1.5: Uchambuzi wa Mwelekeo
- Page ID
- 176785
- Kupata vipimo ya kujieleza hisabati kuwashirikisha kiasi kimwili.
- Kuamua kama equation kuwashirikisha wingi kimwili ni dimensonically thabiti.
Mwelekeo wa wingi wowote wa kimwili huonyesha utegemezi wake juu ya kiasi cha msingi kama bidhaa ya alama (au nguvu za alama) zinazowakilisha kiasi cha msingi. Jedwali\(\PageIndex{1}\) linaorodhesha wingi wa msingi na alama zinazotumiwa kwa mwelekeo wao. Kwa mfano, kipimo cha urefu kinasemekana kuwa na mwelekeo L au L 1, kipimo cha wingi kina mwelekeo M au M 1, na kipimo cha muda kina mwelekeo T au T 1. Kama vitengo, vipimo vinazingatia sheria za algebra. Hivyo, eneo ni bidhaa ya urefu mbili na hivyo ina mwelekeo L 2, au urefu wa mraba. Vile vile, kiasi ni bidhaa ya urefu wa tatu na ina mwelekeo L 3, au urefu cubed. Kasi ina urefu wa mwelekeo baada ya muda, L/T au LT -1. Uzito wa wingi wa volumetric una mwelekeo M/L 3 au ML -3, au ukubwa juu ya urefu wa cubed. Kwa ujumla, mwelekeo wa wingi wowote wa kimwili unaweza kuandikwa kama
\[L^{a}M^{b}T^{c}I^{d}\Theta^{e}N^{f}J^{g}\]
kwa baadhi ya mamlaka a, b, c, d, e, f, na g Tunaweza kuandika vipimo vya urefu katika fomu hii na = 1 na mamlaka sita iliyobaki yote imewekwa sawa na sifuri:
\[L^{1} = L^{1}M^{0}T^{0}I^{0}\Theta^{0}N^{0}J^{0}.\]
Kiasi chochote kilicho na mwelekeo ambacho kinaweza kuandikwa ili mamlaka yote saba ni sifuri (yaani, mwelekeo wake ni\(L^{0}M^{0}T^{0}I^{0}\Theta^{0}N^{0}J^{0}\)) inaitwa dimensionless (au wakati mwingine “ya mwelekeo wa 1,” kwa sababu chochote kilichofufuliwa kwa nguvu ya sifuri ni moja). Wataalamu wa Fizikia mara nyingi huita idadi isiyo na kipimo namba safi.
| Kiasi cha Msingi | Ishara ya Vipimo |
|---|---|
| Urefu | L |
| Misa | M |
| Muda | T |
| Sasa | I |
| Thermodynamic Joto | \(\Theta\) |
| Kiasi cha Dutu | N |
| Kiwango cha Mwangaza | J |
Mara nyingi wanafizikia hutumia mabano ya mraba karibu na alama kwa wingi wa kimwili ili kuwakilisha vipimo vya kiasi hicho. Kwa mfano, ikiwa r ni radius ya silinda na h ni urefu wake, basi tunaandika [r] = L na [h] = L ili kuonyesha vipimo vya radius na urefu ni wale wa urefu, au L. vile vile, ikiwa tunatumia alama A kwa eneo la uso wa silinda na V kwa kiasi chake, basi [A] = L 2 na [V] = L 3. Ikiwa tunatumia alama m kwa wingi wa silinda na\(\rho\) kwa wiani wa nyenzo ambazo silinda hufanywa, basi [m] = M na [\(\rho\)] = ML -3.
Umuhimu wa dhana ya mwelekeo unatokana na ukweli kwamba equation yoyote ya hisabati inayohusiana na wingi wa kimwili lazima iwe thabiti, ambayo ina maana equation lazima kutii sheria zifuatazo:
- Kila neno katika usemi lazima uwe na vipimo sawa; haina maana ya kuongeza au kuondoa kiasi cha mwelekeo tofauti (fikiria neno la zamani: “Huwezi kuongeza apples na machungwa”). Hasa, maneno ya kila upande wa usawa katika equation lazima iwe na vipimo sawa.
- Hoja za kazi yoyote ya kawaida ya hisabati kama vile kazi za trigonometric (kama vile sine na cosine), logarithms, au kazi za kielelezo zinazoonekana katika equation lazima ziwe zisizo na kipimo. Kazi hizi zinahitaji namba safi kama pembejeo na kutoa namba safi kama matokeo.
Kama mojawapo ya sheria hizi ni kukiukwa, equation si dimensionally thabiti na haiwezi kuwa taarifa sahihi ya sheria ya kimwili. Ukweli huu rahisi unaweza kutumika kuangalia kwa makosa ya typos au algebra, kusaidia kukumbuka sheria mbalimbali za fizikia, na hata kupendekeza fomu ambayo sheria mpya za fizikia zinaweza kuchukua. Matumizi haya ya mwisho ya vipimo ni zaidi ya upeo wa maandishi haya, lakini ni kitu ambacho bila shaka utajifunza baadaye katika kazi yako ya kitaaluma.
Tuseme tunahitaji formula kwa eneo la mduara kwa hesabu fulani. Kama watu wengi ambao walijifunza jiometri muda mrefu sana uliopita kukumbuka kwa uhakika wowote, maneno mawili yanaweza kuingia katika akili zetu tunapofikiria miduara:\(\pi r^{2}\) na\(2 \pi r\). Maneno moja ni mduara wa mduara wa radius r na nyingine ni eneo lake. Lakini ni ipi?
Mkakati
Mkakati mmoja wa asili ni kuangalia juu, lakini hii inaweza kuchukua muda wa kupata habari kutoka chanzo reputable. Mbali na hilo, hata kama tunadhani chanzo ni reputable, hatupaswi kuamini kila kitu tunachosoma. Ni nzuri kuwa na njia ya kuchunguza mara mbili tu kwa kufikiri juu yake. Pia, tunaweza kuwa katika hali ambayo hatuwezi kuangalia mambo juu (kama vile wakati wa mtihani). Hivyo, mkakati ni kupata vipimo vya maneno yote kwa kutumia ukweli kwamba vipimo vinafuata sheria za algebra. Ikiwa usemi wowote hauna vipimo sawa na eneo, basi hauwezi kuwa equation sahihi kwa eneo la mduara.
Suluhisho
Tunajua mwelekeo wa eneo ni L 2. Sasa, mwelekeo wa kujieleza\(\pi r^{2}\) ni
\[[\pi r^{2}] = [\pi] \cdotp [r]^{2} = 1 \cdotp L^{2} = L^{2},\]
tangu mara kwa mara\(\pi\) ni idadi safi na r radius ni urefu. Kwa hiyo,\(\pi r^{2}\) ina mwelekeo wa eneo hilo. Vile vile, mwelekeo wa kujieleza\(2 \pi r\) ni
\[[2 \pi r] = [2] \cdotp [\pi] \cdotp [r] = 1 \cdotp 1 \cdotp L = L,\]
tangu constants 2 na\(\pi\) ni wote dimensionless na r Radius ni urefu. Tunaona kwamba\(2 \pi r\) ina mwelekeo wa urefu, ambayo ina maana haiwezi uwezekano kuwa eneo.
Sisi utawala nje\(2 \pi r\) kwa sababu si dimensonically sambamba na kuwa eneo. Tunaona kwamba\(\pi r^{2}\) ni dimensionally sambamba na kuwa eneo hilo, hivyo kama tuna kuchagua kati ya maneno haya mawili,\(\pi r^{2}\) ni moja ya kuchagua.
Umuhimu
Hii inaweza kuonekana kama aina ya mfano wa silly, lakini mawazo ni ya jumla sana. Muda mrefu kama sisi kujua vipimo ya kiasi ya mtu binafsi kimwili kwamba kuonekana katika equation, tunaweza kuangalia kuona kama equation ni dimensionally thabiti. Kwa upande mwingine, tunajua kwamba equations kweli ni dimensionally thabiti, tunaweza mechi maneno kutoka kumbukumbu zetu zisizo kamili kwa kiasi ambacho wanaweza kuwa maneno. Kufanya hivyo si kutusaidia kukumbuka mambo dimensionless kwamba kuonekana katika equations (kwa mfano, kama wewe ajali configurated maneno mawili kutoka mfano katika\(2 \pi r^{2}\), uchambuzi dimensional - hakuna msaada), lakini haina kutusaidia kukumbuka sahihi aina ya msingi ya equations.
Tuseme tunataka formula kwa kiasi cha nyanja. Maneno mawili yanayotajwa kwa kawaida katika majadiliano ya msingi ya nyanja ni\(4 \pi r^{2}\) na\(\frac{4}{3} \pi r^{3}\). Moja ni kiasi cha nyanja ya radius r na nyingine ni eneo lake la uso. Ambayo ni kiasi gani?
- Jibu
-
Ongeza maandiko hapa. Usifute maandishi haya kwanza.
Fikiria kiasi cha kimwili s, v, a, na t na vipimo [s] = L, [v] = LT -1, [a] = LT -1, na [t] = T. Kuamua kama kila moja ya milinganyo ifuatayo ni dimensionally thabiti:
- s = vt + 0.5at 2;
- s = vt 2 + 0.5at; na
- v = dhambi (\(\frac{at^{2}}{s}\)).
Mkakati
Kwa ufafanuzi wa msimamo wa mwelekeo, tunahitaji kuangalia kwamba kila neno katika equation iliyotolewa ina vipimo sawa na maneno mengine katika equation hiyo na kwamba hoja za kazi yoyote ya kawaida ya hisabati ni dimensionless.
Suluhisho
- Hakuna trigonometric, logarithmic, au exponential kazi wasiwasi kuhusu katika equation hii, hivyo tunahitaji tu kuangalia vipimo ya kila neno kuonekana katika equation. Kuna maneno matatu, moja katika kujieleza kushoto na mbili katika kujieleza upande wa kulia, kwa hiyo tunaangalia kila mmoja kwa upande wake:
\[[s] = L\]
\[[vt] = [v] \cdotp [t] = LT^{−1} \cdotp T = LT^{0} = L\]
\[[0.5at^{2} ] = [a] \cdotp [t]^{2} = LT^{−2} \cdotp T^{2} = LT^{0} = L \ldotp\]
- Tena, hakuna kazi za trigonometric, kielelezo, au logarithmic, kwa hiyo tunahitaji tu kuangalia vipimo vya kila moja ya maneno matatu yanayoonekana katika usawa:
\[[s] = L\]
\[[vt^{2}] = [v] \cdotp [t]^{2} = LT^{−1} \cdotp T^{2} = LT\]
\[[at] = [a] \cdotp [t] = LT^{−2} \cdotp T = LT^{−1} \ldotp\]
Hakuna hata maneno matatu ina mwelekeo sawa na nyingine yoyote, hivyo hii ni kuhusu mbali na kuwa dimensionally thabiti kama unaweza kupata. Neno la kiufundi kwa equation kama hii ni nonsense.
- Equation hii ina kazi trigonometric ndani yake, hivyo kwanza tunapaswa kuangalia kwamba hoja ya kazi sine ni dimensionless:
\[\left[\frac{at^{2}}{s}\right] = \frac{[a] \cdotp [t]^{2}}{[s]} = \frac{LT^{-2} \cdotp T^{2}}{L} = \frac{L}{L} = 1 \ldotp\]
Hoja ni dimensionless. Hadi sasa, ni nzuri sana. Sasa tunahitaji kuangalia vipimo vya kila moja ya maneno mawili (yaani, kujieleza kushoto na kujieleza sahihi) katika usawa:
\[[v] = LT^{-1}\]
\[\left[ sin \left(\dfrac{at^{2}}{s}\right) \right] = 1 \ldotp\]
Maneno mawili yana vipimo tofauti-maana, equation si dimensionally thabiti. Equation hii ni mfano mwingine wa “nonsense.”
Umuhimu
Ikiwa tunaamini watu, aina hizi za hundi za mwelekeo zinaweza kuonekana zisizohitajika. Lakini, uhakikishie, kitabu chochote juu ya somo la kiasi kama vile fizikia (ikiwa ni pamoja na hii) karibu hakika ina equations fulani na typos. Kuangalia equations mara kwa mara na uchambuzi dimensional kutuokoa aibu ya kutumia equation sahihi. Pia, kuangalia vipimo vya equation tunayopata kupitia kudanganywa kwa algebraic ni njia nzuri ya kuhakikisha hatukufanya kosa (au kuona kosa, ikiwa tumefanya moja).
Je equation v = katika dimensionally thabiti?
- Jibu
-
Ongeza maandiko hapa. Usifute maandishi haya kwanza.
Hatua moja zaidi ambayo inahitaji kutajwa ni athari za shughuli za calculus juu ya vipimo. Tumeona kwamba vipimo hutii sheria za algebra, kama vitengo, lakini kinachotokea wakati tunachukua derivative ya kiasi kimoja cha kimwili kwa heshima na mwingine au kuunganisha wingi wa kimwili juu ya mwingine? derivative ya kazi ni tu mteremko wa mstari tangent kwa grafu yake na mteremko ni uwiano, hivyo kwa kiasi kimwili v na t, tuna kwamba mwelekeo wa derivative ya v kuhusiana na t ni uwiano wa mwelekeo wa v juu ya ile ya t:
\[\left[\frac{dv}{dt} \right] = \frac{[v]}{[t]} \ldotp\]
Vile vile, tangu integrals ni kiasi tu ya bidhaa, mwelekeo wa muhimu ya v kuhusiana na t ni tu mwelekeo wa v mara mwelekeo wa t:
\[\left[ \int vdt \right] = [v] \cdotp [t] \ldotp\]
Kwa hoja hiyo hiyo, sheria zinazofanana zinashikilia kwa vitengo vya wingi wa kimwili vinavyotokana na kiasi kingine kwa ushirikiano au upambanuzi.