1.7: Kanuni ya Huygens

Last updated
Save as PDF

Page ID: 175456

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

Eleza kanuni ya Huygens
Tumia kanuni ya Huygens kuelezea sheria ya kutafakari
Tumia kanuni ya Huygens kuelezea sheria ya kukataa
Tumia kanuni ya Huygens kuelezea diffraction

Hadi sasa katika sura hii, tumekuwa tukijadili matukio ya macho kwa kutumia mfano wa mwanga wa mwanga. Hata hivyo, baadhi ya matukio yanahitaji uchambuzi na maelezo kulingana na sifa za wimbi la mwanga. Hii ni kweli hasa wakati wavelength sio duni ikilinganishwa na vipimo vya kifaa cha macho, kama vile kupasuka katika kesi ya diffraction. Kanuni ya Huygens ni chombo muhimu kwa uchambuzi huu.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\) kinaonyesha jinsi wimbi la transverse linaonekana kama kutazamwa kutoka juu na kutoka upande. Wimbi la nuru linaweza kufikiriwa kueneza kama hii, ingawa hatuoni kweli likizunguka kupitia nafasi. Kutoka hapo juu, tunaona mipaka ya wimbi (au viumbe vya wimbi) kama tulikuwa tukiangalia chini kwenye mawimbi ya bahari. Mtazamo wa upande utakuwa grafu ya uwanja wa umeme au magnetic. Mtazamo kutoka juu ni labda muhimu zaidi katika kuendeleza dhana kuhusu optics ya wimbi.

Takwimu tatu ina maoni matatu ya wimbi. Ya kwanza ni mtazamo kutoka hapo juu. Wimbi linaenea kwa haki, na linaonekana kama mfululizo wa vipande vya wima ambavyo hatua kwa hatua hubadilika kutoka giza hadi mwanga na kurudia. Mtazamo unaofuata ni mtazamo kutoka upande. Wimbi tena hueneza kwa haki na inaonekana kama sine Curve oscillating juu na chini ya mshale mweusi akizungumzia haki ambayo hutumika kama mhimili usawa. Ya tatu ni mtazamo wa jumla. Hii ni mtazamo mtazamo wa wimbi la wavelength sawa na katika picha mbili za kwanza na inaonekana kama uso undulating.. — Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Wimbi la mzunguko, kama wimbi la mwanga wa umeme, kama inavyoonekana kutoka juu na kutoka upande. Mwelekeo wa uenezi ni perpendicular kwa mipaka ya wimbi (au crests wimbi) na inawakilishwa na ray.

Mwanasayansi Mholanzi Christiaan Huygens (1629—1695) alianzisha mbinu muhimu kwa kuamua kwa undani jinsi na wapi mawimbi yanaeneza. Kuanzia nafasi fulani inayojulikana, kanuni ya Huygens inasema kwamba kila hatua kwenye mbele ya wimbi ni chanzo cha mawimbi yaliyoenea katika mwelekeo wa mbele kwa kasi sawa na wimbi lenyewe. Mbele mpya ya wimbi ni tangent kwa mawimbi yote.

Kielelezo\(\PageIndex{2}\) kinaonyesha jinsi kanuni ya Huygens inatumika. Mbele ya wimbi ni makali ya muda mrefu ambayo huenda, kwa mfano, na kiumbe au mto. Kila hatua kwenye mbele ya wimbi hutoa wimbi la semicircular linalohamia kasi ya uenezi\(v\). Tunaweza kuteka mawimbi haya kwa wakati mmoja\(t\) baadaye, ili waweze kuhamia umbali\(s=vt\). Mbele mpya ya wimbi ni ndege tangent kwa mawimbi na ndipo tunatarajia wimbi kuwa wakati\(t\) baadaye. Kanuni ya Huygens inafanya kazi kwa kila aina ya mawimbi, ikiwa ni pamoja na mawimbi ya maji, mawimbi ya sauti, na mawimbi Ni muhimu si tu katika kuelezea jinsi mawimbi ya mwanga yanavyoeneza lakini pia katika kuelezea sheria za kutafakari na kukataa. Kwa kuongeza, tutaona kwamba kanuni ya Huygens inatuambia jinsi na wapi mionzi ya mwanga huingilia kati.

Takwimu hii inaonyesha mbili mistari moja kwa moja wima, na mstari wa kushoto kinachoitwa zamani wimbi mbele na mstari wa kulia kinachoitwa mpya wimbi mbele. Katikati ya picha, mshale mweusi usio na usawa unavuka mistari yote na inaelezea kulia. Mstari wa mbele wa wimbi la zamani hupitia dots sita zilizowekwa sawasawa, na dots nne juu ya mshale mweusi na dots nne chini ya mshale mweusi. Kila dot hutumika kama katikati ya semicircle sambamba, na semicircles zote nane ni ukubwa sawa. Mbele mpya ya wimbi ni tangent kwa makali ya haki ya semicircles. Moja ya dots katikati ina mshale radial akizungumzia uhakika juu ya semicircle sambamba. Hii mshale radial kinachoitwa s sawa v t. — Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Kanuni ya Huygens inatumika kwa mbele ya wimbi moja kwa moja. Kila hatua kwenye mbele ya wimbi hutoa wavelet ya semicircular ambayo huenda umbali s=vt. mbele ya wimbi jipya ni mstari tangent kwa wavelets.

Tafakari

Kielelezo\(\PageIndex{3}\) kinaonyesha jinsi kioo kinaonyesha wimbi linaloingia kwa pembe sawa na angle ya tukio, kuthibitisha sheria ya kutafakari. Kama mbele ya wimbi inapiga kioo, mawimbi ya kwanza hutolewa kutoka sehemu ya kushoto ya kioo na kisha kutoka kulia. Wavelets karibu na kushoto wamekuwa na muda wa kusafiri mbali, kuzalisha mbele ya wimbi kusafiri katika mwelekeo umeonyeshwa.

Takwimu inaonyesha gridi ya nne ya usawa, sambamba, sawa na spaced rays tukio kwenye kioo kwamba ni tilted katika digrii arobaini na tano kwa rays. Mionzi huonyesha chini kutoka kioo. Mionzi miwili iliyojitokeza ya ziada imejumuishwa kutoka kwenye mionzi ya tukio juu ya wale walioonyeshwa kwenye takwimu. Dots hutolewa kwenye makutano ya tukio na mionzi yalijitokeza. Semicircles inakabiliwa na haki anayewakilisha mawimbi ya tukio na semicircles inakabiliwa chini kwa ajili ya kuonyesha mawimbi ni katikati ya dots. — Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Kanuni ya Huygens inatumika kwa mbele ya wimbi la ndege lililopiga kioo. Wavelets kuonyeshwa walikuwa lilio kama kila hatua juu ya wimbi mbele akampiga kioo. Tangent kwa mawimbi haya inaonyesha kwamba mbele mpya ya wimbi imeonekana kwa pembe sawa na angle ya tukio. Mwelekeo wa uenezi ni perpendicular kwa mbele ya wimbi, kama inavyoonekana na mishale ya kushuka.

Kukandamiza

Sheria ya kukataa inaweza kuelezewa kwa kutumia kanuni ya Huygens kwa mbele ya wimbi kupita kutoka kati moja hadi nyingine (Kielelezo\(\PageIndex{4}\)). Kila wavelet katika takwimu ilikuwa lilio wakati wimbi mbele shilingi interface kati ya vyombo vya habari. Kwa kuwa kasi ya mwanga ni ndogo katika kati ya pili, mawimbi hayakusafiri mbali kwa wakati fulani, na wimbi jipya mbele hubadilisha mwelekeo kama inavyoonekana. Hii inaelezea kwa nini ray inabadilisha mwelekeo kuwa karibu na perpendicular wakati mwanga unapungua. Sheria Snell inaweza inayotokana na jiometri katika Kielelezo\(\PageIndex{5}\) (mfano\(\PageIndex{1}\)).

Takwimu inaonyesha vyombo vya habari viwili vinavyotenganishwa na uso usio na usawa unaoitwa mstari. Ya kati ya juu inaitwa kati ya moja na kati ya chini inaitwa kati ya mbili. Katika moja ya kati, ray ni tukio juu ya uso, kusafiri chini na kulia. Mstari wa dotted wima, perpendicular kwa uso, hutolewa kupitia vyombo vya habari vyote ambapo ray hupiga uso. Ray iliyokataliwa hupungua chini, kuelekea mstari huu wa dotted ambapo inaingia kati ya mbili. Njia ya ray hufanya angle theta ndogo moja na mstari wa dotted katikati moja na angle theta ndogo mbili na mstari wa dotted katika kati mbili, ambapo theta ndogo mbili ni chini ya theta ndogo moja. Makundi ya mstari, yaliyoandikwa mbele ya wimbi, hutolewa perpendicular kwa ray tukio na ray refracted. Makundi haya ya mstari yanapangwa sawa ndani ya kila kati, lakini makundi matatu ya mstari katikati ya 1 yanapangwa zaidi kuliko makundi matatu ya mstari katikati ya 2. mgawanyo wa makundi haya line katika kati 1 kinachoitwa v ndogo moja t na kujitenga katika kati 2 kinachoitwa v ndogo mbili t, na v ndogo mbili t kuwa chini ya v ndogo moja t. — Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Kanuni ya Huygens inatumika kwa mbele ya wimbi la ndege linalosafiri kutoka kati hadi nyingine, ambapo kasi yake ni ndogo. Ray hupiga kuelekea perpendicular, kwani mawimbi yana kasi ya chini katika kati ya pili.

Mfano\(\PageIndex{1}\): Kupata Sheria ya kukataa

Kwa kuchunguza jiometri ya pande wimbi, hupata sheria ya kukataa.

Mkakati

Fikiria Kielelezo\(\PageIndex{5}\), ambayo expands juu Kielelezo \(\PageIndex{4}\). Inaonyesha tukio wimbi mbele tu kufikia uso katika hatua A, wakati hatua B bado ni vizuri ndani ya kati 1. Katika muda\(Δt\) inachukua kwa wavelet kutoka\(B\) kufikia\(B'\) juu ya uso kwa kasi\(v_1=c/n_1\), wavelet kutoka\(A\) safari katika kati 2 umbali wa \(AA'=v_2Δt\), ambapo\(v_2=c/n_2\). Kumbuka kuwa katika mfano huu, \(v_2\) ni polepole kuliko\(v_1\) kwa sababu\(n_1<n_2\).

Takwimu hii inaonyesha jiometri ya kukataa kwa mionzi na mipaka ya wimbi. Uso usio na usawa umepo kati ya kati ya 1, na index ya kukataa n 1, na kati ya 2, na index ya kukataa n 2. Ray tukio inavyoonekana kuja kutoka kati 1 hadi kati 2. Ni hits uso katika hatua A na refracts kuelekea kawaida katika kati 2. line, kinachoitwa tukio wimbi mbele, ni inayotolewa kutoka hatua A kupanua mbali na uso, perpendicular kwa tukio ray. angle kati ya tukio wimbi mbele na uso ni theta 1. Ray ya pili ya tukio hutolewa sambamba na ya kwanza. ray hii intersects tukio wimbi mbele katika hatua kinachoitwa kama B na hits uso katika hatua kinachoitwa kama B mkuu. Mstari uliopigwa hutolewa perpendicular kwa uso katika B mkuu. Pembe kati ya mstari huu wa perpendicular na ray ya pili pia ni theta moja. Pembetatu inayotengenezwa na A, B, na B mkuu ni pembetatu ya kulia na angle theta moja kwa A na angle sahihi katika B. rays refracted katika A na B mkuu bend chini, kuelekea perpendiculars kushuka kwa uso, na kufanya angle ya theta mbili na mwelekeo wima. Refracted wimbi mbele kwamba ni perpendicular kwa rays refracted na kwamba hits uso katika B mkuu ni inayotolewa. Hii mbele wimbi hits refraction ya kwanza tukio ray katika hatua alama mkuu na kufanya angle ya theta mbili na uso. — Kielelezo\(\PageIndex{5}\): Jiometri ya sheria ya kukataa kutoka kati ya 1 hadi kati 2.

Suluhisho

Sehemu ya juu ya uso AB' inashirikiwa na pembetatu ABB' ndani ya kati 1 na pembetatu AAB ndani ya kati 2. Kumbuka kwamba kutoka jiometri, angle BA' ni sawa na angle ya matukio,\(θ_1\). Vile vile,\(∠AB'A'\) ni\(θ_2\).

Urefu wa AB' unatolewa kwa njia mbili kama

\ [AB'=\ dfrac {BB'} {\ dhambi κ_1} =\ dfrac {AA'} {\ dhambi κ_2}. \ nambari isiyo\]

Inverting equation na kubadilisha AA'=CΔt/n ₂ kutoka juu na sawa\(BB'=cΔt/n_1\), tunapata

\ [\ dfrac {\ dhambi _1} {c\ Delta t/n_1} =\ dfrac {\ dhambi κ_2} {c\ Delta t/n_2}. \ nambari isiyo\]

Kufuta\(cΔt\) inaruhusu sisi kurahisisha equation hii katika fomu familiar

\ [\ underbrace {n_1\ dhambi ρ_1=n_2\ dhambi κ_2} _ {\ maandishi {Sheria ya Snell}}. \ nambari isiyo\]

Umuhimu

Ingawa sheria ya kukataa ilianzishwa kwa majaribio na Snell, derivation yake hapa inahitaji kanuni ya Huygens na ufahamu kwamba kasi ya mwanga ni tofauti katika vyombo vya habari tofauti.

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Katika Mfano\(\PageIndex{1}\), tulikuwa na\(n_1<n_2\). Ikiwa\(n_2\) ilipungua kama hiyo\(n_1>n_2\) na kasi ya mwanga katika kati ya 2 ni kasi zaidi kuliko kati ya 1, ni nini kitatokea kwa urefu wa AA'? Nini kitatokea kwa wimbi mbele A'B' na mwelekeo wa ray refracted?

Jibu: AAinakuwa tena, A'B' huelekeza zaidi mbali na uso, na ray refracted tilts mbali na kawaida.

Applet hii na Walter Fendt inaonyesha uhuishaji wa kutafakari na kukataa kwa kutumia mawimbi ya Huygens wakati udhibiti vigezo. Hakikisha bonyeza “Hatua inayofuata” ili kuonyesha mawimbi. Unaweza kuona yalijitokeza na refracted pande wimbi kutengeneza.

diffraction

Ni nini kinachotokea wakati wimbi linapita kupitia ufunguzi, kama mwanga unaoangaza kupitia mlango wazi ndani ya chumba giza? Kwa mwanga, tunaona kivuli kikubwa cha mlango kwenye sakafu ya chumba, na hakuna mwanga unaoonekana unaozunguka pembe katika sehemu nyingine za chumba. Wakati sauti inapita kupitia mlango, tunasikia kila mahali ndani ya chumba na hivyo tunaona kwamba sauti huenea wakati unapita kupitia ufunguzi huo (Kielelezo\(\PageIndex{6}\)). Ni tofauti gani kati ya tabia ya mawimbi ya sauti na mawimbi ya mwanga katika kesi hii? Jibu ni kwamba mwanga una wavelengths fupi sana na hufanya kama ray. Sauti ina wavelengths kwa utaratibu wa ukubwa wa mlango na huzunguka pembe (kwa mzunguko wa 1000 Hz,

\ [\ lambda =\ dfrac {c} {f} =\ dfrac {330\, m/s} {1000\, s^ {˚ 1}} =0.33\, m,\ nonumber\]

juu ya mara tatu ndogo kuliko upana wa mlango).

Kielelezo a ni mtazamo kutoka juu ya mchoro wa ukuta ambao kuna mlango wazi. Ukuta unatoka chini ya mchoro hadi juu, na mlango huunda pengo katika ukuta. Mlango yenyewe unafunguliwa upande wa kushoto na umewekwa juu ya digrii arobaini na tano kutoka ukuta ambao unaendelea. Mwanga, kinachoitwa lambda ndogo, ni tukio kutoka upande wa kushoto wa ukuta. Baadhi ya mwanga hupita kupitia mlango wazi. Nuru inayopita kupitia mlango ina mviringo mkali, sawa na vivuli vya makali ya moja kwa moja juu na chini. Mlango wazi pia hujenga kivuli cha makali ya moja kwa moja kati yake na ukuta. Sehemu ya b ya takwimu inaonyesha mchoro sawa. Mstari unaofanana na ukuta unakaribia ukuta kutoka upande wa kushoto na umeandikwa ndege ya wimbi mbele ya sauti. Kuna dots tano sawasawa spaced katika mlango wazi, lebo moja hadi tano. Semicircles huonekana kwa haki ya dots hizi zinazoingia kwenye chumba kwa haki ya ukuta. Kuunganisha semicircles hizi zote ni mstari ambao una fomu ya kufunga bracket mraba na pembe za mviringo. Mstari huu umeandikwa sauti. Kuna rays tano inavyoonekana akizungumzia kutoka mstari bracketing ndani ya chumba na haki ya ukuta. Tatu ya mionzi hii inaelekeza kwa usawa na haki, ray moja inaelezea juu na kulia, na ray ya mwisho inaashiria chini na kulia. Hii ray mwisho inaashiria sikio la mtu ambaye tunaona kutoka juu na ambaye ni lebo msikilizaji kusikia sauti kuzunguka kona. — Kielelezo\(\PageIndex{6}\): (a) Mwanga unaopita kupitia mlango hufanya muhtasari mkali kwenye sakafu. Kwa kuwa wavelength ya mwanga ni ndogo sana ikilinganishwa na ukubwa wa mlango, hufanya kama ray. (b) Mawimbi ya sauti hupiga sehemu zote za chumba, athari ya wimbi, kwa sababu wavelength yao ni sawa na ukubwa wa mlango.

Kama sisi kupita mwanga kupitia fursa ndogo kama vile slits, tunaweza kutumia kanuni Huygens kuona kwamba mwanga bends kama sauti gani (Kielelezo\(\PageIndex{7}\)). Kupigwa kwa wimbi karibu na kando ya ufunguzi au kikwazo kinachoitwa diffraction. Diffraction ni tabia ya wimbi na hutokea kwa aina zote za mawimbi. Ikiwa diffraction inazingatiwa kwa jambo fulani, ni ushahidi kwamba jambo hilo ni wimbi. Hivyo, diffraction usawa wa boriti laser baada ya kupita kupitia slits katika Kielelezo\(\PageIndex{7}\) ni ushahidi kwamba mwanga ni wimbi.

Takwimu inaonyesha michoro tatu zinazoonyesha mawimbi yanayoenea wakati wa kupitia fursa mbalimbali za ukubwa. Kila mfano ni mtazamo juu, na tukio ndege wimbi pande ni kuwakilishwa na mistari wima. Urefu wa wavelength, lambda, ni umbali kati ya mistari iliyo karibu na ni sawa katika michoro zote tatu. Mchoro wa kwanza unaonyesha mipaka ya wimbi inayopitia ufunguzi ambao ni pana ikilinganishwa na wavelength. Mipaka ya wimbi inayojitokeza upande wa pili wa ufunguzi ina kupiga madogo kwenye kando. Mchoro wa pili unaonyesha mipaka ya wimbi inayopita kupitia ufunguzi mdogo. Mawimbi hupata bending zaidi lakini bado yana sehemu moja kwa moja. Mchoro wa tatu unaonyesha mipaka ya wimbi inayopitia ufunguzi ambayo ina ukubwa sawa na wavelength. Mawimbi haya yanaonyesha kusonga kwa kiasi kikubwa na, kwa kweli, kuangalia mviringo badala ya moja kwa moja. — Kielelezo\(\PageIndex{7}\): Kanuni ya Huygens inatumika kwa mbele ya wimbi la ndege lililopiga ufunguzi. Mipaka ya bend ya mbele ya wimbi baada ya kupitia ufunguzi, mchakato unaoitwa diffraction. Kiasi cha kupiga rangi ni kali zaidi kwa ufunguzi mdogo, kulingana na ukweli kwamba sifa za wimbi zinaonekana zaidi kwa kuingiliana na vitu kuhusu ukubwa sawa na wavelength.