Skip to main content
Global

10.4: Tathmini na Grafu Kazi za Logarithmic

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    176418

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Badilisha kati ya fomu ya kielelezo na ya logarithmic
    • Tathmini kazi za logarithmic
    • Graph Logarithmic kazi
    • Tatua equations ya logarithmic
    • Tumia mifano ya logarithmic katika programu

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Kutatua:\(x^{2}=81\).
      Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 6.46.
    2. Tathmini:\(3^{−2}\).
      Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 5.15.
    3. Kutatua:\(2^{4}=3x−5\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Mfano 2.2.

    Tumetumia muda fulani kutafuta inverse ya kazi nyingi. Ni kazi vizuri kwa 'tengua' operesheni na operesheni nyingine. Kutoa 'undoes' Aidha, kuzidisha 'undoes' mgawanyiko, kuchukua mraba mizizi 'undoes' squaring.

    Tulivyojifunza kazi ya kielelezo, tuliona kuwa ni moja kwa moja kama grafu zake zinapitia mtihani wa mstari wa usawa. Hii ina maana kazi kielelezo haina inverse. Ikiwa tunajaribu njia yetu ya algebraic ya kutafuta inverse, tunakimbia tatizo.

    \(f(x)=a^{x}\)

    Andika upya na\(y=f(x)\).

    \(y=a^{x}\)

    Kubadilishana vigezo\(x\) na\(y\).

    \(x=a^{y}\)

    Kutatua kwa\(y\).

    Oops! Hatuna njia ya kutatua kwa\(y\)!

    Ili kukabiliana na hili tunafafanua kazi ya logarithm na msingi a kuwa kinyume cha kazi ya kielelezo\(f(x)=a^{x}\). Tunatumia nukuu\(f^{−1}(x)=log_{a}x\) na kusema kazi inverse ya kazi ya kielelezo ni kazi ya logarithmic.

    Ufafanuzi\(\PageIndex{1}\): Logarithmic Function

    Kazi\(f(x)=\log_{a}x\) ni kazi ya logarithmic na msingi\(a\), wapi\(a>0,x>0\), na\(a≠1\).

    \(y=\log _{a} x\)ni sawa na\(x=a^{y}\)

    Badilisha Kati ya Fomu ya Kielelezo na Logarithmic

    Tangu equations\(y=\log _{a} x\) na\(x=a^{y}\) ni sawa, tunaweza kwenda na kurudi kati yao. Hii mara nyingi itakuwa njia ya kutatua equations fulani ya kielelezo na logarithmic. Ili kusaidia kwa kubadili na kurudi hebu tuangalie kwa karibu equations. Angalia Kielelezo 10.3.1. Angalia nafasi ya exponent na msingi.

    Takwimu hii inaonyesha y kujieleza sawa logi ndogo ya x, ambapo y ni exponent na ni msingi. Karibu na maneno haya tuna x sawa na y, ambapo tena y ni exponent na ni msingi.
    Kielelezo 10.3.1

    Kama sisi kutambua logarithm ni exponent inafanya uongofu rahisi. Unaweza kutaka kurudia, “msingi kwa exponent kutupa idadi.”

    Mfano\(\PageIndex{1}\)

    Badilisha kwa fomu ya logarithmic:

    1. \(2^{3}=8\)
    2. \(5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}\)
    3. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\frac{1}{16}\)

    Suluhisho:

    Katika sehemu (a) tuna 2 kwa 3 nguvu sawa 8, ambapo 2 ni nyekundu na 3 ni bluu. Kufuatia hii, tuna bluu y sawa logi ndogo nyekundu a ya x. kisha 3 sawa logi ndogo 2 ya 8. Hivyo, kama 2 cubed sawa 8, basi 3 sawa logi ndogo 2 ya 8. Katika sehemu (b) tuna 5 kwa 1 juu ya 2 nguvu sawa na mizizi ya mraba ya 5, ambapo 5 ni nyekundu na 1 juu ya 2 ni bluu. Kufuatia hii, tuna bluu y sawa logi ndogo nyekundu a ya x. kisha 1 juu ya 2 sawa logi ndogo 5 ya mizizi mraba ya 5. Hivyo, kama 5 kwa 1 juu ya 2 nguvu sawa na mizizi ya mraba ya 5, kisha 1 juu ya 2 sawa logi ndogo 5 ya mizizi mraba ya 5. Katika sehemu (c) tuna 1 juu ya 2 kwa nguvu x sawa 1 zaidi 16, ambapo 1 juu ya 2 ni nyekundu na x ni bluu. Kufuatia hii, tuna bluu y sawa logi ndogo nyekundu a ya x. kisha x sawa logi ndogo 1 zaidi 2 ya 1 juu ya 16. Hivyo, kama 1 juu ya 2 kwa nguvu x sawa 1 juu ya 16, kisha x sawa logi ndogo 1 juu ya 2 ya 1 juu ya 16.
    Kielelezo 10.3.2
    Zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Badilisha kwa fomu ya logarithmic:

    1. \(3^{2}=9\)
    2. \(7^{\frac{1}{2}}=\sqrt{7}\)
    3. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=\frac{1}{27}\)
    Jibu
    1. \(\log _{3} 9=2\)
    2. \(\log _{7} \sqrt{7}=\frac{1}{2}\)
    3. \(\log _{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}=x\)
    Zoezi\(\PageIndex{2}\)

    Badilisha kwa fomu ya logarithmic:

    1. \(4^{3}=64\)
    2. \(4^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{4}\)
    3. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\frac{1}{32}\)
    Jibu
    1. \(\log _{4} 64=3\)
    2. \(\log _{4} \sqrt[3]{4}=\frac{1}{3}\)
    3. \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{32}=x\)

    Katika mfano unaofuata sisi kufanya reverse-kubadilisha fomu logarithmic kwa fomu kielelezo.

    Mfano\(\PageIndex{2}\)

    Badilisha kwa fomu ya kielelezo:

    1. \(2=\log _{8} 64\)
    2. \(0=\log _{4} 1\)
    3. \(-3=\log _{10} \frac{1}{1000}\)

    Suluhisho:

    Katika sehemu (a) tuna 2 sawa logi ndogo 8 ya 64, ambapo 2 ni bluu na 8 ni nyekundu. Kufuatia hili, tuna x sawa na nyekundu kwa nguvu ya bluu y. Kisha 64 ni sawa na mraba 8. Kwa hiyo, ikiwa 2 ni sawa na logi ndogo ya 8 ya 64, basi 64 ni sawa na mraba 8. Katika sehemu (b) tuna 0 sawa logi ndogo 4 ya 1, ambapo 0 ni bluu na 4 ni nyekundu. Kufuatia hili, tuna x sawa na nyekundu kwa nguvu ya bluu y. Kisha 1 ni sawa na 4 kwa nguvu ya sifuri. Kwa hiyo, ikiwa 0 ni sawa na logi ndogo ya 4 ya 1, basi 1 ni sawa na 4 hadi nguvu ya sifuri. Katika sehemu (c) tuna hasi 3 sawa logi ndogo 10 ya 1 juu ya 1000, ambapo hasi 3 ni bluu na 10 ni nyekundu. Kufuatia hili, tuna x sawa na nyekundu kwa nguvu ya bluu y. Kisha 1 juu ya 1000 sawa 10 kwa nguvu hasi tatu. Kwa hiyo, ikiwa hasi 3 inalingana na logi ndogo ya 10 ya 1 juu ya 1000, kisha 1 juu ya 1000 inalingana na 10 kwa nguvu hasi 3.
    Kielelezo 10.3.3
    Zoezi\(\PageIndex{3}\)

    Badilisha kwa fomu ya kielelezo:

    1. \(3=\log _{4} 64\)
    2. \(0=\log _{x} 1\)
    3. \(-2=\log _{10} \frac{1}{100}\)
    Jibu
    1. \(64=4^{3}\)
    2. \(1=x^{0}\)
    3. \(\frac{1}{100}=10^{-2}\)
    Zoezi\(\PageIndex{4}\)

    Badilisha kwa fomu ya kielelezo:

    1. \(3=\log _{3} 27\)
    2. \(0=\log _{x} 1\)
    3. \(-1=\log _{10} \frac{1}{10}\)
    Jibu
    1. \(27=3^{3}\)
    2. \(1=x^{0}\)
    3. \(\frac{1}{10}=10^{-1}\)

    Tathmini Kazi za Logarithmic

    Tunaweza kutatua na kutathmini equations logarithmic kwa kutumia mbinu ya kugeuza equation kwa equation yake sawa kielelezo.

    Mfano\(\PageIndex{3}\)

    Pata thamani ya\(x\):

    1. \(\log _{x} 36=2\)
    2. \(\log _{4} x=3\)
    3. \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}=x\)

    Suluhisho:

    a.

    \(\log _{x} 36=2\)

    Badilisha kwa fomu ya kielelezo.

    \(x^{2}=36\)

    Tatua quadratic.

    \(x=6, \quad \cancel{x=-6}\)

    Msingi wa kazi ya logarithmic lazima iwe chanya, kwa hiyo tunaondoa\(x=−6\).

    \(x=6 \quad\)Kwa hiyo,\(\log _{6} 36=2\)

    b.

    \(\log _{4} x=3\)

    Badilisha kwa fomu ya kielelezo.

    \(4^{3}=x\)

    Kurahisisha.

    \(x=64 \quad\)Kwa hiyo\(, \log _{4} 64=3\)

    c.

    \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}=x\)

    Badilisha kwa fomu ya kielelezo.

    \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\frac{1}{8}\)

    Andika upya\(\frac{1}{8}\) kama\(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\).

    \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\)

    Kwa msingi huo, watazamaji lazima wawe sawa.

    \(x=3 \quad\)Kwa hiyo\(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}=3\)

    Zoezi\(\PageIndex{5}\)

    Pata thamani ya\(x\):

    1. \(\log _{x} 64=2\)
    2. \(\log _{5} x=3\)
    3. \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}=x\)
    Jibu
    1. \(x=8\)
    2. \(x=125\)
    3. \(x=2\)
    Zoezi\(\PageIndex{6}\)

    Pata thamani ya\(x\):

    1. \(\log _{x} 81=2\)
    2. \(\log _{3} x=5\)
    3. \(\log _{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}=x\)
    Jibu
    1. \(x=9\)
    2. \(x=243\)
    3. \(x=3\)

    Wakati kuona kujieleza kama vile\(log_{3}27\), tunaweza kupata thamani yake halisi njia mbili. Kwa ukaguzi tunatambua inamaanisha “\(3\)kwa nguvu gani itakuwa\(27\)”? Tangu\(3^{3}=27\), tunajua\(log_{3}27=3\). Njia mbadala ni kuweka usemi sawa\(x\) na kisha kubadili kuwa equation kielelezo.

    Mfano\(\PageIndex{4}\)

    Pata thamani halisi ya kila logarithm bila kutumia calculator:

    1. \(\log _{5} 25\)
    2. \(\log _{9} 3\)
    3. \(\log _{2} \frac{1}{16}\)

    Suluhisho:

    a.

    \(\log _{5} 25\)

    \(5\)kwa nguvu gani itakuwa\(25\)?

    \(\log _{5} 25=2\)

    Au

    Weka maneno sawa na\(x\).

    \(\log _{5} 25=x\)

    Badilisha kwa fomu ya kielelezo.

    \(5^{x}=25\)

    Andika upya\(25\) kama\(5^{2}\).

    \(5^{x}=5^{2}\)

    Kwa msingi sawa watazamaji lazima wawe sawa.

    \(x=2 \quad\)Kwa hiyo\(, \log _{5} 25=2\).

    b.

    \(\log _{9} 3\)

    Weka maneno sawa na\(x\).

    \(\log _{9} 3=x\)

    Badilisha kwa fomu ya kielelezo.

    \(9^{x}=3\)

    Andika upya\(9\) kama\(3^{2}\).

    \(\left(3^{2}\right)^{x}=3^{1}\)

    Kurahisisha exponents.

    \(3^{2 x}=3^{1}\)

    Kwa msingi sawa watazamaji lazima wawe sawa.

    \(2 x=1\)

    Kutatua equation.

    \(x=\frac{1}{2} \quad\)Kwa hiyo\(, \log _{9} 3=\frac{1}{2}\).

    c.

    \(\log _{2} \frac{1}{16}\)

    Weka maneno sawa na\(x\).

    \(\log _{2} \frac{1}{16}=x\)

    Badilisha kwa fomu ya kielelezo.

    \(2^{x}=\frac{1}{16}\)

    Andika upya\(16\) kama\(2^{4}\).

    \(2^{x}=\frac{1}{2^{4}}\)

    \(2^{x}=2^{-4}\)

    Kwa msingi sawa watazamaji lazima wawe sawa.

    \(x=-4 \quad\)Kwa hiyo\(, \log _{2} \frac{1}{16}=-4\).

    Zoezi\(\PageIndex{7}\)

    Pata thamani halisi ya kila logarithm bila kutumia calculator:

    1. \(\log _{12} 144\)
    2. \(\log _{4} 2\)
    3. \(\log _{2} \frac{1}{32}\)
    Jibu
    1. \(2\)
    2. \(\frac{1}{2}\)
    3. \(-5\)
    Zoezi\(\PageIndex{8}\)

    Pata thamani halisi ya kila logarithm bila kutumia calculator:

    1. \(\log _{9} 81\)
    2. \(\log _{8} 2\)
    3. \(\log _{3} \frac{1}{9}\)
    Jibu
    1. \(2\)
    2. \(\frac{1}{3}\)
    3. \(-2\)

    Graph Logarithmic Kazi

    Ili kuchora kazi ya logarithmic\(y=log_{a}x\), ni rahisi kubadili equation kwa fomu yake ya kielelezo,\(x=a^{y}\). Kwa ujumla, wakati sisi kuangalia kwa jozi kuamuru kwa grafu ya kazi, sisi kawaida kuchagua\(x\) -thamani na kisha kuamua yake sambamba\(y\) -thamani. Katika kesi hii unaweza kupata rahisi kuchagua\(y\) -maadili na kisha kuamua sambamba\(x\) -thamani.

    Mfano\(\PageIndex{5}\)

    Grafu\(y=\log _{2} x\).

    Suluhisho:

    Kwa graph kazi, sisi kwanza kuandika upya logarithmic equation,\(y=\log _{2} x\), katika fomu kielelezo,\(2^{y}=x\).

    Tutatumia hatua ya kupanga mipangilio ya graph kazi. Itakuwa rahisi kuanza na maadili ya\(y\) na kisha kupata\(x\).

    Jedwali 10.3.1
    \(y\) \(2^{y}=x\) \((x,y)\)
    \ (y\) ">\(-2\) \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}\) \ (x, y)\) ">\((\frac{1}{4},2)\)
    \ (y\) ">\(-1\) \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{-1}=\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2}\) \ (x, y)\) ">\((\frac{1}{2},-1)\)
    \ (y\) ">\(0\) \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{0}=1\) \ (x, y)\) ">\((1,0)\)
    \ (y\) ">\(1\) \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{1}=2\) \ (x, y)\) ">\((2,1)\)
    \ (y\) ">\(2\) \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{2}=4\) \ (x, y)\) ">\((4,2)\)
    \ (y\) ">\(3\) \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{3}=8\) \ (x, y)\) ">\((8,3)\)
    Takwimu hii inaonyesha Curve logarithmic kupitia pointi (1 juu ya 2, hasi 1), (1, 0), na (2, 1).
    Kielelezo 10.3.4
    Zoezi\(\PageIndex{9}\)

    Grafu:\(y=\log _{3} x\).

    Jibu
    Takwimu hii inaonyesha Curve logarithmic kupitia pointi (1 juu ya 3, hasi 1), (1, 0), na (3, 1).
    Kielelezo 10.3.5
    Zoezi\(\PageIndex{10}\)

    Grafu:\(y=\log _{5} x\).

    Jibu
    Takwimu hii inaonyesha Curve logarithmic kupitia pointi (1 juu ya 5, hasi 1), (1, 0), na (5, 1).
    Kielelezo 10.3.6

    grafu ya\(y=\log _{2} x, y=\log _{3} x\), na\(y=\log _{5} x\) ni sura tunatarajia kutoka kazi logarithmic ambapo\(a>1\).

    Tunaona kwamba kwa kila kazi grafu ina uhakika\((1,0)\). Hii mantiki kwa sababu\(0=log_{a}1\) ina maana\(a^{0}=1\) ambayo ni kweli kwa yeyote\(a\).

    Grafu ya kila kazi, pia ina uhakika\((a,1)\). Hii inafanya maana kama\(1=\log _{a} a\) njia\(a^{1}=a\). ambayo ni kweli kwa yeyote\(a\).

    Angalia pia, grafu ya kila kazi\(y=\log _{a} x\) pia ina uhakika\(\left(\frac{1}{a},-1\right)\). Hii inafanya maana kama\(-1=\log _{a} \frac{1}{a}\) njia\(a^{-1}=\frac{1}{a}\), ambayo ni kweli kwa yeyote\(a\).

    Angalia kila grafu tena. Sasa tutaona kwamba sifa nyingi za kazi ya logarithm ni tu 'picha za kioo' ya sifa za kazi inayofanana ya kielelezo.

    Ni uwanja gani wa kazi? Grafu haipatikani kamwe\(y\) -axis. Kikoa ni namba zote nzuri. Tunaandika uwanja katika nukuu ya muda kama\((0,∞)\).

    Je, ni aina gani kwa kila kazi? Kutoka kwenye grafu tunaweza kuona kwamba upeo ni seti ya namba zote halisi. Hakuna kizuizi juu ya upeo. Tunaandika upeo katika notation ya muda kama\((−∞,∞)\).

    Wakati grafu inakaribia\(y\) -axis kwa karibu sana lakini kamwe haitaivuka, tunaita mstari\(x=0\),\(y\) -axis, asymptote ya wima.

    Jedwali 10.3.2: Mali ya Grafu ya\(y=\log _{a} x\) Wakati\(a>1\)
    Domain \((0, \infty)\)
    Range \((-\infty, \infty)\)
    \(x\)-kukatiza \((1,0)\)
    \(y\)-kukatiza Hakuna
    Ina \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\)
    Asymptote \(y\)-mhimili
    Takwimu hii inaonyesha Curve logarithmic kupitia pointi (1 juu ya, hasi 1), (1, 0), na (a, 1).
    Kielelezo 10.3.7

    Mfano wetu unaofuata unaangalia grafu ya\(y=log_{a}x\) wakati\(0<a<1\).

    Mfano\(\PageIndex{6}\)

    Grafu\(y=\log _{\frac{1}{3}} x\).

    Suluhisho:

    Kwa graph kazi, sisi kwanza kuandika upya logarithmic equation,\(y=\log _{\frac{1}{3}} x\), katika fomu kielelezo,\(\left(\frac{1}{3}\right)^{y}=x\).

    Tutatumia hatua ya kupanga mipangilio ya graph kazi. Itakuwa rahisi kuanza na maadili ya\(y\) na kisha kupata\(x\).

    Jedwali 10.3.3
    \(y\) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{y}=x\) \((x,y)\)
    \ (y\) ">\(-2\) \ (\ kushoto (\ frac {1} {3}\ kulia) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=3^{2}=9\) \ (x, y)\) ">\((9,-2)\)
    \ (y\) ">\(-1\) \ (\ kushoto (\ frac {1} {3}\ kulia) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}=3^{1}=3\) \ (x, y)\) ">\((3,-1)\)
    \ (y\) ">\(0\) \ (\ kushoto (\ frac {1} {3}\ kulia) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{0}=1\) \ (x, y)\) ">\((1,0)\)
    \ (y\) ">\(1\) \ (\ kushoto (\ frac {1} {3}\ kulia) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{1}=\frac{1}{3}\) \ (x, y)\) ">\(\left(\frac{1}{3}, 1\right)\)
    \ (y\) ">\(2\) \ (\ kushoto (\ frac {1} {3}\ kulia) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}\) \ (x, y)\) ">\(\left(\frac{1}{9}, 2\right)\)
    \ (y\) ">\(3\) \ (\ kushoto (\ frac {1} {3}\ kulia) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{1}{27}\) \ (x, y)\) ">\(\left(\frac{1}{27}, 3\right)\)
    Takwimu hii inaonyesha Curve logarithmic kupitia pointi (1 juu ya 3, 1), (1, 0), na (3, hasi 1).
    Zoezi\(\PageIndex{11}\)

    Grafu:\(y=\log _{\frac{1}{2}} x\).

    Jibu
    Takwimu hii inaonyesha Curve logarithmic kupitia pointi (1 juu ya 2, 1), (1, 0), na (2, hasi 1).
    Zoezi\(\PageIndex{12}\)

    Grafu:\(y=\log _{\frac{1}{4}} x\).

    Jibu
    Takwimu hii inaonyesha Curve logarithmic kupitia pointi (1 juu ya 4, 1), (1, 0), na (4, hasi 1).

    Sasa, hebu tuangalie grafu\(y=\log _{\frac{1}{2}} x, y=\log _{\frac{1}{3}} x\) na\(y=\log _{\frac{1}{4}} x\), ili tuweze kutambua baadhi ya mali ya kazi logarithmic ambapo\(0<a<1\).

    Grafu za wote zina sura sawa ya msingi. Wakati huu ni sura tunatarajia kutoka kazi logarithmic ambapo\(0<a<1\).

    Tunaona, kwamba kwa kila kazi tena, grafu ina pointi,\((1,0),(a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\). Hii ina maana kwa sababu sawa tulizozungumzia hapo juu.

    Tunaona uwanja na upeo pia ni sawa—uwanja ni\((0,∞)\) na upeo ni\((−∞,∞)\). \(y\)Mhimili wa -axis ni tena dalili ya wima.

    Sisi muhtasari mali hizi katika chati hapa chini. Ambayo pia ni pamoja na wakati\(a>1\).

    Jedwali 10.3.4: Mali ya Grafu ya\(y=\log _{a} x\)
    Wakati\(a>1\) Wakati\(0<a<1\)
    \ (a"> 1\) ">Domain \((0, \infty)\) \ (0<a <1\) ">Domain \((0, \infty)\)
    \ (a"> 1\) "> Range \((-\infty, \infty)\) \ (0<a <1\) "> Mbalimbali \((-\infty, \infty)\)
    \ (a"> 1\) ">\(x\) - kukatiza \((1,0)\) \ (0<a <1\) ">\(x\) -kukatiza \((1,0)\)
    \ (a"> 1\) ">\(y\) - kukatiza Hakuna \ (0<a <1\) ">\(y\) -kukatiza Hakuna
    \ (a” > 1\) "> Ina \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\) \ (0 <a <1\) ">Ina \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\)
    \ (a” > 1\) "> Dalili \(y\)-mhimili \ (0 <a <1\) "> Dalili \(y\)-mhimili
    \ (a"> 1\) "> Sura ya msingi Kuongezeka \ (0<a <1\) "> Sura ya msingi Kupungua
    Takwimu hii inaonyesha kwamba, kwa zaidi ya 1, Curve logarithmic kupitia pointi (1 juu ya, hasi 1), (1, 0), na (a, 1). Takwimu hii inaonyesha kwamba, kwa zaidi ya 0 na chini ya 1, Curve logarithmic kupitia pointi (a, 1), (1, 0), na (1 juu ya, hasi 1).
    Kielelezo 10.3.11

    Tulizungumzia mapema kuhusu jinsi kazi ya logarithmic\(f^{-1}(x)=\log _{a} x\) ni inverse ya kazi ya kielelezo\(f(x)=a^{x}\). Grafu katika Mchoro 10.3.12 zinaonyesha kazi zote za kielelezo (bluu) na logarithmic (nyekundu) kwenye grafu sawa kwa wote\(a>1\) na\(0<a<1\).

    Takwimu hii inaonyesha kwamba, kwa zaidi ya 1, Curve logarithmic kupitia pointi (1 juu ya, hasi 1), (1, 0), na (a, 1). Pia inaonyesha Curve kielelezo kupitia pointi (1, 1 juu ya), (0, 1), na (1, a) pamoja na mstari y sawa x. curve logarithmic ni kioo picha ya Curve kielelezo katika y sawa x line. Takwimu hii inaonyesha kwamba, kwa zaidi ya 0 na chini ya 1, Curve logarithmic kupitia pointi (a, 1), (1, 0), na (1 juu ya, hasi 1). Pia inaonyesha Curve kielelezo kupitia pointi (hasi 1, 1 juu ya), (0, 1), na (1, a) pamoja na mstari y sawa x. curve logarithmic ni kioo picha ya Curve kielelezo katika y sawa x line.
    Kielelezo 10.3.12

    Angalia jinsi grafu ni tafakari ya kila mmoja kwa njia ya mstari\(y=x\). Tunajua hii ni kweli ya kazi inverse. Kuweka Visual katika akili yako ya grafu hizi itasaidia kukumbuka uwanja na aina mbalimbali ya kila kazi. Angalia\(x\) -axis ni asymptote ya usawa kwa kazi za kielelezo na\(y\) -axis ni asymptote ya wima kwa kazi za logarithmic.

    Tatua Ulinganisho wa Logarithmic

    Tulipozungumzia kuhusu kazi za kielelezo, tulianzisha idadi\(e\). Kama\(e\) ilivyokuwa msingi kwa ajili ya kazi kielelezo, inaweza kutumika msingi kwa ajili ya kazi logarithmic pia. Kazi ya logarithmic na msingi\(e\) inaitwa kazi ya asili ya logarithmic. Kazi kwa ujumla\(f(x)=\log _{e} x\) imeandikwa\(f(x)=\ln x\) na sisi kusoma kama “el en ya\(x\).”

    Ufafanuzi\(\PageIndex{2}\): Natural Logarithmic Function

    Kazi\(f(x)=\ln x\) ni kazi ya asili ya logarithmic na msingi\(e\), wapi\(x>0\).

    \(y=\ln x\)ni sawa na\(x=e^{y}\)

    Wakati msingi wa kazi ya logarithm ni\(10\), tunaiita kazi ya kawaida ya logarithmic na msingi hauonyeshwa. Ikiwa msingi\(a\) wa logarithm hauonyeshwa, tunadhani ni\(10\).

    Ufafanuzi\(\PageIndex{3}\): Common Logarithmic Function

    Kazi\(f(x)=\log x\) ni kazi ya kawaida ya logarithmic na msingi\(10\), wapi\(x>0\).

    \(y=\log x\)ni sawa na\(x=10^{y}\)

    Itakuwa muhimu kwako kutumia calculator yako kutathmini logarithms ya kawaida na ya asili. Pata funguo za logi na ln kwenye calculator yako.

    Ili kutatua equations logarithmic, mkakati mmoja ni kubadili equation kwa fomu kielelezo na kisha kutatua equation kielelezo kama tulivyofanya kabla. Kama sisi kutatua equations logarithmic\(y=log_{a}x\),, tunahitaji kukumbuka kwamba kwa msingi\(a\),\(a>0\) na\(a≠1\). Pia, uwanja ni\(x>0\). Kama ilivyo na usawa mkubwa, lazima tuangalie ufumbuzi wetu ili kuondoa ufumbuzi wowote wa nje.

    Mfano\(\PageIndex{7}\)

    Kutatua:

    1. \(\log _{a} 49=2\)
    2. \(\ln x=3\)

    Suluhisho:

    a.

    \(\log _{a} 49=2\)

    Andika upya kwa fomu ya kielelezo.

    \(a^{2}=49\)

    Tatua equation kwa kutumia mali ya mizizi ya mraba.

    \(a=\pm 7\)

    Msingi hauwezi kuwa hasi, kwa hiyo tunaondoa\(a=-7\).

    \(a=7, \quad \cancel{a=-7}\)

    Angalia. \(a=7\)

    \(\begin{aligned} \log _{a} 49&=2 \\ \log_{7}49&\stackrel{?}{=}2 \\ 7^{2}&\stackrel{?}{=}49 \\ 49&=49 \end{aligned}\)

    b.

    \(\ln x=3\)

    Andika upya kwa fomu ya kielelezo.

    \(e^{3}=x\)

    Angalia. \(x=e^{3}\)

    \(\begin{aligned} \ln x &=3 \\ \ln e^{3} & \stackrel{?}{=} 3 \\ e^{3} &=e^{3} \end{aligned}\)

    Zoezi\(\PageIndex{13}\)

    Kutatua:

    1. \(\log _{a} 121=2\)
    2. \(\ln x=7\)
    Jibu
    1. \(a=11\)
    2. \(x=e^{7}\)
    Zoezi\(\PageIndex{14}\)

    Kutatua:

    1. \(\log _{a} 64=3\)
    2. \(\ln x=9\)
    Jibu
    1. \(a=4\)
    2. \(x=e^{9}\)
    Mfano\(\PageIndex{8}\)

    Kutatua:

    1. \(\log _{2}(3 x-5)=4\)
    2. \(\ln e^{2 x}=4\)

    Suluhisho:

    a.

    \(\log _{2}(3 x-5)=4\)

    Andika upya kwa fomu ya kielelezo.

    \(2^{4}=3 x-5\)

    Kurahisisha.

    \(16=3 x-5\)

    Kutatua equation.

    \(21=3 x\)

    \(7=x\)

    Angalia. \(x=7\)

    \(\begin{aligned} \log _{2}(3 x-5)&=4 \\ \log_{2}(3\cdot7-5)&\stackrel{?}{=}4\\ \log_{2}(16)&\stackrel{?}{=}4 \\ 2^{4}& \stackrel{?}{=}16 \\ 16&=16 \end{aligned}\)

    b.

    \(\ln e^{2 x}=4\)

    Andika upya kwa fomu ya kielelezo.

    \(e^{4}=e^{2 x}\)

    Kwa kuwa besi ni sawa, vielelezo ni sawa.

    \(4=2 x\)

    Kutatua equation.

    \(2=x\)

    Angalia. \(x=2\)

    \(\begin{aligned} \ln e^{2 x} &=4 \\ \ln e^{2 \cdot 2} & \stackrel{?}{=} 4 \\ \ln e^{4} &=4 \\ e^{4} &=e^{4} \end{aligned}\)

    Zoezi\(\PageIndex{15}\)

    Kutatua:

    1. \(\log _{2}(5 x-1)=6\)
    2. \(\ln e^{3 x}=6\)
    Jibu
    1. \(x=13\)
    2. \(x=2\)
    Zoezi\(\PageIndex{16}\)

    Kutatua:

    1. \(\log _{3}(4 x+3)=3\)
    2. \(\ln e^{4 x}=4\)
    Jibu
    1. \(x=6\)
    2. \(x=1\)

    Tumia Mifano ya Logarithmic katika Maombi

    Kuna maombi mengi ambayo yanatokana na equations ya logarithmic. Tutaangalia kwanza equation ya logarithmic ambayo inatoa kiwango cha decibel (dB) cha sauti. Decibels mbalimbali kutoka\(0\), ambayo ni vigumu kusikia kwa\(160\), ambayo inaweza kupasuka eardrum. Ya\(10^{−12}\) katika formula inawakilisha ukubwa wa sauti ambayo haijasikika.

    Ufafanuzi\(\PageIndex{4}\)

    Kiwango cha Decibel cha Sauti

    Ngazi ya sauti kubwa\(D\), kipimo katika decibels, ya sauti ya kiwango\(I\), kipimo kwa watts kwa inchi mraba ni

    \(D=10 \log \left(\frac{I}{10^{-12}}\right)\)

    Mfano\(\PageIndex{9}\)

    Kupanuliwa kwa kelele ambayo hatua\(85\) dB inaweza kusababisha uharibifu wa kudumu kwa sikio la ndani ambayo itasababisha kupoteza kusikia. Je, ni kiwango cha decibel cha muziki kinachoja kwa njia ya simu za sikio na\(10^{−2}\) watts ya kiwango kwa inchi ya mraba?

    Suluhisho:

      .
    Mbadala katika kiwango cha kiwango,\(I\). .
    Kurahisisha. .
    Tangu\(\log 10^{10}=10\). .
    Kuzidisha. .
      Ngazi ya decibel ya muziki inayokuja kupitia earphones ni\(100\) dB.
    Zoezi\(\PageIndex{17}\)

    Je, ni kiwango cha decibel cha mojawapo ya dishwashers mpya ya utulivu na\(10^{−7}\) watts kali kwa inchi ya mraba?

    Jibu

    Dishwashers ya utulivu wana kiwango cha decibel cha\(50\) dB.

    Zoezi\(\PageIndex{18}\)

    ni kiwango cha decibel nzito mji trafiki na\(10^{−3}\) watts nguvu kwa inchi mraba nini?

    Jibu

    Ngazi ya decibel ya trafiki nzito ni\(90\) dB.

    Ukubwa\(R\) wa tetemeko la ardhi hupimwa kwa kiwango cha logarithmic kinachoitwa kiwango cha Richter. Mfano ni\(R=\log I\), wapi\(I\) kiwango cha wimbi la mshtuko. Mfano huu hutoa njia ya kupima kiwango cha tetemeko la ardhi.

    Ufafanuzi\(\PageIndex{5}\): Earthquake Intensity

    Ukubwa\(R\) wa tetemeko la ardhi hupimwa na\(R=\log I\), wapi\(I\) kiwango cha wimbi lake la mshtuko.

    Mfano\(\PageIndex{10}\)

    Katika 1906, San Francisco alipata tetemeko la ardhi kali na ukubwa wa\(7.8\) kiwango cha Richter. Zaidi ya\(80\)% ya mji uliharibiwa na moto kusababisha. Mwaka 2014, Los Angeles ilipata tetemeko la ardhi la\(5.1\) wastani lililopimwa kwa kiwango cha Richter na kusababisha uharibifu wa dola\(108\) milioni $. Kulinganisha intensities ya tetemeko la ardhi mbili.

    Suluhisho:

    Ili kulinganisha nguvu, sisi kwanza tunahitaji kubadilisha ukubwa kwa nguvu kwa kutumia formula ya logi. Kisha tutaanzisha uwiano ili kulinganisha intensities.

    Badilisha ukubwa kwa nguvu.

    \(R=\log I\)

    Tetemeko la ardhi 1906

    \(7.8=\log I\)

    Badilisha kwa fomu ya kielelezo.

    \(I=10^{7.8}\)

    Tetemeko la ardhi

    \(5.1=\log I\)

    Badilisha kwa fomu ya kielelezo.

    \(I=10^{5.1}\)

    Fanya uwiano wa nguvu.

    \(\frac{\text { Intensity for } 1906}{\text { Intensity for } 2014}\)

    Mbadala katika maadili.

    \(\frac{10^{7.8}}{10^{5.1}}\)

    Gawanya kwa kutoa exponents.

    \(10^{2.7}\)

    Tathmini.

    \(501\)

    Ukubwa wa tetemeko la ardhi la 1906 ulikuwa karibu\(501\) mara ukubwa wa tetemeko la ardhi la 2014.

    Zoezi\(\PageIndex{19}\)

    Katika 1906, San Francisco alipata tetemeko la ardhi kali na ukubwa wa\(7.8\) kiwango cha Richter. Mwaka 1989, tetemeko la ardhi la Loma Prieta pia liliathiri eneo la San Francisco, na\(6.9\) kupimwa kwa kiwango cha Richter. Kulinganisha intensities ya tetemeko la ardhi mbili.

    Jibu

    Ukubwa wa tetemeko la ardhi la 1906 ulikuwa karibu\(8\) mara ukubwa wa tetemeko la ardhi la 1989.

    Zoezi\(\PageIndex{20}\)

    Mwaka 2014, Chile ilipata tetemeko kubwa la ardhi na ukubwa wa\(8.2\) kiwango cha Richter. Mwaka 2014, Los Angeles pia ilipata tetemeko la ardhi ambalo\(5.1\) lilipimwa kwa kiwango cha Richter. Kulinganisha intensities ya tetemeko la ardhi mbili.

    Jibu

    Ukubwa wa tetemeko la ardhi nchini Chile ulikuwa karibu\(1,259\) mara ukubwa wa tetemeko la ardhi huko Los Angeles.

    Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na kutathmini na kuchora kazi za logarithmic.

    Dhana muhimu

    • Mali ya Grafu ya\(y=\log _{a} x\):
    Wakati\(a>1\) Wakati\(0<a<1\)
    \ (a"> 1\) ">Domain \((0, \infty)\) \ (0<a <1\) ">Domain \((0, \infty)\)
    \ (a"> 1\) "> Range \((-\infty, \infty)\) \ (0<a <1\) "> Mbalimbali \((-\infty, \infty)\)
    \ (a"> 1\) ">\(x\) - kukatiza \((1,0)\) \ (0<a <1\) ">\(x\) -kukatiza \((1,0)\)
    \ (a"> 1\) ">\(y\) - kukatiza Hakuna \ (0<a <1\) ">\(y\) -kukatiza Hakuna
    \ (a” > 1\) "> Ina \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\) \ (0 <a <1\) ">Ina \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\)
    \ (a” > 1\) "> Dalili \(y\)-mhimili \ (0 <a <1\) "> Dalili \(y\)-mhimili
    \ (a"> 1\) "> Sura ya msingi Kuongezeka \ (0<a <1\) "> Sura ya msingi Kupungua
    Takwimu hii inaonyesha kwamba, kwa zaidi ya 1, Curve logarithmic kupitia pointi (1 juu ya, hasi 1), (1, 0), na (a, 1). Takwimu hii inaonyesha kwamba, kwa zaidi ya 0 na chini ya 1, Curve logarithmic kupitia pointi (a, 1), (1, 0), na (1 juu ya, hasi 1).
    Kielelezo 10.3.11
    • Decibel Level of Sound: kiwango cha sauti kubwa\(D\),, kipimo katika decibels, sauti ya kiwango\(I\), kipimo katika watts kwa inchi mraba ni\(D=10 \log \left(\frac{I}{10^{-12}}\right)\).
    • Ukubwa wa tetemeko la ardhi: Ukubwa\(R\) wa tetemeko la ardhi hupimwa na\(R=\log I\),\(I\) wapi kiwango cha wimbi lake la mshtuko.

    faharasa

    kazi ya kawaida ya logarithmic
    Kazi\(f(x)=\log x\) ni kazi ya kawaida ya logarithmic na msingi\(10\), wapi\(x>0\).

    \(y=\log x\)ni sawa na\(x=10^{y}\)

    kazi ya logarithmic
    Kazi\(f(x)=\log _{a} x\) ni kazi ya logarithmic na msingi\(a\), wapi\(a>0,x>0\), na\(a≠1\).

    \(y=\log _{a} x\)ni sawa na\(x=a^{y}\)

    kazi ya asili ya logarithmic
    Kazi\(f(x)=\ln x\) ni kazi ya asili ya logarithmic na msingi\(e\), wapi\(x>0\).

    \(y=\ln x\)ni sawa na\(x=e^{y}\)