3.2: Nafasi, Uhamisho, na Wastani wa kasi

Malengo ya kujifunza

• Eleza msimamo, uhamisho, na umbali uliosafiri.
• Tumia uhamisho wa jumla uliopewa nafasi kama kazi ya wakati.
• Tambua umbali wa jumla uliosafiri.
• Tumia kasi ya wastani iliyotolewa na uhamisho na muda uliopita.

Unapokuwa katika mwendo, maswali ya msingi ya kuuliza ni: Uko wapi? Unakwenda wapi? Jinsi ya kufunga ni wewe kupata huko? Majibu ya maswali haya yanahitaji kutaja msimamo wako, uhamisho wako, na kasi yako ya wastani—maneno tunayofafanua katika sehemu hii.

Nafasi

Ili kuelezea mwendo wa kitu, lazima kwanza uweze kuelezea msimamo wake (x): ambapo ni wakati wowote. Kwa usahihi, tunahitaji kutaja msimamo wake kuhusiana na sura rahisi ya kumbukumbu. Sura ya kumbukumbu ni seti ya kiholela ya axes ambayo nafasi na mwendo wa kitu huelezwa. Dunia mara nyingi hutumiwa kama sura ya kumbukumbu, na mara nyingi tunaelezea msimamo wa kitu kama inavyohusiana na vitu vilivyowekwa duniani. Kwa mfano, uzinduzi roketi inaweza kuwa ilivyoelezwa katika suala la nafasi ya roketi kuhusiana na Dunia kwa ujumla, ambapo msimamo baiskeli inaweza kuwa ilivyoelezwa katika suala la ambapo yeye ni kuhusiana na majengo yeye hupita Kielelezo\(\PageIndex{1}\). Katika hali nyingine, tunatumia muafaka wa kumbukumbu ambao hauna stationary lakini unaendelea kuhusiana na Dunia. Kuelezea nafasi ya mtu katika ndege, kwa mfano, tunatumia ndege, sio Dunia, kama sura ya kumbukumbu. Ili kuelezea msimamo wa kitu kinachofanyika mwendo mmoja, mara nyingi tunatumia x variable Baadaye katika sura, wakati wa majadiliano ya kuanguka bure, tunatumia y variable.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Waendesha baiskeli hawa nchini Vietnam wanaweza kuelezewa na msimamo wao kuhusiana na majengo au mfereji. Mwendo wao unaweza kuelezewa na mabadiliko yao katika nafasi, au uhamisho, katika sura ya kumbukumbu. (mikopo: Suzan Black)

Uhamisho

Kama kitu hatua jamaa na sura ya kumbukumbu-kwa mfano, kama profesa hatua kwa jamaa haki na ubao nyeupe Kielelezo\(\PageIndex{2}\) - basi kitu ya nafasi ya mabadiliko. Mabadiliko haya katika nafasi inaitwa uhamisho. Neno la uhamisho linamaanisha kuwa kitu kimehamia, au kimehamishwa. Ingawa nafasi ni thamani ya namba ya x pamoja mstari wa moja kwa moja ambapo kitu inaweza kuwa iko, makazi yao anatoa mabadiliko katika nafasi pamoja mstari huu. Kwa kuwa uhamisho unaonyesha mwelekeo, ni vector na inaweza kuwa chanya au hasi, kulingana na uchaguzi wa mwelekeo mzuri. Pia, uchambuzi wa mwendo unaweza kuwa na uhamisho wengi ulioingia ndani yake. Ikiwa haki ni chanya na kitu kinaendelea m 2 kwa haki, kisha m 4 upande wa kushoto, uhamisho wa mtu binafsi ni 2 m na -4 m, kwa mtiririko huo.

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): profesa hatua kushoto na kulia wakati wa kuhadhiri. Msimamo wake jamaa na Dunia hutolewa na x. displacement +2.0-m ya profesa jamaa na Dunia inawakilishwa na mshale unaoelekeza haki.

Uhamisho

Uhamisho\(\Delta\) x ni mabadiliko katika nafasi ya kitu:

\[\Delta x = x_{f} - x_{0}, \label{3.1}\]

ambapo\(\Delta\) x ni makazi yao, x _f ni nafasi ya mwisho, na x ₀ ni nafasi ya awali.

Tunatumia herufi kubwa ya Kigiriki delta (\(\Delta\)) kumaanisha “mabadiliko katika” chochote kiasi kinachofuata; hivyo,\(\Delta\) x inamaanisha mabadiliko katika nafasi (nafasi ya mwisho chini ya nafasi ya awali). Sisi daima kutatua kwa ajili ya makazi yao kwa kutoa nafasi ya awali x ₀ kutoka nafasi ya mwisho x _f. Kumbuka kuwa kitengo cha SI cha uhamisho ni mita, lakini wakati mwingine tunatumia kilomita au vitengo vingine vya urefu. Kumbuka kwamba wakati vitengo vingine vya mita vinatumiwa katika tatizo, huenda ukahitaji kubadili kwa mita ili kukamilisha hesabu (angalia Kiambatisho B).

Vitu vinavyotembea vinaweza pia kuwa na mfululizo wa uhamisho. Katika mfano uliopita wa profesa wa pacing, uhamisho wa mtu binafsi ni 2 m na -4 m, kutoa makazi ya jumla ya -2 m Tunafafanua jumla ya makazi yao\(\Delta\) x _Jumla, kama jumla ya uhamisho wa mtu binafsi, na kuelezea hili kwa hisabati na mlinganyo

\[\Delta x_{Total} = \sum \Delta x_{i}, \label{3.2}\]

ambapo\(\delta\) x _i ni makazi yao ya mtu binafsi. Katika mfano wa awali,

\[\Delta x_{1} = x_{1} - x_{0} = 2 - 0 = 2\; m \ldotp\]

Vile vile,

\[\Delta x_{2} = x_{2} - x_{1} = -2 - (2) = -4 \; m \ldotp\]

Hivyo,

\[\Delta x_{total} = x_{1} + x_{2} = 2 - 4 = -2\; m \ldotp\]

Uhamisho wa jumla ni 2 ÷ 4 = -2 m upande wa kushoto, au kwa mwelekeo hasi. Pia ni muhimu kuhesabu ukubwa wa uhamisho, au ukubwa wake. Ukubwa wa makazi yao daima ni chanya. Hii ni thamani kamili ya uhamisho, kwa sababu uhamisho ni vector na hawezi kuwa na thamani hasi ya ukubwa. Katika mfano wetu, ukubwa wa makazi ya jumla ni 2 m, wakati ukubwa wa uhamisho wa mtu binafsi ni 2 m na 4 m.

Ukubwa wa makazi ya jumla haipaswi kuchanganyikiwa na umbali uliosafiri. Umbali alisafiri x _Jumla, ni jumla ya urefu wa njia alisafiri kati ya nafasi mbili. Katika tatizo la awali, umbali uliosafiri ni jumla ya ukubwa wa uhamisho wa mtu binafsi:

\[x_{total} = |x_{1}| + |x_{2}| = 2 + 4 = 6\; m \ldotp\]

Wastani wa kasi

Ili kuhesabu kiasi kingine cha kimwili katika kinematics tunapaswa kuanzisha kutofautiana wakati. Variable wakati inaruhusu sisi si tu kusema ambapo kitu ni (nafasi yake) wakati wa mwendo wake, lakini pia jinsi ya haraka ni kusonga. Jinsi ya kufunga kitu kinachohamia kinatolewa na kiwango ambacho msimamo hubadilika na wakati.

Kwa kila nafasi x _i, sisi hawawajui wakati fulani t _i. Ikiwa maelezo ya mwendo kwa kila papo si muhimu, kiwango cha kawaida kinaelezwa kama kasi ya wastani\(\bar{v}\). Kiasi hiki cha vector ni uhamisho wa jumla kati ya pointi mbili zilizogawanywa na muda uliopangwa kusafiri kati yao. Muda uliochukuliwa kusafiri kati ya pointi mbili huitwa muda uliopita\(\Delta\) t.

Wastani wa kasi

Ikiwa x ₁ na x ₂ ni nafasi za kitu wakati mwingine t ₁ na t ₂, kwa mtiririko huo, basi

\[\begin{split} Average\; velocity =\; & \bar{v} = \frac{Displacement\; between\; two\; points}{Elapsed\; time\; between\; two\; points} \\ & \bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}} \ldotp \end{split} \label{3.3}\]

Ni muhimu kutambua kwamba kasi ya wastani ni vector na inaweza kuwa hasi, kulingana na nafasi x ₁ na x ₂.

Mfano 3.1: Kutoa vipeperushi

Jill anaweka nje kutoka nyumbani kwake kutoa vipeperushi kwa yadi kuuza yake, kusafiri kutokana mashariki pamoja mitaani yake lined na nyumba. Katika kilomita 0.5 na dakika 9 baadaye anaendesha nje ya vipeperushi na anapaswa kurejesha hatua zake kurudi nyumbani kwake ili kupata zaidi. Hii inachukua ziada ya dakika 9. Baada ya kuokota vipeperushi zaidi, anaweka tena kwenye njia ile ile, akiendelea ambako aliondoka, na kuishia kilomita 1.0 kutoka nyumbani kwake. Mguu huu wa tatu wa safari yake inachukua dakika 15. Katika hatua hii yeye anarudi nyuma kuelekea nyumba yake, akielekea magharibi. Baada ya kilomita 1.75 na dakika 25 anaacha kupumzika.

1. Je, ni jumla ya makazi yao Jill ya mahali ambapo yeye ataacha kupumzika?
2. Ukubwa wa uhamisho wa mwisho ni nini?
3. Je, ni kasi ya wastani wakati wa safari yake yote?
4. Umbali wa jumla umesafiri ni nini?
5. Fanya grafu ya nafasi dhidi ya wakati. Mchoro wa harakati za Jill unaonyeshwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{3}\).

Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Timeline ya harakati Jill ya.

Mkakati

Tatizo lina data juu ya miguu mbalimbali ya safari ya Jill, hivyo itakuwa muhimu kufanya meza ya wingi wa kimwili. Tunapewa nafasi na wakati katika maneno ya tatizo ili tuweze kuhesabu uhamisho na muda uliopita. Tunachukua mashariki kuwa mwelekeo mzuri. Kutokana na habari hii tunaweza kupata makazi ya jumla na kasi ya wastani. Nyumbani Jill ni mwanzo x ₀. Jedwali lifuatalo linatoa muda wa Jill na msimamo katika nguzo mbili za kwanza, na uhamisho huhesabiwa kwenye safu ya tatu.

Muda t i (min)	Nafasi x i (km)	Uhamisho\(\Delta\) x i (km)
t 0 = 0	x 0 = 0	\(\Delta\)x 0 = 0
t 1 = 9	x 1 = 0.5	\(\Delta\)x 1 = x 1 - x 0 = 0.5
t 2 = 18	x 2 = 0	\(\Delta\)x2= x 2 - x 1 = -0.5
t 3 = 33	x 3 = 1.0	\(\Delta\)x 3 = x 3 - x 2 = 1.0
t 4 = 58	x 4 = -0.75	\(\Delta\)x 4 = x 4 - x 3 = -1.75

Suluhisho

1. Kutoka meza hapo juu, makazi ya jumla ni $$\ jumla\ Delta x_ {i} = 0.5 - 0.5 + 1.0 - 1.75\; km = -0.75\; km\ ldotp$$
2. Ukubwa wa makazi ya jumla ni |-0.75| km = 0.75 km.
3. $$Wastani\; kasi =\ frac {Jumla\; makazi yao} {Ilipita\; wakati} =\ bar {v} =\ frac {-0.75\; km} {58\; min} = -0.013\; km/min$$
4. Umbali wa jumla uliosafiri (jumla ya ukubwa wa uhamisho wa mtu binafsi) ni $$x_ {Jumla} =\ jumla |\ Delta x_ {i} | = 0.5 + 0.5 + 1.0 + 1.75\; km = 3.75\; km\ ldotp$$
5. Tunaweza graph nafasi Jill dhidi ya muda kama misaada muhimu kuona mwendo; graph ni inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{4}\).

Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Grafu hii inaonyesha msimamo wa Jill dhidi ya wakati. Kasi ya wastani ni mteremko wa mstari unaounganisha pointi za awali na za mwisho.

Umuhimu

Jill jumla makazi yao ni -0.75 km, ambayo ina maana mwisho wa safari yake yeye kuishia 0.75 km kutokana magharibi ya nyumba yake. Kasi ya wastani ina maana kama mtu angekuwa anatembea kutokana magharibi kwa 0.013 km/min kuanzia wakati huohuo Jill aliondoka nyumbani kwake, wote wawili wangeweza kufika kwenye hatua ya mwisho ya kuacha kwa wakati mmoja. Kumbuka kwamba kama Jill angeisha safari yake nyumbani kwake, makazi yake yote yatakuwa sifuri, pamoja na kasi yake ya wastani. Umbali wa jumla uliotembea wakati wa dakika 58 za muda uliopita kwa safari yake ni kilomita 3.75.

Zoezi 3.1

Baiskeli hupanda kilomita 3 magharibi na kisha hugeuka na umesimama kilomita 2 mashariki. (a) Uhamisho wake ni nini? (b) Umbali uliosafiri ni nini? (c) Ukubwa wa makazi yake ni nini?