kuhamisha upeo wakati wa uzinduzi	29
Parachutist kilele wakati wa ufunguzi wa kawaida wa parachute	59
F16 ndege kuunganisha nje ya kupiga mbizi	79
Ejection ya kiti cha kulipuka kutoka ndege	147
sprint kombora	982
Kasi roketi sled kilele kuongeza kasi	1540
Kuruka kiroboto	3200
Baseball akampiga na popo	30,000
Kufunga taya ya ant ya mtego-taya	1,000,000
Proton katika collider kubwa ya Hadron	1.9 x 10 ^9

Katika meza hii, tunaona kwamba kasi ya kawaida hutofautiana sana na vitu tofauti na hawana chochote cha kufanya na ukubwa wa kitu au jinsi kubwa ni. Kuharakisha pia inaweza kutofautiana sana na wakati wakati wa mwendo wa kitu. racer Drag ina kuongeza kasi kubwa tu baada ya kuanza kwake, lakini basi tapers mbali kama gari fika kasi ya mara kwa mara. Uharakishaji wake wa wastani unaweza kuwa tofauti kabisa na kasi yake ya haraka kwa wakati fulani wakati wa mwendo wake. Kielelezo\(\PageIndex{8}\) kulinganisha graphically wastani kuongeza kasi na kuongeza kasi instantaneous kwa mwendo mbili tofauti sana

Kielelezo\(\PageIndex{8}\): Grafu ya kuongeza kasi instantaneous dhidi ya muda kwa mbili tofauti mwendo moja-dimensi (a) Kuharakisha inatofautiana kidogo tu na daima ni katika mwelekeo huo, kwani ni chanya. Wastani juu ya muda ni karibu sawa na kuongeza kasi wakati wowote. (b) Kuharakisha inatofautiana sana, labda anayewakilisha mfuko kwenye ofisi ya posta conveyor ukanda kwamba ni kasi mbele na nyuma kama matuta pamoja. Ni muhimu kuzingatia vipindi vidogo vya muda (kama vile kutoka 0-1.0 s) na kasi ya mara kwa mara au karibu mara kwa mara katika hali hiyo.

Masimulizi

Jifunze kuhusu nafasi, kasi, na grafu za kuongeza kasi. Hoja mtu mdogo na kurudi na panya na njama mwendo wake. Kuweka nafasi, kasi, au kuongeza kasi na basi simulation hoja mtu kwa ajili yenu. Ziara kiungo hiki kutumia kusonga mtu simulation.