16.4: Nishati iliyofanywa na Mawimbi ya umeme
- Page ID
- 176631
Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:
- Eleza wiani wa nishati ya muda wa mawimbi ya umeme kwa suala la amplitudes zao za umeme na magnetic
- Tumia vector ya Pointing na nguvu ya nishati ya mawimbi ya umeme
- Eleza jinsi nishati ya wimbi la umeme inategemea amplitude yake, wakati nishati ya photon ni sawa na mzunguko wake
Mtu yeyote ambaye ametumia tanuri ya microwave anajua kuna nishati katika mawimbi ya umeme. Wakati mwingine nishati hii ni dhahiri, kama vile katika joto la jua la majira ya joto. Wakati mwingine, ni hila, kama nishati isiyojulikana ya mionzi ya gamma, ambayo inaweza kuharibu seli zilizo hai.
Mawimbi ya umeme huleta nishati ndani ya mfumo kwa sababu ya mashamba yao ya umeme na magnetic. Mashamba haya yanaweza kutumia nguvu na kusonga mashtaka katika mfumo na, kwa hiyo, fanya kazi juu yao. Hata hivyo, kuna nishati katika wimbi la umeme yenyewe, ikiwa linafyonzwa au la. Mara baada ya kuundwa, mashamba hubeba nishati mbali na chanzo. Kama baadhi ya nishati ni baadaye kufyonzwa, nguvu shamba ni kupungua na kitu chochote kushoto kusafiri juu.
Kwa wazi, nguvu kubwa ya mashamba ya umeme na magnetic, kazi zaidi wanaweza kufanya na nguvu kubwa wimbi la umeme hubeba. Katika mawimbi ya umeme, amplitude ni nguvu ya shamba la juu la mashamba ya umeme na magnetic (Kielelezo\(\PageIndex{1}\)). Nishati ya wimbi imedhamiriwa na amplitude ya wimbi.
Kwa wimbi la ndege linalosafiri katika mwelekeo wa chanya x -axis na awamu ya wimbi iliyochaguliwa ili upeo wa wimbi ni asili\(t = 0\), mashamba ya umeme na magnetic kutii equations
\[E_y (x,t) = E_0 \, \cos \, (kx - \omega t)\]
\[B_x (x,t) = B_0 \, \cos \, (kx - \omega t).\]
Nishati katika sehemu yoyote ya wimbi la umeme ni jumla ya nguvu za mashamba ya umeme na magnetic. Nishati hii kwa kiasi cha kitengo, au wiani wa nishati u, ni jumla ya wiani wa nishati kutoka kwenye uwanja wa umeme na wiani wa nishati kutoka kwenye uwanja wa magnetic. Maneno ya wiani wote wa nishati ya shamba yalijadiliwa mapema (\(u_E\)katika Capacitance na\(u_B\) katika Inductance). Kuchanganya hizi michango, sisi kupata
\[u (x,t) = u_E + u_B = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2.\]
Maneno hayo\(E = cB = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}B\) yanaonyesha kwamba wiani wa nishati ya magnetic\(u_B\) na wiani wa nishati ya umeme\(u_E\) ni sawa, licha ya ukweli kwamba kubadilisha mashamba ya umeme kwa ujumla huzalisha mashamba madogo tu ya magnetic. Usawa wa densities umeme na magnetic nishati inaongoza kwa
\[u(x,t) = \epsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0}. \label{16.27}\]
Uzito wa nishati huenda na mashamba ya umeme na magnetic kwa namna sawa na mawimbi wenyewe.
Tunaweza kupata kiwango cha usafiri wa nishati kwa kuzingatia muda mfupi\(\Delta t\). Kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\), nishati zilizomo katika silinda ya urefu\(c\Delta t\) na eneo la msalaba A hupita kupitia ndege ya msalaba kwa muda\(\Delta t\).
Nishati inayopitia eneo\(A\) kwa wakati\(\Delta t\) ni
\[u \times volume = uAc\Delta t.\]
Nishati kwa eneo la kitengo kwa wakati wa kitengo kinachopita kupitia ndege perpendicular kwa wimbi, inayoitwa flux ya nishati na iliyoashiria na\(S\), inaweza kuhesabiwa kwa kugawanya nishati kwa eneo hilo\(A\) na muda wa muda\(\Delta t\).
\[S = \frac{\text{Energy passing area } A \text{ in time } \Delta t}{A \Delta t} = uc = \epsilon_0cE^2 = \frac{1}{\mu_0} EB.\]
Kwa ujumla, kuongezeka kwa nishati kupitia uso wowote pia inategemea mwelekeo wa uso. Ili kuzingatia mwelekeo, tunaanzisha vector\(\vec{S}\), inayoitwa vector Poynting, na ufafanuzi wafuatayo:
\[\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B}.\]
Bidhaa ya msalaba\(\vec{E}\) na\(\vec{B}\) inaonyesha katika mwelekeo perpendicular kwa wadudu wote. Ili kuthibitisha kwamba mwelekeo wa\(\vec{S}\) ni ule wa uenezi wa wimbi, na sio hasi yake, kurudi kwenye Mchoro 16.3.2. Kumbuka kuwa sheria za Lenz na Faraday zinamaanisha kwamba wakati shamba la magnetic linavyoonekana linaongezeka kwa wakati, uwanja wa umeme ni mkubwa\(x\) zaidi kuliko saa\(x + \Delta x\). Shamba la umeme linapungua kwa kuongezeka kwa\(x\) wakati na eneo lililopewa. Uwiano kati ya mashamba ya umeme na magnetic inahitaji shamba la umeme kuongezeka kwa muda pamoja na shamba la magnetic. Hii inawezekana tu ikiwa wimbi linaenea kwa haki katika mchoro, kwa hali hiyo, mwelekeo wa jamaa unaonyesha kuwa\(\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B}\) ni hasa katika mwelekeo wa uenezi wa wimbi la umeme.
Flux ya nishati mahali popote pia inatofautiana kwa wakati, kama inavyoonekana kwa kubadili\(u\) kutoka Equation 16.3.19 katika Equation\ ref {16.27}.
\[S(x, t) = c\epsilon_0 E_0^2 \cos^2 \, (kx - \omega t) \label{16.29} \]
Kwa sababu mzunguko wa mwanga unaoonekana ni wa juu sana, ya utaratibu wa\(10^{14} \, Hz\), nishati ya kutosha kwa mwanga unaoonekana kupitia eneo lolote ni kiasi kikubwa sana. Vifaa vingi vya kupima, ikiwa ni pamoja na macho yetu, kuchunguza wastani tu juu ya mizunguko mingi. Wastani wa muda wa mtiririko wa nishati ni ukubwa\(I\) wa wimbi la umeme na ni nguvu kwa eneo la kitengo. Inaweza kuelezwa kwa wastani wa kazi ya cosine katika Equation\ ref {16.29} juu ya mzunguko mmoja kamili, ambayo ni sawa na wastani wa muda juu ya mizunguko mingi (hapa,\(T\) ni kipindi kimoja):
\[I = S_{avg} = c\epsilon_0E_0^2 \frac{1}{T} \int_0^T \cos^2 \, \left(2\pi \frac{t}{T}\right) dt \label{16.30}.\]
Tunaweza ama kutathmini muhimu, au labda kumbuka kuwa kwa sababu sine na cosine tofauti tu katika awamu, wastani juu ya mzunguko kamili kwa\(cos^2 \, (\xi)\) ni sawa na kwa\(sin^2 \, (\xi)\), kupata
\[\langle \cos^2 \xi \rangle = \frac{1}{2} [\langle \cos^2 \xi \rangle + \langle \sin^2 \xi \rangle ] = \frac{1}{2} \langle 1 \rangle = \frac{1}{2}.\]
ambapo mabano ya angle\(\langle . . . \rangle \) yanasimama kwa operesheni ya wastani wa muda. Ukubwa wa mwanga kusonga kwa kasi\(c\) katika utupu ni kisha kupatikana kuwa
\[I = S_{avg} = \frac{1}{2}c\epsilon_0 E_0^2 \label{16.31}\]
kwa suala la nguvu ya juu ya shamba la umeme\(E_0\), ambayo pia ni amplitude ya shamba la umeme. Kudanganywa kwa algebraic hutoa uhusiano
\[I = \frac{cB_0^2}{2\mu_0} \label{16.32}\]
\(B_0\)wapi amplitude ya magnetic shamba, ambayo ni sawa na nguvu ya juu ya magnetic shamba. Maneno mengine zaidi\(I_{avg}\) kwa suala la nguvu za umeme na magnetic shamba ni muhimu. Kubadilisha ukweli kwamba\(cB_0 = E_0\), kujieleza awali inakuwa
\[I = \frac{E_0B_0}{2\mu_0} \label{16.33}.\]
Tunaweza kutumia yoyote ya equations tatu kabla ni rahisi zaidi, kwa sababu equations tatu ni kweli tu matoleo tofauti ya matokeo sawa: Nishati katika wimbi ni kuhusiana na amplitude squared. Zaidi ya hayo, kwa sababu milinganyo haya yanategemea dhana kwamba mawimbi ya umeme ni sinusoidal, kiwango cha kilele ni mara mbili kiwango cha wastani; yaani,\(I_0 = 2I\).
Boriti kutoka laser ndogo ya maabara kawaida ina kiwango cha juu\(1.0 \times 10^{-3} W/m^2\). Kutokana na kwamba boriti inajumuisha mawimbi ya ndege, kuhesabu amplitudes ya mashamba ya umeme na magnetic katika boriti.
Mkakati
Tumia usawa unaoelezea kiwango katika suala la uwanja wa umeme ili kuhesabu shamba la umeme kutoka kwa kiwango.
Suluhisho
Kutoka Equation\ ref {16.31}, ukubwa wa boriti laser ni
\[I = \frac{1}{2}c\epsilon_0 E_0^2. \nonumber\]
Kwa hiyo amplitude ya shamba la umeme ni
\[ \begin{align*} E_0 &= \sqrt{\frac{2}{c\epsilon_0}I} \\[4pt] &= \sqrt{\frac{2}{(3.00 \times 10^8 m/s)(8.85 \times 10^{-12} F/m)}\left(1.0 \times 10^{-3} W/m^2 \right)} \\[4pt] &= 0.87 \, V/m. \end{align*}\]
Ukubwa wa uwanja wa magnetic unaweza kupatikana kutoka:
\[B_0 = \frac{E_0}{c} = 2.9 \times 10^{-9} \, T. \nonumber\]
Bonde la taa hutoa 5.00 W ya nguvu kama mwanga unaoonekana. Je, ni wastani wa mashamba ya umeme na magnetic kutoka kwenye mwanga umbali wa 3.0 m?
Mkakati
Fikiria pato la nguvu la bomba P linasambazwa sawasawa juu ya nyanja ya radius 3.0 m ili kuhesabu kiwango, na kutoka kwao, uwanja wa umeme.
Suluhisho
Nguvu inayoonekana kama nuru inayoonekana ni basi
\(I = \frac{P}{4\pi r^2} = \frac{c\epsilon_0 E_0^2}{2},\)
\(E_0 = \sqrt{2\frac{P}{4\pi r^2 c\epsilon_0}} = \sqrt{2\frac{5.00 \, W}{4\pi (3.0 \, m)^2 (3.00 \times 10^8 \, m/s)(8.85 \times 10^{-12} C^2/N \cdot m^2)}} = 5.77 \, N/C,\)
\(B_0 = E_0/c = 1.92 \times 10^{-8} \, T\).
Significance
The intensity I falls off as the distance squared if the radiation is dispersed uniformly in all directions.
A 60-kW radio transmitter on Earth sends its signal to a satellite 100 km away (Figure \(\PageIndex{3}\)). At what distance in the same direction would the signal have the same maximum field strength if the transmitter’s output power were increased to 90 kW?
Strategy
The area over which the power in a particular direction is dispersed increases as distance squared, as illustrated in Figure \(\PageIndex{3}\). Change the power output P by a factor of (90 kW/60 kW) and change the area by the same factor to keep \(I = \frac{P}{A} = \frac{c\epsilon_0 E_0^2}{2}\) the same. Then use the proportion of area A in the diagram to distance squared to find the distance that produces the calculated change in area.
Solution
Using the proportionality of the areas to the squares of the distances, and solving, we obtain from the diagram
\[ \begin{align*} \frac{r_2^2}{r_1^2} &= \frac{A_2}{A_1} = \frac{90 \, W}{60 \, W}, \\[4pt] r_2 &= \sqrt{\frac{90}{60}}(100 \, km) \\[4pt] &= 122 \, km. \end{align*}\]
Significance
The range of a radio signal is the maximum distance between the transmitter and receiver that allows for normal operation. In the absence of complications such as reflections from obstacles, the intensity follows an inverse square law, and doubling the range would require multiplying the power by four.