7.3: Kanuni ya kutokuwa na uhakika wa Heisenberg
- Page ID
- 175780
Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:
- Eleza maana ya kimwili ya uhusiano wa msimamo-kasi ya kutokuwa na uhakika
- Eleza asili ya kanuni ya kutokuwa na uhakika katika nadharia ya quantum
- Eleza maana ya kimwili ya uhusiano wa kutokuwa na uhakika wa nishati wakati
Kanuni ya kutokuwa na uhakika wa Heisenberg ni kanuni muhimu katika mechanics ya quantum. Kwa kiasi kikubwa, inasema kwamba ikiwa tunajua kila kitu kuhusu mahali ambapo chembe iko (kutokuwa na uhakika wa nafasi ni ndogo), hatujui chochote kuhusu kasi yake (kutokuwa na uhakika wa kasi ni kubwa), na kinyume chake. Matoleo ya kanuni ya kutokuwa na uhakika pia yanapo kwa kiasi kingine pia, kama vile nishati na wakati. Tunajadili kanuni za kutokuwa na uhakika wa kasi na wakati wa nishati tofauti.
Kasi na Nafasi
Ili kuonyesha kanuni ya kutokuwa na uhakika wa msimamo wa wakati, fikiria chembe ya bure inayohamia kando ya mwelekeo wa x. Chembe huenda kwa kasi ya mara kwa mara\(u\) na kasi\(p = mu\). Kwa mujibu wa mahusiano de Broglie ya,\(p = \hbar k\) na\(E = \hbar \omega\). Kama ilivyojadiliwa katika sehemu iliyopita, kazi ya wimbi kwa chembe ya bure hutolewa na
\[ \begin{align*} \psi_k(x,t) &= A[\cos \, (\omega t - kx) - i \, \sin \, (\omega t - kx)] \\[4pt] &= A \, e^{-i(\omega t - kx)} \\[4pt] &= A \, e^{-i(\omega t - kx)} \\[4pt] &=A\, e^{-i\omega t} e^{ikx} \end{align*} \nonumber \]
na wiani uwezekano\(|\psi_k (x,t)|^2 = A^2\) ni sare na huru ya muda. Chembe ni sawa uwezekano wa kupatikana popote kando ya x -axis lakini ina maadili ya uhakika ya wavelength na namba ya wimbi, na hivyo kasi. Kutokuwa na uhakika wa msimamo hauwezi (hatuna uhakika kabisa juu ya msimamo) na kutokuwa na uhakika wa kasi ni sifuri (tuna hakika kabisa juu ya kasi). Akaunti hii ya chembe huru inaendana na kanuni ya kutokuwa na uhakika wa Heisenberg.
Taarifa sawa zinaweza kufanywa kwa chembe za ndani. Katika nadharia ya quantum, chembe iliyowekwa ndani inatokana na superposition linear ya bure chembe (au ndege-wimbi) majimbo inayoitwa pakiti ya wimbi Mfano wa pakiti ya wimbi inavyoonekana kwenye Kielelezo\(\PageIndex{1}\). pakiti wimbi ina wavelengths wengi na kwa hiyo kwa mahusiano de Broglie wengi wakati-inawezekana katika quantum mechanics! Chembe hii pia ina maadili mengi ya msimamo, ingawa chembe imefungwa zaidi kwa muda\(\Delta x\). Chembe inaweza kuwa bora localized (\(\Delta x\)inaweza kupunguzwa) ikiwa majimbo zaidi ya ndege ya wimbi la wavelengths tofauti au momenta huongezwa pamoja kwa njia sahihi (\(\Delta p\)imeongezeka). Kwa mujibu wa Heisenberg, uhakika huu hutii uhusiano wafuatayo.
Bidhaa ya kutokuwa na uhakika katika nafasi ya chembe na kutokuwa na uhakika katika kasi yake haiwezi kuwa chini ya nusu ya mara kwa mara ya kupungua kwa Planck:
\[\Delta x \Delta p \geq \dfrac{\hbar}{2}. \label{Heisen} \]
Uhusiano huu unaonyesha kanuni ya kutokuwa na uhakika wa Heisenberg. Inaweka mipaka juu ya kile tunaweza kujua kuhusu chembe kutoka vipimo samtidiga ya nafasi na kasi. Kama\(\Delta x\) ni kubwa,\(\Delta p\) ni ndogo, na kinyume chake. Equation\ ref {Heisen} inaweza inayotokana katika kozi ya juu zaidi katika fizikia ya kisasa. Kutafakari juu ya uhusiano huu katika kazi yake The Physical Principles of the Quantum Theory, Heisenberg aliandika “Matumizi yoyote ya maneno 'msimamo' na 'kasi' kwa usahihi zaidi ya yale yaliyotolewa na ni kama maana kama matumizi ya maneno ambayo maana yake haijafafanuliwa.”
Kumbuka kuwa kanuni ya kutokuwa na uhakika haihusiani na usahihi wa vifaa vya majaribio. Hata kwa vifaa vya kupimia kamilifu, uhakika huu utabaki kwa sababu wanatokea katika hali ya wimbi-kama ya jambo. Thamani sahihi ya bidhaa\(\Delta x \Delta p\) inategemea fomu maalum ya kazi ya wimbi. Kushangaza, kazi ya Gaussia (au usambazaji wa kengele-curve) inatoa thamani ya chini ya bidhaa isiyo na uhakika:
\[\Delta x \Delta p = \dfrac{\hbar}{2} \nonumber \]
Kuamua uhakika wa chini katika nafasi za vitu vifuatavyo ikiwa kasi yao inajulikana kwa usahihi wa\(1.0 \times 10^{-3} m/s\):
- elektroni na
- mpira wa bowling wa kilo 6.0 kilo.
Mkakati
Kutokana na kutokuwa na uhakika kwa kasi\(\Delta u = 1.0 \times 10^{-3} m/s\), tunapaswa kwanza kuamua kutokuwa na uhakika kwa kasi\(\Delta p = m\Delta u\) na kisha Geuza Equation\ ref {Heisen} ili kupata kutokuwa na uhakika katika nafasi
\[\Delta x = \dfrac{\hbar}{2\Delta p}. \nonumber \]
Suluhisho
- Kwa elektroni:\[\begin{align*} \Delta p &= m\Delta u \\[4pt] &= (9.1 \times 10^{-31} kg)(1.0 \times 10^{-3}m/s) \\[4pt] &= 9.1 \times 10^{-34} kg \cdot m/s,\end{align*} \nonumber \]\[\begin{align*} \Delta x &= \frac{\hbar}{2\Delta p} \\[4pt] &= 5.8 \, cm. \end{align*} \nonumber \]
- Kwa mpira wa bowling:\[\begin{align*} \Delta p &= m\Delta u \\[4pt] &= (6.0 \, kg)(1.0 \times 10^{-3}m/s) \\[4pt] &= 6.0 \times 10^{-3} kg \cdot m/s, \end{align*} \nonumber \]\[\begin{align*} \Delta x &= \frac{\hbar}{2\Delta p} \\[4pt] &= 8.8 \times 10^{-33}m. \end{align*} \nonumber \]
Umuhimu
Tofauti na uhakika wa msimamo kwa elektroni, kutokuwa na uhakika wa msimamo kwa mpira wa bowling ni mdogo sana. Mara kwa mara ya Planck ni ndogo sana, hivyo mapungufu yaliyowekwa na kanuni ya kutokuwa na uhakika haionekani katika mifumo ya macroscopic kama mpira wa bowling.
Tathmini nishati ya hali ya ardhi ya atomi ya hidrojeni kwa kutumia kanuni ya kutokuwa na uhakika wa Heisenberg. (Kidokezo: Kulingana na majaribio ya awali, ukubwa wa atomi ya hidrojeni ni takriban 0.1 nm.)
Mkakati
Elektroni iliyofungwa kwa atomi ya hidrojeni inaweza kuonyeshwa na chembe iliyofungwa kwenye sanduku la mwelekeo mmoja wa urefu\(L = 0.1 \, nm\). Kazi ya wimbi-hali ya chini ya mfumo huu ni wimbi la nusu. Hii ni wavelength kubwa ambayo inaweza “kufaa” katika sanduku, hivyo wimbifunction inalingana na hali ya chini ya nishati. Kumbuka kuwa kazi hii ni sawa na sura ya kazi ya Gaussia (kengele ya kengele). Tunaweza kuchukua nishati ya wastani ya chembe iliyoelezwa na kazi hii (E) kama makadirio mazuri ya nishati ya hali ya ardhi (\(E_0\)). Nishati hii ya wastani ya chembe inahusiana na wastani wake wa mraba wa kasi, unaohusiana na kutokuwa na uhakika wake.
Suluhisho
Ili kutatua tatizo hili, tunapaswa kuwa maalum kuhusu maana ya “kutokuwa na uhakika wa msimamo” na “kutokuwa na uhakika wa kasi.” Tunatambua kutokuwa na uhakika wa msimamo (Δx) na kupotoka kwa kiwango cha msimamo (\(σ_x\)), na kutokuwa na uhakika wa kasi (\(Δp\)) na kupotoka kwa kiwango cha kasi (\(σ_p\)). Kwa kazi ya Gaussia, bidhaa kutokuwa na uhakika ni
\[\sigma_x\sigma_p = \frac{\hbar}{2}, \nonumber \]
wapi
\[\sigma_x^2 = x^2 - \overline{x}^2 \nonumber \]
na
\[\sigma_p^2 = p^2 - \overline{p}^2.\nonumber \]
Chembe ni sawa na uwezekano wa kusonga kushoto kama kusonga kulia, hivyo\(\overline{p}^2 = 0\). Pia, kutokuwa na uhakika wa msimamo ni sawa na ukubwa wa sanduku, hivyo\(\sigma_x = L\). Makadirio ya ardhi hali ya nishati hiyo ni
\[\begin{align*} E_0 &= E_{Gaussian} \\[4pt] &= \dfrac{\overline{p}^2}{m} \\[4pt] &= \frac{\sigma_p^2}{2m} \\[4pt] &= \frac{1}{2m} \left(\frac{\hbar}{2\sigma_x}\right)^2 \\[4pt] &= \frac{1}{2m} \left(\frac{\hbar}{2L}\right)^2 \\[4pt] &= \frac{\hbar^2}{8mL^2}. \end{align*} \nonumber \]
\[\begin{align*}E_0 &= \dfrac{(\hbar c)^2}{8(mc^2)L^2} \\[4pt] &= \frac{(197.3 \, eV \cdot nm)^2}{8(0.511 \cdot 10^6 eV)(0.1 \, nm)^2} \\[4pt] &= 0.952 \, eV \approx 1 \, eV. \end{align*} \nonumber \]
Kuzidisha nambari na denominator kwa\(c^2\) anatoa
Umuhimu
Kulingana na makadirio ya awali ya ukubwa wa atomi ya hidrojeni na kanuni ya kutokuwa na uhakika, nishati ya hali ya ardhi ya atomi ya hidrojeni iko katika kiwango cha eV. Nishati ya ionization ya elektroni katika nishati ya hali ya ardhi ni takriban 10 eV, hivyo utabiri huu umehakikishiwa. (Kumbuka: Bidhaa cc mara nyingi ni thamani muhimu katika kufanya mahesabu katika mechanics quantum.)
Nishati na Muda
Aina nyingine ya kanuni ya kutokuwa na uhakika inahusisha uhakika katika vipimo vya wakati mmoja wa nishati ya hali ya quantum na maisha yake,
\[\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} \label{H2} \]
\(\Delta E\)wapi kutokuwa na uhakika katika kipimo cha nishati na\(\Delta t\) ni kutokuwa na uhakika katika kipimo cha maisha. Kanuni ya kutokuwa na uhakika wa muda wa nishati haitoki kutokana na uhusiano wa aina iliyoelezwa na Equation\ ref {Heisen} kwa sababu za kiufundi zaidi ya mjadala huu. Hata hivyo, maana ya jumla ya kanuni ya wakati wa nishati ni kwamba hali ya quantum iliyopo kwa muda mfupi tu haiwezi kuwa na nishati ya uhakika. Sababu ni kwamba mzunguko wa hali ni inversely sawia na wakati na mzunguko unaunganisha na nishati ya serikali, hivyo kupima nishati kwa usahihi mzuri, hali lazima izingatiwe kwa mzunguko mingi.
Ili kuonyesha, fikiria mataifa ya msisimko wa atomi. Maisha ya mwisho ya majimbo haya yanaweza kutolewa kutoka kwa maumbo ya mistari ya spectral inayoonekana katika spectra ya atomiki ya chafu. Kila wakati hali ya msisimko imeharibika, nishati iliyotolewa ni tofauti kidogo na kwa hiyo, mstari wa chafu unahusishwa na usambazaji wa masafa ya spectral (au wavelengths) ya photons zilizotolewa. Matokeo yake, mistari yote ya spectral ina sifa ya upana wa spectral. Nishati ya wastani ya photon iliyotolewa inalingana na nishati ya kinadharia ya hali ya msisimko na inatoa eneo la spectral la kilele cha mstari wa chafu. Mataifa ya muda mfupi yana upana wa spectral pana na majimbo ya muda mrefu yana upana wa spectral nyembamba.
chembe kawaida ipo katika hali ya msisimko kwa muda wa\(\Delta t = 10^{-8} s\). Tathmini ya kutokuwa na uhakika\(\Delta f\) katika mzunguko wa photons lilio wakati atomi inafanya mpito kutoka hali ya msisimko na chafu samtidiga ya photon na frequency wastani wa\(f = 7.1 \times 10^{14} Hz\). Je! Mionzi iliyotolewa monochromatic?
Mkakati
Sisi Geuza Equation\ ref {H2} ili kupata kutokuwa\(\Delta E \approx \hbar /2\Delta t\) na uhakika wa nishati na kuchanganya na nishati ya photon\(E = hf\) kupata\(\Delta f\). Ili kukadiria ikiwa chafu ni monochromatic au sio, tunatathmini\(\Delta f/f\).
Suluhisho
Kuenea kwa nguvu za photon ni\(\Delta E = h \Delta f\). Kwa hiyo,
\[\Delta E \approx \frac{\hbar}{2 \Delta t} \Rightarrow h \Delta t \approx \frac{\hbar}{2 \Delta t} \Rightarrow \Delta f \approx \frac{1}{4\pi \Delta t} = \frac{1}{4\pi (10^{-8}s)} = 8.0 \times 10^6 \, Hz, \nonumber \]
\[\frac{\Delta f}{f} = \frac{8.0 \times 10^6 \, Hz}{7.1 \times 10^{14} \, Hz} = 1.1 \times 10^{-8}. \nonumber \]
Umuhimu
Kwa sababu photoni zilizotolewa zina masafa yao ndani ya\(1.1 \times 10^{-6}\) asilimia ya mzunguko wa wastani, mionzi iliyotolewa inaweza kuchukuliwa kuwa monochromatic.
Atomi ya sodiamu hufanya mpito kutoka hali ya kwanza ya msisimko hadi hali ya ardhi, ikitoa photon 589.0-nm na nishati 2.105 eV. Ikiwa maisha ya hali hii ya msisimko ni\(1.6 \times 10^{-8} s\), ni nini kutokuwa na uhakika katika nishati ya hali hii ya msisimko? Upana wa mstari wa spectral unaofanana ni nini?
- Jibu
-
\(4.1 \times 10^{-8} eV\);\(1.1 \times 10^{-5} nm\)