10.2: Kutafuta Kazi za Composite na Inverse
- Page ID
- 176301
Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:
- Kupata na kutathmini kazi Composite
- Kuamua kama kazi ni moja kwa moja
- Pata inverse ya kazi
Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.
- Ikiwa\(f(x)=2 x-3\) na\(g(x)=x^{2}+2 x-3\), tafuta\(f(4)\).
Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 3.48. - Kutatua kwa\(x\),\(3x+2y=12\).
Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 2.31. - Kurahisisha:\(5 \frac{(x+4)}{5}-4\).
Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 1.25.
Katika sura hii, tutaanzisha aina mbili mpya za kazi, kazi za kielelezo na kazi za logarithmic. Kazi hizi hutumiwa sana katika biashara na sayansi kama tutakavyoona.
Pata na Tathmini Kazi za Composite
Kabla ya kuanzisha kazi, tunahitaji kuangalia operesheni nyingine juu ya kazi inayoitwa utungaji. Katika muundo, pato la kazi moja ni pembejeo ya kazi ya pili. Kwa kazi\(f\) na\(g\), muundo umeandikwa\(f∘g\) na hufafanuliwa na\((f∘g)(x)=f(g(x))\).
Tunasoma\(f(g(x))\) kama “\(f\)\(g\)ya\(x\).”
Kwa kufanya muundo, pato la kazi ya kwanza\(g(x)\), inakuwa pembejeo ya kazi ya pili,\(f\), na hivyo ni lazima kuwa na uhakika kwamba ni sehemu ya uwanja wa\(f\).
Utungaji wa kazi\(f\) na\(g\) umeandikwa\(f \cdot g\) na hufafanuliwa na
\((f \circ g)(x)=f(g(x))\)
Tunasoma\(f(g(x))\) kama\(f\)\(g\) ya\(x\).
Sisi kwa kweli kutumika utungaji bila kutumia nukuu mara nyingi kabla. Wakati sisi graphed kazi quadratic kutumia tafsiri, tulikuwa kutunga kazi. Kwa mfano, kama sisi kwanza graphed\(g(x)=x^{2}\) kama parabola na kisha kubadilishwa chini wima vitengo nne, tulikuwa kutumia utungaji inavyoelezwa na\((f∘g)(x)=f(g(x))\) wapi\(f(x)=x−4\).
Kwa kazi\(f(x)=4x-5\) na\(g(x)=2x+3\), tafuta
- \((f \circ g)(x)\)
- \((g \circ f)(x)\)
- \((f \cdot g)(x)\)
Suluhisho:
-
Tumia ufafanuzi wa\((f \circ g)(x)\). 
Kusambaza. 
Kurahisisha. 
Jedwali 10.1.1 -
Tumia ufafanuzi wa\((f \circ g)(x)\). 
Kusambaza. 
Kurahisisha. 
Jedwali 10.1.2
Angalia tofauti katika matokeo katika sehemu a. na sehemu b.
c. taarifa kwamba\((f \cdot g)(x)\) ni tofauti na\((f \circ g)(x)\). Katika sehemu ya a. tulifanya muundo wa kazi. Sasa katika sehemu c. hatuwaandishi, tunawazidisha.
Tumia ufafanuzi wa\((f \cdot g)(x)\).
\((f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x)\)
Mbadala\(f(x)=4 x-5\) na\(g(x)=2 x+3\).
\((f \cdot g)(x)=(4 x-5) \cdot(2 x+3)\)
Kuzidisha.
\((f \cdot g)(x)=8 x^{2}+2 x-15\)
Kwa kazi\(f(x)=3x-2\) na\(g(x)=5x+1\), tafuta
- \((f \circ g)(x)\)
- \((g \circ f)(x)\)
- \((f \cdot g)(x)\)
- Jibu
-
- \(15x+1\)
- \(15x-9\)
- \(15 x^{2}-7 x-2\)
Kwa kazi\(f(x)=4 x-3\), na\(g(x)=6x-5\), tafuta
- \((f \circ g)(x)\)
- \((g \circ f)(x)\)
- \((f \cdot g)(x)\)
- Jibu
-
- \(24 x-23\)
- \(24 x-23\)
- \(24 x^{2}-38 x+15\)
Katika mfano unaofuata tutatathmini muundo kwa thamani maalum.
Kwa kazi\(f(x)=x^{2}-4\), na\(g(x)=3 x+2\), tafuta:
- \((f \circ g)(-3)\)
- \((g \circ f)(-1)\)
- \((f \circ f)(2)\)
Suluhisho:
-
Tumia ufafanuzi wa\((f \circ g)(-3)\). 
Kurahisisha. 
Kurahisisha. 
Jedwali 10.1.3 -
Tumia ufafanuzi wa\((g \circ f)(-1)\). 
Kurahisisha. 
Kurahisisha. 
Jedwali 10.1.4 -
Tumia ufafanuzi wa\((f \circ f)(2)\). 
Kurahisisha. 
Kurahisisha. 
Jedwali 10.1.5
Kwa kazi\(f(x)=x^{2}-9\), na\(g(x)=2x+5\), tafuta
- \((f \circ g)(-2)\)
- \((g \circ f)(-3)\)
- \((f \circ f)(4)\)
- Jibu
-
- \(-8\)
- \(5\)
- \(40\)
Kwa kazi\(f(x)=x^{2}+1\), na\(g(x)=3x-5\), tafuta
- \((f \circ g)(-1)\)
- \((g \circ f)(2)\)
- \((f \circ f)(-1)\)
- Jibu
-
- \(65\)
- \(10\)
- \(5\)
Kuamua Kama Kazi ni moja kwa moja
Wakati sisi kwanza ilianzisha kazi, tulivyosema kazi ni uhusiano kwamba inateua kwa kila kipengele katika uwanja wake hasa kipengele moja katika aina mbalimbali. Kwa kila jozi kuamuru katika uhusiano, kila\(x\) -thamani ni kuendana na moja tu\(y\) -thamani.
Tulitumia mfano wa kuzaliwa ili kutusaidia kuelewa ufafanuzi. Kila mtu ana siku ya kuzaliwa, lakini hakuna mtu ana siku mbili za kuzaliwa na ni sawa kwa watu wawili kushiriki siku ya kuzaliwa. Kwa kuwa kila mtu ana siku moja ya kuzaliwa, uhusiano huo ni kazi.
Kazi ni moja kwa moja ikiwa kila thamani katika upeo ina kipengele kimoja katika kikoa. Kwa kila jozi kuamuru katika kazi, kila y -thamani ni kuendana na moja tu\(x\) -thamani.
Mfano wetu wa uhusiano wa siku ya kuzaliwa sio kazi moja kwa moja. Watu wawili wanaweza kushiriki siku hiyo ya kuzaliwa. Thamani ya Agosti 2 ni siku ya kuzaliwa ya Liz na Juni, na hivyo thamani moja ya aina ina maadili mawili ya kikoa. Kwa hiyo, kazi sio moja kwa moja.
Kazi ni moja kwa moja ikiwa kila thamani katika upeo inalingana na kipengele kimoja katika kikoa. Kwa kila jozi kuamuru katika kazi, kila\(y\) -thamani ni kuendana na moja tu\(x\) -thamani. Hakuna\(y\) maadili ya mara kwa mara.
Kwa kila seti ya jozi zilizoamriwa, onyesha ikiwa inawakilisha kazi na, ikiwa ni hivyo, ikiwa kazi ni moja kwa moja.
- \(\{(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)\}\)
- \(\{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)\}\)
Suluhisho:
- \(\{(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)\}\)
Kila\(x\) -thamani ni kuendana na moja tu\(y\) -thamani. Hivyo uhusiano huu ni kazi.
Lakini kila\(y\) -thamani haijaunganishwa na\(x\) thamani moja tu,\((−3,27)\) na\((3,27)\), kwa mfano. Hivyo kazi hii si moja kwa moja.
- \(\{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)\}\)
Kila\(x\) -thamani ni kuendana na moja tu\(y\) -thamani. Hivyo uhusiano huu ni kazi.
Kwa kuwa kila\(y\) thamani ni paired na moja tu\(x\) -thamani, kazi hii ni moja kwa moja.
Kwa kila seti ya jozi kuamuru, kuamua kama inawakilisha kazi na kama ni hivyo, ni kazi moja kwa moja.
- \(\{(-3,-6),(-2,-4),(-1,-2),(0,0),(1,2),(2,4),(3,6)\}\)
- \(\{(-4,8),(-2,4),(-1,2),(0,0),(1,2),(2,4),(4,8)\}\)
- Jibu
-
- Kazi moja kwa moja
- Kazi; si moja kwa moja
Kwa kila seti ya jozi kuamuru, kuamua kama inawakilisha kazi na kama ni hivyo, ni kazi moja kwa moja.
- \(\{(27,-3),(8,-2),(1,-1),(0,0),(1,1),(8,2),(27,3)\}\)
- \(\{(7,-3),(-5,-4),(8,0),(0,0),(-6,4),(-2,2),(-1,3)\}\)
- Jibu
-
- Si kazi
- Kazi; si moja kwa moja
Ili kutusaidia kuamua kama uhusiano ni kazi, tunatumia mtihani wa mstari wa wima. Seti ya pointi katika mfumo wa kuratibu mstatili ni grafu ya kazi ikiwa kila mstari wa wima unaingilia grafu katika hatua moja zaidi. Pia, ikiwa mstari wowote wa wima unaingilia grafu kwa hatua zaidi ya moja, grafu haiwakilishi kazi.
Mstari wa wima unawakilisha\(x\) -value na tunaangalia kwamba inakabiliana na grafu kwa\(y\) thamani moja tu. Kisha ni kazi.
Kuangalia kama kazi ni moja kwa moja, tunatumia mchakato sawa. Tunatumia mstari usio na usawa na uangalie kwamba kila mstari wa usawa unaingilia grafu kwa hatua moja tu. Mstari wa usawa unawakilisha\(y\) -value na tunaangalia kwamba inakabiliana na grafu kwa\(x\) thamani moja tu. Ikiwa kila mstari wa usawa unaingilia grafu ya kazi katika hatua moja zaidi, ni kazi moja kwa moja. Hii ni mtihani wa mstari usio na usawa.
Mtihani wa mstari wa usawa
Ikiwa kila mstari wa usawa unaingilia grafu ya kazi katika hatua moja zaidi, ni kazi moja kwa moja.
Tunaweza kupima kama grafu ya uhusiano ni kazi kwa kutumia mtihani wa mstari wa wima. Tunaweza kisha kujua kama kazi ni moja kwa moja kwa kutumia usawa line mtihani.
Kuamua
- kama kila grafu ni grafu ya kazi na, ikiwa ni hivyo,
- ikiwa ni moja kwa moja
Suluhisho:
Kielelezo 10.1.40
Kwa kuwa mstari wowote wa wima unaingilia grafu katika hatua moja zaidi, grafu ni grafu ya kazi. Kwa kuwa mstari wowote wa usawa unaingilia grafu katika hatua moja zaidi, grafu ni grafu ya kazi moja kwa moja.
b.
Kwa kuwa mstari wowote wa wima unaingilia grafu katika hatua moja zaidi, grafu ni grafu ya kazi. Mstari wa usawa unaoonyeshwa kwenye grafu unaiingiza kwa pointi mbili. Grafu hii haiwakilishi kazi moja kwa moja.
Kuamua
- kama kila grafu ni grafu ya kazi na, ikiwa ni hivyo,
- ikiwa ni moja kwa moja
- Jibu
-
- Si kazi
- Kazi moja kwa moja
Kuamua
- kama kila grafu ni grafu ya kazi na, ikiwa ni hivyo,
- ikiwa ni moja kwa moja
- Jibu
-
- Kazi; si moja kwa moja
- Kazi moja kwa moja
Pata Inverse ya Kazi
Hebu tuangalie kazi moja hadi moja\(f\), iliyowakilishwa na jozi zilizoamriwa\(\{(0,5),(1,6),(2,7),(3,8)\}\). Kwa kila\(x\) -thamani,\(f\) anaongeza\(5\) kupata\(y\) -thamani. Kwa 'tengua' nyongeza ya\(5\), sisi Ondoa\(5\) kutoka kila\(y\) thamani na kupata nyuma ya awali\(x\) -thamani. Tunaweza kuwaita hii “kuchukua inverse ya\(f\)” na jina kazi\(f^{−1}\).
Kumbuka kwamba jozi awali ya\(f\) na\(f^{−1}\) kuwa na wao\(x\) -maadili na\(y\) -maadili kuachwa. uwanja wa\(f\) ni mbalimbali ya\(f^{−1}\) na uwanja wa\(f^{−1}\) ni mbalimbali ya\(f\).
Inverse ya Kazi iliyoelezwa na Jozi zilizoamriwa
Ikiwa\(f(x)\) ni kazi moja kwa moja ambayo jozi zilizoamriwa ni za fomu\((x,y)\), basi kazi yake ya inverse\(f^{−1}(x)\) ni seti ya jozi zilizoamriwa\((y,x)\).
Katika mfano unaofuata tutapata inverse ya kazi inavyoelezwa na jozi zilizoamriwa.
Pata inverse ya kazi\(\{(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)\}\). Tambua kikoa na upeo wa kazi ya inverse.
Suluhisho:
Kazi hii ni moja kwa moja tangu kila\(x\) thamani ni paired na hasa moja\(y\) -thamani.
Ili kupata inverse sisi reverse\(x\) -maadili na\(y\) -maadili katika jozi amri ya kazi.
\(\begin{array}{ll} {\text{Function}}&{\{(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)\}} \\ {\text{Inverse Function}}& {\{(3,0), (5,1), (7,2), (9,3)\}} \\ {\text{Domain of Inverse Function}}&{\{3, 5, 7, 9\}} \\ {\text{Range of Inverse Function}}&{\{0, 1, 2, 3\}} \end{array}\)
Kupata inverse ya\(\{(0,4),(1,7),(2,10),(3,13)\}\). Tambua kikoa na upeo wa kazi ya inverse.
- Jibu
-
Inverse kazi:\(\{(4,0),(7,1),(10,2),(13,3)\}\). Domain:\(\{4,7,10,13\}\). Mipangilio:\(\{0,1,2,3\}\).
Kupata inverse ya\(\{(-1,4),(-2,1),(-3,0),(-4,2)\}\). Tambua kikoa na upeo wa kazi ya inverse.
- Jibu
-
Inverse kazi:\(\{(4,-1),(1,-2),(0,-3),(2,-4)\}\). Domain:\(\{0,1,2,4\}\). Mipangilio:\(\{-4,-3,-2,-1\}\).
Tulibainisha tu kwamba ikiwa\(f(x)\) ni kazi moja kwa moja ambayo jozi zilizoamriwa ni za fomu\((x,y)\), basi kazi yake ya inverse\(f^{−1}(x)\) ni seti ya jozi zilizoamriwa\((y,x)\).
Hivyo kama uhakika\((a,b)\) ni juu ya grafu ya kazi\(f(x)\), basi jozi kuamuru\((b,a)\) ni juu ya grafu ya\(f^{−1}(x)\). Angalia Kielelezo 10.1.43.
Umbali kati ya jozi mbili\((a,b)\) na\((b,a)\) hukatwa kwa nusu na mstari\(y=x\). Kwa hiyo tunasema pointi ni picha za kioo za kila mmoja kupitia mstari\(y=x\).
Kwa kuwa kila hatua kwenye graph ya kazi\(f(x)\) ni kioo picha ya uhakika juu ya grafu ya\(f^{−1}(x)\), tunasema grafu ni kioo picha ya kila mmoja kwa njia ya mstari\(y=x\). Tutatumia dhana hii kwa graph inverse ya kazi katika mfano unaofuata.
Grafu, kwenye mfumo huo wa kuratibu, inverse ya kazi moja hadi moja iliyoonyeshwa.
Suluhisho:
Tunaweza kutumia pointi kwenye grafu ili kupata pointi kwenye grafu ya inverse. Baadhi ya pointi kwenye grafu ni:\((−5,−3),(−3,−1),(−1,0),(0,2),(3,4)\).
Hivyo, kazi inverse itakuwa na pointi:\((−3,−5),(−1,−3),(0,−1),(2,0),(4,3)\).
Angalia jinsi grafu ya kazi ya awali na grafu ya kazi za inverse ni picha za kioo kupitia mstari\(y=x\).
Grafu, kwenye mfumo huo wa kuratibu, inverse ya kazi moja hadi moja.
- Jibu
-
Kielelezo 10.1.49
Grafu, kwenye mfumo huo wa kuratibu, inverse ya kazi moja hadi moja.
- Jibu
-
Kielelezo 10.1.51
Tulipoanza majadiliano yetu ya kazi inverse, sisi kuongea kuhusu jinsi kazi inverse 'undoes' nini kazi ya awali alifanya kwa thamani katika uwanja wake ili kupata nyuma ya awali\(x\) -thamani.
Kazi za Inverse
\(f^{-1}(f(x))=x\), kwa wote\(x\) katika uwanja wa\(f\)
\(f\left(f^{-1}(x)\right)=x\), kwa wote\(x\) katika uwanja wa\(f^{-1}\)
Tunaweza kutumia mali hii ili kuthibitisha kwamba kazi mbili ni inverses ya kila mmoja.
Thibitisha kwamba\(f(x)=5x−1\) na\(g(x)=\frac{x+1}{5}\) ni kazi inverse.
Suluhisho:
Kazi ni inverses ya kila mmoja ikiwa\(g(f(x))=x\) na\(f(g(x))=x\).
 |
|
| Badilisha\(5x-1\) kwa ajili ya\(f(x)\). |  |
 |
 |
| Kurahisisha. |  |
| Kurahisisha. | 
|
| Mbadala\(\frac{x+1}{5}\) kwa ajili ya\(g(x)\). |  |
 |
 |
| Kurahisisha. |  |
| Kurahisisha. |  |
Kwa kuwa wote wawili\(g(f(x))=x\) na\(f(g(x))=x\) ni kweli, kazi\(f(x)=5x−1\) na\(g(x)=\frac{x+1}{5}\) ni kazi inverse. Hiyo ni, wao ni inverses ya kila mmoja.
Thibitisha kwamba kazi ni kazi za kinyume. \(f(x)=4 x-3\)na\(g(x)=\frac{x+3}{4}\).
- Jibu
-
\(g(f(x))=x\), na\(f(g(x))=x\), hivyo ni inverses.
Thibitisha kwamba kazi ni kazi za kinyume. \(f(x)=2 x+6\)na\(g(x)=\frac{x-6}{2}\)
- Jibu
-
\(g(f(x))=x,\)na\(f(g(x))=x,\) hivyo wao ni inverses.
Tumegundua inverses ya kazi inavyoelezwa na jozi kuamuru na kutoka grafu. Sisi sasa kuangalia jinsi ya kupata inverse kutumia equation algebraic. Njia hutumia wazo kwamba ikiwa\(f(x)\) ni kazi moja kwa moja na jozi zilizoamriwa\((x,y)\), basi kazi yake ya inverse\(f^{−1}(x)\) ni seti ya jozi zilizoamriwa\((y,x)\).
Kama sisi kubadili\(x\) na\(y\) katika kazi na kisha kutatua kwa\(y\), sisi kupata kazi yetu inverse.
Kupata inverse ya\(f(x)=4 x+7\).
Suluhisho:
| Hatua ya 1. Mbadala\(y\) kwa ajili ya\(f(x)\). | Badilisha nafasi\(f(x)\) na\(y\). | \(\begin{aligned} f(x) &=4 x+7 \\ y &=4 x+7 \end{aligned}\) |
| Hatua ya 2: Kubadilishana vigezo\(x\) na\(y\). | Badilisha nafasi\(x\)\(y\) na kisha\(y\) kwa\(x\). | \(x=4y+7\) |
| hatua 3: Kutatua kwa\(y\). |
Ondoa\(7\) kutoka kila upande. Gawanya na\(4\). |
\(x-7=4 y\) \(\frac{x-7}{4}=y\) |
| hatua 4: mbadala\(f^{-1}(x)\) kwa ajili ya\(y\). | Badilisha nafasi\(y\) na\(f^{-1}(x)\). | \(\frac{x-7}{4}=f^{-1}(x)\) |
| Hatua ya 5: Thibitisha kwamba kazi ni inverses. |
Onyesha\(f^{-1}(f(x))=x\) na\(f\left(f^{-1}(x)\right)=x\) |
\(\begin{aligned} f^{-1}(f(x)) & \stackrel{?}{=} x \\f^{-1}(4x+7)&\stackrel{?}{=}x\\ \frac{(4x+7)-7}{4}&\stackrel{?}{=}x \\ \frac{4x}{4}&\stackrel{?}{=}x\\x&=x \\ \\f(f^{-1}(x))&\stackrel{?}{=}x \\f \left(\frac{x-7}{4} \right)&\stackrel{?}{=}x \\ 4\left(\frac{x-7}{4} \right) + 7 &\stackrel{?}{=}x \\ x-7+7&\stackrel{?}{=}x \\x&=x \end{aligned}\) |
Pata inverse ya kazi\(f(x)=5x-3\).
- Jibu
-
\(f^{-1}(x)=\frac{x+3}{5}\)
Pata inverse ya kazi\(f(x)=8 x+5\).
- Jibu
-
\(f^{-1}(x)=\frac{x-5}{8}\)
Sisi muhtasari hatua hapa chini.
Jinsi ya Kupata Inverse ya Kazi moja kwa moja
- Mbadala\(y\) kwa ajili ya\(f(x)\).
- Kubadilishana vigezo\(x\) na\(y\).
- Kutatua kwa\(y\).
- Mbadala\(f^{−1}(x)\) kwa ajili ya\(y\).
- Thibitisha kwamba kazi ni inverses.
Kupata inverse ya\(f(x)=\sqrt[5]{2 x-3}\).
Suluhisho:
\(f(x)=\sqrt[5]{2 x-3}\)
Mbadala\(y\) kwa ajili ya\(f(x)\).
\(y=\sqrt[5]{2 x-3}\)
Kubadilishana vigezo\(x\) na\(y\).
\(x=\sqrt[5]{2 y-3}\)
Kutatua kwa\(y\).
\(\begin{aligned}(x)^{5} &=(\sqrt[5]{2 y-3})^{5} \\ x^{5} &=2 y-3 \\ x^{5}+3 &=2 y \\ \frac{x^{5}+3}{2} &=y \end{aligned}\)
Mbadala\(f^{-1}(x)\) kwa ajili ya\(y\).
\(f^{-1}(x)=\frac{x^{5}+3}{2}\)
Thibitisha kwamba kazi ni inverses.
\(\begin{array}{rr} {f^{-1}(f(x)) \stackrel{?}{=} x} & {f\left(f^{-1}(x)\right) \stackrel{?}{=} x} \\ {f^{-1}(\sqrt[5]{2x-3})\stackrel{?}{=}x}&{f\left(\frac{x^{5}+3}{2} \right)}\stackrel{?}{=}x \\ {\frac{(\sqrt[5]{2x-3})^{5}+3}{2}\stackrel{?}{=}x}&{\sqrt[5]{2\left(\frac{x^{5}+3}{2} \right)-3}\stackrel{?}{=}x} \\ {\frac{2x-3+3}{2}\stackrel{?}{=}x}&{\sqrt[5]{x^{5}+3-3}\stackrel{?}{=}x}\\ {\frac{2x}{2}\stackrel{?}{=}x}&{\sqrt[5]{x^{5}}\stackrel{?}{=}x} \\ {x=x}&{x=x} \end{array}\)
Pata inverse ya kazi\(f(x)=\sqrt[5]{3 x-2}\).
- Jibu
-
\(f^{-1}(x)=\frac{x^{5}+2}{3}\)
Pata inverse ya kazi\(f(x)=\sqrt[4]{6 x-7}\).
- Jibu
-
\(f^{-1}(x)=\frac{x^{4}+7}{6}\)
Dhana muhimu
- Muundo wa Kazi: muundo wa kazi\(f\) na\(g\), imeandikwa\(f∘g\) na hufafanuliwa na
\((f \circ g)(x)=f(g(x))\)
Tunasoma\(f(g(x))\) kama\(f\)\(g\) ya\(x\). - Mtihani wa Mstari wa Horizontal: Ikiwa kila mstari wa usawa, unaingiliana na grafu ya kazi katika hatua moja zaidi, ni kazi moja kwa moja.
- Inverse ya Kazi Inaelezewa na Jozi zilizoamriwa: Ikiwa\(f(x)\) ni kazi moja kwa moja ambayo jozi zilizoamriwa ni za fomu\((x,y)\), basi kazi yake inverse\(f^{−1}(x)\) ni seti ya jozi zilizoamriwa\((y,x)\).
- Kazi Inverse: Kwa kila\(x\) katika uwanja wa kazi moja kwa moja\(f\) na\(f^{−1}\),
\(f^{-1}(f(x))=x\)
\(f\left(f^{-1}(x)\right)=x\) - Jinsi ya Kupata Inverse ya Kazi moja kwa moja:
- Mbadala\(y\) kwa ajili ya\(f(x)\).
- Kubadilishana vigezo\(x\) na\(y\).
- Kutatua kwa\(y\).
- Mbadala\(f^{−1}(x)\) kwa ajili ya\(y\).
- Thibitisha kwamba kazi ni inverses.
faharasa
- kazi moja kwa moja
- Kazi ni moja kwa moja ikiwa kila thamani katika upeo ina kipengele kimoja katika kikoa. Kwa kila jozi kuamuru katika kazi, kila\(y\) -thamani ni kuendana na moja tu\(x\) -thamani.