7.5: Chembe ya Quantum katika Sanduku
- Page ID
- 175865
Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:
- Eleza jinsi ya kuanzisha tatizo la thamani ya mipaka kwa equation ya SchrDinger
- Eleza kwa nini nishati ya chembe ya quantum katika sanduku ni quantized
- Eleza maana ya kimwili ya ufumbuzi wa stationary kwa equation ya SchrDinger na uunganisho wa ufumbuzi huu na mataifa ya quantum ya muda
- Eleza maana ya kimwili ya kanuni ya mawasiliano ya Bohr
Katika sehemu hii, tunatumia equation ya SchrDinger kwa chembe iliyofungwa kwenye sanduku moja-dimensional. Kesi hii maalum hutoa masomo ya kuelewa mechanics ya quantum katika mifumo ngumu zaidi. Nishati ya chembe hupimwa kama matokeo ya hali ya wimbi lililosimama ndani ya sanduku.
Fikiria chembe ya wingi\(m\) ambayo inaruhusiwa kuhamia tu kwenye mwelekeo wa x na mwendo wake umefungwa kwa kanda kati ya kuta ngumu na ngumu ziko\(x = 0\) na\(x = L\) (Kielelezo\(\PageIndex{1}\)). Kati ya kuta, chembe huenda kwa uhuru. Hali hii ya kimwili inaitwa mraba usio na kipimo vizuri, iliyoelezwa na kazi ya uwezo wa nishati
\ [U (x) =\ kuanza {kesi}
0 & 0\ leq x\\ leq L\
\ infty & x< 0\; and\; x> L\ mwisho {kesi}\ studio {3.5.2}\]
Kuchanganya equation hii na SchrDinger ya muda huru wimbi equation inatoa
\[\dfrac{-\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x), \, for \, 0 \leq x \leq L \label{7.32} \]
ambapo\(E\) ni nishati ya jumla ya chembe. Tunatarajia aina gani za ufumbuzi? Nishati ya chembe ni namba nzuri, hivyo kama thamani ya wimbi ni chanya (upande wa kulia wa equation), curvature ya wimbi la kazi ni hasi, au concave chini (upande wa kushoto wa equation). Vile vile, kama thamani ya wavefunction ni hasi (upande wa kulia wa equation), curvature ya wavefunction ni chanya au concave up (upande wa kushoto wa equation). Hali hii inakabiliwa na wimbi la oscillating, kama wimbi la sine au cosine. Kwa kuwa mawimbi haya yanafungwa kwenye sanduku, tunaona mawimbi yaliyosimama\(x = 0\) na mwisho wa kudumu na\(x = L\).
Ufumbuzi\(\psi(x)\) wa equation hii una tafsiri ya uwezekano. Hasa, mraba\(|\psi(x)|^2\) inawakilisha uwezekano wiani wa kutafuta chembe katika eneo fulani x. Kazi hii lazima iunganishwe ili kuamua uwezekano wa kupata chembe katika muda fulani wa nafasi. Kwa hiyo tunatafuta suluhisho la kawaida ambalo linatimiza hali ya kuhalalisha ifuatayo:
\[\int_0^L dx|\psi(x)|^2 = 1. \label{7.33} \]
Kuta ni ngumu na haiwezi kuingizwa, ambayo ina maana kwamba chembe haipatikani zaidi ya ukuta. Kwa hisabati, hii ina maana kwamba suluhisho lazima liondoke kwenye kuta:
\[\psi(0) = \psi(L) = 0. \label{7.34} \]
Tunatarajia ufumbuzi wa oscillating, hivyo suluhisho la jumla la equation hii ni
\[\psi_k(x) = A_k \, \cos \, kx + B_k \, \sin \, kx \label{7.35} \]
\(k\)wapi idadi ya wimbi,\(A_k\) na\(B_k\) ni mara kwa mara. Kutumia hali ya mipaka iliyoelezwa na Equation\ ref {7.33} inatoa
\[\psi_k(0) = A_k \, \cos (k \cdot 0) + B_k \, \sin (k \cdot 0) = A_k = 0. \label{7.36} \]
Kwa sababu tuna\(A_k = 0\), ufumbuzi lazima
\[\psi_k(x) = B_k \, \sin \, kx. \label{7.37} \]
Ikiwa\(B_k\) ni sifuri, basi\(\psi_k(x) = 0\) kwa maadili yote ya\(x\) na hali ya kuhalalisha (Equation\ ref {7.33}) haiwezi kuridhika. Kutokana\(B_k \neq 0\), Equation\ ref {7.34} kwa\(x = L\) kisha anatoa
\[0 = B_k \, \sin (kL) \Rightarrow \sin(kL) = 0 \Rightarrow kL = n\pi, \, n = 1,2,3,... \label{7.38} \]
Sisi kuondokana\(n = 0\) ufumbuzi\(\psi(x)\) kwa sababu kwa idadi hii quantum itakuwa sifuri kila mahali-un-normalizable na hivyo unphysical ufumbuzi. Kubadilisha Equation\ ref {7.37} katika Equation\ ref {7.32} anatoa
\[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2}{dx^2} (B_k \sin(kx)) = E(B_k \sin(kx)). \label{7.39} \]
Computing derivatives hizi husababisha
\[E = E_k = \dfrac{\hbar^2k^2}{2m}. \label{7.40} \]
Kwa mujibu wa de Broglie,\(p = \hbar k\), hivyo maneno haya ina maana kwamba nishati jumla ni sawa na nishati kinetic, sambamba na dhana yetu kwamba “chembe hatua kwa uhuru.” Kuchanganya matokeo ya Equation\ ref {7.38} na\ ref {7.40} inatoa
\[E_n = n^2 \dfrac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}, \, n = 1,2,3,... \label{7.41} \]
Equation\ ref {7.41} inasema kuwa chembe iliyofungwa kwenye sanduku moja-dimensional inaweza tu kuwa na maadili fulani ya kipekee (quantized) ya nishati. Zaidi ya hayo, chembe haiwezi kuwa na nishati ya kinetiki ya sifuri-haiwezekani kwa chembe iliyofungwa kwenye sanduku kuwa “inapumzika.”
Ili kutathmini mawimbi ya kuruhusiwa ambayo yanahusiana na nguvu hizi, tunapaswa kupata mara kwa mara ya kawaida\(B_n\). Tunaweka hali ya kuhalalisha Equation\ ref {7.33} kwenye kazi ya wimbi
\[\psi_n(x) = B_n \, \sin \, \dfrac{n\pi x}{L} \label{7.42} \]
Tunaanza na hali ya kuhalalisha (Equation\ ref {7.33})
\[\begin{align} 1 &= \int_0^L dx|\psi_n(x)|^2 \\[5pt] &= \int_0^L dx \, B_n^2 \, \sin^2 \dfrac{n\pi}{L} x \\[5pt] &= B^2 n \int_0^2 dx \, \sin^2 \dfrac{n\pi}{L}x \\[5pt] &= B_n^2 \dfrac{L}{2} \\[5pt] \Rightarrow B_n &= \sqrt{\dfrac{2}{L}}. \end{align} \nonumber \]
Kwa hiyo, kazi za mawimbi zinazohusiana na maadili ya nishati yaliyotolewa katika Equation\ ref {7.41} ni
\[\psi_n(x) = \sqrt{\dfrac{2}{L}} \, \sin \, \dfrac{n\pi x}{L}, \, n = 1,2,3,... \label{7.43} \]
Kwa hali ya chini ya nishati au nishati ya ardhi hali, tuna
\[E_1 = \dfrac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}, \, \psi_1(x) = \sqrt{\dfrac{2}{L}} \, \sin \left(\dfrac{\pi x}{L}\right). \label{7.44} \]
Majimbo mengine yote ya nishati yanaweza kuelezwa kama
\[E_n = n^2 E_1, \, \psi_n(x) = \sqrt{\dfrac{2}{L}} \, \sin \, \left(\dfrac{n\pi x}{L}\right). \label{7.45} \]
Ripoti hiyo\(n\) inaitwa nambari ya quantum ya nishati au nambari kuu ya quantum. hali kwa\(n = 2\) ni ya kwanza msisimko hali, hali kwa\(n = 3\) ni ya pili msisimko hali, na kadhalika. Majimbo matatu ya kwanza ya quantum (kwa n = 1, 2, na 3) ya chembe katika sanduku yanaonyeshwa kwenye Mchoro\(\PageIndex{2}\). Kazi za mawimbi katika Equation\ ref {7.45} wakati mwingine hujulikana kama “majimbo ya nishati ya uhakika.” Vipande katika majimbo haya husemekana kuchukua viwango vya nishati, ambavyo vinawakilishwa na mistari ya usawa katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\). Viwango vya nishati vinafanana na mizigo ya ngazi ambayo chembe inaweza “kupanda” kama inapata au kupoteza nishati.
Wavefunctions katika Equation\ ref {7.45} pia huitwa majimbo ya stationary na majimbo ya wimbi la kusimama. Kazi hizi ni “stationary,” kwa sababu kazi zao uwezekano wiani\(|\Psi(x,t)|^2\), wala kutofautiana katika muda, na “amesimama mawimbi” kwa sababu sehemu zao halisi na imaginary oscillate juu na chini kama wimbi amesimama - kama kamba akipunga kati ya watoto wawili kwenye uwanja wa michezo. Majimbo ya stationary ni majimbo ya nishati ya uhakika (Equation\ ref {7.45}), lakini mchanganyiko wa mstari wa majimbo haya, kama vile\(\psi(x) = a\psi_1 + b\psi_2\) (pia ufumbuzi wa equation ya SchrDinger) ni majimbo ya nishati mchanganyiko.
Quantization ya nishati ni matokeo ya hali ya mipaka. Ikiwa chembe haijafungwa kwenye sanduku lakini hutembea kwa uhuru, nguvu za kuruhusiwa zinaendelea. Hata hivyo, katika kesi hii, nguvu fulani tu (\(E_1, 4E_1, 9E_1,...\)) zinaruhusiwa. Tofauti ya nishati kati ya viwango vya nishati karibu hutolewa na
\[\Delta E_{n+1,n} = E_{n+1} - E_n = (n + 1)^2 E_1 - n^2E_1 = (2n + 1) E_1. \nonumber \]
Uhifadhi wa mahitaji ya nishati kwamba ikiwa nishati ya mfumo inabadilika, tofauti ya nishati hufanyika kwa aina nyingine ya nishati. Kwa kesi maalum ya chembe iliyoshtakiwa iliyofungwa kwa kiasi kidogo (kwa mfano, katika atomi), mabadiliko ya nishati mara nyingi huchukuliwa na photoni. Mizunguko ya photoni zilizotolewa zinatupa taarifa kuhusu tofauti za nishati (spacings) za mfumo na kiasi cha containment-ukubwa wa “sanduku” (Equation\ ref {7.44}).
Tuseme proton imefungwa kwenye sanduku la upana\(L = 1.00 \times 10^{-14} m\) (radius ya kawaida ya nyuklia). Nguvu za ardhi na majimbo ya kwanza ya msisimko ni nini? Ikiwa proton inafanya mpito kutoka hali ya kwanza ya msisimko hadi hali ya ardhi, ni nishati gani na mzunguko wa photon iliyotolewa?
Mkakati
Ikiwa tunadhani kwamba protoni iliyofungwa katika kiini inaweza kuonyeshwa kama chembe ya quantum katika sanduku, yote tunayohitaji kufanya ni kutumia Equation\ ref {7.41} ili kupata nguvu zake\(E_1\) na\(E_2\). Masi ya proton ni\(m = 1.76 \times 10^{-27}kg\). Photon iliyotolewa huchukua tofauti ya nishati\(\Delta E = E_2 - E_1\). Tunaweza kutumia uhusiano\(E_f = hf\) kupata frequency yake f.
Suluhisho
Hali ya ardhi:
\[\begin{align*} E_1 &= \dfrac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \\[5pt] &= \dfrac{\pi^2 (1.05 \times 10^{-34} J \cdot s)}{2(1.67 \times 10^{-27} kg)(1.00 \times 10^{-14}m)^2} \\[5pt] &= 3.28 \times 10^{−13}J \\[5pt] &= 2.05 \, MeV \end{align*} \nonumber \]
Hali ya kwanza ya msisimko:
\[E_2 = 2^2 E_1 = 4(2.05 \, MeV) = 8.20 \, MeV. \nonumber \]
Nishati ya photon iliyotolewa ni
\[E_f = \Delta E = E_2 - E_1 = 8.20 \, MeV - 2.05 \, MeV = 6.15 \, MeV. \nonumber \]
Mzunguko wa photon iliyotolewa ni
\[f = \dfrac{E_f}{h} = \dfrac{6.15 \, MeV}{4.14 \times 10^{-21}MeV \cdot s} = 1.49 \times 10^{21} Hz. \nonumber \]
Umuhimu
Hii ni mzunguko wa kawaida wa ray ya gamma iliyotolewa na kiini. Nishati ya photon hii ni karibu mara milioni 10 zaidi kuliko ile ya photon inayoonekana.
Thamani ya matarajio ya msimamo wa chembe katika sanduku hutolewa na
\[\langle x \rangle = \int_0^L dx \,\psi_n^* (x) x \psi_n(x) = \int_0^L dx\,x|\psi_n^*(x)|^2 = \int_0^L dx\,x \dfrac{2}{L}sin^2 \, \dfrac{nπx}{L} = \dfrac{L}{2}. \label{7.47} \]
Pia tunaweza kupata matarajio thamani ya kasi au wastani kasi ya idadi kubwa ya chembe katika hali fulani:
\[\begin{align} \langle p \rangle &= \int_0^L dx\psi_n^* (x) \left[-i\hbar \dfrac{d}{dx} \psi_n(x)\right] \label{7.48} \\[5pt] &= -i\hbar \int_0^L dx \sqrt{\dfrac{2}{L}} \, \sin \, \dfrac{n\pi x}{L} \left[ \dfrac{d}{dx} \sqrt{\dfrac{2}{L}} \, \sin \, \dfrac{n\pi x}{L}\right] \\[5pt] &= -i \dfrac{2\hbar}{L} \int_0^L dx \, \sin \, \dfrac{n\pi x}{L} \left[ \dfrac{n\pi}{L} \, \cos \, \dfrac{n\pi x}{L}\right] \\[5pt] &= - i\dfrac{2n\pi \hbar}{L^2} \int_0^L dx \dfrac{1}{2} \sin \, \dfrac{2n\pi x}{L} \\[5pt] &= -i \dfrac{n\pi \hbar}{L^2} \dfrac{L}{2n\pi} \int_0^{2\pi n} d\varphi \, \sin \, \varphi \\[5pt] &= -i \dfrac{\hbar}{2L} \cdot 0 \\[5pt] &= 0. \end{align} \]
Hivyo, kwa chembe katika hali ya nishati ya uhakika, msimamo wa wastani ni katikati ya sanduku na kasi ya wastani ya chembe ni sifuri-kama ingekuwa pia kwa chembe classical. Kumbuka kwamba ilhali nishati ya chini ya chembe classical inaweza kuwa sifuri (chembe inaweza kuwa katika mapumziko katikati ya sanduku), nishati ya chini ya chembe quantum ni nonzero na kutolewa na Equation\ ref {7.44}. Wastani wa nishati ya chembe katika hali ya nth quantum - thamani yake ya matarajio ya nishati-ni
\[E_n = \langle E \rangle = n^2 \dfrac{\pi^2 \hbar^2}{2m}. \label{7.49} \]
Matokeo haishangazi kwa sababu hali ya wimbi la kusimama ni hali ya nishati ya uhakika. Kipimo chochote cha nishati cha mfumo huu kinapaswa kurudi thamani sawa na mojawapo ya nguvu hizi zilizoruhusiwa.
Uchunguzi wetu wa chembe ya quantum katika sanduku haitakuwa kamili bila kujadili kanuni ya mawasiliano ya Bohr. Kanuni hii inasema kwamba kwa idadi kubwa ya quantum, sheria za fizikia ya quantum zinapaswa kutoa matokeo sawa kama sheria za fizikia ya kawaida. Ili kuonyesha jinsi kanuni hii inavyofanya kazi kwa chembe ya quantum katika sanduku, tunajenga usambazaji wa wiani wa uwezekano
\[|\psi_n(x)|^2 = \dfrac{2}{L} sin^2 (n\pi x/L) \label{7.50} \]
kwa ajili ya kutafuta chembe karibu eneo\(x\) kati ya kuta wakati chembe ni katika hali quantum\(\psi_n\). Kielelezo\(\PageIndex{3}\) inaonyesha mgawanyo huu uwezekano kwa hali ya ardhi, kwa hali ya kwanza msisimko, na kwa hali yenye msisimko kwamba sambamba na idadi kubwa quantum. Tunaona kutoka kwa viwanja hivi kwamba wakati chembe ya quantum iko katika hali ya ardhi, inawezekana kupatikana karibu katikati ya sanduku, ambapo usambazaji wa uwezekano una thamani kubwa zaidi. Hii si hivyo wakati chembe iko katika hali ya kwanza ya msisimko kwa sababu sasa usambazaji uwezekano una thamani ya sifuri katikati ya sanduku, hivyo hakuna nafasi ya kupata chembe huko. Wakati chembe ya quantum iko katika hali ya kwanza ya msisimko, usambazaji wa uwezekano una maxima mawili, na nafasi nzuri ya kupata chembe iko kwenye nafasi karibu na maeneo ya maxima haya. Picha hii ya quantum ni tofauti na picha ya classical.
Uwezekano wiani wa kutafuta chembe classical kati\(x\) na\(x + \Delta x\) inategemea muda\(Δt\) gani chembe inatumia katika eneo hili. Kutokana kwamba kasi yake u ni mara kwa mara, wakati huu ni\(Δt = Δx/u\), ambayo pia ni mara kwa mara kwa eneo lolote kati ya kuta. Kwa hiyo, wiani wa uwezekano wa kupata chembe ya classical katika\(x\) ni sare katika sanduku, na hakuna mahali preferred kwa ajili ya kutafuta chembe classical. Picha hii ya classical inafanana na kikomo cha idadi kubwa ya quantum. Kwa mfano, wakati chembe ya quantum iko katika hali ya msisimko sana, inavyoonekana kwenye Kielelezo\(\PageIndex{3}\), wiani wa uwezekano una sifa ya kushuka kwa kasi na kisha uwezekano wa kupata chembe ya quantum katika kipindi Δx hautegemei ambapo muda huu iko kati ya kuta.
Gari ndogo la kilo 0.40 linasonga na kurudi kwenye wimbo wa hewa kati ya bumpers mbili ziko mbali na m 2.0. Tunadhani hakuna msuguano; migongano na bumpers ni elastic kikamilifu ili kati ya bumpers, gari inao kasi ya mara kwa mara ya 0.50 m/s.
Mkakati
Tunapata nishati ya kinetic K ya gari na nishati yake ya hali ya ardhi kana\(E_1\) kwamba ilikuwa chembe ya quantum. Nishati ya gari ni kinetic kabisa, hivyo\(K = n^2 E_1\) (Equation\ ref {7.45}). Kutatua kwa n anatoa\(n = (K/E_1)^{1/2}\).
Suluhisho
Nishati ya kinetic ya gari ni
\[K = \dfrac{1}{2} mu^2 = \dfrac{1}{2}(0.40 \, kg)(0.50 \, m/s)^2 = 0.050 \, J. \nonumber \]
Hali ya chini ya gari, kutibiwa kama chembe quantum, ni
\[E_1 = \dfrac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} = \dfrac{\pi^2 (1.05 \times 10^{-34} J \cdot s)^2}{2(0.40 \, kg)(2.0 \, m)^2} = 1.700 \times 10^{-68} J. \nonumber \]
Kwa hiyo,\[n = (K/E_1)^{1/2} = (0.050/1.700 \times 10^{-68})^{1/2} = 1.2 \times 10^{33}. \nonumber \]
Umuhimu
Tunaona kutoka kwa mfano huu kwamba nishati ya mfumo wa classical ina sifa ya idadi kubwa sana ya quantum. Kanuni ya mawasiliano ya Bohr inahusisha aina hii ya hali. Tunaweza kutumia formalism ya mechanics quantum kwa aina yoyote ya mfumo, quantum au classical, na matokeo ni sahihi katika kila kesi. Katika kikomo cha idadi kubwa ya quantum, hakuna faida katika kutumia formalism quantum kwa sababu tunaweza kupata matokeo sawa na formalism chini ngumu ya mechanics classical. Hata hivyo, hatuwezi kutumia utaratibu wa kawaida kwa mfumo wa quantum katika hali ya nishati ya chini.
(a) Fikiria usio mraba vizuri na mipaka ya ukuta\(x=0\) na\(x=L\). Je! Ni uwezekano gani wa kupata chembe ya quantum katika hali yake ya ardhi mahali fulani kati\(x=0\) na\(x=L/4\)? (b) Rudia swali (a) kwa chembe classical.
Suluhisho
a. 9.1%; b. 25%
Baada ya kupatikana majimbo ya stationary\(ψ_n(x)\) na nguvu\(E_n\) kwa kutatua usawa wa Schrdinger wa muda (Equation\ ref {7.32}), tunatumia Equation 7.4.12 kuandika mawimbi\(Ψ_n(x,t)\) ambayo ni ufumbuzi wa equation ya SchrDinger inayotokana na Equation 7.4.7. Kwa chembe katika sanduku hii inatoa
\[\Psi_n(x,t) = e^{-i\omega_nt} \psi_n(x) = \sqrt{\dfrac{2}{L}}e^{-iE_nt/\hbar}sin \, \dfrac{n\pi x}{L}, \, n = 1,2,3,... \label{7.51} \]
ambapo nguvu zinatolewa na Equation\ ref {7.41}.
Chembe ya quantum katika mfano wa sanduku ina maombi ya vitendo katika uwanja mpya wa optoelectronics, ambayo inahusika na vifaa vinavyobadilisha ishara za umeme kwenye ishara za macho. Mfano huu pia unahusika na matukio ya kimwili ya nanoscale, kama vile nanoparticle iliyofungwa katika uwezo mdogo wa umeme unaofungwa na vikwazo vya juu-uwezo.