1.7: Takwimu muhimu

Malengo ya kujifunza

• Kuamua idadi sahihi ya takwimu muhimu kwa matokeo ya hesabu.
• Eleza uhusiano kati ya dhana za usahihi, usahihi, kutokuwa na uhakika, na tofauti.
• Tumia asilimia kutokuwa na uhakika wa kipimo, kutokana na thamani yake na kutokuwa na uhakika wake.
• Kuamua kutokuwa na uhakika wa matokeo ya hesabu kuwashirikisha kiasi na uhakika kutokana.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\) kinaonyesha vyombo viwili vinavyotumiwa kupima wingi wa kitu. Kiwango cha digital kimetumia zaidi usawa wa sufuria mbili katika maabara ya fizikia kwa sababu inatoa vipimo sahihi zaidi na sahihi. Lakini ni nini hasa tunamaanisha kwa sahihi na sahihi? Je, wao si kitu kimoja? Katika sehemu hii tunachunguza kwa undani mchakato wa kufanya na kuripoti kipimo.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): (a) Uwiano wa mitambo ya sufuria mbili hutumiwa kulinganisha raia tofauti. Kawaida kitu kilicho na wingi usiojulikana kinawekwa kwenye sufuria moja na vitu vya molekuli inayojulikana huwekwa kwenye sufuria nyingine. Wakati bar inayounganisha sufuria mbili ni ya usawa, basi raia katika sufuria zote mbili ni sawa. “Watu wanaojulikana” ni kawaida mitungi ya chuma ya molekuli ya kawaida kama vile 1 g, 10 g, na 100 g. (b) Mizani nyingi za mitambo, kama vile mizani mbili-sufuria, zimebadilishwa na mizani ya digital, ambayo inaweza kawaida kupima wingi wa kitu kwa usahihi zaidi. Mizani ya mitambo inaweza kusoma tu wingi wa kitu hadi kumi ya karibu ya gramu, lakini mizani mingi ya digital inaweza kupima wingi wa kitu hadi karibu elfu ya gramu. (mikopo a: mabadiliko ya kazi na Serge Melki; mikopo b: mabadiliko ya kazi na Karel Jakubec)

Usahihi na Usahihi wa Kipimo

Sayansi inategemea uchunguzi na majaribio-yaani juu ya vipimo. Usahihi ni jinsi kipimo kilivyo karibu na thamani ya kumbukumbu iliyokubaliwa kwa kipimo hicho. Kwa mfano, hebu sema tunataka kupima urefu wa karatasi ya kawaida ya printer. Ufungaji ambao tulinunua karatasi inasema kuwa ni 11.0 katika. muda mrefu. Kisha tunapima urefu wa karatasi mara tatu na kupata vipimo vifuatavyo: 11.1 in., 11.2 in., na 10.9 in. Vipimo hivi ni sahihi kabisa kwa sababu ni karibu sana na thamani ya kumbukumbu ya 11.0 in. Kwa upande mwingine, kama tungepata kipimo cha 12 ndani., kipimo chetu hakitakuwa sahihi sana. Kumbuka kwamba dhana ya usahihi inahitaji thamani ya kumbukumbu iliyokubaliwa itolewe.

Usahihi wa vipimo inahusu jinsi makubaliano yalivyo karibu kati ya vipimo vya kujitegemea mara kwa mara (ambavyo hurudiwa chini ya hali sawa). Fikiria mfano wa vipimo vya karatasi. Usahihi wa vipimo unamaanisha kuenea kwa maadili yaliyopimwa. Njia moja ya kuchambua usahihi wa vipimo ni kuamua upeo, au tofauti, kati ya maadili ya chini na ya juu zaidi. Katika kesi hii, thamani ya chini kabisa ilikuwa 10.9 katika. na thamani ya juu ilikuwa 11.2 ndani. Kwa hiyo, maadili yaliyopimwa yanapotoka kwa kila mmoja na, kwa zaidi, 0.3 in. Vipimo hivi vilikuwa sahihi kwa sababu hazikutofautiana sana kwa thamani. Hata hivyo, kama maadili ya kipimo yalikuwa 10.9 ndani., 11.1 in., na 11.9 in., basi vipimo havikuwa sahihi sana kwa sababu kutakuwa na tofauti kubwa kutoka kipimo kimoja hadi kingine. Angalia kwamba dhana ya usahihi inategemea tu vipimo halisi vilivyopatikana na haitegemei thamani ya kumbukumbu iliyokubaliwa.

Vipimo katika mfano wa karatasi ni sahihi na sahihi, lakini wakati mwingine, vipimo ni sahihi lakini si sahihi, au ni sahihi lakini si sahihi. Hebu fikiria mfano wa GPS kujaribu Machapisho nafasi ya mgahawa katika mji. Fikiria eneo la mgahawa kama zilizopo katikati ya lengo la jicho la ng'ombe na fikiria kila jaribio la GPS la Machapisho mgahawa kama dot nyeusi. Katika Kielelezo\(\PageIndex{1a}\), tunaona vipimo GPS ni kuenea mbali mbali na kila mmoja, lakini wote ni karibu na eneo halisi ya mgahawa katika kituo cha lengo. Hii inaonyesha mfumo wa kupima usahihi, wa juu wa usahihi. Hata hivyo, katika Kielelezo\(\PageIndex{1b}\), vipimo GPS ni kujilimbikizia karibu kabisa na mtu mwingine, lakini wao ni mbali na eneo lengo. Hii inaonyesha mfumo wa kupima usahihi, wa chini.

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): GPS majaribio ya Machapisho mgahawa katikati ya jicho ng'ombe. Dots nyeusi zinawakilisha kila jaribio la kuthibitisha eneo la mgahawa. (a) Dots zinaenea mbali kabisa na kila mmoja, zinaonyesha usahihi mdogo, lakini kila mmoja ni karibu na eneo halisi la mgahawa, kuonyesha usahihi wa juu. (b) Dots ni kujilimbikizia kwa karibu kwa kila mmoja, kuonyesha usahihi juu, lakini wao ni mbali mbali na eneo halisi ya mgahawa, kuonyesha usahihi chini. (mikopo na mikopo b: mabadiliko ya kazi na giza Evil)

Usahihi, Usahihi, kutokuwa na uhakika, na tofauti

Usahihi wa mfumo wa kupimia ni kuhusiana na kutokuwa na uhakika katika vipimo wakati usahihi unahusiana na tofauti kutoka kwa thamani ya kumbukumbu iliyokubaliwa. Kutokuwa na uhakika ni kipimo cha kiasi gani maadili yako ya kipimo yanapotoka kutoka kwa mtu mwingine. Kuna njia nyingi za kuhesabu kutokuwa na uhakika, ambayo kila mmoja inafaa kwa hali tofauti. Mifano zingine ni pamoja na kuchukua upeo (yaani, kubwa chini ndogo) au kutafuta kupotoka kwa kiwango cha vipimo. Tofauti (au “hitilafu ya kipimo”) ni tofauti kati ya thamani ya kipimo na kiwango kilichopewa au thamani inayotarajiwa. Ikiwa vipimo si sahihi sana, basi kutokuwa na uhakika wa maadili ni ya juu. Ikiwa vipimo si sahihi sana, basi tofauti ya maadili ni ya juu.

Kumbuka mfano wetu wa kupima urefu wa karatasi; tulipata vipimo vya 11.1 in., 11.2 in., na 10.9 in., na thamani iliyokubaliwa ilikuwa 11.0 in. Tunaweza wastani wa vipimo vitatu kusema nadhani yetu bora ni 11.1 ndani; katika kesi hii, tofauti yetu ni 11.1 - 11.0 = 0.1 in., ambayo hutoa kipimo cha usahihi. Tunaweza kuhesabu kutokuwa na uhakika katika nadhani yetu bora kwa kutumia mbalimbali ya maadili yetu kipimo: 0.3 katika. Kisha tunaweza kusema urefu wa karatasi ni 11.1 katika. plus au minus 0.3 in. Kutokuwa na uhakika katika kipimo, A, mara nyingi huashiria kama\(\delta\) A (soma “delta A”), hivyo matokeo ya kipimo itakuwa kumbukumbu kama\(\delta\) A ± A. kurudi kwa mfano wetu karatasi, urefu kipimo cha karatasi inaweza kuwa walionyesha kama 11.1 ± 0.3 katika. Kwa kuwa tofauti ya 0.1 katika. ni chini ya kutokuwa na uhakika wa 0.3 in., tunaweza kusema thamani ya kipimo inakubaliana na thamani ya kumbukumbu iliyokubaliwa ndani ya kutokuwa na uhakika wa majaribio.

Baadhi ya mambo yanayochangia kutokuwa na uhakika katika kipimo ni pamoja na yafuatayo:

• Vikwazo vya kifaa cha kupimia
• Ujuzi wa mtu kuchukua kipimo
• Hitilafu katika kitu kinachopimwa
• Sababu nyingine yoyote yanayoathiri matokeo (inategemea sana hali hiyo)

Katika mfano wetu, mambo kama hayo yanayochangia kutokuwa na uhakika inaweza kuwa mgawanyiko mdogo zaidi juu ya mtawala ni 1/16 in., Mtu anayetumia mtawala ana macho mabaya, mtawala amevaa mwisho mmoja, au upande mmoja wa karatasi ni kidogo zaidi kuliko nyingine. Kwa kiwango chochote, kutokuwa na uhakika katika kipimo lazima kuhesabiwa ili kupima usahihi wake. Ikiwa thamani ya kumbukumbu inajulikana, ni busara kuhesabu tofauti na kupima usahihi wake.

asilimia kutokuwa na uhakika

Njia nyingine ya kuonyesha kutokuwa na uhakika ni kama asilimia ya thamani ya kipimo. Ikiwa kipimo A kinaonyeshwa kwa kutokuwa na uhakika\(\delta\) A, kutokuwa na uhakika wa asilimia hufafanuliwa kama

\[Percent\; uncertainty = \frac{\delta A}{A} \times 100 \%\]

Mfano\(\PageIndex{1}\): Calculating Percent Uncertainty: A Bag of Apples

Duka la vyakula huuza mifuko ya 5-lb ya apples. Hebu sema tunununua mifuko minne wakati wa mwezi na kupima mifuko kila wakati. Tunapata vipimo vifuatavyo:

• Wiki 1 uzito: 4.8 lb
• Wiki 2 uzito: 5.3 lb
• Wiki 3 uzito: 4.9 lb
• Wiki 4 uzito: 5.4 lb

Sisi kisha kuamua uzito wastani wa 5-lb mfuko wa apples ni 5.1 ± 0.3 lb. ni asilimia kutokuwa na uhakika wa uzito wa mfuko wa nini?

Mkakati

Kwanza, angalia kwamba thamani ya wastani ya uzito wa mfuko, A, ni 5.1 lb. kutokuwa na uhakika katika thamani hii,\(\delta\) A, ni 0.3 lb Tunaweza kutumia equation zifuatazo kuamua asilimia kutokuwa na uhakika wa uzito:

\[Percent\; uncertainty = \frac{\delta A}{A} \times 100 \% \label{1.1}\]

Suluhisho

Badilisha maadili katika equation:

\[Percent\; uncertainty = \frac{\delta A}{A} \times 100 \% = \frac{0.3\; lb}{5.1\; lb} \times 100 \% = 5.9 \% \approx 6 \%\]

Umuhimu

Tunaweza kuhitimisha uzito wa wastani wa mfuko wa apples kutoka duka hili ni 5.1 lb ± 6%. Kumbuka asilimia kutokuwa na uhakika ni dimensionless kwa sababu vitengo ya uzito katika\(\delta\) A = 0.3 lb kufutwa wale nyumba ya wageni A = 5.1 lb wakati sisi alichukua uwiano.

Mazoezi\(\PageIndex{1}\)

Kocha wa kufuatilia shule ya sekondari amenunua stopwatch mpya. Mwongozo wa stopwatch inasema stopwatch ina uhakika wa ± 0.05 s Runners kwenye timu ya kocha wa kufuatilia mara kwa mara saa 100 m sprints ya 11.49 s hadi 15.01 s Katika mkutano wa mwisho wa shule, mwanariadha wa kwanza alikuja saa 12.04 s na mwanariadha wa pili alikuja saa 12.07 s Je, kocha mpya stopwatch kuwa na manufaa katika majira ya timu sprint? Kwa nini au kwa nini?

Kutokuwa na uhakika katika mahesabu

Kutokuwa na uhakika kuna kitu chochote kilichohesabiwa kutoka kwa kiasi cha kipimo. Kwa mfano, eneo la sakafu lililohesabiwa kutoka kwa vipimo vya urefu na upana wake lina uhakika kwa sababu urefu na upana hauna uhakika. Jinsi kubwa ni kutokuwa na uhakika katika kitu mahesabu kwa kuzidisha au mgawanyiko? Ikiwa vipimo vinavyoingia katika hesabu vina uhakika mdogo (asilimia chache au chini), basi njia ya kuongeza asilimia inaweza kutumika kwa kuzidisha au mgawanyiko. Njia hii inasema asilimia kutokuwa na uhakika katika kiasi mahesabu kwa kuzidisha au mgawanyiko ni jumla ya asilimia uhakika katika vitu kutumika kufanya hesabu. Kwa mfano, kama sakafu ina urefu wa 4.00 m na upana wa 3.00 m, na uhakika wa 2% na 1%, kwa mtiririko huo, eneo la sakafu ni 12.0 m ² na ina uhakika wa 3%. (Imeelezwa kama eneo, hii ni 0.36 m ² [12.0 m ² x 0.03], ambayo sisi pande zote hadi 0.4 m ² tangu eneo la sakafu linapewa sehemu ya kumi ya mita ya mraba.)

Usahihi wa Vyombo vya Kupima na Takwimu muhimu

Sababu muhimu katika usahihi wa vipimo inahusisha usahihi wa chombo cha kupimia. Kwa ujumla, chombo sahihi cha kupima ni moja ambayo inaweza kupima maadili katika nyongeza ndogo sana. Kwa mfano, mtawala wa kawaida anaweza kupima urefu hadi millimeter iliyo karibu ilhali caliper anaweza kupima urefu hadi karibu 0.01 mm. Caliper ni chombo sahihi zaidi cha kupimia kwa sababu kinaweza kupima tofauti ndogo sana kwa urefu. Chombo sahihi zaidi cha kupimia, vipimo sahihi zaidi.

Tunapoelezea maadili ya kipimo, tunaweza tu kuorodhesha tarakimu nyingi kama tulivyopima awali na chombo chetu cha kupimia. Kwa mfano, ikiwa tunatumia mtawala wa kawaida kupima urefu wa fimbo, tunaweza kupima kuwa cm 36.7. Hatuwezi kueleza thamani hii kama sentimita 36.71 kwa sababu chombo chetu cha kupimia si sahihi cha kutosha kupima sentimita mia moja. Ikumbukwe kwamba tarakimu ya mwisho katika thamani ya kipimo imekadiriwa kwa namna fulani na mtu anayefanya kipimo. Kwa mfano, mtu kupima urefu wa fimbo na mtawala anatambua urefu wa fimbo inaonekana kuwa mahali fulani kati ya cm 36.6 na 36.7 cm, na yeye lazima kukadiria thamani ya tarakimu ya mwisho. Kutumia njia ya takwimu muhimu, utawala ni kwamba tarakimu ya mwisho iliyoandikwa katika kipimo ni tarakimu ya kwanza na kutokuwa na uhakika. Kuamua idadi ya tarakimu muhimu kwa thamani, kuanza na thamani ya kwanza ya kipimo upande wa kushoto na uhesabu idadi ya tarakimu kupitia tarakimu ya mwisho iliyoandikwa upande wa kulia. Kwa mfano, thamani ya kipimo 36.7 cm ina tarakimu tatu, au takwimu tatu muhimu. Takwimu muhimu zinaonyesha usahihi wa chombo cha kupimia kilichotumiwa kupima thamani.

Zeros

Kuzingatia maalum hutolewa kwa zero wakati wa kuhesabu takwimu muhimu. Zero katika 0.053 si muhimu kwa sababu wao ni placeholders kwamba kupata uhakika decimal. Kuna takwimu mbili muhimu katika 0.053. Zero katika 10.053 sio placeholders; ni muhimu. Nambari hii ina takwimu tano muhimu. Zero katika 1300 inaweza au si muhimu, kulingana na mtindo wa namba za kuandika. Wangeweza kumaanisha idadi inajulikana kwa tarakimu ya mwisho au wanaweza kuwa placeholders. Hivyo 1300 inaweza kuwa na takwimu mbili, tatu, au nne muhimu. Ili kuepuka utata huu, tunapaswa kuandika 1300 kwa nukuu ya kisayansi kama 1.3 x 10 ³, 1.30 x 10 ³, au 1.300 x 10 ³, kulingana na ikiwa ina takwimu mbili, tatu, au nne muhimu. Zeros ni muhimu isipokuwa wakati wao kutumika tu kama placeholders.

Takwimu muhimu katika Mahesabu

Wakati wa kuchanganya vipimo na digrii tofauti za usahihi, idadi ya tarakimu muhimu katika jibu la mwisho haiwezi kuwa kubwa zaidi kuliko idadi ya tarakimu muhimu katika thamani ya angalau ya kipimo. Kuna sheria mbili tofauti, moja kwa kuzidisha na mgawanyiko na nyingine kwa kuongeza na kuondoa.

1. Kwa kuzidisha na mgawanyiko, matokeo yanapaswa kuwa na idadi sawa ya takwimu muhimu kama kiasi na idadi ndogo ya takwimu muhimu zinazoingia katika hesabu. Kwa mfano, eneo la mduara linaweza kuhesabiwa kutoka kwenye radius yake kwa kutumia A =\(\pi r^{2}\). Hebu tuone ni takwimu ngapi muhimu eneo hilo lina ikiwa radius ina mbili tu-kusema, r = 1.2 m Kutumia calculator yenye pato la tarakimu nane, tutahesabu $$A =\ pi r^ {2} = (3.1415927...) \ mara (1.2\; m) ^ {2} = 4.5238934\; m^ {2}\ lDotP$Lakini kwa sababu radius ina takwimu mbili tu muhimu, inapunguza kiasi cha mahesabu kwa takwimu mbili muhimu, au $$A = 4.5\; m^ {2}\ ldotp $ingawa\(\pi\) ni nzuri kwa angalau tarakimu nane.
2. Kwa kuongeza na kuondoa, jibu haliwezi kuwa na maeneo zaidi ya decimal kuliko kipimo cha angalau. Tuseme tunununua kilo 7.56 za viazi katika duka la vyakula kama kipimo kwa kiwango cha usahihi 0.01 kg, kisha tunaacha kilo 6.052 za viazi kwenye maabara yako kama kipimo kwa kiwango cha usahihi 0.001 kg. Kisha, tunakwenda nyumbani na kuongeza kilo 13.7 ya viazi kama kipimo na kiwango cha bafuni na usahihi wa kilo 0.1. Ni kilo ngapi za viazi tunazo sasa na ni takwimu ngapi muhimu zinazofaa katika jibu? Misa hupatikana kwa kuongeza rahisi na kutoa: $$\ kuanza {mgawanyiko} 7.56\; & kg\\ -6.052\; & kg\\ +13.7\; & kg\\ hline 15.208\; & kg = 15.2\; kilo\ ldotp\ mwisho {mgawanyiko} $$Next, tunatambua kipimo cha angalau sahihi: 13.7 kilo. Kipimo hiki kinaonyeshwa mahali pa 0.1 decimal, hivyo jibu letu la mwisho linapaswa pia kuonyeshwa mahali pa 0.1 decimal. Kwa hiyo, jibu linazunguka mahali pa kumi, kutupa kilo 15.2.

Takwimu muhimu katika Nakala hii

Katika maandishi haya, idadi nyingi zinadhaniwa kuwa na takwimu tatu muhimu. Aidha, idadi thabiti ya takwimu muhimu hutumiwa katika mifano yote ya kazi. Jibu lililopewa tarakimu tatu linategemea pembejeo nzuri kwa angalau tarakimu tatu, kwa mfano. Ikiwa pembejeo ina takwimu chache muhimu, jibu pia litakuwa na takwimu ndogo muhimu. Huduma pia inachukuliwa kuwa idadi ya takwimu muhimu ni nzuri kwa hali hiyo. Katika mada fulani, hasa katika optics, namba sahihi zaidi zinahitajika na tunatumia takwimu zaidi ya tatu muhimu. Hatimaye, ikiwa namba ni halisi, kama vile mbili katika fomu ya mzunguko wa mduara\(2 \pi r\), C =, haiathiri idadi ya takwimu muhimu katika hesabu. Vivyo hivyo, sababu za uongofu kama 100 cm/1 m zinachukuliwa kuwa halisi na haziathiri idadi ya takwimu muhimu katika hesabu.