1.6: Makadirio na Mahesabu ya Fermi

Malengo ya kujifunza

• Tathmini maadili ya kiasi cha kimwili.

Mara nyingi, fizikia, wanasayansi wengine, na wahandisi wanahitaji kufanya makadirio kwa kiasi fulani. Maneno mengine wakati mwingine hutumiwa ni guesstimates, amri ya-ukubwa makadirio, mahesabu nyuma-ya-bahasha, au mahesabu Fermi. (Mwanafizikia Enrico Fermi aliyetajwa hapo awali alikuwa maarufu kwa uwezo wake wa kukadiria aina mbalimbali za data kwa usahihi wa kushangaza.) Je, kipande hicho cha vifaa vinafaa nyuma ya gari au tunahitaji kukodisha lori? Je, download hii itachukua muda gani? Kuhusu jinsi kubwa ya sasa itakuwa katika mzunguko huu wakati imegeuka? Ni nyumba ngapi ambazo mmea wa nguvu uliopendekezwa kweli una nguvu ikiwa imejengwa? Kumbuka kuwa kukadiria haimaanishi kubadili idadi au formula kwa random. Badala yake, makadirio ina maana ya kutumia uzoefu wa awali na hoja za kimwili za sauti ili kufikia wazo mbaya la thamani ya wingi. Kwa sababu mchakato wa kuamua makadirio ya kuaminika kwa kawaida huhusisha utambuzi wa kanuni sahihi za kimwili na nadhani nzuri kuhusu vigezo husika, kukadiria ni muhimu sana katika kuendeleza intuition ya kimwili. Makadirio pia yanatuwezesha kufanya “ukaguzi wa akili timamu” kwenye mahesabu au mapendekezo ya sera kwa kutusaidia kutawala matukio fulani au namba zisizo za kweli. Wanatuwezesha kupinga wengine (pamoja na sisi wenyewe) katika jitihada zetu za kujifunza ukweli kuhusu ulimwengu.

Makadirio mengi yanategemea formula ambazo kiasi cha pembejeo kinajulikana tu kwa usahihi mdogo. Unapoendeleza ujuzi wa kutatua matatizo ya fizikia (ambayo yanatumika kwa mashamba mbalimbali), pia utaendeleza ujuzi katika kukadiria. Wewe kuendeleza ujuzi huu kwa kufikiri zaidi quantitatively na kwa kuwa tayari kuchukua hatari. Kama ilivyo na ujuzi wowote, uzoefu husaidia. Ufahamu na vipimo (angalia Jedwali 1.5.1) na vitengo (tazama Jedwali 1.3.1 na Jedwali 1.3.2), na mizani ya kiasi cha msingi (angalia Mchoro 1.2.3) pia husaidia.

Ili kufanya maendeleo katika kukadiria, unahitaji kuwa na mawazo fulani ya uhakika kuhusu jinsi vigezo vinaweza kuhusiana. Mikakati ifuatayo inaweza kukusaidia katika kufanya mazoezi ya sanaa ya makadirio:

• Pata urefu mkubwa kutoka urefu mdogo. Wakati wa kupima urefu, kumbuka kwamba chochote kinaweza kuwa mtawala. Hivyo, fikiria kuvunja jambo kubwa katika mambo madogo, kukadiria urefu wa moja ya mambo madogo, na kuzidisha kupata urefu wa jambo kubwa. Kwa mfano, ili kukadiria urefu wa jengo, kwanza uhesabu ngapi sakafu ina. Kisha, fikiria jinsi ghorofa moja ni kubwa kwa kufikiri ni watu wangapi watasimama kwenye mabega ya kila mmoja kufikia dari. Mwisho, tathmini urefu wa mtu. Bidhaa ya makadirio haya matatu ni makadirio yako ya urefu wa jengo. Inasaidia kukariri mizani michache ya urefu inayofaa kwa aina ya matatizo unayojikuta kutatua. Kwa mfano, kujua baadhi ya mizani urefu katika Kielelezo 1.2.3 inaweza kuja katika Handy. Wakati mwingine pia husaidia kufanya hivyo katika reverse-yaani, kukadiria urefu wa kitu kidogo, kufikiria rundo la wao kufanya juu ya jambo kubwa. Kwa mfano, ili kukadiria unene wa karatasi, tathmini unene wa stack ya karatasi na kisha ugawanye na idadi ya kurasa kwenye stack. Hizi mikakati hiyo ya kuvunja mambo makubwa katika mambo madogo au kukusanya vitu vidogo katika jambo kubwa wakati mwingine inaweza kutumika kukadiria wingi mwingine wa kimwili, kama vile raia na nyakati.
• Pata maeneo na kiasi kutoka kwa urefu. Wakati wa kushughulika na eneo au kiasi cha kitu ngumu, kuanzisha mfano rahisi wa kitu kama nyanja au sanduku. Kisha, tathmini vipimo vya mstari (kama vile eneo la nyanja au urefu, upana, na urefu wa sanduku) kwanza, na utumie makadirio yako ili kupata kiasi au eneo kutoka kwa fomu za kijiometri za kawaida. Ikiwa unatokea kuwa na makadirio ya eneo la kitu au kiasi, unaweza pia kufanya kinyume; yaani, tumia fomu za kijiometri za kawaida ili kupata makadirio ya vipimo vyake vya mstari.
• Pata raia kutoka kwa kiasi na densities. Wakati wa kukadiria wingi wa vitu, inaweza kusaidia kwanza kukadiria kiasi chake na kisha kukadiria wingi wake kutoka makadirio mbaya ya wiani wake wa wastani (kukumbuka, wiani ina mwelekeo molekuli juu ya urefu cubed, hivyo wingi ni wiani mara kiasi). Kwa hili, inasaidia kukumbuka kwamba wiani wa hewa ni karibu 1 kg/m ³, wiani wa maji ni 10 ³ kg/m ³, na densest kila siku kali nje ya karibu 10 ⁴ kg/m ³. Kujiuliza kama kitu kinaelea au kuzama katika hewa au maji hupata makadirio ya ballpark ya wiani wake. Unaweza pia kufanya hivyo kwa njia nyingine kote; ikiwa una makadirio ya wingi wa kitu na wiani wake, unaweza kuitumia ili kupata makadirio ya kiasi chake.
• Kama yote mengine inashindwa, amefungwa. Kwa kiasi cha kimwili ambacho huna intuition nyingi, wakati mwingine bora unaweza kufanya ni kufikiri kitu kama: Naam, ni lazima iwe kubwa zaidi kuliko hii na ndogo kuliko hiyo. Kwa mfano, tuseme unahitaji kukadiria wingi wa moose. Labda una uzoefu mwingi na moose na kujua molekuli yao wastani offhand. Kama ni hivyo, kubwa. Lakini kwa watu wengi, bora wanaweza kufanya ni kufikiri kitu kama: Ni lazima kuwa kubwa kuliko mtu (ya utaratibu 10 ² kg) na chini ya gari (ili 10 kilo ³). Ikiwa unahitaji namba moja kwa hesabu inayofuata, unaweza kuchukua maana ya kijiometri ya mipaka ya juu na ya chini-yaani, unawazidisha pamoja na kisha kuchukua mizizi ya mraba. Kwa mfano wa wingi wa moose, hii itakuwa $$\ kushoto (10^ {2}\ mara 10^ {3}\ kulia) ^ {0.5} = 10^ {2.5} = 10^ {0.5}\ mara 10^ {2}\ takriban 3\ mara 10^ {2}\ mara 10^ {2}\; kilo\ LDOTP $Kupunguza mipaka, ni bora zaidi. Pia, hakuna sheria ni unbreakable linapokuja suala la makadirio. Ikiwa unafikiri thamani ya wingi inawezekana kuwa karibu na kifungo cha juu kuliko kilichofungwa chini, basi unaweza kutaka kuinua makadirio yako kutoka kwa maana ya kijiometri kwa amri au mbili za ukubwa.
• Moja “sig. mtini.” ni nzuri. Hakuna haja ya kwenda zaidi ya takwimu moja muhimu wakati wa kufanya mahesabu ili kupata makadirio. Katika hali nyingi, utaratibu wa ukubwa ni wa kutosha. Lengo ni kupata tu katika takwimu ya ballpark, hivyo kuweka hesabu rahisi iwezekanavyo.
• Jiulize: Je, hii inafanya maana yoyote? Mwisho, angalia ili uone kama jibu lako ni la busara. Inalinganishaje na maadili ya kiasi kingine na vipimo sawa ambavyo tayari unajua au unaweza kuangalia kwa urahisi? Ikiwa unapata jibu la wacky (kwa mfano, ikiwa unakadiria wingi wa Bahari ya Atlantiki kuwa kubwa zaidi kuliko wingi wa Dunia, au muda fulani kuwa mrefu zaidi kuliko umri wa ulimwengu), kwanza angalia ili uone kama vitengo vyako ni sahihi. Kisha, angalia makosa ya hesabu. Kisha, fikiria tena mantiki uliyotumia kufikia jibu lako. Kama kila kitu hundi nje, unaweza kuwa tu imeonekana kuwa baadhi mjanja wazo mpya ni kweli bogus.

Mfano\(\PageIndex{1}\): Mass of Earth’s Oceans

Tathmini ya wingi wa bahari duniani.

Mkakati

Tunajua wiani wa maji ni kuhusu 10 ³ kg/m ³, kwa hiyo tunaanza na ushauri wa “kupata raia kutoka kwa densities na kiasi.” Hivyo, tunahitaji kukadiria kiasi cha bahari za sayari. Kutumia ushauri wa “kupata maeneo na kiasi kutoka kwa urefu,” tunaweza kukadiria kiasi cha bahari kama eneo la uso mara wastani wa kina, au V = AD. Tunajua kipenyo cha Dunia kutoka Kielelezo 1.4 na tunajua kwamba sehemu kubwa ya uso wa Dunia inafunikwa ndani ya maji, hivyo tunaweza kukadiria eneo la uso wa bahari kuwa takribani sawa na eneo la uso wa sayari. Kwa kufuata ushauri wa “kupata maeneo na wingi kutoka urefu” tena, tunaweza kukadiria Dunia kama nyanja na kutumia formula kwa eneo la uso wa nyanja ya kipenyo d—yaani, A =\(\pi d^{2}\), kukadiria eneo la uso wa bahari. Sasa tunahitaji tu kukadiria kina cha bahari. Kwa hili, tunatumia ushauri: “Ikiwa yote mengine yanashindwa, imefungwa.” Tunatokea kujua pointi za kina zaidi katika bahari ni karibu kilomita 10 na kwamba ni kawaida kwa bahari kuwa zaidi ya kilomita 1, kwa hiyo tunachukua kina cha wastani kuwa karibu (10 ³ x 10 ⁴) ^0.5 ≈ ^{3 x 10 3} m Sasa tunahitaji tu kuweka yote pamoja, kuzingatia ushauri kwamba “moja 'sig. mtini. 'ni nzuri.”

Suluhisho

Tunakadiria eneo la uso wa Dunia (na hivyo eneo la uso wa bahari za Dunia) kuwa takribani

\[A = \pi d^{2} = \pi \left(10^{7}\; m\right)^{2} \approx 3 \times 10^{14}\; m^{2} \ldotp\]

Kisha, kwa kutumia makadirio yetu ya wastani ya D = ^{3 x 10 3} m, ambayo ilipatikana kwa kuzuia, tunakadiria kiasi cha bahari za Dunia kuwa

\[V = AD = \left(3 \times 10^{14}\; m^{2}\right)\left(3 \times 10^{3}\; m\right) = 9 \times 10^{17}m^{3} \ldotp\]

Mwisho, tunakadiria wingi wa bahari ya dunia kuwa

\[M = \rho V = \left(10^{3}\; kg/m^{3}\right) \left(9 \times 10^{17}\; m^{3}\right) = 9 \times 10^{20}\; kg \ldotp\]

Hivyo, tunakadiria kwamba utaratibu wa ukubwa wa wingi wa bahari ya sayari ni 10 kilo ²¹.

Umuhimu

Ili kuthibitisha jibu letu kwa uwezo wetu bora, sisi kwanza tunahitaji kujibu swali: Je, hii ina maana yoyote? Kutoka Kielelezo 1.4, tunaona wingi wa anga ya dunia ni kwa utaratibu wa kilo 10 ¹⁹ na wingi wa Dunia ni kwa utaratibu wa kilo 10 ²⁵. Inasisitiza kwamba makadirio yetu ya kilo 10 ²¹ kwa wingi wa bahari za Dunia huanguka mahali fulani kati ya hizi mbili. Kwa hiyo, ndiyo, inaonekana kuwa na maana. Ni hivyo tu hutokea kwamba tulifanya utafutaji kwenye mtandao kwa ajili ya “wingi wa bahari” na matokeo ya juu ya utafutaji wote alisema 1.4 x 10 ²¹ kg, ambayo ni amri sawa ya ukubwa kama makadirio yetu. Sasa, badala ya kuwa na imani upofu ambaye kwanza kuweka idadi hiyo juu ya tovuti (wengi wa maeneo mengine pengine tu kunakiliwa kutoka kwao, baada ya yote), tunaweza kuwa na imani kidogo zaidi ndani yake.

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Kielelezo 1.4 kinasema wingi wa anga ni kilo 10 ¹⁹. Kutokana na wiani wa angahewa ni 1 kg/m ³, makisio urefu wa anga ya Dunia. Je, unadhani jibu lako ni underestimate au overestimate? Eleza kwa nini.

Kuna ngapi za piano huko New York City? Ni majani ngapi kwenye mti huo? Ikiwa unasoma photosynthesis au unafikiri ya kuandika programu ya smartphone kwa Cables za piano, basi majibu ya maswali haya yanaweza kuwa na manufaa kwako. Vinginevyo, labda hakuweza kujali chini majibu ni nini. Hata hivyo, hizi ni aina ya matatizo ya makadirio ambayo watu katika viwanda mbalimbali vya tech wamekuwa wakiuliza wafanyakazi wenye uwezo wa kutathmini ujuzi wao wa hoja za kiasi. Ikiwa kujenga intuition ya kimwili na kutathmini madai ya kiasi hayaonekani kama sababu za kutosha kwa ajili yenu kufanya mazoezi ya matatizo ya makadirio, vipi kuhusu ukweli kwamba kuwa mzuri kwao tu kunaweza kukupa kazi ya kulipa?

Phet simulation: makadirio

Kwa mazoezi ya kukadiria urefu wa jamaa, maeneo, na kiasi, angalia simulation hii Phet, yenye jina la “Ukadiriaji.”