Skip to main content
Global

2.E: Vectors (Mazoezi)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    176614

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Maswali ya dhana

    2.1 Scalars na Vectors

    1. Utabiri wa hali ya hewa unasema halijoto inatabiriwa kuwa -5 °C siku iliyofuata. Je! Joto hili ni vector au kiasi cha scalar? Eleza.
    2. Ni ipi kati ya yafuatayo ni vector: urefu wa mtu, urefu juu ya Mlima. Everest, kasi ya kuruka, umri wa Dunia, kiwango cha kuchemsha cha maji, gharama ya kitabu, idadi ya watu wa dunia, au kuongeza kasi ya mvuto?
    3. Kutoa mfano maalum wa vector, akisema ukubwa wake, vitengo, na mwelekeo.
    4. Je, vectors na scalars zina sawa? Wanatofautiaje?
    5. Tuseme kuongeza wadudu wawili\(\vec{A}\) na\(\vec{B}\). Ni mwelekeo gani wa jamaa kati yao hutoa matokeo na ukubwa mkubwa? Ukubwa wa kiwango cha juu ni nini? Ni mwelekeo gani wa jamaa kati yao hutoa matokeo na ukubwa mdogo zaidi? Ukubwa wa chini ni nini?
    6. Inawezekana kuongeza kiasi cha scalar kwa kiasi cha vector?
    7. Inawezekana kwa vectors mbili za ukubwa tofauti ili kuongeza sifuri? Inawezekana kwa vectors tatu za ukubwa tofauti ili kuongeza sifuri? Eleza.
    8. Je, odometer katika gari inaonyesha scalar au kiasi cha vector?
    9. Wakati 10,000-m mwanariadha mashindano ya kufuatilia 400-m huvuka mstari wa kumaliza, ni nini mkimbiaji wa wavu makazi yao? Je! Uhamisho huu unaweza kuwa sifuri? Eleza.
    10. Vector ina ukubwa wa sifuri. Je, ni muhimu kutaja mwelekeo wake? Eleza.
    11. Je! Ukubwa wa vector unaweza kuwa hasi?
    12. Je, ukubwa wa uhamisho wa chembe unaweza kuwa mkubwa zaidi kuliko umbali uliotembea?
    13. Ikiwa vectors mbili ni sawa, unaweza kusema nini kuhusu vipengele vyao? Unaweza kusema nini kuhusu ukubwa wao? Unaweza kusema nini kuhusu maelekezo yao?
    14. Ikiwa wadudu watatu wanajumuisha hadi sifuri, ni hali gani ya kijiometri wanakidhi?

    2.2 Kuratibu Mifumo na Vipengele vya Vector

    1. Kutoa mfano wa vector nonzero ambayo ina sehemu ya sifuri.
    2. Eleza kwa nini vector haiwezi kuwa na sehemu kubwa kuliko ukubwa wake mwenyewe.
    3. Ikiwa vectors mbili ni sawa, unaweza kusema nini kuhusu vipengele vyao?
    4. Ikiwa vectors\(\vec{A}\) na\(\vec{B}\) ni orthogonal, ni sehemu gani ya\(\vec{B}\) pamoja na mwelekeo wa\(\vec{A}\)? Ni sehemu gani ya\(\vec{A}\) pamoja na mwelekeo wa\(\vec{B}\)?
    5. Ikiwa moja ya vipengele viwili vya vector sio sifuri, je, ukubwa wa sehemu nyingine ya vector ya vector hii inaweza kuwa sifuri?
    6. Ikiwa vectors mbili zina ukubwa sawa, je, vipengele vyao vinapaswa kuwa sawa?

    2.4 Bidhaa za Vectors

    1. Ni nini kibaya na maneno yafuatayo? Unawezaje kuwasahihisha?
      1. \(C = \vec{A} \vec{B}\),
      2. \(\vec{C} = \vec{A} \vec{B}\),
      3. \(C = \vec{A} \times \vec{B}\),
      4. \(C = A \vec{B}\),
      5. \(C + 2 \vec{A} = B \),
      6. \(\vec{C} = A \times \vec{B}\),
      7. \(\vec{A} \cdotp \vec{B} = \vec{A} \times \vec{B}\),
      8. \(\vec{C} = 2 \vec{A} \cdotp \vec{B}\),
      9. \(C = \vec{A} / \vec{B}\), na
      10. \(C = \vec{A} /B\).
    2. Ikiwa bidhaa ya msalaba wa vectors mbili hupotea, unaweza kusema nini kuhusu maelekezo yao?
    3. Ikiwa bidhaa ya dot ya vectors mbili hupotea, unaweza kusema nini kuhusu maelekezo yao?
    4. Je! Ni bidhaa gani ya dot ya vector yenye bidhaa ya msalaba ambayo vector hii ina vector nyingine?

    Matatizo

    2.1 Scalars na Vectors

    1. Mchezaji wa scuba hufanya kupungua kwa polepole ndani ya kina cha bahari. Msimamo wake wima kwa heshima na mashua juu ya uso hubadilika mara kadhaa. Anafanya kuacha kwanza 9.0 m kutoka kwenye mashua lakini ana tatizo la kusawazisha shinikizo, hivyo anapaa 3.0 m halafu anaendelea kushuka kwa m nyingine 12.0 hadi kuacha pili. Kutoka huko, hupanda m 4 na kisha kushuka kwa 18.0 m, hupanda tena kwa m 7 na kushuka tena kwa 24.0 m, ambako anafanya kuacha, akisubiri rafiki yake. Kutokana mwelekeo chanya hadi uso, kueleza yake wavu wima makazi yao vector katika suala la kitengo vector. Umbali wake na mashua ni nini?
    2. Katika mchezo wa tug-of-vita kwenye chuo kimoja, wanafunzi 15 huvuta kamba kwenye ncha zote mbili kwa jitihada za kuondoa fundo la kati kwa upande mmoja au nyingine. Wanafunzi wawili huvuta kwa nguvu 196 N kila upande wa kulia, wanafunzi wanne huvuta kwa nguvu 98 N kila upande wa kushoto, wanafunzi watano huvuta kwa nguvu 62 N kila upande wa kushoto, wanafunzi watatu huvuta kwa nguvu 150 N kila upande wa kulia, na mwanafunzi mmoja huchota kwa nguvu 250 N upande wa kushoto. Kutokana na mwelekeo mzuri kwa haki, onyesha kuvuta wavu kwenye ncha kwa suala la vector ya kitengo. Je, ni kubwa sana ya kuvuta kwenye ncha? Katika mwelekeo gani?
    3. Tuseme unatembea 18.0 m moja kwa moja magharibi na kisha 25.0 m moja kwa moja kaskazini. Je! Umbali gani kutoka hatua yako ya kuanzia na ni mwelekeo gani wa dira wa mstari unaounganisha hatua yako ya kuanzia kwenye nafasi yako ya mwisho? Tumia njia ya kielelezo.
    4. Kwa vectors iliyotolewa katika takwimu zifuatazo, tumia njia ya kielelezo ili kupata matokeo yafuatayo:
      1. \(\vec{A} + \vec{B}\),
      2. \(\vec{C} + \vec{B}\),
      3. \(\vec{D} + \vec{F}\),
      4. \(\vec{A} − \vec{B}\),
      5. \(\vec{D} − \vec{F}\),
      6. \(\vec{A} + 2 \vec{F}\),
      7. \(\vec{A} − 4 \vec{D} + 2 \vec{F}\).

    Mfumo wa kuratibu x y unaonyeshwa, na x chanya kwa haki na chanya y up. Vector A ina ukubwa 10.0 na hufanya angle ya digrii 30 juu ya mwelekeo mzuri x. Vector B ina ukubwa 5.0 na hufanya angle ya digrii 53 juu ya mwelekeo mzuri x. Vector C ina ukubwa 12.0 na hufanya angle ya digrii 60 chini ya mwelekeo mzuri x. Vector D ina ukubwa 20.0 na hufanya angle ya digrii 37 juu ya mwelekeo hasi x. Vector F ina ukubwa 20.0 na hufanya angle ya digrii 30 chini ya mwelekeo hasi x.

    1. Mtu wa kujifungua anaanza ofisi ya posta, anatoa kilomita 40 kaskazini, kisha kilomita 20 magharibi, halafu kilomita 60 kaskazini, na hatimaye kilomita 50 kaskazini kuacha chakula cha mchana. Tumia njia ya graphical ili kupata vector yake ya uhamisho wavu.
    2. mbwa adventurous hupotea kutoka nyumbani, anaendesha vitalu tatu mashariki, vitalu mbili kaskazini, moja block mashariki, moja block kaskazini, na vitalu viwili magharibi. Kutokana kwamba kila block ni juu ya 100 m, jinsi mbali na nyumbani na katika mwelekeo gani ni mbwa? Tumia njia ya kielelezo.
    3. Katika jaribio la kutoroka kisiwa cha jangwa, castaway hujenga raft na huweka baharini. Upepo hubadilika sana wakati wa mchana na anapulizwa kwa njia zifuatazo: 2.50 km na 45.0° kaskazini mwa magharibi, halafu kilomita 4.70 na 60.0° kusini mwa mashariki, halafu km 1.30 na 25.0° kusini mwa magharibi, halafu kilomita 5.10 moja kwa moja mashariki, halafu kilomita 1.70 na 5.00° mashariki mwa kaskazini, halafu kilomita 7.20 na 55.0 kusini mwa magharibi, na hatimaye 2.80 km na 10.0° kaskazini ya mashariki. Tumia njia ya kielelezo ili kupata nafasi ya mwisho ya castaway ikilinganishwa na kisiwa hicho.
    4. Ndege ndogo inaruka km 40.0 katika mwelekeo 60° kaskazini mwa mashariki halafu inaruka kilomita 30.0 katika mwelekeo 15° kaskazini mwa mashariki. Tumia njia ya kielelezo ili kupata umbali wa jumla ndege inashughulikia kutoka mwanzo na mwelekeo wa njia ya nafasi ya mwisho.
    5. Mtembezi hutembea umbali wa mstari wa moja kwa moja wa kilomita 5.0 kutoka kwenye cabin yake hadi ziwa, kama inavyoonekana katika takwimu ifuatayo. Tumia mbinu ya graphical (utawala wa parallelogram) ili kuamua uhamisho wa trapper moja kwa moja upande wa mashariki na uhamisho moja kwa moja kaskazini ambayo jumla hadi vector yake ya matokeo ya makazi yao. Ikiwa mtembezi alitembea tu kwa pande mashariki na kaskazini, akipiga njia yake kwenda ziwa, ni kilomita ngapi angepaswa kutembea ili kufikia ziwa?

    Kaskazini ni juu, mashariki ni haki. Nyumba na ziwa zinaonyeshwa. Mfumo wa kuratibu wa x y pia umeonyeshwa, na asili karibu na nyumba, mwelekeo mzuri wa x kwa haki na mwelekeo mzuri. Vector kutoka nyumba hadi ziwa inavyoonekana kama mshale wa moja kwa moja nyekundu, ulioitwa kama vector S, ukubwa S = kilomita 5.0, na kwa angle ya digrii 40 juu ya mwelekeo x posiitve. Njia mbili za kutembea, njia ya 1 na njia ya 2, kutoka nyumba hadi ziwa zinaonyeshwa kama mstari uliopigwa.

    1. Mtafiti hupima umbali katika mto unaotiririka kaskazini moja kwa moja kwa njia ifuatayo. Kuanzia moja kwa moja kutoka kwenye mti kwenye benki kinyume, mtafiti hutembea mita 100 kando ya mto ili kuanzisha msingi. Kisha anatazama kwenye mti na anasoma kwamba pembe kutoka msingi hadi mti ni 35°. Mto ni upana gani?
    2. Mtembezi anatembea kilomita 6.0 mashariki na kisha kilomita 13.0 kaskazini. Tumia njia ya kielelezo ili kupata uhamisho wa matokeo ya wapita na mwelekeo wa kijiografia.
    3. Ukubwa wa vectors mbili za makazi yao ni A = 20 m na B = 6 m.Je, ni maadili makubwa na madogo zaidi ya ukubwa wa matokeo\(\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}\)?

    2.2 Kuratibu Mifumo na Vipengele vya Vector

    1. Kutokana x-axis ni usawa na pointi ya haki, kutatua wadudu waliotolewa katika takwimu zifuatazo kwa vipengele vyao scalar na kuwaeleza katika vector sehemu fomu.

    Mfumo wa kuratibu x y unaonyeshwa, na x chanya kwa haki na chanya y up. Vector A ina ukubwa 10.0 na hufanya angle ya digrii 30 juu ya mwelekeo mzuri x. Vector B ina ukubwa 5.0 na hufanya angle ya digrii 53 juu ya mwelekeo mzuri x. Vector C ina ukubwa 12.0 na hufanya angle ya digrii 60 chini ya mwelekeo mzuri x. Vector D ina ukubwa 20.0 na hufanya angle ya digrii 37 juu ya mwelekeo hasi x. Vector F ina ukubwa 20.0 na hufanya angle ya digrii 30 chini ya mwelekeo hasi x.

    1. Tuseme unatembea 18.0 m moja kwa moja magharibi na kisha 25.0 m moja kwa moja kaskazini. Je, wewe ni mbali gani kutoka hatua yako ya kuanzia? Je! Ni vector yako ya makazi? Ni mwelekeo gani wa uhamisho wako? Fikiria x-axis ni upande wa mashariki.
    2. Unaendesha kilomita 7.50 katika mstari wa moja kwa moja katika mwelekeo 15° mashariki mwa kaskazini. (a) Kupata umbali ungekuwa kuendesha moja kwa moja mashariki na kisha moja kwa moja kaskazini kufika katika hatua moja. (b) Onyesha kwamba bado unakuja kwenye hatua moja ikiwa miguu ya mashariki na kaskazini inabadilishwa kwa utaratibu. Fikiria xaxis + ni upande wa mashariki.
    3. Sledge inavutwa na farasi wawili kwenye eneo la gorofa. Nguvu ya wavu kwenye sledge inaweza kuonyeshwa katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian kama vector\(\vec{F}\) = (-2980.0\(\hat{i}\) + 8200.0\(\hat{j}\)) N, wapi\(\hat{i}\) na\(\hat{j}\) kuashiria maelekezo ya mashariki na kaskazini, kwa mtiririko huo. Pata ukubwa na mwelekeo wa kuvuta.
    4. Mtembezi hutembea umbali wa mstari wa moja kwa moja wa kilomita 5.0 kutoka kwenye cabin yake hadi ziwa, kama inavyoonekana katika takwimu ifuatayo. Kuamua vipengele vya mashariki na kaskazini vya vector yake ya makazi yao. Je, ni kilomita ngapi zaidi angepaswa kutembea ikiwa anatembea pamoja na uhamisho wa sehemu? Vector yake ya makazi ni nini?

    Vector kutoka cabin hadi ziwa ni vector S, ukubwa kilomita 5.0 na kuonyesha digrii 40 kaskazini mwa mashariki. Mbili ya ziada meandering njia ni umeonyesha na kinachoitwa njia 1 na njia 2.

    1. Kuratibu polar ya uhakika ni\(\frac{4 \pi}{3}\) na 5.50 m Je, ni kuratibu zake za Cartesian?
    2. Pointi mbili katika ndege zina viwianishi vya polar P 1 (2.500 m,\(\frac{\pi}{6}\)) na P 2 (3.800 m,\(\frac{2 \pi}{3}\)). Kuamua kuratibu zao za Cartesian na umbali kati yao katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian. Pande umbali wa sentimita ya karibu.
    3. Chameleon inapumzika kimya kimya kwenye skrini ya lanai, akisubiri wadudu kuja. Fikiria asili ya mfumo wa kuratibu wa Cartesian kwenye kona ya chini ya mkono wa kushoto wa skrini na mwelekeo usio na usawa kwenda kulia kama mwelekeo +x. Ikiwa kuratibu zake ni (2.000 m, 1.000 m), (a) ni mbali gani kutoka kona ya skrini? (b) Eneo lake katika kuratibu polar ni nini?
    4. Pointi mbili katika ndege ya Cartesian ni A (2.00 m, -4.00 m) na B (-3.00 m, 3.00 m). Find umbali kati yao na kuratibu zao Polar.
    5. Kuruka huingia kupitia dirisha la wazi na huzunguka chumba. Katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian na shoka tatu kwenye kando tatu za chumba, kuruka hubadilisha msimamo wake kutoka hatua b (4.0 m, 1.5 m, 2.5 m) hadi kumweka e (1.0 m, 4.5 m, 0.5 m). Pata vipengele vya scalar vya vector ya uhamisho wa kuruka na ueleze vector yake ya uhamisho katika fomu ya sehemu ya vector. Ukubwa wake ni nini?

    2.3 Algebra ya Vectors

    1. Kwa vectors\(\vec{B} = − \hat{i} − 4 \hat{j}\) na\(\vec{A} = −3 \hat{i} − 2 \hat{j}\), kuhesabu (a)\(\vec{A} + \vec{B}\) na ukubwa wake na mwelekeo angle, na (b)\(\vec{A} − \vec{B}\) na ukubwa wake na mwelekeo angle.
    2. Chembe inakabiliwa na uhamisho wa tatu mfululizo uliotolewa na wadudu\(\vec{D}_{1}\) = (\(\hat{i}\)3.0 - 4.0\(\hat{j}\) ÷ 2.0\(\hat{k}\)) mm,\(\vec{D}_{2}\) = (1.0\(\hat{i}\) - 7.0\(\hat{j}\) + 4.0\(\hat{i}\)) mm, na\(\vec{D}_{3}\) = (-7.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\) + 1.0\(\hat{k}\)) mm. (a) Pata vector ya uhamisho wa chembe. (b) Ukubwa wa uhamisho wa matokeo ni nini? (c) Ikiwa uhamisho wote walikuwa pamoja na mstari mmoja, ni umbali gani chembe ingeweza kusafiri?
    3. Kutokana na vectors mbili za makazi yao\(\vec{A}\) = (3.00\(\hat{i}\) - 4.00\(\hat{j}\) + 4.00\(\hat{k}\)) m na\(\vec{B}\) = (\(\hat{j}\)2.00\(\hat{i}\) + 3.00 - 7.00\(\hat{k}\)) m, tafuta uhamisho na ukubwa wao kwa (a)\(\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}\) na (b)\(\vec{D} = 2 \vec{A} − \vec{B}\).
    4. Ndege ndogo inaruka km 40.0 katika mwelekeo 60° kaskazini mwa mashariki halafu inaruka kilomita 30.0 katika mwelekeo 15° kaskazini mwa mashariki. Tumia njia ya uchambuzi ili kupata umbali wa jumla ndege inashughulikia kutoka hatua ya mwanzo, na mwelekeo wa kijiografia wa vector yake ya makazi yao. Vector yake ya uhamisho ni nini?
    5. . Katika jaribio la kutoroka kisiwa cha jangwa, castaway hujenga raft na huweka baharini. Upepo hubadilika sana wakati wa mchana, na hupigwa kwenye mistari inayofuata sawa: 2.50 km na 45.0° kaskazini mwa magharibi, halafu kilomita 4.70 na 60.0° kusini mwa mashariki, halafu kilomita 1.30 na 25.0° kusini mwa magharibi, halafu kilomita 5.10 kutokana na mashariki, halafu kilomita 1.70 na 5.00° mashariki mwa kaskazini, halafu kilomita 7.20 na 55.0° kusini mwa magharibi, na hatimaye 2.80 km na 10.0° kaskazini ya mashariki. Tumia njia ya uchambuzi ili kupata vector matokeo ya vectors yake yote ya makazi yao. Ukubwa wake na mwelekeo wake ni nini?
    6. Kutokana na x-axis ni usawa na haki kwa wadudu waliotolewa katika takwimu zifuatazo, tumia njia ya uchambuzi ili kupata matokeo yafuatayo:
      1. \(\vec{A} + \vec{B}\),
      2. \(\vec{C} + \vec{B}\),
      3. \(\vec{D} + \vec{F}\),
      4. \(\vec{A} - \vec{B}\),
      5. \(\vec{D} - \vec{F}\),
      6. \(\vec{A} + 2 \vec{F}\),
      7. \(\vec{C} - 2 \vec{B} + 3 \vec{F}\), na
      8. \(\vec{A} - 4 \vec{D} + 2 \vec{F}\).
    7. Kutokana na wadudu katika takwimu iliyotangulia, pata vector\(\vec{R}\) ambayo hutatua equations (a)\(\vec{D} + \vec{R} = \vec{F}\) na (b)\(\vec{C} - 2 \vec{D} + 5 \vec{R} = 3 \vec{F}\). Fikiria x-axis ni usawa na haki.
    8. Mtu wa kujifungua anaanza ofisi ya posta, anatoa kilomita 40 kaskazini, kisha kilomita 20 magharibi, halafu kilomita 60 kaskazini, na hatimaye kilomita 50 kaskazini kuacha chakula cha mchana. Tumia njia ya uchambuzi kuamua yafuatayo: (a) Kupata yake wavu makazi yao vector. (b) Ni mbali gani mgahawa kutoka ofisi ya posta? (c) Kama yeye anarudi moja kwa moja kutoka mgahawa kwa ofisi ya posta, ni nini makazi yake vector juu ya safari ya kurudi? (d) Dira yake inaelekea safari ya kurudi nini? Fikiria x-axis ni upande wa mashariki.
    9. mbwa adventurous hupotea kutoka nyumbani, anaendesha vitalu tatu mashariki, vitalu viwili kaskazini, na kuzuia moja mashariki, moja ya kuzuia kaskazini, na vitalu viwili magharibi. Kutokana kwamba kila block ni kuhusu 100 yd, kutumia njia ya uchambuzi kupata mbwa wavu makazi yao vector, ukubwa wake, na mwelekeo wake. Fikiria x-axis ni upande wa mashariki. Jibu lako lingeathirije ikiwa kila kizuizi kilikuwa karibu m 100?
    10. Kama\(\vec{D}\) = (6.00\(\hat{i}\) - 8.00\(\hat{j}\) m,\(\vec{B}\) = (-8.00\(\hat{i}\) + 3.00\(\hat{j}\)) m, na\(\vec{A}\) = (26.0\(\hat{i}\) + 19.0\(\hat{j}\)) m, kupata constants haijulikani a na b kama kwamba a\(\vec{D} + b \vec{B} + \vec{A} = \vec{0}\).
    11. Kutokana na vector ya uhamisho\(\vec{D}\) =\(\hat{i}\) (3 ÷ 4\(\hat{j}\)) m, pata vector ya uhamisho\(\vec{R}\) ili\(\vec{D}\) +\(\vec{R}\) = -4D\(\hat{j}\).
    12. Pata vector ya kitengo cha mwelekeo kwa wingi wa vector zifuatazo: (a) Nguvu\(\vec{F}\) = (3.0\(\hat{i}\) - 2.0\(\hat{j}\)) N, (b) makazi\(\vec{D}\) = (-3.0\(\hat{i}\) - 4.0\(\hat{j}\)) m, na (c) kasi\(\vec{v}\) = (-5.00\(\hat{i}\) + 4.00\(\hat{j}\)) m/s.
    13. Kwa wakati mmoja katika nafasi, mwelekeo wa vector shamba la umeme hutolewa katika mfumo wa Cartesian na vector kitengo\(\hat{E} = \frac{1}{\sqrt{5}} \hat{i} - \frac{2}{\sqrt{5}} \hat{j}\). Ikiwa ukubwa wa vector ya shamba la umeme ni E = 400.0 V/m, ni vipengele gani vya scalar E x, E y, na E z ya vector ya shamba la umeme kwa\(\vec{E}\) hatua hii? Je! Ni angle ya mwelekeo\(\theta_{E}\) wa vector ya shamba la umeme katika hatua hii?
    14. Barge ni vunjwa na tugboats mbili inavyoonekana katika takwimu zifuatazo. Tugboat moja huchota kwenye majahazi kwa nguvu ya ukubwa wa vitengo 4000 vya nguvu saa 15° juu ya mstari AB (angalia takwimu na tugboat nyingine huvuta kwenye majahazi kwa nguvu ya ukubwa wa vitengo 5000 vya nguvu saa 12° chini ya mstari AB. Tatua vikosi vya kuunganisha kwenye vipengele vyao vya scalar na kupata vipengele vya nguvu inayosababisha kuunganisha kwenye barge. Ukubwa wa kuvuta matokeo ni nini? Mwelekeo wake ni kuhusiana na mstari AB?
    15. Katika mnara wa kudhibiti kwenye uwanja wa ndege wa kikanda, mtawala wa trafiki wa hewa anaangalia ndege mbili kama nafasi zao zinabadilika kwa heshima na mnara wa kudhibiti. Ndege moja ni carrier wa mizigo Boeing 747 na ndege nyingine ni Douglas DC-3. Boeing iko kwenye kimo cha 2500 m, ikipanda saa 10° juu ya usawa, na kusonga 30° kaskazini mwa magharibi. DC-3 ni katika urefu wa 3000 m, kupanda katika 5° juu ya usawa, na cruising moja kwa moja magharibi. (a) Kupata vectors nafasi ya ndege jamaa na mnara kudhibiti. (b) Ni umbali gani kati ya ndege wakati mtawala wa trafiki ya hewa anafanya maelezo kuhusu nafasi zao?

    2.4 Bidhaa za Vectors

    1. Kutokana na x-axis ni usawa na haki kwa vectors katika takwimu zifuatazo, kupata bidhaa zifuatazo scalar:
      1. \(\vec{A} \cdotp \vec{C}\),
      2. \(\vec{A} \cdotp \vec{F}\),
      3. \(\vec{D} \cdotp \vec{C}\),
      4. \(\vec{A} \cdotp ( \vec{F} + 2 \vec{C})\),
      5. \(\hat{i} \cdotp \vec{B}\),
      6. \(\hat{j} \cdotp \vec{B}\),
      7. \((3 \hat{i} - \hat{j}) \cdotp \vec{B}\)na
      8. \(\hat{B} \cdotp \vec{B}\).

    Mfumo wa kuratibu x y una x chanya kwa haki na chanya y up. Vector A ina ukubwa 10.0 na inaonyesha digrii 30 kinyume na mwelekeo mzuri wa x. Vector B ina ukubwa 5.0 na pointi 53 digrii kinyume na mwelekeo chanya x. Vector C ina ukubwa 12.0 na inaonyesha digrii 60 saa moja kwa moja kutoka mwelekeo mzuri x. Vector D ina ukubwa 20.0 na inaonyesha digrii 37 saa moja kwa moja kutoka mwelekeo hasi x. Vector F ina ukubwa wa 20.0 na inaonyesha digrii 30 kinyume na mwelekeo wa x hasi.

    1. Kutokana x-axis ni usawa na haki kwa wadudu katika takwimu iliyotangulia, kupata (a) sehemu ya vector\(\vec{A}\) pamoja vector\(\vec{C}\), (b) sehemu ya vector\(\vec{C}\) pamoja vector\(\vec{A}\), (c) sehemu ya vector\(\hat{i}\) pamoja vector\(\vec{F}\), na (d) sehemu ya vector\(\vec{F}\) pamoja vector\(\hat{i}\).
    2. Pata angle kati ya vectors kwa
      1. \(\vec{D}\)= (-3.0\(\hat{i}\) - 4.0\(\hat{j}\)) m na\(\vec{A}\) = (-3.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\)) m na
      2. \(\vec{D}\)= (2.0\(\hat{i}\) - 4.0\(\hat{j}\) +\(\hat{k}\)) m na\(\vec{B}\) = (-2.0\(\hat{i}\) + 3.0\(\hat{j}\) + 2.0\(\hat{k}\)) m.
    3. Pata pembe ambazo vector\(\vec{D}\) = (2.0\(\hat{i}\) - 4.0\(\hat{j}\) +\(\hat{k}\)) m hufanya na x-, y-, na z-axes.
    4. Onyesha kwamba vector nguvu\(\vec{D}\) = (\(\hat{i}\)2.0 - 4.0\(\hat{j}\) +\(\hat{k}\)) N ni orthogonal kwa vector nguvu\(\vec{G}\) = (3.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\) + 10.0\(\hat{k}\)) N.
    5. Kutokana na x-axis ni usawa na haki kwa vectors katika takwimu zifuatazo, kupata bidhaa zifuatazo vector:
      1. \(\vec{A} \times \vec{C}\),
      2. \(\vec{A} \times \vec{F}\),
      3. \(\vec{D} \times \vec{C}\)
      4. \(\vec{A} \times (\vec{F} + 2 \vec{C})\),
      5. \(\hat{i} \times \vec{B}\),
      6. \(\hat{j} \times \vec{B}\),
      7. \((3 \hat{i} - \hat{j}) \times \vec{B}\)na
      8. \(\hat{B} \times \vec{B}\).

    Mfumo wa kuratibu x y una x chanya kwa haki na chanya y up. Vector A ina ukubwa 10.0 na inaonyesha digrii 30 kinyume na mwelekeo mzuri wa x. Vector B ina ukubwa 5.0 na pointi 53 digrii kinyume na mwelekeo chanya x. Vector C ina ukubwa 12.0 na inaonyesha digrii 60 saa moja kwa moja kutoka mwelekeo mzuri x. Vector D ina ukubwa 20.0 na inaonyesha digrii 37 saa moja kwa moja kutoka mwelekeo hasi x. Vector F ina ukubwa wa 20.0 na inaonyesha digrii 30 kinyume na mwelekeo wa x hasi.

    1. Pata bidhaa\(\vec{A} \times \vec{C}\) ya msalaba
      1. \(\vec{A}\)= 2.0\(\hat{i}\) - 4.0\(\hat{j}\) +\(\hat{k}\) na\(\vec{C}\) = 3.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\) + 10.0\(\hat{k}\),
      2. \(\vec{A}\)= 3.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\) + 10.0\(\hat{k}\) na\(\vec{C}\) = 2.0\(\hat{i}\) - 4.0\(\hat{j}\) +\(\hat{k}\),
      3. \(\vec{A}\)= -3.0\(\hat{i}\) - 4.0\(\hat{j}\) na\(\vec{C}\) = -3.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\), na
      4. \(\vec{C}\)= -2.0\(\hat{i}\) + 3.0\(\hat{j}\) + 2.0\(\hat{k}\) na\(\vec{A}\) = -9.0\(\hat{j}\).
    2. Kwa wadudu katika takwimu zifuatazo, tafuta (a) (\(\vec{A} \times \vec{F} \cdotp \vec{D}\)), (b) (\(\vec{A} \times \vec{F}) \cdotp (\vec{A} \times \vec{C}\)), na (c) (\(\vec{A} \cdotp \vec{F})(\vec{D} \times \vec{B}\)).

    Mfumo wa kuratibu x y una x chanya kwa haki na chanya y up. Vector A ina ukubwa 10.0 na inaonyesha digrii 30 kinyume na mwelekeo mzuri wa x. Vector B ina ukubwa 5.0 na pointi 53 digrii kinyume na mwelekeo chanya x. Vector C ina ukubwa 12.0 na inaonyesha digrii 60 saa moja kwa moja kutoka mwelekeo mzuri x. Vector D ina ukubwa 20.0 na inaonyesha digrii 37 saa moja kwa moja kutoka mwelekeo hasi x. Vector F ina ukubwa wa 20.0 na inaonyesha digrii 30 kinyume na mwelekeo wa x hasi.

    1. (a) Kama\(\vec{A} \times \vec{F} = \vec{B} \times \vec{F}\), tunaweza kuhitimisha\(\vec{A}\) =\(\vec{B}\)? (b) Kama\(\vec{A} \cdotp \vec{F}\) =\(\vec{B} \cdotp \vec{F}\), tunaweza kuhitimisha\(\vec{A}\) =\(\vec{B}\)? (c) Kama\(F \vec{A}\) =\(\vec{B} F\), tunaweza kuhitimisha\(\vec{A}\) =\(\vec{B}\)? Kwa nini au kwa nini?

    Matatizo ya ziada

    1. Unaruka kilomita 32.0 kwenye mstari wa moja kwa moja katika hewa bado katika mwelekeo wa 35.0° kusini mwa magharibi. (a) Kupata umbali ungepaswa kuruka kutokana kusini na kisha kutokana magharibi kufika katika hatua moja. (b) Kupata umbali ungepaswa kuruka kwanza katika mwelekeo 45.0° kusini mwa magharibi na kisha katika mwelekeo 45.0° magharibi mwa kaskazini. Kumbuka hizi ni sehemu za uhamisho pamoja na seti tofauti-yaani, moja inayozungushwa na 45° kuhusiana na shoka katika (a).
    2. Kuratibu za mstatili wa uhakika hutolewa na (2, y) na kuratibu zake za polar hutolewa na (r,\(\frac{\pi}{6}\)). Kupata y na r.
    3. Ikiwa viwianishi vya polar vya uhakika ni (r,\(\varphi\)) na kuratibu zake za mstatili ni (x, y), onyesha kuratibu polar ya pointi zifuatazo: (a) (-x, y), (b) (-2x, -2y), na (c) (3x, -3y).
    4. Vectors\(\vec{A}\) na\(\vec{B}\) kuwa na ukubwa sawa wa vitengo 5.0. Pata angle kati yao ikiwa\(\vec{A}\) +\(\vec{B}\) = 5 2\(\hat{j}\).
    5. Kuanzia kisiwa cha Moi katika visiwa visivyojulikana, mashua ya uvuvi hufanya safari ya pande zote na vituo viwili kwenye visiwa vya Noi na Poi. Inasafiri kutoka Moi kwa maili 4.76 za kibaharia (nmi) katika mwelekeo 37° kaskazini mwa mashariki hadi Noi. Kutoka Noi, inatembea 69° magharibi mwa kaskazini hadi Poi. Katika mguu wake wa kurudi kutoka Poi, unasafiri 28° mashariki mwa kusini. Ni umbali gani mashua hutembea kati ya Noi na Poi? Ni umbali gani unaosafiri kati ya Moi na Poi? Eleza jibu lako katika maili ya nautical na kilomita. Kumbuka: 1 nmi = 1852 m.
    6. Mdhibiti wa trafiki ya hewa anatambua ishara mbili kutoka ndege mbili kwenye kufuatilia rada. Ndege moja iko kwenye urefu wa m 800 na umbali wa 19.2 km usawa na mnara katika mwelekeo 25° kusini mwa magharibi. Ndege ya pili iko kwenye urefu wa m 1100 na umbali wake usio na usawa ni kilomita 17.6 na 20° kusini mwa magharibi. Umbali kati ya ndege hizi ni nini?
    7. Onyesha kwamba wakati\(\vec{A}\) +\(\vec{B}\) =\(\vec{C}\), kisha C 2 = A 2 + B 2 + 2AB cos\(\varphi\),\(\varphi\) wapi angle kati ya wadudu\(\vec{A}\) na\(\vec{B}\).
    8. Nne nguvu wadudu kila mmoja na ukubwa sawa f. ni ukubwa mkubwa matokeo nguvu vector inaweza kuwa wakati majeshi haya ni aliongeza nini? Je! Ni ukubwa mdogo zaidi wa matokeo? Fanya grafu ya hali zote mbili.
    9. Skater inazunguka kwenye njia ya mviringo ya radius 5.00 m katika mwelekeo wa saa. Wakati yeye pwani karibu nusu ya mduara, kuanzia hatua ya magharibi, kupata (a) ukubwa wa vector yake makazi yao na (b) jinsi mbali yeye kweli skated. (c) Je, ni ukubwa wa vector yake ya makazi yao wakati yeye skates njia yote kuzunguka mduara na kurudi katika hatua ya magharibi?
    10. Mbwa mkaidi ni kutembea juu ya leash na mmiliki wake. Wakati mmoja, mbwa hukutana na harufu ya kuvutia mahali fulani chini na anataka kuchunguza kwa undani, lakini mmiliki anapata papara na huchota kwenye leash kwa nguvu\(\vec{F}\) = (98.0\(\hat{i}\) + 132.0\(\hat{j}\) + 32.0\(\hat{j}\)) N pamoja na leash. (a) Ukubwa wa nguvu ya kuunganisha ni nini? (b) Je, leash hufanya kwa wima gani?
    11. Ikiwa vector ya kasi ya kubeba polar ni\(\vec{u}\) = (-18.0\(\hat{i}\) - 13.0\(\hat{j}\)) km/h, ni kasi gani na katika mwelekeo gani wa kijiografia unaelekea? Hapa,\(\hat{i}\) na\(\hat{j}\) ni maelekezo ya kijiografia mashariki na kaskazini, kwa mtiririko huo.
    12. Pata vipengele vya scalar ya vectors tatu-dimensional\(\vec{G}\) na\(\vec{H}\) katika takwimu zifuatazo na uandike vectors katika fomu ya sehemu ya vector kwa mujibu wa vectors kitengo cha axes.

    Vector G ina ukubwa 10.0. Makadirio yake katika ndege ya x y ni kati ya maelekezo mazuri ya x na mazuri, kwa angle ya digrii 45 kutoka mwelekeo mzuri wa x. Pembe kati ya vector G na mwelekeo wa z chanya ni digrii 60. Vector H ina ukubwa 15.0. Makadirio yake katika ndege x y ni kati ya x hasi na chanya y maelekezo, kwa angle ya digrii 30 kutoka chanya y mwelekeo. Pembe kati ya vector H na mwelekeo wa z chanya ni digrii 450.

    1. Diver inahusu mwamba kina katika pwani ya Belize. Awali yeye kuogelea 90.0 m kaskazini, hufanya kurejea upande wa mashariki na kuendelea kwa 200.0 m, kisha ifuatavyo grouper kubwa kwa 80.0 m katika mwelekeo 30° kaskazini ya mashariki. Wakati huo huo, sasa wa ndani huhamisha kwa 150.0 m kusini. Kwa kuzingatia sasa haipo tena, katika mwelekeo gani na ni umbali gani anapaswa kuogelea sasa kurudi hadi mahali ambapo alianza?
    2. Vector nguvu\(\vec{A}\) ina x- na y-vipengele, kwa mtiririko huo, ya -8.80 vitengo vya nguvu na vitengo 15.00 vya nguvu. Vipengele vya x- na y vya vector nguvu\(\vec{B}\) ni, kwa mtiririko huo, vitengo 13.20 vya nguvu na -6.60 vitengo vya nguvu. Pata vipengele vya vector ya nguvu\(\vec{C}\) ambayo inatimiza usawa wa vector\(\vec{A}\) -\(\vec{B}\) + 3\(\vec{C}\) = 0.
    3. Vectors\(\vec{A}\) na\(\vec{B}\) ni vectors mbili orthogonal katika xy-ndege na wana ukubwa sawa. Ikiwa\(\vec{A}\) = 3.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\), tafuta\(\vec{B}\).
    4. Kwa vectors tatu-dimensional katika takwimu zifuatazo, tafuta (a)\(\vec{G} \times \vec{H}\), (b)\(\vec{G} \times \vec{H}\) | |, na (c)\(\vec{G} \cdotp \vec{H}\).

    Vector G ina ukubwa 10.0. Makadirio yake katika ndege ya x y ni kati ya maelekezo mazuri ya x na mazuri, kwa angle ya digrii 45 kutoka mwelekeo mzuri wa x. Pembe kati ya vector G na mwelekeo wa z chanya ni digrii 60. Vector H ina ukubwa 15.0. Makadirio yake katika ndege x y ni kati ya x hasi na chanya y maelekezo, kwa angle ya digrii 30 kutoka chanya y mwelekeo. Pembe kati ya vector H na mwelekeo wa z chanya ni digrii 450.

    1. Onyesha kwamba\((\vec{B} \times \vec{C}) \cdotp \vec{A}\) ni kiasi cha parallelepiped, na kando iliyoundwa na vectors tatu katika takwimu zifuatazo.

    Vector G ina ukubwa 10.0. Makadirio yake katika ndege ya x y ni kati ya maelekezo mazuri ya x na mazuri, kwa angle ya digrii 45 kutoka mwelekeo mzuri wa x. Pembe kati ya vector G na mwelekeo wa z chanya ni digrii 60. Vector H ina ukubwa 15.0. Makadirio yake katika ndege x y ni kati ya x hasi na chanya y maelekezo, kwa angle ya digrii 30 kutoka chanya y mwelekeo. Pembe kati ya vector H na mwelekeo wa z chanya ni digrii 450.

    Changamoto Matatizo

    1. Vector\(\vec{B}\) ni urefu wa 5.0 cm na vector\(\vec{A}\) ni urefu wa 4.0 cm. Pata angle kati ya wadudu hawa wawili wakati\(\vec{A} + \vec{B}\) | | = 3.0 cm na |\(\vec{A}\) ∙\(\vec{B}\) | = 3.0 cm.
    2. Ni sehemu gani ya vector nguvu\(\vec{G}\) = (3.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\) + 10.0\(\hat{k}\)) N pamoja na vector nguvu\(\vec{H}\) = (1.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\)) N?
    3. Takwimu zifuatazo inaonyesha pembetatu iliyoundwa na wadudu watatu\(\vec{A}\),\(\vec{B}\) na\(\vec{C}\). Kama vector\(\vec{C}\; '\) ni inayotolewa kati midpoints ya wadudu\(\vec{A}\) na\(\vec{B}\), kuonyesha kwamba\(\vec{C}\; '\) =\(\frac{\vec{C}}{2}\).

    Vectors A, B na C huunda pembetatu. Vector A anasema juu na kulia, vector B huanza kwenye kichwa cha A na inaelezea chini na kulia, na vector C huanza kwenye kichwa cha B, inakaribia mkia wa A na inaelezea upande wa kushoto. Vector C mkuu ni sambamba na vector C na inaunganisha midpoints ya wadudu A na B.

    1. Umbali kati ya pointi katika ndege haubadilika wakati mfumo wa kuratibu umezungushwa. Kwa maneno mengine, ukubwa wa vector hauwezi kutofautiana chini ya mzunguko wa mfumo wa kuratibu. Tuseme mfumo kuratibu S ni kuzungushwa kuhusu asili yake\(\varphi\) kwa angle kuwa mpya kuratibu mfumo S, kama inavyoonekana katika takwimu zifuatazo. Nambari katika ndege ina kuratibu (x, y) katika S na kuratibu (x, y) katika S.
      1. Onyesha kwamba, wakati wa mabadiliko ya mzunguko, kuratibu katika S zinaonyeshwa kwa suala la kuratibu katika S na mahusiano yafuatayo: $$\ kuanza {kesi} x' = x\ cos\ varphi + y\ sin\\ y' = -x\ sin\ varphi + y\ cos\ varphi\ mwisho {kesi}\ ldotp $$
      2. Onyesha kwamba umbali wa uhakika P kwa asili hauwezi kutofautiana chini ya mzunguko wa mfumo wa kuratibu. Hapa, unapaswa kuonyesha kwamba $$\ sqrt {x^ {2} + y^ {2}} =\ sqrt {x'^ {2} + y'^ {2}} {2}}\ ldotp$$
      3. Onyesha kwamba umbali kati ya pointi P na Q hauwezi kutofautiana chini ya mzunguko wa mfumo wa kuratibu. Hapa, unapaswa kuonyesha kwamba $$\ sqrt {(x_ {P} - x_ {Q}) ^ {2} + (y_ {P} - y_ {Q}) ^ {2}} =\ sqrt {(x'_ {P} - x'_ {Q}) ^ {Q}) ^ {2}}\ ldotp $$

    Mifumo miwili ya kuratibu inavyoonyeshwa. Mfumo wa kuratibu x y S, katika nyekundu, una x chanya kwa haki na chanya y up. The x mkuu y mfumo mkuu wa kuratibu S mkuu, katika bluu, hushiriki asili sawa na S lakini inazungushwa jamaa na S kinyume chake pembe phi. Pointi mbili, P na Q zinaonyeshwa. Point P ya kuratibu x katika sura S inavyoonekana kama mstari dashed kutoka P kwa mhimili x, inayotolewa sambamba na mhimili y. Point P ya y kuratibu katika sura S inavyoonekana kama mstari dashed kutoka P kwa mhimili y, inayotolewa sambamba na mhimili x. Point P ya x mkuu kuratibu katika sura S mkuu inavyoonekana kama mstari dashed kutoka P kwa x mkuu mhimili, inayotolewa sambamba na y mkuu mhimili. Point P ya y mkuu kuratibu katika sura S mkuu inavyoonekana kama mstari dashed kutoka P kwa y mkuu mhimili, inayotolewa sambamba na mhimili x mkuu.