# 2.S: Vectors (muhtasari)

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$ $$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

## Mlinganyo muhimu

 Kuzidisha kwa scalar (vector equation) $$\ vec {B} =\ alpha\ vec {A}$$ Kuzidisha kwa scalar (usawa wa scalar kwa ukubwa) $$B = |\ alpha|$$ Matokeo ya vectors mbili $$\ vec {D} _ {AD} =\ vec {D} _ {AC} +\ vec {D} _ {CD}$$ Sheria ya kubadilisha $$\ vec {A} +\ vec {B} =\ vec {B} +\ vec {A}$$ Sheria ya ushirika $$(\ vec {A} +\ vec {B}) +\ vec {C} =\ vec {A} + (\ vec {B} +\ vec {C})$$ Sheria ya usambazaji $$\ alpha_ {1}\ vec {A} +\ alpha_ {2}\ vec {A} = (\ alpha_ {1} +\ alpha_ {2})\ vec {A}$$ Fomu ya sehemu ya vector katika vipimo viwili $$\ vec {A} = A_ {x}\ kofia {i} + A_ {y}\ kofia {j}$$ Vipengele vya Scalar vya vector katika vipimo viwili $$\ kuanza {kesi} A_ {x} = x_ {e} - x_ {b}\\ A_ {y} = y_ {e} - y_ {b}\ mwisho {kesi}$$ Ukubwa wa vector katika ndege $$A =\ sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2}}$$ Angle ya mwelekeo wa vector katika ndege $$\ theta_ {A} =\ tan^ {-1}\ kushoto (\ dfrac {A_ {y}} {A_ {x}}\ haki)$$ Vipengele vya Scalar vya vector katika ndege $$\ kuanza {kesi} A_ {x} = A\ cos\ theta_ {A}\\ A_ {y} = A\ dhambi\ theta_ {A}\ mwisho {kesi}$$ Kuratibu Polar katika ndege $$\ kuanza {kesi} x = r\ cos\ varphi\\ y = r\ dhambi\ varphi\ mwisho {kesi}$$ Fomu ya sehemu ya vector katika vipimo vitatu $$\ vec {A} = A_ {x}\ kofia {i} + A_ {y}\ kofia {j} + A_ {z}\ kofia {k}$$ Sehemu ya z-scalar ya vector katika vipimo vitatu $A_ {z} = z_ {e} - z_ {b} $$Ukubwa wa vector katika vipimo vitatu$$A =\ sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2} + A_ {z} ^ {2}} $$Mali ya kusambaza$$\ alpha (\ vec {A} +\ vec {B}) =\ alpha\ vec {A} +\ alpha\ vec {B} $$Antipallel vector kwa$$\vec{A}$$$$-\ vec {A} = A_ {x}\ kofia {i} - A_ {y}\ kofia {j} - A_ {z}\ kofia {k} $$Vectors sawa$$\ vec {A} =\ vec {B}\ Leftrightarrow\ kuanza {kesi} A_ {x} = B_ {x}\\ A_ {y} = B_ {y}\\ A_ {y}\ A_ {z} = B_ {z}\ mwisho {kesi} $$Vipengele vya matokeo ya vectors N$$\ kuanza {kesi} F_ {Rx} =\ sum_ {k = 1} ^ {N} F_ {kx} = F_ {1x} + F_ {2x} +\ dots + F_ {Nx}\ F_ {Ry} =\ sum_ {k = 1} ^ {N} F_ {ky} = F_ {1y} + F_ {1y} + F_ {2y} y} +\ dots + F_ {Ny}\\ F_ {Rz} =\ sum_ {k = 1} ^ {N} F_ {kz} = F_ {1z} + F_ {2z} +\ dots + F_ {Nz}\ mwisho {kesi} $$General kitengo vector$$\ kofia {V} =\ frac {\ vec {V}} {V} $$Ufafanuzi wa bidhaa za scalar$$\ vec {A}\ cdotp\ vec {B} = AB\ cos\ varphi$$Mali ya kubadilisha ya bidhaa za scalar$$\ vec {A}\ cdotp\ vec {B} =\ vec {B}\ cdotp\ vec {A} $$Mali ya usambazaji wa bidhaa za scalar$$\ vec {A}\ cdotp (\ vec {B} +\ vec {C}) =\ vec {A}\ cdotp\ vec {B} +\ vec {A}\ cdotp\ vec {C} $$Bidhaa ya Scalar kwa suala la vipengele vya scalar vya vectors$$\ vec {A}\ cdotp\ vec {B} = A_ {x} B_ {x} + A_ {y} B_ {y} B_ {y} + A_ {z} B_ {z} $$Cosine ya angle kati ya vectors mbili$$\ cos\ varphi =\ frac {\ vec {A}\ cdotp\ vec {B}} {AB} $$Bidhaa za dot za wadudu wa kitengo$$\ kofia {i}\ cdotp\ kofia {j} =\ kofia {j}\ cdotp\ kofia {k} =\ kofia {k}\ cdotp\ kofia {i} =$0 $Ukubwa wa bidhaa ya vector (ufafanuzi) $$|\ vec {A}\ mara\ vec {B} | = AB\ dhambi\ varphi$$ Mali isiyohamishika ya bidhaa za vector $$|\ vec {A}\ mara\ vec {B} = -\ vec {B}\ mara\ vec {A}$$ Mali ya usambazaji wa bidhaa za vector $$\ vec {A}\ mara (\ vec {B} +\ vec {C}) =\ vec {A}\ mara\ vec {B} +\ vec {A}\ mara\ vec {A}\ vec {C}$$ Bidhaa za msalaba wa wadudu wa kitengo $$\ kuanza {kesi}\ kofia {i}\ mara\ kofia {j} = +\ kofia {k},\\ kofia {j}\ mara\ kofia {l} = +\ kofia {i},\\ kofia {l}\ mara\ kofia {i} = +\ kofia {j}\ ldotp\ mwisho {kesi}$$ Bidhaa ya msalaba kwa suala la vipengele vya scalar vya vectors$\ vec {A}\ mara\ vec {B} = (A_ {y} B_ {z} - A_ {z} B_ {z} B_ {y})\ kofia {i} + (A_ {z} B_ {x} - A_ {x} B_ {x} B_ {x})\ kofia {k} 

## Muhtasari

### 2.1 Scalars na Vectors

• Kiasi cha vector ni kiasi chochote ambacho kina ukubwa na mwelekeo, kama vile uhamisho au kasi.
• Kijiometri, vectors huwakilishwa na mishale, na mwisho uliowekwa na mshale. Urefu wa vector ni ukubwa wake, ambayo ni scalar chanya. Katika ndege, mwelekeo wa vector hutolewa kwa angle vector hufanya kwa mwelekeo wa kumbukumbu, mara nyingi angle na usawa. Angle ya mwelekeo wa vector ni scalar.
• Vectors mbili ni sawa ikiwa na tu ikiwa wana ukubwa sawa na maelekezo. Vectors sambamba wana pembe za mwelekeo sawa lakini wanaweza kuwa na magnitudes tofauti. Vectors antiparallel wana pembe za mwelekeo ambazo hutofautiana na 180°. Vectors Orthogonal wana pembe za mwelekeo ambazo hutofautiana na 90°.
• Wakati vector inavyoongezeka kwa scalar, matokeo ni vector nyingine ya urefu tofauti kuliko urefu wa vector ya awali. Kuzidisha kwa scalar nzuri haina mabadiliko ya mwelekeo wa awali; ukubwa tu unaathirika. Kuzidisha kwa scalar hasi kunarudia mwelekeo wa awali. Vector kusababisha ni antiparallel kwa vector awali. Kuzidisha kwa scalar ni kusambaza. Vectors zinaweza kugawanywa na scalars zisizo na sifuri lakini haziwezi kugawanywa na wadudu.
• Vectors mbili au zaidi zinaweza kuongezwa ili kuunda vector nyingine. Jumla ya vector inaitwa vector matokeo. Tunaweza kuongeza wadudu kwa wadudu au scalars kwa scalars, lakini hatuwezi kuongeza scalars kwa wadudu. Vector Aidha ni commutative na associative.
• Ili kujenga vector matokeo ya vectors mbili katika ndege kijiometri, tunatumia utawala wa parallelogram. Kujenga vector matokeo ya vectors wengi katika ndege geometrically, sisi kutumia njia mkia-kwa-kichwa.

### 2.2 Kuratibu Mifumo na Vipengele vya Vector

• Vectors ni ilivyoelezwa katika suala la vipengele vyao katika mfumo wa kuratibu. Katika vipimo viwili (katika ndege), vectors wana vipengele viwili. Katika vipimo vitatu (katika nafasi), vectors wana vipengele vitatu.
• Sehemu ya vector ya vector ni sehemu yake katika mwelekeo wa mhimili. Sehemu ya vector ni bidhaa ya vector kitengo cha mhimili na sehemu yake ya scalar kando ya mhimili huu. Vector ni matokeo ya vipengele vector yake.
• Vipengele vya Scalar vya vector ni tofauti za kuratibu, ambapo kuratibu za asili hutolewa kutoka kwa kuratibu za mwisho za vector. Katika mfumo wa mstatili, ukubwa wa vector ni mizizi ya mraba ya jumla ya mraba ya vipengele vyake.
• Katika ndege, mwelekeo wa vector hutolewa kwa angle vector ina na chanya x-axis. Angle hii ya mwelekeo inapimwa kinyume chake. Scalar x-sehemu ya vector inaweza kuelezwa kama bidhaa ya ukubwa wake na cosine ya angle yake ya mwelekeo, na scalar y sehemu inaweza walionyesha kama bidhaa ya ukubwa wake na sine ya mwelekeo wake angle.
• Katika ndege, kuna mifumo miwili ya kuratibu sawa. Mfumo wa kuratibu wa Cartesian unafafanuliwa na vectors ya kitengo$$\hat{i}$$ na$$\hat{j}$$ kando ya x-axis na y-axis, kwa mtiririko huo. Mfumo wa kuratibu wa polar hufafanuliwa na vector ya kitengo cha radial$$\hat{r}$$, ambayo inatoa mwelekeo kutoka kwa asili, na vector ya kitengo$$\hat{t}$$, ambayo ni perpendicular (orthogonal) kwa mwelekeo wa radial.

### 2.3 Algebra ya Vectors

• Mbinu za uchambuzi wa algebra ya vector zinatuwezesha kupata matokeo ya kiasi au tofauti za vectors bila ya kuwa na kuteka. Mbinu za uchambuzi wa kuongeza vector ni halisi, kinyume na mbinu za kielelezo, ambazo ni takriban.
• Mbinu za uchambuzi wa algebra ya vector hutumiwa mara kwa mara katika mitambo, umeme, na magnetism. Ni zana muhimu za hisabati za fizikia.

### 2.4 Bidhaa za Vectors

• Kuna aina mbili za kuzidisha kwa vectors. Aina moja ya kuzidisha ni bidhaa ya scalar, pia inajulikana kama bidhaa ya dot. Aina nyingine ya kuzidisha ni bidhaa ya vector, pia inajulikana kama bidhaa ya msalaba. Bidhaa ya scalar ya vectors ni namba (scalar). Bidhaa ya vector ya vectors ni vector.
• Aina zote mbili za kuzidisha zina mali ya kusambaza, lakini bidhaa tu ya scalar ina mali ya kubadilisha. Bidhaa ya vector ina mali ya kupambana na maambukizi, ambayo ina maana kwamba tunapobadilisha utaratibu ambao vectors mbili huongezeka, matokeo hupata ishara ndogo.
• Bidhaa ya scalar ya vectors mbili hupatikana kwa kuzidisha ukubwa wao na cosine ya angle kati yao. Bidhaa ya scalar ya vectors orthogonal hupotea; bidhaa ya scalar ya vectors antiparallel ni hasi.
• Bidhaa ya vector ya vectors mbili ni vector perpendicular kwa wote wawili. Ukubwa wake unapatikana kwa kuzidisha ukubwa wao kwa sine ya angle kati yao. Mwelekeo wa bidhaa ya vector unaweza kuamua na utawala wa mkono wa kulia wa mkuta. Bidhaa ya vector ya vectors mbili sambamba au antiparallel hutoweka. Ukubwa wa bidhaa ya vector ni kubwa kwa vectors orthogonal.
• Bidhaa ya scalar ya wadudu hutumiwa kupata pembe kati ya wadudu na katika ufafanuzi wa kiasi kilichotokana na scalar kimwili kama vile kazi au nishati.
• Bidhaa ya msalaba wa wadudu hutumiwa katika ufafanuzi wa wingi wa kimwili wa vector inayotokana kama vile nguvu au magnetic nguvu, na katika kuelezea mzunguko.