9.5: Mfano wa Electron wa bure wa Metali
- Page ID
- 175223
Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:
- Eleza classical bure elektroni mfano wa metali katika suala la dhana elektroni idadi wiani
- Eleza mfano wa quantum free-electron wa metali kulingana na kanuni ya kutengwa kwa Pauli
- Mahesabu ya viwango vya nishati na nafasi ya nishati ya ngazi ya elektroni bure katika chuma
Vyuma, kama vile shaba na alumini, hushikiliwa pamoja na vifungo ambavyo ni tofauti sana na zile za molekuli. Badala ya kugawana na kubadilishana elektroni, metali kimsingi inashikiliwa pamoja na mfumo wa elektroni huru zinazotanga katika imara. Mfano rahisi zaidi wa chuma ni mfano wa elektroni wa bure. Mfano huu unaona elektroni kama gesi. Tunazingatia kwanza kesi rahisi ya mwelekeo ambayo elektroni huhamia kwa uhuru kwenye mstari, kama vile kupitia fimbo nyembamba ya chuma. Kazi\(U(x)\) ya uwezo wa kesi hii ni mraba usio na kipimo cha mraba ambapo kuta za kisima zinahusiana na kando ya fimbo. Mfano huu unapuuza mwingiliano kati ya elektroni lakini huheshimu kanuni ya kutengwa. Kwa kesi maalum ya\(T = 0 \, K\),\(N\) elektroni kujaza ngazi ya nishati, kutoka chini hadi juu, mbili kwa wakati (spin up na spin chini), mpaka ngazi ya juu ya nishati ni kujazwa. Nishati ya juu imejaa inaitwa nishati ya Fermi.
Mfano wa elektroni wa bure wa elektroni unaweza kuboreshwa kwa kuzingatia kesi tatu-dimensional: elektroni zinazohamia kwa uhuru katika kuzuia chuma cha tatu. Mfumo huu unatokana na mraba usio na kipimo cha tatu vizuri. Kuamua mataifa ya nishati ya kuruhusiwa inatuhitaji kutatua usawa wa Schrödinger wa muda
\[-\dfrac{h^2}{2m_c}\left(\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial z^2}\right) \psi (x,y,z) = E \psi (x,y,z), \label{eq1} \]
ambapo sisi kudhani kwamba nishati uwezo ndani ya sanduku ni sifuri na infinity vinginevyo. Kazi ya wimbi la kuruhusiwa kuelezea majimbo ya quantum ya elektroni yanaweza kuandikwa kama
\[\psi(x,y,z) = \left(\sqrt{\dfrac{2}{L_x}}\sin \dfrac{n_x\pi x}{L_x}\right) \left(\sqrt{\dfrac{2}{L_y}}\sin \dfrac{n_y\pi y}{L_y}\right)\left(\sqrt{\dfrac{2}{L_z}}\sin \dfrac{n_z\pi z}{L_z}\right), \label{eq2} \]
wapi\(n_x, \, n_y\) na\(n_z\) ni integers chanya anayewakilisha idadi quantum sambamba na mwendo katika x -, y -, na z -maelekezo, kwa mtiririko huo\(L_x\),\(L_y\) na, na\(L_z\) ni vipimo vya sanduku katika pande hizo. Equation\ ref {eq2} ni tu bidhaa ya tatu moja-dimensional wimbi kazi. Nguvu za kuruhusiwa za elektroni katika mchemraba (\(L = L_x = L_y = L_z\)) ni
\[E = \dfrac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} (n_1^2 + n_2^2 + n_3^2). \label{eq3} \]
Kuhusishwa na kila seti ya idadi quantum\((n_x, \, n_y, \, n_z)\) ni majimbo mawili quantum, spin up na spin chini. Katika nyenzo halisi, idadi ya majimbo yaliyojaa ni kubwa sana. Kwa mfano, katika sentimita ya ujazo wa chuma, nambari hii iko kwenye utaratibu wa\(10^{22}\). Kuhesabu jinsi chembe nyingi ziko katika hali ambayo ni kazi ngumu, ambayo mara nyingi inahitaji msaada wa kompyuta yenye nguvu. Jitihada ni muhimu, hata hivyo, kwa sababu habari hii mara nyingi ni njia bora ya kuangalia mfano.
Fikiria mchemraba wa chuma imara wa urefu wa urefu wa 2.0 cm.
- Kiwango cha chini kabisa cha nishati kwa elektroni ndani ya chuma ni nini?
- ni nafasi kati ya ngazi hii na ngazi ya pili ya nishati nini?
Mkakati
Electron katika chuma inaweza kutajwa kama wimbi. Nishati ya chini kabisa inalingana na wavelength kubwa na idadi ndogo zaidi ya quantum:\(n_x, \, n_y, \, n_z = (1,1,1)\). Equation\ ref {eq3} hutoa hii “hali ya ardhi” thamani ya nishati. Kwa kuwa nishati ya elektroni huongezeka kwa idadi ya quantum, ngazi ya pili ya juu inahusisha ongezeko ndogo zaidi katika namba za quantum, au\((n_x, \, n_y, \, n_z) = (2,1,1), (1,2,1),\) au\((1,1,2)\).
Suluhisho
Ngazi ya chini kabisa ya nishati inalingana na namba za quantum\(n_x = n_y = n_z = 1\). Kutoka Equation\ ref {eq3}, nishati ya ngazi hii ni
\[\begin{align*} E(1,1,1) &= \dfrac{\pi^2 h^2}{2m_eL^2} (1^2 + 1^2 + 1^2) \nonumber \\[4pt] &= \dfrac{3\pi^2 (1.05 \times 10^{-34} \, J \cdot s)^2}{2(9.11 \times 10^{-31} kg)(2.00 \times 10^{-2} m)^2} \nonumber \\[4pt] &= 4.48 \times 10^{-34} J\nonumber \\[4pt] &= 2.80 \times 10^{-15} eV. \nonumber \end{align*} \nonumber \]
Ngazi ya pili ya nishati inafikiwa kwa kuongeza idadi yoyote ya namba tatu za quantum na 1. Kwa hiyo, kuna kweli mataifa matatu ya quantum yenye nishati sawa. Tuseme sisi kuongezeka\(n_x\) kwa 1. Kisha nishati inakuwa
\[\begin{align*} E(2,1,1) &= \dfrac{\pi^2h^2}{2m_eL^2} (2^2 + 1^2 + 1^2) \nonumber \\[4pt] &= \dfrac{6\pi^2(1.05 \times 10^{-34} \, J \cdot s)^2}{2(9.11 \times 10^{-31} kg)(2.00 \times 10^{-2}m)^2} \nonumber \\[4pt] &= 8.96 \times 10^{-34} J \nonumber \\[4pt] &= 5.60 \times 10^{-15} eV.\nonumber \end{align*} \nonumber \]
Nafasi ya nishati kati ya hali ya chini ya nishati na hali ijayo ya juu ya nishati ni kwa hiyo
\[E(2,1,1) - E(1,1,1) = 2.80 \times 10^{-15} eV. \nonumber \]
Umuhimu
Hii ni tofauti ndogo sana ya nishati. Linganisha thamani hii kwa nishati ya wastani ya kinetic ya chembe\(k_BT\), ambapo\(k_B\) ni mara kwa mara ya Boltzmann na\(T\) ni joto kabisa. Bidhaa hiyo\(k_BT\) ni juu ya mara 1000 zaidi kuliko nafasi ya nishati.
Ni nini kinachotokea kwa nishati ya hali ya ardhi ya elektroni ikiwa vipimo vya ongezeko imara?
- Jibu
-
Inapungua.
Mara nyingi, hatujali idadi ya chembe katika majimbo yote, lakini badala ya idadi ya chembe dN na nguvu katika muda mdogo wa nishati. Thamani hii inaweza kuelezwa na
\[\begin{align} dN &= n(E)dE \nonumber \\[4pt] &= g(E)dE \cdot F \nonumber \end{align} \nonumber \]
wapi\(n(E)\) wiani wa namba ya elektroni, au idadi ya elektroni kwa kiasi cha kitengo;\(g(E)\) ni wiani wa majimbo, au idadi ya majimbo ya quantum ya kuruhusiwa kwa nishati ya kitengo;\(dE\) ni ukubwa wa muda wa nishati; na\(F\) ni sababu ya Fermi . Sababu ya Fermi ni uwezekano kwamba hali itajazwa. Kwa mfano, ikiwa\(g(E)dE\) ni majimbo 100 inapatikana, lakini\(F\) ni 5% tu, basi idadi ya chembe katika kipindi hiki cha nishati nyembamba ni tano tu. \(g(E)\)Kupata inahitaji kutatua equation Schrödinger ya (katika vipimo vitatu) kwa viwango vya nishati kuruhusiwa (Equation\ ref {eq1}). Mahesabu yanahusishwa hata kwa mfano usiofaa, lakini matokeo ni rahisi:
\[g(E) = \dfrac{\pi V}{2} \left(\dfrac{8m_e}{h^2} \right)^{3/2} E^{1/2}, \nonumber \]
ambapo V ni kiasi cha imara,\(m_e\) ni wingi wa elektroni, na E ni nishati ya serikali. Angalia kwamba wiani wa majimbo huongezeka na mizizi ya mraba ya nishati. Majimbo zaidi yanapatikana kwa nishati ya juu kuliko nishati ya chini. Maneno haya hayatoi taarifa ya wiani wa elektroni katika nafasi ya kimwili, bali wiani wa viwango vya nishati katika “nafasi ya nishati.” Kwa mfano, katika utafiti wetu wa muundo wa atomiki, tulijifunza kwamba viwango vya nishati vya atomi ya hidrojeni vimewekwa zaidi kwa maadili madogo ya nishati (karibu kuliko hali ya ardhi) kuliko maadili makubwa.
Equation hii inatuambia jinsi majimbo mengi ya elektroni yanapatikana katika imara ya metali tatu-dimen Hata hivyo, haina kutuambia jinsi uwezekano wa mataifa haya kujazwa. Hivyo, tunahitaji kuamua sababu ya Fermi, F. Fikiria kesi rahisi ya\(T = 0 \, K\). Kutoka fizikia ya kawaida, tunatarajia kwamba elektroni zote\((\approx 10^{22} / cm^3)\) zingeingia tu katika hali ya ardhi ili kufikia nishati ya chini kabisa iwezekanavyo. Hata hivyo, hii inakiuka kanuni ya kutengwa kwa Pauli, ambayo inasema kuwa hakuna elektroni mbili zinazoweza kuwa katika hali moja ya quantum. Kwa hiyo, tunapoanza kujaza majimbo na elektroni, majimbo yenye nishati ya chini huchukua kwanza, kisha inasema kwa nguvu za juu zaidi. Electron ya mwisho tunayoweka ina nishati ya juu zaidi. Nishati hii ni nishati ya Fermi\(E_F\) ya gesi ya elektroni huru. Hali yenye nishati\(E < E_F\) inachukua elektroni moja, na hali yenye nishati\(E > E_F\) haifai. Ili kuelezea hili kwa suala la uwezekano F (E) kwamba hali ya nishati E inachukuliwa, tunaandika kwa\(T = 0 \, K\):
\[F(E) = 1 \, (E < E_F) \nonumber \]
\[F(E) = 0 \, (E > E_F). \nonumber \]
Uzito wa majimbo, sababu ya Fermi, na wiani wa idadi ya elektroni hupangwa dhidi ya nishati katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\).
Maelezo machache yanapangwa. Kwanza, wiani wa idadi ya elektroni (mstari wa mwisho) usambazaji hupungua kwa kasi kwenye nishati ya Fermi. Kwa mujibu wa nadharia, nishati hii inatolewa na
\[E_F = \dfrac{h^2}{8m_e} \left(\dfrac{3 \, N}{\pi V} \right)^{2/3}. \label{eq5} \]
Nguvu za Fermi kwa vifaa vya kuchaguliwa zimeorodheshwa kwenye Jedwali\(\PageIndex{1}\). Kumbuka pia kwamba tu Mchoro wa grafu\(\PageIndex{1c}\), ambayo hujibu swali, “Ni chembe ngapi zinazopatikana katika aina ya nishati?” ni checked na majaribio. Joto la Fermi au “joto” la ufanisi la elektroni kwenye nishati ya Fermi ni
\[T_F = \dfrac{E_F}{k_B}. \nonumber \]
| Elementi | Uendeshaji Band Electron Wiani\((10^{28}m^{-3})\) | Free-Electron Model Fermi Nishati (\(eV\)) |
|---|---|---|
| Al | \ ((10^ {28} m^ {-3})\)” style="text-align:katikati;” class="lt-phys-4544">18.1 | \ (eV\))” style="text-align:center;” class="lt-phys-4544">11.7 |
| Ba | \ ((10^ {28} m^ {-3})\)” style="text-align:katikati;” class="lt-phys-4544">3.15 | \ (eV\))” style="text-align:center;” class="lt-phys-4544">3.64 |
| Cu | \ ((10^ {28} m^ {-3})\)” style="text-align:katikati;” class="lt-phys-4544">8.47 | \ (eV\))” style="text-align:center;” class="lt-phys-4544">7.00 |
| Au | \ ((10^ {28} m^ {-3})\)” style="text-align:katikati;” class="lt-phys-4544">5.90 | \ (eV\))” style="text-align:center;” class="lt-phys-4544">5.53 |
| Fe | \ ((10^ {28} m^ {-3})\)” style="text-align:katikati;” class="lt-phys-4544">17.0 | \ (eV\))” style="text-align:center;” class="lt-phys-4544">11.1 |
| Ag | \ ((10^ {28} m^ {-3})\)” style="text-align:katikati;” class="lt-phys-4544">5.86 | \ (eV\))” style="text-align:center;” class="lt-phys-4544">5.49 |
Fedha ya metali ni conductor bora. Ina elektroni za\(5.89 \times 10^{28}\) upitishaji kwa kila mita ya ujazo. (a) Tumia nishati yake ya Fermi. (b) Linganisha nishati hii kwa nishati ya joto\(k_BT\) ya elektroni kwenye joto la kawaida la 300 K.
Suluhisho
- Kutoka Equation\ ref {eq5}, nishati ya Fermi ni\[\begin{align} E_F &= \dfrac{h^2}{2m_e}(3\pi^2n_e)^{2/3} \nonumber \\[4pt] &= \dfrac{(1.05 \times 10^{-34} J \cdot s)^2}{2(9.11 \times 10^{-31}kg)} \times [(3\pi^2 (5.89 \times 10^{28}m^{-3})]^{2/3} \nonumber \\[4pt] &= 8.79 \times 10^{-19}J = 5.49 \, eV. \nonumber \end{align} \nonumber \] Hii ni thamani ya kawaida ya nishati ya Fermi kwa metali, kama inavyoonekana kutoka Jedwali\(\PageIndex{1}\).
- Tunaweza kuhusisha joto la Fermi\(T_F\) na nishati ya Fermi kwa kuandika\(k_BT_F = E_F\). Kisha tunapata joto la Fermi\[\begin{align} T_F &= \dfrac{8.79 \times 10^{-19}J}{1.38 \times 10^{-23} J/K} \nonumber \\[4pt] &= 6.37 \times 10^6 K,\nonumber \end{align} \nonumber \] ambalo ni kubwa zaidi kuliko joto la kawaida na pia kiwango cha kawaida cha kiwango (\(\approx 10^3 \, K\)) cha chuma. Uwiano wa nishati ya Fermi ya fedha kwa nishati ya joto ya joto ya joto ni\[\dfrac{E_F}{k_BT} = \dfrac{T_F}{T} \approx 210. \nonumber \]
Kwa taswira jinsi majimbo quantum ni kujazwa, tunaweza kufikiria kumwaga maji polepole katika kioo, kama vile ya Kielelezo\(\PageIndex{2}\). Matone ya kwanza ya maji (elektroni) huchukua chini ya kioo (majimbo yenye nishati ya chini). Kama ngazi inavyoongezeka, majimbo ya nishati ya juu na ya juu yanatumika. Zaidi ya hayo, tangu kioo kina ufunguzi pana na shina nyembamba, maji zaidi huchukua juu ya kioo kuliko chini. Hii inaonyesha ukweli kwamba wiani wa majimbo g (E) ni sawia na\(E^{1/2}\), kwa hiyo kuna idadi kubwa ya elektroni za nishati ya juu katika gesi ya elektroni ya bure. Hatimaye, kiwango ambacho kioo kinajazwa kinafanana na nishati ya Fermi.
Tuseme kwamba katika\(T = 0 \, K\), idadi ya elektroni conduction kwa kiasi kitengo katika sampuli yetu ni\(n_e\). Kwa kuwa kila hali ya shamba ina elektroni moja, idadi ya majimbo yaliyojaa kwa kiasi cha kitengo ni sawa na idadi ya elektroni kwa kiasi cha kitengo.