# 4.3: Upeo katika Diffraction moja-Slit

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$ $$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

##### Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

• Tumia jamaa ya kiwango cha juu na upeo wa kati wa kilele cha diffraction moja-slit
• Tumia kiwango cha jamaa na upeo wa kati wa hatua ya kiholela kwenye skrini

Ili kuhesabu ukubwa wa muundo wa diffraction, tunafuata njia ya awamu inayotumiwa kwa mahesabu na nyaya za ac katika Mipangilio Mbadala ya Sasa. Kama tunaona kwamba kuna vyanzo$$N$$ Huygens katika watakata inavyoonekana hapo awali, na kila chanzo kutengwa na umbali A/n kutoka majirani zake karibu, njia tofauti kati ya mawimbi kutoka vyanzo karibu kufikia hatua holela$$P$$ kwenye screen ni$$(a/N) \, \sin \theta$$. Umbali huu ni sawa na tofauti ya awamu ya$$(2\pi a/\lambda N) \, \sin \, \theta$$. Mchoro wa phasor kwa mawimbi ya kuwasili kwenye hatua ambayo nafasi ya angular$$\theta$$ inavyoonekana kwenye Mchoro$$\PageIndex{1}$$. Ukubwa wa phasor kwa kila wavelet ya Huygens ni$$\Delta E_0$$, amplitude ya awamu ya matokeo ni$$E$$, na tofauti ya awamu kati ya mawimbi kutoka kwa vyanzo vya kwanza na vya mwisho ni

$\phi = \left(\dfrac{2\pi}{\lambda}\right) \, a \, \sin \theta. \nonumber$

Kwa$$N → ∞$$, mchoro wa phasor unakaribia arc ya mviringo ya urefu$$N \Delta E_0$$ na radius$$r$$. Kwa kuwa urefu wa arc ni$$N \Delta E_0$$ kwa chochote$$ϕ$$, radius$$r$$ ya arc inapaswa kupungua kama$$ϕ$$ ongezeko (au sawa, kama phasors huunda spirals kali).

Mchoro wa phasor kwa = 0 (katikati ya muundo wa diffraction) umeonyeshwa kwenye Mchoro$$\PageIndex{1a}$$ kwa kutumia N=30. Katika kesi hiyo, phasors huwekwa mwisho hadi mwisho wa mstari wa moja kwa moja wa urefu$$N \Delta E_0$$, r radius inakwenda kwa infinity, na matokeo yake ina thamani yake ya juu$$E = N\Delta E_0$$. Upeo wa mwanga unaweza kupatikana kwa kutumia uhusiano$$I = \dfrac{1}{2} c \epsilon_0 E^2$$ kutoka kwa Mawimbi ya umeme. Upeo wa kiwango cha juu ni basi

$I_0 = \dfrac{1}{2} c\epsilon_0 (N \Delta E_0)^2 = \dfrac{1}{2\mu_0 c}(N\Delta E_0)^2, \nonumber$

wapi$$\epsilon_0 = 1/\mu_0 c^2$$. Michoro ya phasor kwa zero mbili za kwanza za muundo wa diffraction zinaonyeshwa kwenye Kielelezo$$\PageIndex{1b}$$ na Kielelezo$$\PageIndex{1d}$$. Katika hali zote mbili, phasors huongeza sifuri, baada ya kupokezana kupitia$$\phi = 2\pi$$ rad kwa m = 1 na$$4 \pi$$ rad kwa m = 2.

Maxima miwili ijayo zaidi ya maxima ya kati yanawakilishwa na michoro ya awamu ya sehemu (c) na (e). Katika sehemu (c), awamu zimezunguka kupitia$$\phi = 3\pi$$ rad na zimeunda awamu ya matokeo ya ukubwa$$E_1$$. Urefu wa arc iliyoundwa na phasors ni$$N\Delta E_0$$. Kwa kuwa hii inalingana na mzunguko wa 1.5 karibu na mduara wa kipenyo$$E_1$$, tuna

$\dfrac{3}{2} \pi E_1 = N \Delta E_0, \nonumber$

kwa hivyo

$E_1 = \dfrac{2N\Delta E_0}{3\pi} \nonumber$

na

$I_1 = \dfrac{1}{2\mu_0 c}E_1^2 = \dfrac{4(N\Delta E_0)^2}{(9\pi^2)(2\mu_0c)} = 0.045 I_0, \nonumber$

wapi

$I_0 = \dfrac{(N\Delta E_0)^2}{2\mu_0 c}. \nonumber$

Katika sehemu (e), awamu zimezungushwa kwa njia ya$$\phi = 5\pi$$ rad, sawa na mzunguko wa 2.5 karibu na mduara wa kipenyo$$E_2$$ na urefu wa arc$$N\Delta E_0$$. Hii inasababisha$$I_2 = 0.016 I_0$$. Ushahidi umesalia kama zoezi kwa mwanafunzi (Zoezi 4.119).

Hizi maxima mbili kweli yanahusiana na maadili ya kidogo chini ya$$3\pi$$ rad na$$5\pi$$ rad. Kwa kuwa urefu wa jumla wa arc ya mchoro wa phasor daima$$N \Delta E_0$$, radius ya arc inapungua kama$$ϕ$$ ongezeko. Matokeo yake,$$E_1$$ na$$E_2$$ kugeuka kuwa kubwa zaidi kwa arcs ambazo hazijapigwa kabisa kupitia$$3\pi$$ rad na$$5\pi$$ rad, kwa mtiririko huo. Maadili halisi ya$$ϕ$$ kwa maxima yanachunguzwa katika Zoezi 4.120. Katika kutatua tatizo hilo, utapata kwamba wao ni chini ya, lakini karibu sana na,$$\phi = 3\pi, \, 5\pi, \, 7\pi,$$... rad.

Ili kuhesabu kiwango kwa hatua ya kiholela$$P$$ kwenye skrini, tunarudi kwenye mchoro wa phasor wa Kielelezo$$\PageIndex{1}$$. Kwa kuwa arc hupunguza angle katikati ya mduara,

$N\Delta E_0 = r\phi \label{eq10}$

na

$\sin \left(\dfrac{\phi}{2}\right) = \dfrac{E}{2r}. \label{eq11}$

$$E$$wapi amplitude ya shamba la matokeo. Kutatua Equation\ ref {eq11} kwa$$E$$ na kisha kubadilisha$$r$$ kutoka Equation\ ref {eq10}, tunaona

\begin{align*} E &= 2r \, \sin \, \dfrac{\phi}{2} \\[5pt] &= 2\dfrac{N\Delta E_0}{\phi} \sin \, \dfrac{\phi}{2}. \end{align*} \nonumber

Sasa kufafanua

$\beta = \dfrac{\phi}{2} = \dfrac{\pi a \, \sin \, \theta}{\lambda} \label{4.2}$

tunapata

$E = N\Delta E_0 \dfrac{\sin \, \beta}{\beta} \label{eq15}$

Equation\ ref {eq15} inahusiana amplitude ya shamba matokeo wakati wowote katika muundo wa diffraction kwa amplitude$$N \Delta E_0$$ katika upeo wa kati. Upeo ni sawia na mraba wa amplitude, hivyo

$I = I_0 \left(\dfrac{\sin \, \beta}{\beta}\right)^2 \label{eq20}$

ambapo$$I_0 = (N\delta E_0)^2/2\mu_0 c$$ ni ukubwa katikati ya muundo.

Kwa upeo wa kati, = 0, β pia ni sifuri na tunaona kutoka utawala wa l'Hôpital kwamba$$\lim_{\beta \rightarrow 0}(sin \, \beta/\beta) = 1$$, ili$$lim_{\phi \rightarrow 0}I = I_0$$. Kwa kiwango cha juu ya,$$\phi = 3\pi$$ rad, tuna$$\beta = 3\pi/2$$ rad na wakati kubadilishwa katika Equation\ ref {eq20}, ni mavuno

$I_1 = I_0 \left(\dfrac{\sin \, 3\pi/2}{3\pi/2}\right)^2 = 0.045 I_0, \nonumber$

kwa makubaliano na kile tulichopata mapema katika sehemu hii kwa kutumia kipenyo na mzunguko wa michoro za awamu. Kubadilisha$$\phi = 5\pi$$ rad katika Equation\ ref {eq20} mavuno matokeo sawa kwa$$I_2$$.

Mpango wa Equation\ ref {eq20} inavyoonekana katika Kielelezo$$\PageIndex{3}$$ na moja kwa moja chini ni picha ya muundo halisi wa diffraction. Kumbuka kwamba kilele kati ni mkali zaidi kuliko wengine, na kwamba zeros ya muundo ziko katika maeneo hayo ambapo$$sin \, \beta = 0$$, ambayo hutokea wakati$$\beta = m\pi$$ rad. Hii inalingana na

$\dfrac{\pi a \, \sin \theta}{\lambda} = m\pi, \nonumber$

au

$a \, \sin \, \theta = m \lambda, \nonumber$

ambayo sisi inayotokana na kuingiliwa uharibifu au watakata moja hapo awali.

##### Mfano$$\PageIndex{1}$$: Intensity in Single-Slit Diffraction

Mwanga wa wavelength 550 nm hupita kupitia fungu la upana 2.00 μm na hutoa muundo wa diffraction sawa na ule ulioonyeshwa kwenye Kielelezo$$\PageIndex{3a}$$.

1. Pata maeneo ya minima miwili ya kwanza kulingana na angle kutoka upeo wa kati.
2. Kuamua kiwango jamaa na upeo wa kati katika hatua nusu kati ya minima hizi mbili.

Mkakati

Kima cha chini kinatolewa na Equation 4.2.1,$$a \, sin \, \theta = m\lambda$$. Minima mbili za kwanza ni kwa m = 1 na m = 2. Equation\ ref {eq20} na Equation\ ref {4.2} inaweza kutumika kuamua kiwango mara moja angle imekuwa kazi nje.

###### Suluhisho
1. Kutatua Equation 4.2.1 kwa ρ$$\theta_m = \sin^{-1}(m\lambda/a)$$ inatupa, ili

$\theta_1 = \sin^{-1} \left(\dfrac{(+1)(550 \times 10^{-9} m)}{2.00 \times 10^{-6}m}\right) = +16.0° \nonumber$

na

$\theta_2 = \sin^{-1} \left(\dfrac{(+2)(550 \times 10^{-9}m)}{2.00 \times 10^{-6}m}\right) = +33.4°. \nonumber$

2. Nusu ya nusu kati$$\theta_1$$ na$$\theta_2$$ ni

$\theta = (\theta_1 + \theta_2) /2 = (16.0° + 33.4°)/2 = 24.7°. \nonumber$

Equation\ ref {4.2} anatoa

$\beta = \dfrac{\pi a \, sin \, \theta}{\lambda} = \dfrac{\pi (2.00 \times 10^{-6}m) \, \sin \, (24.7°)}{(550 \times 10^{-9}m)} = 1.52\pi \, or \, 4.77 \, rad. \nonumber$

Kutoka Equation\ ref {eq20}, tunaweza kuhesabu

$\dfrac{I}{I_0} = \left(\dfrac{\sin \, \beta}{\beta}\right)^2 = \left(\dfrac{\sin \, (4.77)}{4.77}\right)^2 = \left(\dfrac{-0.9985}{4.77}\right)^2 = 0.044. \nonumber$

Umuhimu

Msimamo huu, nusu kati ya minima mbili, ni karibu sana na eneo la kiwango cha juu, kinachotarajiwa karibu$$\beta = 3\pi/2$$, au$$1.5\pi$$.

##### Zoezi$$\PageIndex{1}$$

Kwa majaribio katika Mfano$$\PageIndex{1}$$, kwa pembe gani kutoka katikati ni kiwango cha juu cha tatu na ni kiwango gani kinachohusiana na kiwango cha juu cha kati?

Jibu

$$74.3^o$$,$$0.0083 I_0$$

Kama watakata upana$$a$$ ni mbalimbali, mabadiliko kiwango usambazaji, kama inavyoonekana katika Kielelezo$$\PageIndex{4}$$. Kilele cha kati kinashirikiwa juu ya kanda kutoka$$sin \, \theta = -\lambda/a$$ hadi$$sin \, \theta = +\lambda/a$$. Kwa ndogo ρ, hii inalingana na upana wa angular$$\Delta \theta \approx 2\lambda /a$$. Kwa hiyo, ongezeko la upana wa upana hupungua kwa kupungua kwa upana wa kilele cha kati. Kwa kupasuka kwa λ, kilele cha kati ni mkali sana, ambapo ikiwa ≈ λ, inakuwa pana kabisa.

##### Diffraction Simulation

Jaribio la diffraction katika optics linaweza kuhitaji maandalizi mengi lakini simulation hii na Andrew Duffy hutoa si tu kuanzisha haraka lakini pia uwezo wa kubadilisha upana wa watakata mara moja. Run simulation na kuchagua “Single watakata.” Unaweza kurekebisha upana wa vipande na kuona athari kwenye muundo wa diffraction kwenye skrini na kama grafu.