7.E: Quantum Mechanics (Mazoezi)

Maswali ya dhana

7.1 Kazi za Wimbi

1. Kitengo cha kimwili cha kazi ya wimbi ni\(\displaystyle Ψ(x,t)\) nini,? Kitengo cha kimwili cha mraba wa kazi hii ya wimbi ni nini?

2. Je! Ukubwa wa kazi ya wimbi\(\displaystyle (Ψ∗(x,t)Ψ(x,t))\) inaweza kuwa namba hasi? Eleza.

3. Ni aina gani ya kimwili ambayo kazi ya wimbi ya elektroni inawakilisha?

4. Nini maana ya kimwili ya kazi ya wimbi la chembe?

5. Nini maana ya maneno “thamani ya matarajio?” Eleza.

7.2 Kanuni ya kutokuwa na uhakika wa Heisenberg

6. Kama formalism ya quantum mechanics ni 'zaidi halisi' kuliko ile ya mechanics classical, kwa nini sisi kutumia quantum mechanics kuelezea mwendo wa chura kuruka? Eleza.

7. Je, wavelength de Broglie ya chembe kujulikana kwa usahihi? Je, nafasi ya chembe inaweza kujulikana kwa usahihi?

8. Je, tunaweza kupima nishati ya chembe ya bure ya ndani na usahihi kamili?

9. Je, tunaweza kupima msimamo na kasi ya chembe kwa usahihi kamili?

7.3 Mlinganyo wa Schrdinger

10. Ni tofauti gani kati ya kazi ya wimbi\(\displaystyle ψ(x,y,z)\) na kazi ya wimbi\(\displaystyle Ψ(x,y,z,t)\) kwa chembe moja?

11. Ikiwa chembe ya quantum iko katika hali ya stationary, inamaanisha kuwa haina hoja?

12. Eleza tofauti kati ya milinganyo ya muda na ya kujitegemea ya SchrDinger.

13. Tuseme kazi ya wimbi imekoma wakati fulani. Je! Kazi hii inaweza kuwakilisha hali ya quantum ya chembe fulani ya kimwili? Kwa nini? Kwa nini?

7.4 Chembe ya Quantum katika Sanduku

14. Kutumia chembe ya quantum katika mfano wa sanduku, kuelezea jinsi nguvu zinazowezekana za chembe zinahusiana na ukubwa wa sanduku.

15. Inawezekana kwamba tunapopima nishati ya chembe ya quantum katika sanduku, kipimo kinaweza kurudi thamani ndogo kuliko nishati ya hali ya ardhi? Ni thamani gani ya juu ya nishati ambayo tunaweza kupima kwa chembe hii?

16. Kwa chembe ya quantum katika sanduku, hali ya kwanza ya msisimko (\(\displaystyle Ψ_2\)) ina thamani ya sifuri kwenye nafasi ya midpoint katika sanduku, ili wiani uwezekano wa kupata chembe katika hatua hii ni sifuri hasa. Eleza nini kibaya na hoja zifuatazo: “Kama uwezekano wa kupata chembe quantum katika midpoint ni sifuri, chembe ni kamwe katika hatua hii, sawa? Inakuwaje basi kwamba chembe inaweza kuvuka hatua hii njiani kutoka upande wa kushoto kwenda upande wa kulia wa sanduku?

7.5 Oscillator ya Harmonic ya Quantum

17. Je, inawezekana kupima nishati ya\(\displaystyle 0.75ℏω\) kwa quantum harmonic oscillator? Kwa nini? Kwa nini? Eleza.

18. Eleza uhusiano kati ya hypothesis ya Planck ya quanta ya nishati na nguvu za oscillator ya harmonic ya quantum.

19. Ikiwa oscillator ya harmonic ya classical inaweza kupumzika, kwa nini oscillator ya harmonic ya quantum haiwezi kupumzika? Je, hii inakiuka Bohr ya

mawasiliano kanuni?

20. Tumia mfano wa chembe ya quantum katika sanduku au oscillator ya quantum kuelezea maana ya kimwili ya kanuni ya mawasiliano ya Bohr.

21. Je, tunaweza kupima wakati huo huo nafasi na nishati ya oscillator ya quantum? Kwa nini? Kwa nini?

7.6 Upepo wa Quantum wa Chembe kupitia Vikwazo vya Uwezo

22. Wakati elektroni na proton ya nishati sawa ya kinetic hukutana na kizuizi cha uwezo wa urefu na upana sawa, ambayo mmoja wao atakuwa

handaki kupitia kizuizi kwa urahisi zaidi? Kwa nini?

23. Nini itapungua uwezekano tunneling zaidi: mara mbili kizuizi upana au kupunguza nusu ya nishati kinetic ya chembe tukio?

24. Eleza tofauti kati ya uwezo wa sanduku na uwezekano wa dot ya quantum.

25. Je, chembe ya quantum inaweza 'kutoroka' kutoka uwezo usio vizuri kama hiyo katika sanduku? Kwa nini? Kwa nini?

26. Diode ya handaki na diode ya resonant-tunneling wote hutumia kanuni sawa ya fizikia ya tunneling quantum. Kwa njia gani muhimu ni tofauti?

Matatizo

7.1 Kazi za Wimbi

27. Compute\(\displaystyle |Ψ(x,t)|^2\) kwa ajili ya kazi\(\displaystyle Ψ(x,t)=ψ(x)sinωt\), ambapo\(\displaystyle ω\) ni mara kwa mara halisi.

28. Kutokana na kazi tata yenye thamani\(\displaystyle f(x,y)=(x−iy)/(x+iy)\), hesabu\(\displaystyle |f(x,y)|^2\).

29. Ambayo moja ya kazi zifuatazo, na kwa nini, qualifies kuwa kazi wimbi la chembe ambayo inaweza hoja pamoja nzima mhimili halisi?

(a)\(\displaystyle ψ(x)=Ae^{−x^2}\);

(b)\(\displaystyle ψ(x)=Ae^{−x};\)

(c)\(\displaystyle ψ(x)=Atanx\);

(d)\(\displaystyle ψ(x)=A(sinx)/x\);

(e)\(\displaystyle ψ(x)=Ae^{−|x|}\).

30. Chembe yenye molekuli m inayohamia kando ya x -axis na hali yake ya quantum inawakilishwa na kazi ya wimbi ifuatayo:\(\displaystyle Ψ(x,t)=\begin{cases}0&x<0\\Axe^{−αx}e^{−iEt/ℏ}&,x≥0\end{cases}\), wapi\(\displaystyle α=2.0×10^{10}m^{−1}\).

(a) Kupata mara kwa mara kuhalalisha.

(b) Pata uwezekano kwamba chembe inaweza kupatikana kwa muda\(\displaystyle 0≤x≤L\).

(c) Kupata matarajio thamani ya nafasi.

(d) Kupata matarajio thamani ya nishati kinetic.

31. Kazi ya wimbi la chembe yenye molekuli m hutolewa na\(\displaystyle ψ(x)=\begin{cases}Acosαx&−\frac{π}{2α}≤x≤+\frac{π}{2α}\\0&otherwise\end{cases}\), wapi\(\displaystyle α=1.00×10^{10}/m\).

(a) Kupata mara kwa mara kuhalalisha.

(b) Pata uwezekano kwamba chembe inaweza kupatikana kwa muda\(\displaystyle 0≤x≤0.5×10^{−10}m\).

(c) Kupata chembe ya wastani nafasi.

(d) Kupata kasi yake ya wastani.

(e) Pata nishati yake ya wastani ya kinetic\(\displaystyle −0.5×10^{−10}m≤x≤+0.5×10^{−10}m\).

7.2 Kanuni ya kutokuwa na uhakika wa Heisenberg

32. Upimaji wa kasi wa\(\displaystyle α\) -chembe umefanyika kwa usahihi wa 0.02 mm/s.

33. Gesi ya atomi za heliamu kwenye 273 K iko kwenye chombo cha ujazo chenye sentimita 25.0 upande.

(a) Je, ni kiwango cha chini cha kutokuwa na uhakika katika vipengele kasi ya atomi za heliamu?

(b) Ni nini kutokuwa na uhakika wa chini katika vipengele kasi?

(c) Kupata uwiano wa uhakika katika

(b) kwa kasi ya maana ya atomi katika kila mwelekeo.

34. Ikiwa kutokuwa na uhakika katika\(\displaystyle y\) sehemu ya nafasi ya proton ni 2.0 pm, pata kutokuwa na uhakika wa chini katika kipimo cha wakati mmoja wa\(\displaystyle y\) kipengele cha proton cha kasi. Je, ni kiwango cha chini cha kutokuwa na uhakika katika kipimo cha wakati mmoja wa sehemu ya proton ya kasi ya kasi?

35. Baadhi ya chembe ya msingi isiyo na uhakika ina nishati ya kupumzika ya 80.41 GeV na kutokuwa na uhakika katika nishati ya kupumzika ya 2.06 GeV. Tathmini ya maisha ya chembe hii.

36. Atomi katika hali ya metastable ina maisha ya 5.2 ms. Pata uhakika wa chini katika kipimo cha nishati ya hali ya msisimko.

37. Vipimo vinaonyesha kwamba atomi inabakia katika hali ya msisimko kwa muda wa wastani wa 50.0 ns kabla ya kufanya mpito kwa hali ya ardhi na chafu sawia ya photon 2.1-EV.

(a) Tathmini ya kutokuwa na uhakika katika mzunguko wa photon.

(b) Ni sehemu gani ya mzunguko wa wastani wa photon ni hii?

38. Tuseme elektroni imefungwa kwa eneo la urefu 0.1 nm (ya utaratibu wa ukubwa wa atomi ya hidrojeni).

(a) Je, ni kiwango cha chini cha kutokuwa na uhakika wa kasi yake?

(b) Je, kutokuwa na uhakika katika kasi itakuwa nini ikiwa eneo la urefu lililofungwa limeongezeka mara mbili hadi 0.2 nm?

7.3 Mlinganyo wa Schrdinger

39. Kuchanganya Equation\(7.4.1\) na Equation\(7.4.2\) kuonyesha\(\displaystyle k^2=\frac{ω^2}{c^2}\).

40. Onyesha kwamba\(\displaystyle Ψ(x,t)=Ae^{i(kx−ωt)}\) ni suluhisho halali kwa SchrDinger ya muda tegemezi equation.

41. Onyesha hilo\(\displaystyle Ψ(x,t)=Asin(kx−ωt)\) na\(\displaystyle Ψ(x,t)=Acos(kx−ωt)\) usitii SchrDinger ya muda tegemezi equation.

42. Onyesha kwamba wakati\(\displaystyle Ψ_1(x,t)\) na\(\displaystyle Ψ_2(x,t)\) ni ufumbuzi wa muda tegemezi SchrDinger equation na A, B ni namba, basi kazi\(\displaystyle Ψ(x,t)\) ambayo ni superposition ya kazi hizi pia ni suluhisho:\(\displaystyle Ψ(x,t)=AΨ_1(x,t)+BΨ_1(x,t)\).

43. Chembe yenye molekuli m inaelezewa na kazi ya wimbi ifuatayo:\(\displaystyle ψ(x)=Acoskx+Bsinkx\), ambapo A, B, na k ni mara kwa mara. Kutokana kwamba chembe ni bure, kuonyesha kwamba kazi hii ni ufumbuzi wa stationary Schrdinger equation kwa chembe hii na kupata nishati kwamba chembe ina katika hali hii.

44. Kupata matarajio thamani ya nishati kinetic kwa chembe katika hali,\(\displaystyle Ψ(x,t)=Ae^{i(kx−ωt)}\). Ni hitimisho gani unaweza kuteka kutoka suluhisho lako?

45. Kupata matarajio thamani ya mraba wa kasi squared kwa chembe katika hali,\(\displaystyle Ψ(x,t)=Ae^{i(kx−ωt)}\). Ni hitimisho gani unaweza kuteka kutoka suluhisho lako?

46. Proton ya bure ina kazi ya wimbi iliyotolewa na\(\displaystyle Ψ(x,t)=Ae^{i(5.02×10^{11}x−8.00×10^{15}t)}\). Mgawo wa x ni mita za inverse (\(\displaystyle m^{−1}\)) na mgawo juu ya t ni sekunde inverse (\(\displaystyle s^{−1}\)). Kupata kasi yake na nishati.

7.4 Chembe ya Quantum katika Sanduku

47. Fikiria kwamba elektroni katika atomu inaweza kutibiwa kama ilivyofungwa kwenye sanduku la upana\(\displaystyle 2.0Å\). Nishati ya hali ya ardhi ya elektroni ni nini? Linganisha matokeo yako na hali ya ardhi kinetic nishati ya atomi hidrojeni katika mfano Bohr ya atomi hidrojeni.

48. Fikiria kwamba protoni katika kiini inaweza kutibiwa kama imefungwa kwenye sanduku moja-dimensional ya upana 10.0 fm.

(a) Nguvu za protoni ni nini wakati ni katika majimbo yanayohusiana\(\displaystyle n=1, n=2,\) na na\(\displaystyle n=3\)?

(b) Ni nguvu gani za photoni zinazotolewa wakati protoni inafanya mabadiliko kutoka kwa majimbo ya kwanza na ya pili ya msisimko hadi hali ya chini?

49. Electron iliyofungwa kwenye sanduku ina nishati ya hali ya ardhi ya 2.5 eV. Upana wa sanduku ni nini?

50. Nishati ya hali ya ardhi (katika eV) ya protoni iliyofungwa kwenye sanduku moja-dimensional ukubwa wa kiini cha uranium ambacho kina radius ya takriban 15.0 fm?

51. Nishati ya hali ya ardhi (katika eV) ya α-chembe iliyofungwa kwenye sanduku moja-dimensional ukubwa wa kiini cha uranium ambacho kina radius ya takriban 15.0 fm?

52. Ili kusisimua elektroni katika sanduku moja-dimensional kutoka hali yake ya kwanza ya msisimko kwa hali yake ya tatu ya msisimko inahitaji 20.0 eV. Upana wa sanduku ni nini?

53. Electron iliyofungwa kwenye sanduku la upana 0.15 nm na vikwazo vya nishati visivyo na uwezo hutoa photon inapofanya mpito kutoka hali ya kwanza ya msisimko hadi hali ya ardhi. Pata wavelength ya photon iliyotolewa.

54. Ikiwa nishati ya hali ya kwanza ya msisimko wa elektroni katika sanduku ni 25.0 eV, ni upana gani wa sanduku?

55. Tuseme elektroni iliyofungwa kwenye sanduku hutoa photons. Wavelength ndefu zaidi ambayo imesajiliwa ni 500.0 nm. Upana wa sanduku ni nini?

56. \(\displaystyle H_2\)Molekuli ya hidrojeni huhifadhiwa saa 300.0 K katika chombo cha cubical kilicho na urefu wa urefu wa cm 20.0. Fikiria kwamba unaweza kutibu molekuli kama kwamba walikuwa wakihamia katika sanduku moja-dimensional.

(a) Pata nishati ya hali ya ardhi ya molekuli ya hidrojeni kwenye chombo.

(b) Fikiria kwamba molekuli ina nishati ya joto iliyotolewa\(\displaystyle k_BT/2\) na na kupata sambamba quantum idadi n ya hali quantum ambayo yanahusiana na nishati hii ya joto.

57. Electroni imefungwa kwenye sanduku la upana 0.25 nm.

(a) Chora mchoro wa ngazi ya nishati inayowakilisha majimbo matano ya kwanza ya elektroni.

(b) Mahesabu ya wavelengths ya photoni zilizotolewa wakati elektroni inafanya mabadiliko kati ya nchi ya nne na ya pili ya msisimko, kati ya hali ya pili ya msisimko na hali ya ardhi, na kati ya nchi ya tatu na ya pili ya msisimko.

58. Electron katika sanduku iko katika hali ya chini na nishati 2.0 eV.

(a) Pata upana wa sanduku.

(b) Ni kiasi gani cha nishati kinachohitajika ili kusisimua elektroni kwa hali yake ya kwanza ya msisimko?

(c) Kama elektroni inafanya mpito kutoka hali ya msisimko kwa hali ya ardhi na chafu samtidiga ya 30.0-EV photon, kupata idadi ya quantum ya hali ya msisimko?

7.5 Oscillator ya Harmonic ya Quantum

59. Onyesha kwamba majimbo mawili ya chini ya nishati ya oscillator rahisi harmonic,\( ψ_0(x) \)\[\psi_n (x) = N_n e^{-\beta^2 x^2/2} H_n (\beta x) \nonumber \] na\( ψ_1(x) \) kutoka kwa\(n = 0,1,2,3, ...\) kukidhi relatant muda huru Schrdinger equation\[-\dfrac{\hbar}{2m} \dfrac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + \dfrac{1}{2}m\omega^2 x^2 \psi(x) = E\psi (x). \nonumber \]

60. Ikiwa nishati ya hali ya ardhi ya oscillator rahisi ya harmonic ni 1.25 eV, ni mzunguko gani wa mwendo wake?

61. Wakati oscillator ya harmonic ya quantum inafanya mpito kutoka\(\displaystyle (n+1)\) hali hadi hali ya n na hutoa photon 450-nm, ni mzunguko gani?

62. Vibrations ya molekuli ya hidrojeni\(\displaystyle H_2\) inaweza kuwa mfano kama oscillator rahisi harmonic na mara kwa mara spring\(\displaystyle k=1.13×10^3N/m\) na wingi\(\displaystyle m=1.67×10^{−27}kg\).

(a) Mzunguko wa vibrational wa molekuli hii ni nini?

(b) Ni nini nishati na wavelength ya photon lilio wakati molekuli inafanya mpito kati ya nchi yake ya tatu na ya pili msisimko?

63. Chembe yenye uzito wa kilo 0.030 oscillates nyuma-na-nje kwenye chemchemi na mzunguko 4.0 Hz. Katika nafasi ya usawa, ina kasi ya 0.60 m/s.Kama chembe iko katika hali ya nishati ya uhakika, pata idadi yake ya nishati ya quantum.

64. Pata thamani ya matarajio\(\displaystyle x^2\) ya mraba wa nafasi kwa oscillator ya harmonic ya quantum katika hali ya chini. Kumbuka:\(\displaystyle ∫^{+∞}_{−∞}dxx^2e ^{−ax^2}=\sqrt{π}(2a^{3/2})^{−1}\).

65. Kuamua thamani matarajio ya nishati uwezo kwa quantum harmonic oscillator katika hali ya ardhi. Tumia hii kuhesabu thamani ya matarajio ya nishati ya kinetic.

66. Thibitisha kwamba\(\displaystyle ψ_1(x)\) iliyotolewa na Equation 7.57 ni suluhisho la equation SchrDinger kwa oscillator quantum harmonic.

67. Tathmini nishati ya hali ya ardhi ya oscillator ya harmonic ya quantum na kanuni ya kutokuwa na uhakika wa Heisenberg. Anza kwa kudhani kwamba bidhaa ya uhakika\(\displaystyle Δx\) na\(\displaystyle Δp\) ni katika kiwango cha chini yake. Andika\(\displaystyle Δp\) kwa suala la\(\displaystyle Δx\) na kudhani kuwa kwa hali ya ardhi\(\displaystyle x≈Δx\) na\(\displaystyle p≈Δp\), kisha uandike nishati ya hali ya ardhi kwa suala la x. Hatimaye, tafuta thamani ya x ambayo inapunguza nishati na kupata kiwango cha chini cha nishati.

68. Masi ya kilo 0.250 oscillates juu ya chemchemi na nguvu ya mara kwa mara 110 N/m. kuhesabu kiwango cha nishati ya ardhi na kujitenga kati ya viwango vya karibu vya nishati. Eleza matokeo katika joules na katika volts za elektroni. Je, madhara ya quantum ni muhimu?

7.6 Upepo wa Quantum wa Chembe kupitia Vikwazo vya Uwezo

69. Onyesha kwamba kazi ya wimbi ndani

(a) Equation 7.68 satisfies Equation 7.61, na

(b) Equation 7.69 inatimiza Equation 7.63.

70. Electron 6.0-eV inathiri kizuizi na urefu 11.0 eV. Kupata uwezekano wa elektroni kwa handaki kupitia kizuizi kama kizuizi upana ni

(a) 0.80 nm na

(b) 0.40 nm.

71. Electron 5.0-EV inathiri kizuizi cha 0.60 nm. Kupata uwezekano wa elektroni kwa handaki kupitia kizuizi kama urefu kizuizi ni

(a) 7.0 eV;

(b) 9.0 eV; na

(c) 13.0 eV.

72. Electron 12.0-EV inakabiliwa na kizuizi cha urefu wa 15.0 eV. Ikiwa uwezekano wa kuunganisha elektroni kupitia kizuizi ni 2.5%, pata upana wake.

73. Chembe ya quantum na nishati ya awali ya kinetic 32.0 eV inakabiliwa na kizuizi cha mraba na urefu wa 41.0 eV na upana 0.25 nm. Find uwezekano kwamba chembe vichuguu kupitia kizuizi hiki kama chembe ni

(a) elektroni na,

(b) protoni.

74. Mfano rahisi wa kuoza kwa nyuklia ya mionzi hudhani kuwa\(\displaystyle α\) -chembe zinakabiliwa ndani ya kisima cha uwezo wa nyuklia kwamba kuta ni vikwazo vya upana wa mwisho 2.0 fm na urefu 30.0 MeV. Pata uwezekano wa tunneling katika kizuizi cha uwezo wa ukuta kwa αα-chembe zilizo na nishati ya kinetic

(a) 29.0 MeV na

(b) 20.0 MeV. Uzito wa\(\displaystyle α\) -chembe ni\(\displaystyle m=6.64×10^{−27}kg\).

75. Muon, chembe ya quantum yenye wingi takriban mara 200 ile ya elektroni, ni tukio la kizuizi cha urefu wa 10.0 eV. Nishati ya kinetic ya muon inayoathiri ni 5.5 eV na tu kuhusu 0.10% ya amplitude ya mraba ya filters zake zinazoingia wimbi kazi kupitia kizuizi. Upana wa kizuizi ni nini?

76. Punje ya mchanga yenye molekuli 1.0 mg na nishati ya kinetic 1.0 J ni tukio la kizuizi cha nishati na urefu wa 1.000001 J na upana 2500 nm. Ni nafaka ngapi za mchanga zinapaswa kuanguka kwenye kizuizi hiki kabla, kwa wastani, mtu hupita?

Matatizo ya ziada

77. Onyesha kwamba ikiwa kutokuwa na uhakika katika nafasi ya chembe ni juu ya utaratibu wa wavelength yake de Broglie, basi kutokuwa na uhakika katika kasi yake ni juu ya utaratibu wa thamani ya kasi yake.

78. Uzito wa\(\displaystyle ρ\) -meson hupimwa kuwa\(\displaystyle 770MeV/c^2\) na kutokuwa na uhakika wa\(\displaystyle 100MeV/c^2\). Tathmini ya maisha ya meson hii.

79. Chembe ya molekuli m imefungwa kwenye sanduku la upana L. Ikiwa chembe iko katika hali ya kwanza ya msisimko, ni uwezekano gani wa kupata chembe katika eneo la upana 0.020 L karibu na hatua iliyotolewa x:

(a)\(\displaystyle x=0.25L\);

(b)\(\displaystyle x=0.40L\);

(c)\(\displaystyle x=0.75L\); na

(d)\(\displaystyle x=0.90L\).

80. Chembe katika sanduku [0; L] iko katika hali ya tatu ya msisimko. Je, ni nafasi zake zinazowezekana zaidi?

81. Mpira wa billiard wa kilo 0.20 unakimbia na kurudi bila kupoteza nishati yake kati ya matakia ya meza ya urefu wa mita 1.5

(a) Ikiwa mpira uko katika hali yake ya ardhi, ni miaka ngapi inahitaji kupata kutoka mto mmoja hadi mwingine? Unaweza kulinganisha kipindi hiki cha wakati na umri wa ulimwengu.

(b) Ni kiasi gani cha nishati kinachohitajika kufanya mpira uende kutoka hali yake ya ardhi hadi hali yake ya kwanza ya msisimko? Linganisha na nishati ya kinetic ya mpira inayohamia saa 2.0 m/s.

82. Kupata matarajio thamani ya nafasi squared wakati chembe katika sanduku ni katika hali yake ya tatu msisimko na urefu wa sanduku ni L.

83. Fikiria mraba usio na kipimo na mipaka ya ukuta\(\displaystyle x=0\) na\(\displaystyle x=L\). Onyesha kuwa kazi\(\displaystyle ψ(x)=Asinkx\) ni ufumbuzi wa stationary SchrDinger equation kwa chembe katika sanduku tu kama\(\displaystyle k=\sqrt{2mE}/ℏ\). Eleza kwa nini hii ni kukubalika wimbi kazi tu kama k ni integer nyingi ya\(\displaystyle π/L\).

84. Fikiria mraba usio na kipimo na mipaka ya ukuta\(\displaystyle x=0\) na\(\displaystyle x=L\). Eleza kwa nini kazi\(\displaystyle ψ(x)=Acoskx\) si ufumbuzi wa stationary SchrDinger equation kwa chembe katika sanduku.

85. Atomi katika kimiani kioo vibrate katika rahisi harmonic mwendo. Kutokana kimiani atomi ina wingi wa\(\displaystyle 9.4×10^{−26}kg\), nini nguvu ya mara kwa mara ya kimiani kama kimiani atomi inafanya mpito kutoka hali ya ardhi kwa hali ya kwanza msisimko wakati inachukua\(\displaystyle 525-µm\) photon?

86. Molekuli ya diatomic hufanya kama oscillator ya harmonic ya quantum na nguvu ya mara kwa mara 12.0 N/m na molekuli\(\displaystyle 5.60×10^{−26}kg\).

(a) ni wavelength ya photon lilio wakati molekuli inafanya mpito kutoka hali ya tatu msisimko kwa hali ya pili msisimko?

(b) Pata nishati ya hali ya ardhi ya vibrations kwa molekuli hii ya diatomic.

87. Electron yenye nishati ya kinetic 2.0 MeV inakabiliwa na kizuizi cha nishati cha urefu wa 16.0 MeV na upana 2.00 nm. Ni uwezekano gani kwamba elektroni inatokea upande mwingine wa kizuizi?

88. Boriti ya protoni mono-juhudi na nishati 2.0 MeV iko juu ya uwezo wa nishati kizuizi cha urefu 20.0 mEV na upana 1.5 fm. Ni asilimia gani ya boriti inayoambukizwa kupitia kizuizi?

Changamoto Matatizo

89. Electroni katika molekuli ndefu, kikaboni inayotumiwa katika laser ya rangi hufanya takriban kama chembe ya quantum katika sanduku yenye upana 4.18 nm. Pata photon iliyotolewa wakati elektroni inafanya mpito kutoka hali ya kwanza ya msisimko kwa hali ya chini na kutoka hali ya pili ya msisimko kwa hali ya kwanza ya msisimko.

90. Katika STM, mwinuko wa ncha juu ya uso kuwa scanned inaweza kuamua kwa usahihi mkubwa, kwa sababu sasa tunneling-elektroni kati ya atomi uso na atomi ya ncha ni nyeti sana kwa tofauti ya pengo kujitenga kati yao kutoka hatua kwa uhakika juu ya uso. Kutokana kwamba sasa tunneling-elektroni ni sawa sawa na uwezekano wa tunneling na kwamba uwezekano wa tunneling ni makadirio mazuri yaliyotolewa\(\displaystyle e^{−2βL}\) na kazi ya kielelezo na\(\displaystyle β=10.0/nm\), kuamua uwiano wa sasa tunneling wakati ncha ni 0.500 nm juu ya uso kwa sasa wakati ncha ni 0.515 nm juu ya uso.

91. Ikiwa STM ni kuchunguza vipengele vya uso na urefu wa ndani wa karibu 0.00200 nm, ni asilimia gani ya mabadiliko katika sasa ya elektroni-umeme lazima umeme wa STM uweze kuchunguza? Fikiria kwamba sasa ya elektroni-elektroni ina sifa zilizotolewa katika tatizo lililotangulia.

92. Tumia kanuni ya kutokuwa na uhakika wa Heisenberg ili kukadiria nishati ya hali ya ardhi ya chembe inayozunguka kwenye chemchemi na mzunguko wa angular\(\displaystyle ω=\sqrt{k/m}\), ambapo k ni mara kwa mara ya spring na m ni wingi.

93. Tuseme usio mraba vizuri inaenea kutoka\(\displaystyle −L/2\) kwa\(\displaystyle +L/2\). Tatua usawa wa SchrDinger wa muda ili kupata nguvu zilizoruhusiwa na majimbo ya stationary ya chembe yenye molekuli m ambayo imefungwa kwa kisima hiki. Kisha onyesha kwamba ufumbuzi huu unaweza kupatikana kwa kufanya mabadiliko ya kuratibu\(\displaystyle x'=x−L/2\) kwa ufumbuzi uliopatikana kwa kupanua vizuri kati ya 0 na L.

94. Chembe ya molekuli m iliyofungwa kwenye sanduku la upana L iko katika hali yake ya kwanza ya msisimko\(\displaystyle ψ_2(x)\).

(a) Kupata nafasi yake ya wastani (ambayo ni thamani ya matarajio ya nafasi).

(b) Ni wapi chembe inayoweza kupatikana?