3.3: Kasi ya haraka na kasi

Malengo ya kujifunza

• Eleza tofauti kati ya kasi ya wastani na kasi ya haraka.
• Eleza tofauti kati ya kasi na kasi.
• Tumia kasi ya papo hapo kutokana na equation ya hisabati kwa kasi.
• Tumia kasi iliyotolewa kasi ya papo hapo.

Sasa tumeona jinsi ya kuhesabu kasi ya wastani kati ya nafasi mbili. Hata hivyo, tangu vitu katika ulimwengu wa kweli huenda kwa njia ya nafasi na wakati, tungependa kupata kasi ya kitu wakati wowote. Tunaweza kupata kasi ya kitu popote kwenye njia yake kwa kutumia baadhi ya kanuni za msingi za calculus. Sehemu hii inatupa ufahamu bora zaidi katika fizikia ya mwendo na itakuwa na manufaa katika sura za baadaye.

instantaneous kasi

Kiasi kinachotuambia jinsi haraka kitu kinachohamia mahali popote kando ya njia yake ni kasi ya papo hapo, kwa kawaida huitwa kasi tu. Ni kasi ya wastani kati ya pointi mbili kwenye njia katika kikomo kwamba wakati (na hivyo makazi yao) kati ya pointi mbili inakaribia sifuri. Ili kuonyesha wazo hili kwa hesabu, tunahitaji kueleza msimamo x kama kazi ya kuendelea ya t iliyoashiria x (t). Maneno ya kasi ya wastani kati ya pointi mbili kwa kutumia nukuu hii ni\(\bar{v} = \frac{x(t_{2}) - x(t_{1})}{t_{2} - t_{1}}\). Ili kupata kasi instantaneous katika nafasi yoyote, sisi basi t ₁ = t na t ₂ = t +\(\Delta\) t Baada ya kuingiza maneno haya katika equation kwa kasi ya wastani na kuchukua kikomo kama\(\Delta\) t → 0, tunapata kujieleza kwa kasi instantaneous:

\[v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t} = \frac{dx(t)}{dt} \ldotp\]

instantaneous kasi

Kasi ya haraka ya kitu ni kikomo cha kasi ya wastani kama muda uliopita unakaribia sifuri, au derivative ya x kuhusiana na t:

\[v(t) = \frac{d}{dt} x(t) \ldotp \label{3.4}\]

Kama kasi ya wastani, kasi ya papo hapo ni vector yenye urefu wa urefu kwa wakati. Kasi ya papo hapo katika hatua maalum ya wakati t ₀ ni kiwango cha mabadiliko ya kazi ya msimamo, ambayo ni mteremko wa kazi ya msimamo x (t) saa t ₀. Kielelezo\(\PageIndex{1}\) kinaonyesha jinsi kasi ya wastani\(\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}\) kati ya mara mbili inakaribia kasi ya instantaneous saa t ₀. Kasi ya papo hapo inavyoonyeshwa wakati t ₀, ambayo hutokea kuwa katika kiwango cha juu cha kazi ya nafasi. Mteremko wa grafu ya msimamo ni sifuri kwa hatua hii, na hivyo kasi ya papo hapo ni sifuri. Wakati mwingine, t ₁, t ₂, na kadhalika, kasi ya papo hapo sio sifuri kwa sababu mteremko wa grafu ya nafasi itakuwa chanya au hasi. Ikiwa kazi ya msimamo ilikuwa na kiwango cha chini, mteremko wa grafu ya msimamo pia utakuwa sifuri, kutoa kasi ya papo hapo ya sifuri huko pia. Hivyo, zero za kazi ya kasi hutoa kiwango cha chini na cha juu cha kazi ya nafasi.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Katika grafu ya msimamo dhidi ya wakati, kasi ya papo hapo ni mteremko wa mstari wa tangent kwa hatua fulani. Uwezo wa wastani\(\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_{f} - x_{i}}{t_{f} - t_{i}}\) kati ya nyakati\(\Delta\) t = t ₆ -\(\Delta\) t ₁, t = t ₅ - t ₂, na\(\Delta\) t = t ₄ - t ₃ huonyeshwa. Wakati\(\Delta\) t → 0, kasi ya wastani inakaribia kasi ya instantaneous saa t = t ₀.

Mfano 3.2: Kupata Velocity kutoka Grafu ya Nafasi dhidi ya Muda

Kutokana na grafu ya msimamo dhidi ya wakati wa Kielelezo\(\PageIndex{2}\), pata grafu ya kasi dhidi ya wakati.

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Kitu huanza katika mwelekeo mzuri, huacha kwa muda mfupi, na kisha hurudia mwelekeo, ukielekea nyuma kuelekea asili. Kumbuka kwamba kitu huja kupumzika mara moja, ambayo itahitaji nguvu isiyo na kipimo. Hivyo, grafu ni makadirio ya mwendo katika ulimwengu wa kweli. (Dhana ya nguvu inajadiliwa katika Sheria za Newton za Mwendo.)

Mkakati

Grafu ina mistari mitatu ya moja kwa moja wakati wa vipindi vitatu. Tunapata kasi wakati wa kila wakati kwa kuchukua mteremko wa mstari kwa kutumia gridi ya taifa.

Suluhisho

Muda wa muda 0 s hadi 0.5 s:\(\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{0.5\; m − 0.0\; m}{0.5\; s − 0.0\; s} = 1.0\; m/s\)

Muda wa muda 0.5 s hadi 1.0 s:\(\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{0.0\; m − 0.0\; m}{1.0\; s − 0.5\; s} = 0.0\; m/s\)

Muda wa muda 1.0 s hadi 2.0 s:\(\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{0.0\; m − 0.5\; m}{2.0\; s − 1.0\; s} = -0.5\; m/s\)

Grafu ya maadili haya ya kasi dhidi ya wakati inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{3}\).

Kielelezo\(\PageIndex{3}\): kasi ni chanya kwa sehemu ya kwanza ya safari, sifuri wakati kitu ni kusimamishwa, na hasi wakati kitu reverses mwelekeo.

Umuhimu

Wakati wa muda kati ya 0 s na 0.5 s, nafasi ya kitu ni kusonga mbali na asili na msimamo dhidi ya wakati Curve ina mteremko mzuri. Wakati wowote kando ya pembe wakati huu, tunaweza kupata kasi ya papo hapo kwa kuchukua mteremko wake, ambao ni +1 m/s, kama inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{3}\). Katika kipindi cha muda uliofuata, kati ya 0.5 s na 1.0 s, msimamo haubadilika na tunaona mteremko ni sifuri. Kutoka 1.0 s hadi 2.0 s, kitu kinasonga nyuma kuelekea asili na mteremko ni -0.5 m/s. kitu ina kugeuza mwelekeo na ina kasi hasi.

Kasi

Katika lugha ya kila siku, watu wengi hutumia maneno kasi na kasi kwa kubadilishana. Katika fizikia, hata hivyo, hawana maana sawa na ni dhana tofauti. Tofauti moja kubwa ni kwamba kasi haina mwelekeo; yaani, kasi ni scalar.

Tunaweza kuhesabu kasi ya wastani kwa kutafuta umbali wa jumla uliosafiri umegawanyika na muda uliopita:

\[Average\; speed = \bar{s} = \frac{Total\; distance}{Elapsed\; time} \ldotp \label{3.5}\]

Wastani wa kasi sio sawa na ukubwa wa kasi ya wastani, ambayo hupatikana kwa kugawanya ukubwa wa uhamisho wa jumla kwa muda uliopita. Kwa mfano, ikiwa safari inaanza na kuishia mahali pale, uhamisho wa jumla ni sifuri, na kwa hiyo kasi ya wastani ni sifuri. Kasi ya wastani, hata hivyo, si sifuri, kwa sababu umbali wa jumla uliosafiri ni mkubwa kuliko sifuri. Ikiwa tunachukua safari ya barabara ya kilomita 300 na tunahitaji kuwa kwenye marudio yetu kwa wakati fulani, basi tutavutiwa na kasi yetu ya wastani.

Hata hivyo, tunaweza kuhesabu kasi ya papo hapo kutoka ukubwa wa kasi ya papo hapo:

\[Instantaneous\; speed = |v(t)| \ldotp \label{3.6}\]

Ikiwa chembe inahamia kando ya x-axis saa +7.0 m/s na chembe nyingine inahamia kwenye mhimili huo saa -7.0 m/s, zina kasi tofauti, lakini zote mbili zina kasi sawa ya 7.0 m/s. baadhi ya kasi ya kawaida huonyeshwa katika meza ifuatayo.

Jedwali 3.1 - Kasi ya vitu mbalimbali

Kasi	m/s	mi/h
bara drift	10 ^-7	2 x 10 ^-7
Brisk kutembea	1.7	3.9
Baiskeli	4.4	10
mbio mkimbiaji	12.2	27
Kikomo cha kasi cha vijiji	24.6	56
Rekodi rasmi ya kasi ya ardhi	341.1	763
Kasi ya sauti katika usawa wa bahari	343	768
Nafasi kuhamisha juu ya reetry	7800	17,500
kutoroka kasi ya duniani*	11,200	25,000
Kasi ya Orbital ya Dunia karibu na Jua	29,783	66,623
Kasi ya mwanga katika utupu	299,792,458	670,616,629
*Kasi ya kutoroka ni kasi ambayo kitu lazima kizinduliwe ili kikishinde mvuto wa Dunia na kisichovutwa nyuma kuelekea Dunia.

Kuhesabu kasi ya papo hapo

Wakati wa kuhesabu kasi ya papo hapo, tunahitaji kutaja fomu ya wazi ya kazi ya msimamo x (t). Ikiwa kila neno katika equation x (t) ina fomu ya Katika ⁿ ambapo A ni mara kwa mara na n ni integer, hii inaweza kutofautishwa kwa kutumia utawala wa nguvu kuwa:

\[\frac{d\left(A t^{n}\right)}{d t}=A n t^{n-1} \ldotp \label{3.7}\]

Kumbuka kwamba ikiwa kuna masharti ya ziada yaliyoongezwa pamoja, kanuni hii ya nguvu ya kutofautisha inaweza kufanyika mara nyingi na suluhisho ni jumla ya masharti hayo. Mfano unaofuata unaeleza matumizi ya Equation\ ref {3.7}.

Mfano 3.3: Velocity Instantaneous dhidi ya wastani wa kasi

Msimamo wa chembe hutolewa na x (t) = 3.0t + 0.5t ³ m.

1. Kutumia Equation\ ref {3.4} na Equation\ ref {3.7}, pata kasi ya papo hapo saa t = 2.0 s.
2. Tumia kasi ya wastani kati ya 1.0 s na 3.0 s.

Mkakati

Equation\ ref {3.4} kutoa kasi instantaneous ya chembe kama derivative ya kazi nafasi. Kuangalia fomu ya kazi ya msimamo iliyotolewa, tunaona kwamba ni polynomial katika t Kwa hiyo, tunaweza kutumia Equation\ ref {3.7}, utawala wa nguvu kutoka kwa calculus, ili kupata suluhisho. Tunatumia Equation\ ref {3.6} kuhesabu kasi ya wastani ya chembe.

Suluhisho

1. v (t) =\(\frac{dx(t)}{dt}\) = 3.0 + 1.5t ² m/s Kubadilisha t = 2.0 s katika equation hii inatoa v (2.0 s) = [3.0 + 1.5 (2.0) ²] m/s = 9.0 m/s.
2. Kuamua kasi ya wastani ya chembe kati ya 1.0 s na 3.0 s, tunahesabu maadili ya x (1.0 s) na x (3.0 s):

\[x(1.0 s) = \big[(3.0)(1.0) + 0.5(1.0)^{3} \big]m = 3.5\; m\]

\[x(3.0 s) =\big[(3.0)(3.0) + 0.5(3.0)^{3}\big] m = 22.5\; m\]

Kisha kasi ya wastani ni

\[\bar{v} = \frac{x(3.0\; s) - x(1.0\; s)}{t(3.0\; s) - t(1.0\; s)} = \frac{22.5 - 3.5\; m}{3.0 - 1.0\; s} = 9.5\; m/s \ldotp\]

Umuhimu

Katika kikomo ambacho muda unaotumiwa kuhesabu\(\bar{v}\) huenda sifuri, thamani iliyopatikana kwa\(\bar{v}\) hujiunga na thamani ya v.

Mfano 3.4: Upeo wa haraka dhidi ya kasi

Fikiria mwendo wa chembe ambayo msimamo ni x (t) = 3.0t - 3t ² m.

1. Je! Ni kasi gani ya haraka katika t = 0.25 s, t = 0.50 s, na t = 1.0 s?
2. Je, ni kasi gani ya chembe wakati huu?

Mkakati

Kasi ya papo hapo ni derivative ya kazi ya nafasi na kasi ni ukubwa wa kasi ya papo hapo. Tunatumia Equation\ ref {3.4} na Equation\ ref {3.7} kutatua kwa kasi instantaneous.

Suluhisho

1. v (t)\(\frac{dx(t)}{dt}\) = 3.0 - 6.0t m/s
2. v (0.25 s) = 1.50 m/s, v (0.5 s) = 0 m/s, v (1.0 s) = -3.0 m/s
3. Kasi = |v (t) | = 1.50 m/s, 0.0 m/s, na 3.0 m/s

Umuhimu

Kasi ya chembe inatupa maelezo ya mwelekeo, kuonyesha chembe inahamia upande wa kushoto (magharibi) au kulia (mashariki). Kasi inatoa ukubwa wa kasi. By graphing nafasi, kasi, na kasi kama kazi ya muda, tunaweza kuelewa dhana hizi kuibua Kielelezo\(\PageIndex{4}\). Katika (a), grafu inaonyesha chembe inayohamia katika mwelekeo mzuri mpaka t = 0.5 s, inaporudisha mwelekeo. Kubadilishwa kwa mwelekeo pia kunaweza kuonekana katika (b) saa 0.5 s ambapo kasi ni sifuri na kisha hugeuka hasi. Katika 1.0 s ni nyuma katika asili ambapo ilianza. Kasi ya chembe katika 1.0 s katika (b) ni hasi, kwa sababu inasafiri katika mwelekeo hasi. Lakini katika (c), hata hivyo, kasi yake ni chanya na inabakia chanya wakati wa kusafiri. Tunaweza pia kutafsiri kasi kama mteremko wa grafu ya msimamo dhidi ya wakati. Mteremko wa x (t) unapungua kuelekea sifuri, kuwa sifuri saa 0.5 s na inazidi kuwa hasi baada ya hapo. Uchunguzi huu wa kulinganisha grafu ya nafasi, kasi, na kasi husaidia kupata makosa katika mahesabu. Grafu lazima iwe sawa na kila mmoja na kusaidia kutafsiri mahesabu.

Kielelezo\(\PageIndex{4}\): (a) Nafasi: x (t) dhidi ya wakati. (b) kasi: v (t) dhidi ya muda. Mteremko wa grafu ya nafasi ni kasi. Kulinganisha mbaya ya mteremko wa mistari ya tangent katika (a) saa 0.25 s, 0.5 s, na 1.0 s na maadili ya kasi kwa nyakati zinazofanana inaonyesha kuwa ni maadili sawa. (c) kasi: |v (t) | dhidi ya muda. Kasi daima ni idadi nzuri.

Zoezi 3.2

Msimamo wa kitu kama kazi ya wakati ni x (t) = -3t ² m. (a) Ni kasi gani ya kitu kama kazi ya wakati? (b) Je kasi milele chanya? (c) Ni kasi gani na kasi katika t = 1.0 s?