Skip to main content
Global

10.3: Tathmini na Grafu Kazi za Kielelezo

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    176366

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Grafu kazi za kielelezo
    • Kutatua equations kielelezo
    • Tumia mifano ya kielelezo katika programu

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Kurahisisha:\(\left(\frac{x^{3}}{x^{2}}\right)\).
      Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 5.13.
    2. Tathmini: a.\(2^{0}\) b\(\left(\frac{1}{3}\right)^{0}\).
      Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 5.14.
    3. Tathmini: a.\(2^{−1}\) b\(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}\).
      Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 5.15.

    Graph Kielelezo Kazi

    Kazi ambazo tumejifunza hadi sasa hazitupatia mfano wa matukio mengi ya kawaida yanayotokea. Kutokana na ukuaji wa idadi ya watu na kuenea kwa virusi kwa kuoza kwa mionzi na maslahi ya kuchanganya, mifano ni tofauti sana na yale tuliyojifunza hadi sasa. Mifano hizi zinahusisha kazi za kielelezo.

    Kazi ya kielelezo ni kazi ya fomu\(f(x)=a^{x}\) ambapo\(a>0\) na\(a≠1\).

    Ufafanuzi\(\PageIndex{1}\)

    Kazi ya kielelezo, wapi\(a>0\) na\(a≠1\), ni kazi ya fomu

    \(f(x)=a^{x}\)

    Kumbuka kwamba katika kazi hii, variable ni exponent. Katika kazi zetu hadi sasa, vigezo vilikuwa msingi.

    Takwimu hii inaonyesha kazi tatu: f ya x sawa hasi 3x pamoja 4, ambayo ni alama kama linear; f ya x sawa 2x squared pamoja 5x minus 3, ambayo ni alama kama quadratic; na f ya x sawa 6 kwa nguvu x, ambayo ni alama kielelezo. Kwa kazi zilizowekwa alama ya mstari na quadratic, x ni msingi. Kwa kazi alama kielelezo, x ni exponent kwa msingi 6.
    Kielelezo 10.2.1

    Ufafanuzi wetu unasema\(a≠1\). Ikiwa tunaruhusu\(a=1\), basi\(f(x)=a^{x}\) inakuwa\(f(x)=1^{x}\). Tangu\(1^{x}=1\) kwa idadi yote halisi,\(f(x)=1\). Hii ni kazi ya mara kwa mara.

    Ufafanuzi wetu pia unasema\(a>0\). Kama sisi basi msingi kuwa hasi\(−4\), sema, basi\(f(x)=(−4)^{x}\) si idadi halisi wakati\(x=\frac{1}{2}\).

    \(\begin{aligned} f(x) &=(-4)^{x} \\ f\left(\frac{1}{2}\right) &=(-4)^{\frac{1}{2}} \\ f\left(\frac{1}{2}\right) &=\sqrt{-4} \text { not a real number } \end{aligned}\)

    Kwa kweli,\(f(x)=(−4)^{x}\) bila kuwa idadi halisi wakati wowote\(x\) ni sehemu na hata denominator. Hivyo ufafanuzi wetu unahitaji\(a>0\).

    Kwa kuchora kazi chache za kielelezo, tutaweza kuona mali zao za kipekee.

    Mfano\(\PageIndex{1}\)

    Kwenye grafu sawa ya mfumo wa kuratibu\(f(x)=2^{x}\) na\(g(x)=3^{x}\).

    Suluhisho:

    Tutatumia hatua ya kupanga mipangilio ya grafu kazi.

    Jedwali hili lina safu saba na nguzo tano. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na husoma x, f ya x sawa na 2 kwa nguvu x, (x, f ya x), g ya x sawa na 3 kwa nguvu x, na (x, g ya x). Mstari wa pili anayesoma hasi 2, 2 kwa nguvu hasi 2 sawa na 1 imegawanywa na 2 squared ambayo ni sawa na 1 juu ya 4, (hasi 2, 1 juu ya 4), 3 kwa nguvu hasi 2 sawa 1 kugawanywa na 3 squared ambayo ni sawa na 1 juu ya 9, (hasi 2, 1 juu ya 9). Mstari wa tatu anayesoma hasi 1, 2 kwa nguvu hasi 1 sawa 1 kugawanywa na 2 kwa nguvu ya kwanza ambayo ni sawa na 1 juu ya 2, (hasi 1, 1 juu ya 2), 3 kwa hasi 1 nguvu sawa 1 kugawanywa na 3 kwa nguvu ya kwanza ambayo ni sawa na 1 juu ya 3, (hasi 1, 1 juu ya 3). Mstari wa nne unasoma 0, 2 kwa nguvu ya 0 sawa na 1, (0, 1), 3 hadi nguvu ya 0 sawa na 1, (0, 1). Mstari wa tano unasoma 1, 2 kwa nguvu ya 1 sawa na 2, (1, 2), 3 kwa nguvu 1 sawa na 9, (1, 3). Mstari wa sita unasoma 2, 2 kwa nguvu 2 sawa na 4, (2, 4), 3 kwa nguvu 2 sawa na 9, (2, 9). Mstari wa saba unasoma 3, 2 kwa nguvu 3 sawa na 8, (3, 8), 3 hadi nguvu 3 sawa na 27, (3, 27).
    Kielelezo 10.2.2
    Takwimu hii inaonyesha curves mbili. Curve ya kwanza imewekwa katika bluu na hupita kupitia pointi (hasi 1, 1 juu ya 2), (0, 1), na (1, 2). Curve ya pili imewekwa katika nyekundu na hupita kupitia pointi (hasi 1, 1 juu ya 3), (0, 1), na (1, 3).
    Kielelezo 10.2.3
    Zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Grafu:\(f(x)=4^{x}\).

    Jibu
    Takwimu hii inaonyesha Curve kwamba mteremko haraka zaidi kutoka juu tu (hasi 3, 0) kupitia (0, 1) hadi (1, 4).
    Kielelezo 10.2.4
    Zoezi\(\PageIndex{2}\)

    Grafu:\(g(x)=5^{x}\)

    Jibu
    Takwimu hii inaonyesha Curve kwamba mteremko haraka zaidi kutoka juu tu (hasi 3, 0) kupitia (0, 1) hadi (1, 5).
    Kielelezo 10.2.5

    Ikiwa tunaangalia grafu kutoka kwa Mfano uliopita 10.2.1 na Mazoezi 10.2.1 na 10.2.2, tunaweza kutambua baadhi ya mali ya kazi za kielelezo.

    Grafu za\(f(x)=2^{x}\) na\(g(x)=3^{x}\), pamoja na grafu za\(f(x)=4^{x}\) na\(g(x)=5^{x}\), wote wana sura sawa ya msingi. Hii ni sura tunatarajia kutoka kazi kielelezo ambapo\(a>1\).

    Tunaona, kwamba kwa kila kazi, grafu ina uhakika\((0,1)\). Hii ina maana\(a^{0}=1\) kwa sababu yoyote\(a\).

    Grafu ya kila kazi,\(f(x)=a^{x}\) pia ina uhakika\((1,a)\). Grafu ya\(f(x)=2^{x}\) zilizomo\((1,2)\) na grafu ya\(g(x)=3^{x}\) zilizomo\((1,3)\). Hii mantiki kama\(a^{1}=a\).

    Angalia pia, grafu ya kila kazi\(f(x)=a^{x}\) pia ina uhakika\((−1,\frac{1}{a})\). Grafu ya\(f(x)=2^{x}\) zilizomo\((−1,\frac{1}{2})\) na grafu ya\(g(x)=3^{x}\) zilizomo\((−1,\frac{1}{3})\). Hii ina maana kama\(a^{−1}=\frac{1}{a}\).

    Ni uwanja gani kwa kila kazi? Kutoka kwenye grafu tunaweza kuona kwamba uwanja ni seti ya namba zote halisi. Hakuna kizuizi kwenye uwanja. Tunaandika uwanja katika nukuu ya muda kama\((−∞,∞)\).

    Angalia kila grafu. Ni aina gani ya kazi? Grafu haipatikani kamwe\(x\) -axis. Mbalimbali ni namba zote nzuri. Tunaandika upeo katika maelezo ya muda kama\((0,∞)\).

    Wakati wowote grafu ya kazi inakaribia mstari lakini kamwe inagusa, tunaita kwamba mstari asymptote. Kwa kazi za kielelezo tunazoangalia, grafu inakaribia\(x\) -axis kwa karibu sana lakini kamwe haitaivuka, tunaita mstari\(y=0\),\(x\) -axis, asymptote ya usawa.

    Mali ya Grafu ya\(f(x)=a^{x}\) wakati\(a>1\)

    Domain \((-\infty, \infty)\)
    Range \((0, \infty)\)
    \(x\)-kukatiza Hakuna
    \(y\)-kukatiza \((0,1)\)
    Ina \((1, a),\left(-1, \frac{1}{a}\right)\)
    Asymptote \(x\)-axis, mstari\(y=0\)
    Jedwali 10.2.1
    Takwimu hii inaonyesha Curve kwamba mteremko juu kutoka (hasi 1, 1 juu ya) kupitia (0, 1), hadi (1, a).
    Kielelezo 10.2.6

    Ufafanuzi wetu wa kazi kielelezo\(f(x)=a^{x}\) anasema\(a>0\), lakini mifano na majadiliano hadi sasa imekuwa kuhusu kazi ambapo\(a>1\). Nini kinatokea wakati\(0<a<1\) mfano ijayo kuchunguza uwezekano huu.

    Mfano\(\PageIndex{2}\)

    Kwenye mfumo huo wa kuratibu, grafu\(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) na\(g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\).

    Suluhisho:

    Tutatumia hatua ya kupanga mipangilio ya grafu kazi.

    Jedwali hili lina safu saba na nguzo tano. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na husoma x, f ya x, sawa na 1 juu ya 2 kwa nguvu x, (x, f ya x), g ya x sawa 1 juu ya 3 kwa nguvu x, na (x, g ya x). Mstari wa pili anayesoma hasi 2, 1 juu ya 2 kwa nguvu hasi 2 sawa na 2 squared ambayo ni sawa na 4, (hasi 2, 4), 3 kwa hasi 2 nguvu sawa 3 squared ambayo ni sawa na 9, (hasi 2, 9). Mstari wa tatu anayesoma hasi 1, 1 juu ya 2 kwa nguvu hasi 1 sawa na 2 kwa nguvu ya kwanza ambayo ni sawa na 2, (hasi 1, 2), 1 juu ya 3 kwa nguvu hasi 1 sawa 3 kwa nguvu ya kwanza ambayo ni sawa na 3, (hasi 1, 3). Mstari wa nne unasoma 0, 1 juu ya 2 hadi nguvu ya 0 sawa na 1, (0, 1), 1 juu ya 3 hadi nguvu ya 0 sawa na 1, (0, 1). Mstari wa tano unasoma 1, 1 juu ya 2 kwa nguvu ya 1 sawa na 1 juu ya 2, (1, 1 juu ya 2), 1 juu ya 3 kwa nguvu 1 sawa na 1 juu ya 3, (1, 1 juu ya 3). Mstari wa sita unasoma 2, 1 juu ya 2 kwa nguvu ya 2 sawa na 1 juu ya 4, (2, 1 juu ya 4), 1 juu ya 3 hadi nguvu 2 sawa na 1 juu ya 9, (2, 1 juu ya 9). Mstari wa saba unasoma 3, 1 juu ya 2 hadi nguvu 3 sawa na 1 juu ya 8, (3, 1 juu ya 8), 1 juu ya 3 hadi nguvu 3 sawa na 1 juu ya 27, (3, 1 juu ya 27).
    Kielelezo 10.2.7
    Takwimu hii inaonyesha curves mbili. Curve ya kwanza imewekwa katika bluu na hupita kupitia pointi (hasi 1, 2), (0, 1), na (1, 1 juu ya 2). Curve ya pili imewekwa katika nyekundu na hupita kupitia pointi (hasi 1, 3), (0, 1), na (1, 1 juu ya 3).
    Kielelezo 10.2.8
    Zoezi\(\PageIndex{3}\)

    Grafu:\(f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}\).

    Jibu
    Takwimu hii inaonyesha Curve kwamba hupita kwa njia ya (hasi 1, 4), (0, 1) kwa uhakika tu juu (3, 0).
    Kielelezo 10.2.9
    Zoezi\(\PageIndex{4}\)

    Grafu:\(g(x)=\left(\frac{1}{5}\right)^{x}\).

    Jibu
    Takwimu hii inaonyesha Curve kwamba hupita kwa njia ya (hasi 1, 5), (0, 1) kwa uhakika tu juu (3, 0).
    Kielelezo 10.2.10

    Sasa hebu tuangalie grafu kutoka Mfano uliopita 10.2.2 na Mazoezi 10.2.3 na 10.2.4 hivyo tunaweza sasa kutambua baadhi ya mali ya kazi kielelezo ambapo\(0<a<1\).

    Grafu za\(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) na\(g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) pamoja na grafu za\(f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}\) na\(g(x)=\left(\frac{1}{5}\right)^{x}\) zote zina sura sawa ya msingi. Wakati hii ni sura tunatarajia kutoka kazi kielelezo ambapo\(0<a<1\), grafu kwenda chini kutoka kushoto kwenda kulia wakati grafu ya awali, wakati\(a>1\), akaenda kutoka juu kutoka kushoto kwenda kulia.

    Tunaona kwamba kwa kila kazi, grafu bado ina uhakika\((0, 1)\). Hii ina maana\(a^{0}=1\) kwa sababu yoyote\(a\).

    Kama hapo awali, grafu ya kila kazi\(f(x)=a^{x}\), pia ina uhakika\((1,a)\). Grafu ya\(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) zilizomo\(\left(1, \frac{1}{2}\right)\) na grafu ya\(g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) zilizomo\(\left(1, \frac{1}{3}\right)\). Hii mantiki kama\(a^{1}=a\).

    Angalia pia kwamba grafu ya kila kazi\(f(x)=a^{x}\), pia ina uhakika\(\left(-1, \frac{1}{a}\right)\). Grafu ya\(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) zilizomo\((−1,2)\) na grafu ya\(g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) zilizomo\((−1,3)\). Hii mantiki kama\(a^{-1}=\frac{1}{a}\).

    Je, ni uwanja na aina gani kwa kila kazi? Kutoka grafu tunaweza kuona kwamba uwanja ni seti ya namba zote halisi na sisi kuandika uwanja katika muda nukuu kama\((−∞,∞)\). Tena, grafu haipatikani kamwe\(x\) -axis. Mbalimbali ni namba zote nzuri. Tunaandika upeo katika maelezo ya muda kama\((0,∞)\).

    Sisi muhtasari mali hizi katika chati hapa chini. Ambayo pia ni pamoja na wakati\(a>1\).

    Mali ya Grafu ya\(f(x)=a^{x}\)

    Wakati\(a>1\) Wakati\(0<a<1\)
    \ (a"> 1\) ">Domain \((-\infty, \infty)\) \ (0<a <1\) ">Domain \((-\infty, \infty)\)
    \ (a"> 1\) "> Range \((0, \infty)\) \ (0<a <1\) "> Mbalimbali \((0, \infty)\)
    \ (a"> 1\) ">\(x\) - kukatiza hakuna \ (0<a <1\) ">\(x\) -kukatiza hakuna
    \ (a"> 1\) ">\(y\) - kukatiza \((0,1)\) \ (0<a <1\) ">\(y\) -kukatiza \((0,1)\)
    \ (a” > 1\) "> Ina \((1, a),\left(-1, \frac{1}{a}\right)\) \ (0 <a <1\) ">Ina \((1, a),\left(-1, \frac{1}{a}\right)\)
    \ (a” > 1\) "> Dalili

    \(x\)-axis, mstari\(y=0\)

    		 \ (0 <a <1\) "> Dalili \(x\)-axis, mstari\(y=0\)
    \ (a"> 1\) "> Sura ya Msingi kuongezeka \ (0<a <1\) "> Sura ya Msingi kupungua
    Jedwali 10.2.2
    Takwimu hii ina sehemu mbili. Kwenye upande wa kushoto, tuna Curve kwamba hupita kupitia (hasi 1, 1 juu ya) kupitia (0, 1) kwa (1, a). Kwenye haki, ambapo inajulikana kuwa chini ya 1, tuna Curve ambayo hupita kupitia (hasi 1, 1 juu ya a) kupitia (0, 1) kwa (1, a).
    Kielelezo 10.2.11

    Ni muhimu kwetu kutambua kwamba grafu hizi mbili ni moja kwa moja, kwa kuwa wote hupitia mtihani wa mstari usio na usawa. Hii inamaanisha kazi ya kielelezo itakuwa na inverse. Tutaangalia hili baadaye.

    Wakati sisi graphed kazi quadratic, tuliweza grafu kutumia tafsiri badala ya pointi tu kupanga njama. Je, kwamba kazi katika graphing kazi kielelezo?

    Mfano\(\PageIndex{3}\)

    Kwenye grafu sawa ya mfumo wa kuratibu\(f(x)=2^{x}\) na\(g(x)=2^{x+1}\).

    Suluhisho:

    Tutatumia hatua ya kupanga mipangilio ya grafu kazi.

    Jedwali hili lina safu saba na nguzo tano. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na unasoma x, f ya x sawa na 2 kwa nguvu x, (x, f ya x), g ya x sawa na 2 hadi nguvu x pamoja na 1, na (x, g ya x). Mstari wa pili anayesoma hasi 2, 2 kwa nguvu hasi 2 sawa na 1 kugawanywa na 2 squared ambayo ni sawa na 1 juu ya 4, (hasi 2, 1 juu ya 4), 2 kwa hasi 2 pamoja na 1 nguvu sawa 1 kugawanywa na 2 kwa nguvu ya kwanza ambayo ni sawa na 1 juu ya 2, (hasi 2, 1 juu ya 2). Mstari wa tatu anayesoma hasi 1, 2 kwa nguvu hasi 1 sawa na 1 kugawanywa na 2 kwa nguvu ya kwanza ambayo ni sawa na 1 juu ya 2, (hasi 1, 1 juu ya 2), 2 kwa hasi 1 pamoja na 1 nguvu sawa 2 kwa 0 nguvu ambayo ni sawa na 1, (hasi 1, 1). mstari wa nne inasoma 0, 2 kwa 0 nguvu sawa 1, (0, 1), 2 kwa 0 pamoja 1 nguvu sawa 2 kwa 1 nguvu ambayo ni sawa 2, (0, 2). Mstari wa tano unasoma 1, 2 kwa nguvu ya 1 sawa na 2, (1, 2), 2 kwa 1 pamoja na nguvu 1 sawa na 2 kwa nguvu ya pili ambayo ni sawa na 4, (1, 4). Mstari wa sita inasoma 2, 2 kwa nguvu 2 sawa na 4, (2, 4), 2 kwa 2 plus 1 nguvu sawa 2 kwa nguvu ya tatu ambayo ni sawa na 8, (2, 8). Mstari wa saba unasoma 3, 2 kwa nguvu 3 sawa na 8, (3, 8), 2 hadi 3 pamoja na 1 nguvu sawa na 2 kwa nguvu ya nne ambayo ni sawa na 16, (3, 16).
    Kielelezo 10.2.12
    Takwimu hii inaonyesha curves mbili. Curve ya kwanza imewekwa katika bluu na hupita kupitia pointi (hasi 1, 1 juu ya 2), (0, 1) na (1, 2). Curve ya pili imewekwa katika nyekundu na hupita kupitia pointi (hasi 1, 1), (0, 2) na (1, 4).
    Kielelezo 10.2.13
    Zoezi\(\PageIndex{5}\)

    Kwenye mfumo huo wa kuratibu, grafu:\(f(x)=2^{x}\) na\(g(x)=2^{x-1}\).

    Jibu
    Takwimu hii inaonyesha grafu ya kazi mbili. Kazi ya kwanza f ya x sawa na 2 kwa nguvu x ni alama katika bluu na inalingana na Curve ambayo hupita kupitia pointi (hasi 1, 1 juu ya 2), (0, 1) na (1, 2). Kazi ya pili g ya x sawa na 2 hadi nguvu ya x minus 1 imewekwa katika nyekundu na hupita kupitia pointi (0, 1 juu ya 2), (1, 1), na (2, 2).
    Kielelezo 10.2.14
    Zoezi\(\PageIndex{6}\)

    Kwenye mfumo huo wa kuratibu, grafu\(f(x)=3^{x}\) na\(g(x)=3^{x+1}\).

    Jibu
    Takwimu hii inaonyesha grafu ya kazi mbili. Kazi ya kwanza f ya x sawa na 3 kwa nguvu x ni alama katika bluu na inalingana na Curve ambayo hupita kupitia pointi (hasi 1, 1 juu ya 3), (0, 1) na (1, 3). Kazi ya pili g ya x sawa na 3 hadi nguvu x pamoja na 1 imewekwa katika nyekundu na hupita kupitia pointi (hasi 2, 1 juu ya 3), (hasi 1, 1), na (0, 3).
    Kielelezo 10.2.15

    Kuangalia grafu ya kazi\(f(x)=2^{x}\) na\(g(x)=2^{x+1}\) katika mfano wa mwisho, tunaona kwamba kuongeza moja katika exponent ilisababisha mabadiliko ya usawa ya kitengo kimoja upande wa kushoto. Kutambua ruwaza hii inatuwezesha kuunda kazi zingine na muundo sawa na tafsiri.

    Hebu sasa tuchunguze hali nyingine ambayo inaweza kuwa graphed kwa urahisi zaidi na tafsiri, mara tu sisi kutambua mfano.

    Mfano\(\PageIndex{4}\)

    Kwenye grafu sawa ya mfumo wa kuratibu\(f(x)=3^{x}\) na\(g(x)=3^{x}-2\).

    Suluhisho:

    Tutatumia hatua ya kupanga mipangilio ya grafu kazi.

    Jedwali hili lina safu tano na nguzo sita. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na unasoma x, f ya x sawa na 3 kwa nguvu x, (x, f ya x), g ya x sawa na 3 hadi nguvu x bala 2, na (x, g ya x). Mstari wa pili unasoma hasi 2, 3 kwa nguvu hasi 2 sawa na 1 juu ya 9, (hasi 2, 1 juu ya 9), 3 kwa hasi 2 nguvu minus 2 sawa 1 juu ya 9 minus 2 ambayo ni sawa na hasi 17 juu ya 9, (hasi 2, hasi 17 juu ya 9). Mstari wa tatu unasoma hasi 1, 3 kwa nguvu hasi 1 sawa na 1 juu ya 3, (hasi 1, 1 juu ya 3), 3 kwa nguvu hasi 1 minus 2 sawa na 1 juu ya 3 minus 2 ambayo ni sawa na hasi 5 juu ya 3, (hasi 1, hasi 5 juu ya 3). Mstari wa nne unasoma 0, 3 hadi nguvu ya 0 sawa na 1, (0, 1), 3 hadi nguvu ya 0 chini ya 2 sawa na 1 minus 2 ambayo ni sawa na hasi 1, (0, hasi 1). Mstari wa tano unasoma 1, 3 hadi nguvu ya 1 sawa na 3, (1, 3), 3 hadi nguvu ya 1 minus 2 sawa na 3 minus 2 ambayo ni sawa na 1, (1, 1). Mstari wa sita unasoma 2, 3 mraba sawa na 9, (2, 9), 3 mraba minus 2 sawa 9 minus 2 ambayo ni sawa na 7, (2, 7).
    Kielelezo 10.2.16
    Takwimu hii inaonyesha curves mbili. Curve ya kwanza imewekwa katika bluu na hupita kupitia pointi (hasi 1, 1 juu ya 3), (0, 1), na (1, 3). Curve ya pili imewekwa katika nyekundu na hupita kupitia pointi (hasi 1, hasi 5 juu ya 3), (0, hasi 1), na (1, 1).
    Kielelezo 10.2.17
    Zoezi\(\PageIndex{7}\)

    Kwenye mfumo huo wa kuratibu, grafu\(f(x)=3^{x}\) na\(g(x)=3^{x}+2\).

    Jibu
    Takwimu hii inaonyesha grafu ya kazi mbili. Kazi ya kwanza f ya x sawa na 3 kwa nguvu x ni alama katika bluu na inalingana na Curve ambayo hupita kupitia pointi (hasi 1, 1 juu ya 3), (0, 1) na (1, 3). Kazi ya pili g ya x sawa na 3 kwa nguvu x pamoja na 2 imewekwa katika nyekundu na hupita kupitia pointi (hasi 1, 7 juu ya 3), (0, 3) na (1, 5).
    Kielelezo 10.2.18
    Zoezi\(\PageIndex{8}\)

    Kwenye mfumo huo wa kuratibu, grafu\(f(x)=4^{x}\) na\(g(x)=4^{x}-2\).

    Jibu
    Takwimu hii inaonyesha grafu ya kazi mbili. Kazi ya kwanza f ya x sawa na 4 kwa nguvu x ni alama katika bluu na inalingana na Curve ambayo hupita kupitia pointi (hasi 1, 1 juu ya 4), (0, 1) na (1, 4). Kazi ya pili g ya x sawa na 4 hadi nguvu x minus 2 ni alama nyekundu na hupita kupitia pointi (hasi 1, hasi 7 juu ya 4), (0, hasi 1), na (1, 2).
    Kielelezo 10.2.19

    Kuangalia grafu ya kazi\(f(x)=3^{x}\) na\(g(x)=3^{x}−2\) katika mfano wa mwisho, tunaona kwamba kuondoa\(2\) imesababisha mabadiliko ya wima ya vitengo viwili. Angalia kwamba asymptote ya usawa pia imebadilishwa\(2\) vitengo. Kutambua ruwaza hii inatuwezesha kuunda kazi zingine na muundo sawa na tafsiri.
    Yote ya kazi zetu kielelezo kuwa na ama integer au idadi ya busara kama msingi. Sasa tutaangalia kazi ya kielelezo na idadi isiyo ya kawaida kama msingi.

    Kabla ya kuangalia kazi hii kielelezo, tunahitaji kufafanua idadi irrational,\(e\). Nambari hii hutumiwa kama msingi katika maombi mengi katika sayansi na biashara ambazo zinatokana na kazi za kielelezo. idadi hufafanuliwa kama thamani ya\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\) kama\(n\) anapata kubwa na kubwa. Tunasema, kama\(n\) mbinu infinity, au kuongezeka bila amefungwa. Jedwali linaonyesha thamani\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\) ya maadili kadhaa ya\(n\).

    \(n\) \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\)
    \ (n\) ">\(1\) \ (\ kushoto (1+\ frac {1} {n}\ kulia) ^ {n}\) ">\(2\)
    \ (n\) ">\(2\) \ (\ kushoto (1+\ frac {1} {n}\ kulia) ^ {n}\) ">\(2.25\)
    \ (n\) ">\(5\) \ (\ kushoto (1+\ frac {1} {n}\ kulia) ^ {n}\) ">\(2.48832\)
    \ (n\) ">\(10\) \ (\ kushoto (1+\ frac {1} {n}\ kulia) ^ {n}\) ">\(2.59374246\)
    \ (n\) ">\(100\) \ (\ kushoto (1+\ frac {1} {n}\ kulia) ^ {n}\) ">\(2.704813829 \ldots\)
    \ (n\) ">\(1,000\) \ (\ kushoto (1+\ frac {1} {n}\ kulia) ^ {n}\) ">\(2.716923932 \ldots\)
    \ (n\) ">\(10,000\) \ (\ kushoto (1+\ frac {1} {n}\ kulia) ^ {n}\) ">\(2.718145927 \ldots\)
    \ (n\) ">\(100,000\) \ (\ kushoto (1+\ frac {1} {n}\ kulia) ^ {n}\) ">\(2.718268237 \ldots\)
    \ (n\) ">\(1,000,000\) \ (\ kushoto (1+\ frac {1} {n}\ kulia) ^ {n}\) ">\(2.718280469 \ldots\)
    \ (n\) ">\(1,000,000,000\) \ (\ kushoto (1+\ frac {1} {n}\ kulia) ^ {n}\) ">\(2.718281827 \ldots\)
    Jedwali 10.2.3

    \(e \approx 2.718281827\)

    Nambari\(e\) ni kama namba\(π\) kwa kuwa tunatumia alama kuiwakilisha kwa sababu uwakilishi wake wa decimal hauacha au kurudia. Nambari isiyo ya kawaida\(e\) inaitwa msingi wa asili.

    Ufafanuzi\(\PageIndex{2}\)

    Msingi wa asili\(e\)

    idadi\(e\) hufafanuliwa kama thamani ya\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\), kama\(n\) ongezeko bila amefungwa. Tunasema, kama\(n\) mbinu infinity,

    \(e \approx 2.718281827\)

    Kazi ya kielelezo ambayo msingi wake ni\(e\),\(f(x)=e^{x}\) inaitwa kazi ya asili ya kielelezo.

    Ufafanuzi\(\PageIndex{3}\)

    Kazi ya kielelezo ya asili

    Kazi ya kielelezo ya asili ni kazi ya kielelezo ambayo msingi wake ni\(e\)

    \(f(x)=e^{x}\)

    Kikoa ni\((−∞,∞)\) na upeo ni\((0,∞)\).

    Hebu graph kazi\(f(x)=e^{x}\) kwenye mfumo huo kuratibu kama\(g(x)=2^{x}\) na\(h(x)=3^{x}\).

    Takwimu hii inaonyesha grafu ya kazi tatu. Kazi ya kwanza, f ya x sawa na 2 kwa x, imewekwa katika nyekundu na hupita kupitia pointi (hasi 1, hasi 1 juu ya 2), (0, hasi 1), na (2, 1). Kazi ya pili, f ya x sawa na 3 kwa nguvu x, ni alama ya kijani na inalingana na Curve ambayo hupita kupitia pointi (hasi 1, 1 juu ya 3), (0, 1) na (1, 3). Kazi ya tatu, f ya x sawa na e kwa nguvu x, imewekwa katika bluu na inalingana na safu inayopita kupitia pointi (hasi 1, 1 juu ya e), (0, 1) na (0, e).
    Kielelezo 10.2.20

    Kumbuka kwamba grafu ya\(f(x)=e^{x}\) ni “kati ya” grafu ya\(g(x)=2^{x}\) na\(h(x)=3^{x}\) .Je, hii ina maana kama\(2<e<3\)?

    Kutatua equations kielelezo

    Ulinganyo unaojumuisha usemi wa kielelezo\(a^{x}\) huitwa equations ya kielelezo. Ili kuyatatua tunatumia mali ambayo inasema kwa muda mrefu kama\(a>0\) na\(a≠1\), ikiwa\(a^{x}=a^{y}\) basi ni kweli kwamba\(x=y\). Kwa maneno mengine, katika equation kielelezo, kama besi ni sawa basi exponents ni sawa.

    Ufafanuzi\(\PageIndex{4}\)

    Mali moja kwa moja ya Ulinganisho wa Kielelezo

    Kwa\(a>0\) na\(a≠1\),

    Ikiwa\(a^{x}=a^{y}\), basi\(x=y\).

    Ili kutumia mali hii, lazima tuwe na hakika kwamba pande zote mbili za equation zimeandikwa kwa msingi sawa.

    Mfano\(\PageIndex{5}\) How to Solve an Exponential Equation

    Kutatua:\(3^{2 x-5}=27\).

    Suluhisho:

    Hatua ya 1: Andika pande zote mbili za equation na msingi sawa. Kwa kuwa upande wa kushoto una msingi\(3\), tunaandika upande wa kulia na msingi\(3\). \(27=3^{3}\) \(3^{2 x-5}=27\)
    \(3^{2 x-5}=3^{3}\)
    Hatua ya 2: Andika equation mpya kwa kuweka exponents sawa. Kwa kuwa besi ni sawa, watazamaji lazima wawe sawa. \(2x-5=3\)
    Hatua ya 3: Tatua equation.

    \(5\)Ongeza kila upande.

    Gawanya na\(2\).

    		 \(\begin{aligned} 2 x &=8 \\ x &=4 \end{aligned}\)
    Hatua ya 4: Angalia suluhisho. Mbadala\(x=4\) katika equation ya awali. \(\begin{aligned} 3^{2 x-5} &=27 \\ 3^{2 \cdot \color{red}{4}\color{black}{-}5} & \stackrel{?}{=} 27 \\ 3^{3} &\stackrel{?}{=}27 \\ 27 &=27 \end{aligned}\)
    Jedwali 10.2.4
    Zoezi\(\PageIndex{9}\)

    Kutatua:\(3^{3 x-2}=81\).

    Jibu

    \(x=2\)

    Zoezi\(\PageIndex{10}\)

    Kutatua:\(7^{x-3}=7\).

    Jibu

    \(x=4\)

    Hatua hizi zimefupishwa hapa chini.

    Jinsi ya Kutatua Kazi ya Kielelezo

    1. Andika pande zote mbili za equation na msingi huo, ikiwa inawezekana.
    2. Andika equation mpya kwa kuweka exponents sawa.
    3. Kutatua equation.
    4. Angalia suluhisho.

    Katika mfano unaofuata, tutatumia mali zetu kwenye vielelezo.

    Mfano\(\PageIndex{6}\)

    Kutatua\(\frac{e^{x^{2}}}{e^{3}}=e^{2 x}\).

    Suluhisho:

      \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{3}}=e^{2 x}\)
    Matumizi Mali ya Exponents:\(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\). \(e^{x^{2}-3}=e^{2 x}\)
    Andika equation mpya kwa kuweka exponents sawa. \(x^{2}-3=2 x\)
    Kutatua equation. \(x^{2}-2 x-3=0\)
      \((x-3)(x+1)=0\)
      \(x=3, x=-1\)
    Angalia ufumbuzi.  
    .  
    Jedwali 10.2.5
    Zoezi\(\PageIndex{11}\)

    Kutatua:\(\frac{e^{x^{2}}}{e^{x}}=e^{2}\).

    Jibu

    \(x=-1, x=2\)

    Zoezi\(\PageIndex{12}\)

    Kutatua:\(\frac{e^{x^{2}}}{e^{x}}=e^{6}\).

    Jibu

    \(x=-2, x=3\)

    Tumia Mifano ya Kielelezo katika Maombi

    Kazi za kielelezo zinaonyesha hali nyingi. Ikiwa una akaunti ya benki, umepata matumizi ya kazi ya kielelezo. Kuna kanuni mbili zinazotumiwa kuamua usawa katika akaunti wakati riba inapopatikana. Kama mkuu,\(P\), imewekeza kwa kiwango cha riba\(r\), kwa\(t\) miaka, usawa mpya\(A\), itategemea jinsi mara nyingi maslahi ni imezungukwa. Ikiwa riba ni\(n\) mara nyingi kwa mwaka tunatumia formula\(A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}\). Ikiwa maslahi yanajumuishwa kwa kuendelea, tunatumia formula\(A=Pe^{rt}\). Hizi ni kanuni za maslahi ya kiwanja.

    Ufafanuzi\(\PageIndex{5}\)

    Kiwanja maslahi

    Kwa mkuu\(P\), imewekeza katika kiwango cha riba\(r\),, kwa\(t\) miaka, usawa mpya\(A\), ni:

    \(\begin{array}{ll}{A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}\)

    Unapofanya kazi na fomu za riba, mara nyingi husaidia kutambua maadili ya vigezo kwanza na kisha kuzibadilisha katika fomu.

    Mfano\(\PageIndex{7}\)

    Jumla ya $\(10,000\) iliwekeza katika mfuko wa chuo kwa mjukuu mpya. Ikiwa kiwango cha riba ni\(5\)%, ni kiasi gani kitakuwa katika akaunti kwa\(18\) miaka kwa kila njia ya kuimarisha?

    1. kiwanja robo mwaka
    2. kiwanja kila mwezi
    3. kiwanja kuendelea

    Suluhisho:

    Tambua maadili ya kila kutofautiana katika fomu. Kumbuka kueleza asilimia kama decimal.

    \(\begin{aligned} A &=? \\ P &=\$ 10,000 \\ r &=0.05 \\ t &=18 \text { years } \end{aligned}\)

    a. kwa robo mwaka compounding,\(n=4\). Kuna\(4\) robo kwa mwaka.

    \(A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}\)

    Weka maadili katika formula.

    \(A=10,000\left(1+\frac{0.05}{4}\right)^{4 \cdot 18}\)

    Kokotoa kiasi. Kuwa makini kuzingatia utaratibu wa shughuli kama wewe kuingia kujieleza katika calculator yako.

    \(A=\$ 24,459.20\)

    b Kwa kuchanganya kila mwezi,\(n=12\) .Kuna\(12\) miezi kwa mwaka.

    \(A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}\)

    Weka maadili katika formula.

    \(A=10,000\left(1+\frac{0.05}{12}\right)^{12 \cdot 18}\)

    Kokotoa kiasi.

    \(A=\$ 24,550.08\)

    c Kwa kuchanganya kuendelea,

    \(A=P e^{r t}\)

    Weka maadili katika formula.

    \(A=10,000 e^{0.05 \cdot 18}\)

    Kokotoa kiasi.

    \(A=\$ 24,596.03\)

    Zoezi\(\PageIndex{13}\)

    Angela imewekeza $\(15,000\) katika akaunti ya akiba. Ikiwa kiwango cha riba ni\(4\)%, ni kiasi gani kitakuwa katika akaunti kwa\(10\) miaka kwa kila njia ya kuimarisha?

    1. kiwanja robo mwaka
    2. kiwanja kila mwezi
    3. kiwanja kuendelea
    Jibu
    1. $\(22,332.96\)
    2. $\(22,362.49\)
    3. $\(22,377.37\)
    Zoezi\(\PageIndex{14}\)

    Allan imewekeza $\(10,000\) katika mfuko wa kuheshimiana. Ikiwa kiwango cha riba ni\(5\)%, ni kiasi gani kitakuwa katika akaunti kwa\(15\) miaka kwa kila njia ya kuimarisha?

    1. kiwanja robo mwaka
    2. kiwanja kila mwezi
    3. kiwanja kuendelea
    Jibu
    1. $\(21,071.81\)
    2. $\(21,137.04\)
    3. $\(21,170.00\)

    Mada nyingine ambazo zinatokana na kazi za kielelezo zinahusisha ukuaji na kuoza. Wote pia hutumia formula\(A=Pe^{rt}\) tuliyotumia kwa ukuaji wa fedha. Kwa ukuaji na kuoza, kwa ujumla tunatumia\(A_{0}\), kama kiasi cha awali badala ya kuiita\(P\), mkuu. Tunaona kwamba ukuaji wa kielelezo una kiwango chanya cha ukuaji na kuoza kwa kielelezo kuna kiwango hasi cha ukuaji.

    Ufafanuzi\(\PageIndex{6}\)

    Ukuaji wa Kielelezo na Kuoza

    Kwa kiasi cha awali,\(A_{0}\), kwamba kukua au kuoza kwa kiwango\(r\),, kwa muda fulani\(t\),, kiasi cha mwisho\(A\), ni:

    \(A=A_{0} e^{r t}\)

    Ukuaji wa kielelezo ni kawaida kuonekana katika ukuaji wa watu wa binadamu au wanyama au bakteria. Mfano wetu unaofuata unaangalia ukuaji wa virusi.

    Mfano\(\PageIndex{8}\)

    Chris ni mtafiti katika Kituo cha Kudhibiti na Kuzuia Magonjwa na anajaribu kuelewa tabia ya virusi mpya na hatari. Anaanza majaribio yake\(100\) ya virusi vinavyokua kwa kiwango cha\(25\)% kwa saa. Ataangalia virusi kwa\(24\) masaa. Atapata virusi ngapi?

    Suluhisho:

    Tambua maadili ya kila kutofautiana katika fomu. Hakikisha kuweka asilimia katika fomu ya decimal. Kuwa na uhakika vitengo mechi-kiwango ni kwa saa na wakati ni katika masaa.

    \(\begin{aligned} A &=? \\ A_{0} &=100 \\ r &=0.25 / \text { hour } \\ t &=24 \text { hours } \end{aligned}\)

    Weka maadili katika formula:\(A=A_{0} e^{r t}\).

    \(A=100 e^{0.25 \cdot 24}\)

    Kokotoa kiasi.

    \(A=40,342.88\)

    Pande zote kwa virusi vyote vya karibu.

    \(A=40,343\)

    Mtafiti atapata\(40,343\) virusi.

    Zoezi\(\PageIndex{15}\)

    Mtafiti mwingine katika Kituo cha Kudhibiti na Kuzuia Magonjwa, Lisa, anajifunza ukuaji wa bakteria. Anaanza majaribio yake na\(50\) ya bakteria ambayo inakua kwa kiwango cha\(15\)% kwa saa. Ataangalia bakteria kila\(8\) masaa. Ni bakteria ngapi atakayopata kwa\(8\) masaa?

    Jibu

    Atapata\(166\) bakteria.

    Zoezi\(\PageIndex{16}\)

    Maria, mwanabiolojia anaangalia muundo wa ukuaji wa virusi. Anaanza na\(100\) virusi vinavyokua kwa kiwango cha\(10\)% kwa saa. Ataangalia virusi kwa\(24\) masaa. Je! Atapata virusi ngapi?

    Jibu

    Atapata\(1,102\) virusi.

    Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na kutathmini na kuchora kazi za kielelezo.

    Dhana muhimu

    • Mali ya Grafu ya\(f(x)=a^{x}\):
    Wakati\(a>1\) Wakati\(0<a<1\)
    \ (a"> 1\) ">Domain \((-\infty, \infty)\) \ (0<a <1\) ">Domain \((-\infty, \infty)\)
    \ (a"> 1\) "> Range \((0, \infty)\) \ (0<a <1\) "> Mbalimbali \((0, \infty)\)
    \ (a"> 1\) ">\(x\) - kukatiza hakuna \ (0<a <1\) ">\(x\) -kukatiza hakuna
    \ (a"> 1\) ">\(y\) - kukatiza \((0,1)\) \ (0<a <1\) ">\(y\) -kukatiza \((0,1)\)
    \ (a” > 1\) "> Ina \((1, a),\left(-1, \frac{1}{a}\right)\) \ (0 <a <1\) ">Ina \((1, a),\left(-1, \frac{1}{a}\right)\)
    \ (a” > 1\) "> Dalili

    \(x\)-axis, mstari\(y=0\)

    		 \ (0 <a <1\) "> Dalili \(x\)-axis, mstari\(y=0\)
    \ (a"> 1\) "> Sura ya Msingi kuongezeka \ (0<a <1\) "> Sura ya Msingi kupungua
    Jedwali 10.2.2
    Takwimu hii ina sehemu mbili. Kwenye upande wa kushoto, tuna Curve kwamba hupita kupitia (hasi 1, 1 juu ya) kupitia (0, 1) kwa (1, a). Kwenye haki, ambapo inajulikana kuwa chini ya 1, tuna Curve ambayo hupita kupitia (hasi 1, 1 juu ya a) kupitia (0, 1) kwa (1, a).
    Kielelezo 10.2.11
    • Mali moja kwa moja ya Ulinganisho wa Kielelezo:
      Kwa\(a>0\) na\(a≠1\),

      \(A=A_{0} e^{r t}\)

    • Jinsi ya Kutatua Equation Kielelezo
      1. Andika pande zote mbili za equation na msingi huo, ikiwa inawezekana.
      2. Andika equation mpya kwa kuweka exponents sawa.
      3. Kutatua equation.
      4. Angalia suluhisho.
    • Kiwanja riba: Kwa mkuu\(P\), imewekeza katika kiwango cha riba\(r\), kwa\(t\) miaka, usawa mpya\(A\), ni
      \(\begin{array}{ll}{A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}\)
    • Kielelezo Ukuaji na kuoza: Kwa kiasi awali,\(A_{0}\) kwamba kukua au kuoza kwa kiwango\(r\), kwa muda fulani\(t\), kiasi cha mwisho\(A\), ni\(A=A_{0}e^{rt}\).

    faharasa

    isiyo ya kawaida
    Mstari ambao graph ya kazi inakaribia kwa karibu lakini kamwe inagusa.
    kazi ya kielelezo
    Kazi ya kielelezo, wapi\(a>0\) na\(a≠1\), ni kazi ya fomu\(f(x)=a^{x}\).
    msingi wa asili
    idadi\(e\) hufafanuliwa kama thamani ya\((1+\frac{1}{n})^{n}\), kama\(n\) anapata kubwa na kubwa. Tunasema, kama\(n\) ongezeko bila kufungwa,\(e≈2.718281827...\)
    kazi ya asili ya kielelezo
    Kazi ya kielelezo ya asili ni kazi ya kielelezo ambayo msingi wake ni\(e\):\(f(x)=e^{x}\). Kikoa ni\((−∞,∞)\) na upeo ni\((0,∞)\).