14.6: Kufutwa katika mzunguko wa LC
- Page ID
- 176403
Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:
- Eleza kwa nini malipo au sasa oscillates kati ya capacitor na inductor, kwa mtiririko huo, wakati wired katika mfululizo
- Eleza uhusiano kati ya malipo na kusonga sasa kati ya capacitor na inductor wired katika mfululizo
Ni muhimu kutambua kwamba wote capacitors na inductors kuhifadhi nishati, katika mashamba yao ya umeme na magnetic, kwa mtiririko huo. Mzunguko ulio na inductor (L) na capacitor (C) unaweza kufuta bila chanzo cha emf kwa kuhama nishati iliyohifadhiwa katika mzunguko kati ya mashamba ya umeme na magnetic. Hivyo, dhana tunazoendeleza katika sehemu hii zinatumika moja kwa moja kwa kubadilishana nishati kati ya mashamba ya umeme na magnetic katika mawimbi ya umeme, au mwanga. Tunaanza na mzunguko wa ufanisi wa upinzani wa sifuri ambao una inductor na capacitor, mzunguko wa LC.
Mzunguko wa LC umeonyeshwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{1}\). Ikiwa capacitor ina malipo\(q_0\) kabla ya kubadili kufungwa, basi nishati zote za mzunguko zimehifadhiwa katika uwanja wa umeme wa capacitor (Kielelezo\(\PageIndex{1a}\)). Nishati hii ni
\[U_C = \frac{1}{2} \frac{q_0^2}{C}.\]
Wakati kubadili kufungwa, capacitor huanza kutekeleza, kuzalisha sasa katika mzunguko. Ya sasa, kwa upande wake, inajenga shamba la magnetic katika inductor. Athari halisi ya mchakato huu ni uhamisho wa nishati kutoka kwa capacitor, na shamba lake la kupungua kwa umeme, kwa inductor, na shamba lake la kuongezeka kwa magnetic.
Katika Kielelezo\(\PageIndex{1b}\), capacitor imeondolewa kabisa na nishati zote zimehifadhiwa katika uwanja wa magnetic wa inductor. Kwa papo hii, sasa ni thamani yake ya juu\(I_0\) na nishati katika inductor ni
\[U_L = \frac{1}{2} LI_0^2.\]
Kwa kuwa hakuna upinzani katika mzunguko, hakuna nishati inapotea kupitia joto la Joule; hivyo, nishati ya juu iliyohifadhiwa katika capacitor ni sawa na nishati ya juu iliyohifadhiwa wakati mwingine katika inductor:
\[\frac{1}{2} \frac{q_0^2}{C} = \frac{1}{2} LI_0^2.\]
Wakati wa kiholela wakati malipo ya capacitor ni q (t) na sasa ni i (t), jumla ya nishati U katika mzunguko hutolewa na
\[\frac{q^2(t)}{2C} + \frac{Li^2}{2}.\]
Kwa sababu hakuna ufisadi wa nishati,
\[U = \frac{1}{2} \frac{q^2}{C} + \frac{1}{2}Li^2 = \frac{1}{2} \frac{q_0^2}{C} = \frac{1}{2}LI_0^2.\]
Baada ya kufikia upeo wake\(I_0\), sasa i (t) inaendelea kusafirisha malipo kati ya sahani za capacitor, na hivyo kurejesha capacitor. Kwa kuwa inductor inakabiliwa na mabadiliko ya sasa, sasa inaendelea kuzunguka, ingawa capacitor hutolewa. Hii imeendelea sasa husababisha capacitor malipo kwa polarity kinyume. Sehemu ya umeme ya capacitor huongezeka wakati uwanja wa magnetic wa inductor hupungua, na athari ya jumla ni uhamisho wa nishati kutoka kwa inductor kurudi kwenye capacitor. Kutoka kwa sheria ya uhifadhi wa nishati, malipo ya juu ambayo capacitor hupata tena ni\(q_0\). Hata hivyo, kama Kielelezo\(\PageIndex{1c}\) kinaonyesha, sahani za capacitor zinashtakiwa kinyume na kile kilichokuwa awali.
Wakati wa kushtakiwa kikamilifu, capacitor mara nyingine tena huhamisha nishati yake kwa inductor mpaka itakapoondolewa kabisa, kama inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{1d}\). Kisha, katika sehemu ya mwisho ya mchakato huu wa mzunguko, nishati inapita nyuma kwa capacitor, na hali ya awali ya mzunguko imerejeshwa.
Tumefuata mzunguko kupitia mzunguko mmoja kamili. Oscillations yake ya umeme ni sawa na oscillations mitambo ya wingi mwishoni mwa spring. Katika kesi hii ya mwisho, nishati huhamishwa na kurudi kati ya wingi, ambayo ina nishati ya kinetic\(mv^2/2\), na chemchemi, ambayo ina nishati inayoweza\(kx^2/2\). Kwa kukosekana kwa msuguano katika mfumo wa moleku-spring, oscillations itaendelea kwa muda usiojulikana. Vile vile, oscillations ya mzunguko wa LC bila upinzani itaendelea milele ikiwa haijasumbuliwa; Hata hivyo, hii bora sifuri upinzani LC mzunguko si vitendo, na mzunguko wowote LC itakuwa na angalau upinzani ndogo, ambayo kung'ara na kupoteza nishati baada ya muda.
Mzunguko wa oscillations katika mzunguko wa LC usio na upinzani unaweza kupatikana kwa kufanana na mfumo wa wingi wa spring. Kwa mzunguko\(i(t) = dq(t)/dt\), jumla ya nishati ya umeme U ni
\[U = \frac{1}{2}Li^2 + \frac{1}{2} \frac{q^2}{C}.\]
Kwa mfumo wa moleku-spring\(v(t) = dx(t)/dt\), jumla ya nishati ya mitambo E ni
\[E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2.\]
Ulinganifu wa mifumo miwili ni wazi. Ili kwenda kutoka kwa mitambo hadi mfumo wa umeme, sisi tu kuchukua nafasi ya m na L, v na i, k na 1/ C, na x kwa q. Sasa x (t) hutolewa na
\[x(t) = A \, cos (\omega t + \phi)\]wapi\(\omega = \sqrt{k/m}\). Kwa hiyo, malipo ya capacitor katika mzunguko wa LC hutolewa na
\[q(t) = q_0 \, cos (\omega t + \phi) \label{14.40}\]
ambapo mzunguko wa angular wa oscillations katika mzunguko ni
\[\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}. \label{14.41}\]
Hatimaye, sasa katika mzunguko wa LC hupatikana kwa kuchukua muda wa q (t):
\[i(t) = \frac{dq(t)}{dt} = - \omega q_0 \, sin(\omega t + \phi).\]
tofauti wakati wa q na mimi ni inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{1e}\) kwa\(\phi = 0\).
Katika mzunguko wa LC, kujitegemea inductance ni\(2.0 \times 10^{-2}\) H na capacitance ni\(8.0 \times 10^{-6}\) F. nishati\(t = 0\) yote ni kuhifadhiwa katika capacitor, ambayo ina malipo\(1.2 \times 10^{-5}\) C. (a) Je, ni mzunguko wa angular wa oscillations katika mzunguko gani? (b) Je, ni kiwango cha juu cha sasa kinachozunguka kupitia mzunguko? (c) Inachukua muda gani capacitor kuwa huru kabisa? (d) Kupata equation kwamba inawakilisha q (t).
Mkakati
Mzunguko wa angular wa mzunguko wa LC hutolewa na Equation\ ref {14.41}. Ili kupata kiwango cha juu cha sasa, nishati ya juu katika capacitor imewekwa sawa na nishati ya juu katika inductor. Wakati wa kutolewa kwa capacitor ikiwa ni awali kushtakiwa ni robo ya kipindi cha mzunguko, hivyo ikiwa tunahesabu kipindi cha oscillation, tunaweza kujua nini robo ya hiyo ni kupata wakati huu. Hatimaye, kujua malipo ya awali na mzunguko wa angular, tunaweza kuanzisha equation ya cosine ili kupata q (t).
Suluhisho
- Kutoka Equation\ ref {14.41}, mzunguko wa angular wa oscillations ni\[\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}} = \sqrt{\frac{1}{(2.0 \times 10^{-2} \, H)(8.0 \times 10^{-6} \, F)}} = 2.5 \times 10^3 \, rad/s.\]
- Ya sasa ni katika kiwango cha juu\(I_0\) wakati nishati zote zimehifadhiwa katika inductor. Kutoka sheria ya uhifadhi wa nishati,\[\frac{1}{2}LI_0^2 = \frac{1}{2} \frac{q_0^2}{C},\] hivyo Matokeo\[I_0 = \sqrt{\frac{1}{LC}}q_0 = (2.5 \times 10^3 \, rad/s)(1.2 \times 10^{-5} C) = 3.0 \times 10^{-2} A.\] haya yanaweza pia kupatikana kwa kufanana na mwendo rahisi wa harmonic, ambapo sasa na malipo ni kasi na nafasi ya oscillator.
- Capitor inakuwa kabisa kuruhusiwa katika moja ya nne ya mzunguko, au wakati wa T /4, ambapo T ni kipindi cha oscillations. Tangu wakati\[T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2.5 \times 10^3 \, rad/s} = 2.5 \times 10^{-3} s,\] uliochukuliwa kwa capacitor kuwa kikamilifu kuruhusiwa ni\((2.5 \times 10^{-3} s)/4 = 6.3 \times 10^{-4}s\).
- Capitor ni kushtakiwa kabisa\(t = 0\), hivyo\(q(0) = q_0\). Kwa kutumia\ ref {14.40}, sisi kupata\[q(0) = q_0 = q_0 \, cos \, \phi.\] Hivyo,\(\phi = 0\), na\[q(t) = (1.2 \times 10^{-5} C) cos (2.5 \times 10^3 t).\]
Umuhimu
Uhusiano wa nishati ulioanzishwa katika sehemu (b) sio njia pekee tunayoweza kulinganisha nguvu. Mara nyingi, nishati fulani huhifadhiwa katika capacitor na nishati fulani huhifadhiwa katika inductor. Tunaweza kuweka masharti yote kwa kila upande wa equation. Kwa kuchunguza mzunguko tu wakati hakuna malipo kwenye capacitor au hakuna sasa katika inductor, sisi kurahisisha equation nishati.
Mzunguko wa angular wa oscillations katika mzunguko wa LC ni\(2.0 \times 10^3 \) rad/s. (a) Ikiwa\(L = 0.10 \, H\), ni nini C? (b) Tuseme kwamba nishati\(t = 0\) yote ni kuhifadhiwa katika inductor. Thamani ya\(\phi\) nini? (c) Kipaji cha pili kinachofanana kinaunganishwa sambamba na capacitor ya awali. Je! Ni mzunguko wa angular wa mzunguko huu?
Suluhisho
a.\(2.5 \, \mu F\); b.\(\pi /2 \) rad au\(3\pi /2\) rad; c.\(1.4 \times 10^3\) rad/s