7.4: Mlinganyo wa Schrdinger
- Page ID
- 175750
Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:
- Eleza jukumu SchrDinger equation ina katika quantum mechanics
- Eleza tofauti kati ya usawa wa SchrDinger unaotegemea wakati na kujitegemea
- Tafsiri ufumbuzi wa equation ya SchrDinger
Katika sehemu mbili zilizopita, tulielezea jinsi ya kutumia wimbi la mitambo ya quantum na kujadili kanuni ya kutokuwa na uhakika wa Heisenberg. Katika sehemu hii, tunawasilisha nadharia kamili na rasmi ya mechanics ya quantum ambayo inaweza kutumika kufanya utabiri. Katika kuendeleza nadharia hii, ni muhimu kupitia nadharia ya wimbi la mwanga. Kwa wimbi la mwanga, uwanja wa umeme\(E(x,t)\) hutii uhusiano
\[\dfrac{\partial^2E}{\partial x^2} = \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2E}{\partial t^2}, \label{eq1} \]
\(c\)wapi kasi ya mwanga na ishara\(∂\) inawakilisha derivative sehemu. (Kumbuka kutoka Oscillations kwamba derivative sehemu ni karibu kuhusiana na derivative kawaida, lakini inahusisha kazi ya kutofautiana zaidi ya moja. Wakati wa kuchukua derivative sehemu ya kazi na variable fulani, vigezo vingine vyote hufanyika mara kwa mara.) Wimbi la mwanga lina idadi kubwa sana ya photoni, hivyo kiasi\(|E(x,t)|^2\) kinaweza kutafsiriwa kama wiani wa uwezekano wa kupata photon moja kwa hatua fulani katika nafasi (kwa mfano, kwenye skrini ya kutazama).
Kuna ufumbuzi wengi wa equation hii. Suluhisho moja la umuhimu fulani ni
\[E(x,t) = A \, \sin \, (kx - \omega t), \label{eq2} \]
wapi\(A\) amplitude ya uwanja wa umeme,\(k\) ni namba ya wimbi, na\(ω\) ni mzunguko wa angular. Kuchanganya equation hii na Equation\ ref {eq1} inatoa
\[k^2 = \dfrac{\omega^2}{c^2},\label{eq3} \]
Kwa mujibu wa equations de Broglie ya, tuna\(p=ℏk\) na\(E=ℏω\). Kubadilisha milinganyo haya katika Equation\ ref {eq3} anatoa
\[p = \dfrac{E}{c}, \nonumber \]
au
\[E = pc. \label{eq5} \]
Kwa hiyo, kulingana na equation ya jumla ya nishati ya kasi ya Einstein (Equation 5.10.26), Equation\ ref {eq5} inaelezea chembe yenye molekuli ya kupumzika sifuri. Hii ni sawa na ujuzi wetu wa photon.
Utaratibu huu unaweza kuachwa. Tunaweza kuanza na equation ya kasi ya nishati ya chembe na kisha kuuliza nini wimbi equation sambamba nayo. Equation ya kasi ya nishati ya chembe isiyo ya kawaida katika mwelekeo mmoja ni
\[E = \dfrac{p^2}{2m} + U(x,t), \nonumber \]
ambapo p ni kasi, m ni wingi, na U ni nishati ya uwezo wa chembe. Equation ya wimbi ambayo inakwenda nayo inageuka kuwa equation muhimu katika mechanics quantum, inayoitwa SchrDinger ya equation tegemezi ya muda.
Equation kuelezea nishati na kasi ya wavefunction inajulikana kama SchrDinger equation:
\[-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \Psi \, (x,t)}{\partial x^2} + U \, (x,t) \, \Psi \, (x,t) = i \hbar \dfrac{\partial \Psi \, (x,t)}{\partial t}. \label{SchroDep} \]
Kama ilivyoelezwa katika Nishati ya Uwezo na Uhifadhi wa Nishati, nguvu kwenye chembe iliyoelezwa na equation hii inatolewa na
\[F = - \dfrac{\partial U \, (x,t)}{\partial x}. \label{7.24} \]
Equation hii ina jukumu katika quantum mechanics sawa na sheria ya pili Newton katika mechanics classical. Mara baada ya nishati ya uwezo wa chembe ni maalum-au, sawa, mara moja nguvu juu ya chembe ni maalum-tunaweza kutatua equation hii tofauti kwa wavefunction. Suluhisho la equation ya pili ya sheria ya Newton (pia equation tofauti) katika mwelekeo mmoja ni kazi x (t) inayobainisha ambapo kitu ni wakati wowote t. Suluhisho la equation ya muda tegemezi ya SchrDinger hutoa chombo-wavefunction-ambayo inaweza kutumika kuamua ambapo chembe ni uwezekano wa kuwa. Equation hii inaweza pia kuandikwa kwa vipimo viwili au vitatu. Kutatua SchrDinger ya equation tegemezi ya muda mara nyingi inahitaji msaada wa kompyuta.
Fikiria kesi maalum ya chembe ya bure. Chembe huru haina uzoefu wa nguvu (\(F = 0\)) .Kulingana na Equation\ ref {7.24}, hii inahitaji tu
\[U \, (x,t) = U_0 = constant. \label{7.25} \]
Kwa unyenyekevu, tunaweka\(U_0 = 0\). SchrDinger ya equation kisha inapunguza kwa
\[-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \Psi \, (x,t)}{\partial x^2} = i \hbar \dfrac{\partial \Psi \, (x,t)}{\partial t}.\label{7.26} \]
Suluhisho halali kwa equation hii ni
\[\Psi \, (x,t) = Ae^{i(kx - \omega t)}.\label{7.27} \]
Haishangazi, suluhisho hili lina idadi ya kufikiri (\(i = \sqrt{-1}\)) kwa sababu equation tofauti yenyewe ina idadi ya kufikiri. Kama ilivyoelezwa hapo awali, hata hivyo, utabiri wa quantum-mitambo hutegemea tu\(|\Psi \, (x,t)|^2\), ambayo hutoa maadili halisi kabisa. Kumbuka kwamba ufumbuzi halisi ndege-wimbi,\(\Psi \, (x,t) = A \, sin \, (kx - \omega t)\) na\(\Psi \, (x,t) = A \, cos \, (kx - \omega t)\), usitii equation Schrödinger ya. Jaribio la kufikiri kwamba wimbi la mawimbi linaweza kuonekana, kuguswa, na kujisikia katika asili linaondolewa na kuonekana kwa idadi ya kufikiri. Katika nadharia ya SchrDinger ya mechanics quantum, wavefunction ni chombo tu cha kuhesabu mambo.
Ikiwa kazi ya nishati ya uwezo (U) haitegemei wakati, inawezekana kuonyesha kwamba
\[\Psi \, (x,t) = \psi (x) \, e^{-i\omega t} \label{7.28} \]
inatimiza usawa wa muda wa SchrDinger, ambapo\(\psi (x)\) ni kazi ya kujitegemea wakati na e-iωte-iωt ni kazi ya kujitegemea ya nafasi. Kwa maneno mengine, kazi ya wimbi inaweza kutenganishwa katika sehemu mbili: sehemu ya nafasi tu na sehemu ya muda tu. Sababu\(e^{-i\omega t}\) wakati mwingine hujulikana kama sababu ya muda wa moduleration kwani inabadilisha kazi ya nafasi tu. Kulingana na de Broglie, nishati ya wimbi la suala hutolewa na\(E = \hbar \omega\), ambapo E ni nishati yake ya jumla. Hivyo, equation hapo juu pia inaweza kuandikwa kama
\[\Psi \, (x,t) = \psi (x) \, e^{-iEt/\hbar}. \label{stationary} \]
Mchanganyiko wowote wa mstari wa nchi hizo (hali mchanganyiko wa nishati au kasi) pia ni suluhisho halali kwa equation hii. Mataifa kama hayo yanaweza, kwa mfano, kuelezea chembe iliyowekwa ndani (angalia Mchoro 7.3.1)
Chembe yenye molekuli m inahamia kando ya x -axis katika uwezo unaotolewa na kazi ya nishati inayoweza\(U(x) = 0.5 m \, \omega^2x^2\). Compute bidhaa\(\Psi \, (x,t)^* U(x) \, \Psi \, (x,t)\). Eleza jibu lako kwa suala la wimbi la kujitegemea la muda,\(\psi (x)\).
Jibu:
\(0.5 \, m\omega^2 x^2 \, \psi (x)^* \psi(x)\)
Kuchanganya Equation\ ref {stationary} na Equation\ ref {SchroDep}, Schrödinger ya muda tegemezi equation inapunguza SchrDinger ya muda huru equation.
\[- \dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + U \, (x) \, \psi (x) = E \, \psi(x), \label{SchroIndep} \]
\(E\)wapi nishati ya jumla ya chembe (idadi halisi).
Kumbuka kwamba tunatumia “psi kubwa” (\(\Psi\)) kwa muda tegemezi wavefunction na “psi kidogo” (\(\psi\)) kwa muda huru wavefunction. Suluhisho la kazi ya wimbi la equation hii lazima liongezwe na sababu ya ubadilishaji wa muda ili kupata kazi ya wimbi la muda.
Katika sehemu zifuatazo, tunatatua usawa wa muda wa kujitegemea wa SchrDinger kwa kesi tatu: chembe ya quantum katika sanduku, oscillator rahisi ya harmonic, na kizuizi cha quantum. Matukio haya hutoa masomo muhimu ambayo yanaweza kutumika kutatua mifumo ngumu zaidi. \(\psi(x)\)Ufumbuzi wa wavefunction wa muda wa kujitegemea unapaswa kukidhi hali tatu:
- \(\psi (x)\)lazima kazi ya kuendelea.
- derivative kwanza ya kuhusiana\(\psi(x)\) na nafasi\(d\psi (x) /dx\),, lazima kuendelea, isipokuwa\(V (x) = \infty\).
- \(\psi (x)\)lazima kuachana (“pigo”) katika\(x = \pm \infty\).
Hali ya kwanza inepuka kuruka ghafla au mapungufu katika kazi ya wimbi. Hali ya pili inahitaji kazi ya wimbi kuwa laini wakati wote, isipokuwa katika matukio maalum. (Katika kozi ya juu zaidi juu ya mechanics quantum, kwa mfano, spikes uwezo wa kina usio na urefu na urefu hutumiwa kutengeneza solids). Hali ya tatu inahitaji wimbifunction kuwa normalizable. Hali hii ya tatu ifuatavyo kutoka tafsiri ya Born ya mechanics quantum. Ni kuhakikisha kwamba\(|\psi(x)|^2\) ni idadi ya mwisho ili tuweze kutumia kwa mahesabu probabilities.
Ni ipi kati ya wavefunctions zifuatazo ni halali wimbi-kazi ufumbuzi kwa equation SchrDinger ya?
Jibu:
Hakuna. Kazi ya kwanza ina discontinuity; Curve ya pili sio kazi - ni thamani mbili; na kazi ya tatu inatofautiana hivyo sio kawaida.