5.4: Kuzidisha Polynomials
- Page ID
- 175959
Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:
- Kuzidisha monomials
- Kuzidisha polynomial na monomial
- Panua binomial kwa binomial
- Kuzidisha polynomial na polynomial
- Kuzidisha bidhaa maalum
- Kuzidisha kazi za polynomial
Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.
Kuzidisha Monomials
Tuko tayari kufanya shughuli kwenye polynomials. Kwa kuwa monomials ni maneno algebraic, tunaweza kutumia mali ya exponents kuzidisha monomials.
Kuzidisha:
- \((3x^2)(−4x^3)\)
- \(\left(\frac{5}{6}x^3y\right)(12xy^2).\)
- Jibu
-
\(\begin{array} {ll} {} &{(3x^2)(−4x^3)} \\ {\text{Use the Commutative Property to rearrange the terms.}} &{3·(−4)·x^2·x^3} \\ {\text{}} &{−12x^5} \\ \end{array} \)
- Jibu b
-
\(\begin{array} {ll} {} &{\left(\frac{5}{6}x^3y\right)(12xy^2)} \\ {\text{Use the Commutative Property to rearrange the terms.}} &{\frac{5}{6}·12·x^3·x·y·y^2} \\ {\text{Multiply.}} &{10x^4y^3} \\ \end{array} \)
Kuzidisha:
- \((5y^7)(−7y^4)\)
- \((25a^4b^3)(15ab^3)\)
- Jibu
-
\(−35y^{11}\)
- Jibu b
-
\(375 a^5b^6\)
Kuzidisha:
- \((−6b^4)(−9b^5)\)
- \((23r^5s)(12r^6s^7).\)
- Jibu
-
\(54b^9\)
- Jibu b
-
\(276 r^{11}s^8\)
Kuzidisha Polynomial na Monomial
Kuzidisha polynomial kwa monomial ni kweli tu kutumia Mali Distributive.
Kuzidisha:
- \(−2y(4y^2+3y−5)\)
- \(3x^3y(x^2−8xy+y^2)\).
- Jibu
-
Kusambaza. 
Kuzidisha. 
- Jibu b
-
\(\begin{array} {ll} {} &{3x^3y(x^2−8xy+y^2)} \\ {\text{Distribute.}} &{3x^3y⋅x^2+(3x^3y)⋅(−8xy)+(3x^3y)⋅y^2} \\ {\text{Multiply.}} &{3x^5y−24x^4y^2+3x^3y^3} \\ \end{array} \)
Kuzidisha:
- \(-3y(5y^2+8y^{7})\)
- \(4x^2y^2(3x^2−5xy+3y^2)\)
- Jibu
-
\(−15y^3−24y^8\)
- Jibu b
-
\(12x^4y^2−20x^3y^3+12x^2y^4\)
Kuzidisha:
- \(4x^2(2x^2−3x+5)\)
- \(−6a^3b(3a^2−2ab+6b^2)\)
- Jibu
-
\(8x^4−12x^3+20x^2\)
- Jibu b
-
\(−18a^5b+12a^4b^2−36a^3b^3\)
Kuzidisha Binomial na Binomial
Kama kuna njia tofauti za kuwakilisha kuzidisha kwa idadi, kuna mbinu kadhaa ambazo zinaweza kutumika kuzidisha mara binomial binomial. Tutaanza kwa kutumia Mali ya Usambazaji.
Kuzidisha:
- \((y+5)(y+8)\)
- \((4y+3)(2y−5)\).
- Jibu
-
ⓐ
Kusambaza\((y+8)\). 
Kusambaza tena. 
Kuchanganya kama maneno. 
ⓑ
Kusambaza. 
Kusambaza tena. 
Kuchanganya kama maneno. 
Kuzidisha:
- \((x+8)(x+9)\)
- \((3c+4)(5c−2)\).
- Jibu
-
\(x^2+17x+72\)
- Jibu b
-
\(15c^2+14c−8\)
Kuzidisha:
- \((5x+9)(4x+3)\)
- \((5y+2)(6y−3)\).
- Jibu
-
\(20x^2+51x+27\)
- Jibu b
-
\(30y^2−3y−6\)
Ikiwa unazidisha binomials mara nyingi kutosha unaweza kuona mfano. Angalia kwamba muda wa kwanza katika matokeo ni bidhaa ya maneno ya kwanza katika kila binomial. Masharti ya pili na ya tatu ni bidhaa ya kuzidisha maneno mawili ya nje na kisha maneno mawili ya ndani. Na matokeo ya mwisho mrefu kutokana na kuzidisha masharti mawili ya mwisho,
Tunafupisha “Kwanza, Nje, Ndani, Mwisho” kama FOIL. Barua zinasimama kwa 'Kwanza, Nje, Ndani, Mwisho'. Tunatumia hii kama njia nyingine ya kuzidisha binomials. Neno FOIL ni rahisi kukumbuka na kuhakikisha tunapata bidhaa zote nne.
Hebu\((x+3)(x+7)\) tuzidishe kutumia njia zote mbili.
Sisi muhtasari hatua za njia ya FOIL hapa chini. Njia ya FOIL inatumika tu kwa kuzidisha binomials, sio polynomials nyingine!
Unapozidisha kwa njia ya FOIL, kuchora mistari itasaidia ubongo wako kuzingatia muundo na iwe rahisi kuomba.
Sasa tutafanya mfano ambapo tunatumia muundo wa FOIL ili kuzidisha binomials mbili.
Kuzidisha:
- \((y−7)(y+4)\)
- \((4x+3)(2x−5)\).
- Jibu
-
a.
b.
Kuzidisha:
- \((x−7)(x+5)\)
- \((3x+7)(5x−2)\).
- Jibu
-
a.\(x^2−2x−35\)
b.\(15x^2+29x−14\)
Kuzidisha:
- \((b−3)(b+6)\)
- \((4y+5)(4y−10)\).
- Jibu
-
a.\(b^2+3b−18\)
b.\(16y^2−20y−50\)
Bidhaa za mwisho katika mfano wa mwisho zilikuwa za trinomials kwa sababu tunaweza kuchanganya maneno mawili ya kati. Hii si mara zote kesi.
Kuzidisha:
- \((n^2+4)(n−1)\)
- \((3pq+5)(6pq−11)\).
- Jibu
-
a.
Hatua ya 1. Panua maneno ya kwanza. 
Hatua ya 2. Kuzidisha maneno ya nje. 
Hatua ya 3. Panua maneno ya ndani. 
Hatua ya 4. Kuzidisha maneno ya mwisho. 
Hatua ya 5. Kuchanganya kama masharti - hakuna. 
b.
Hatua ya 1. Panua maneno ya kwanza. 
Hatua ya 2. Kuzidisha maneno ya nje. 
Hatua ya 3. Panua maneno ya ndani. 
Hatua ya 4. Kuzidisha maneno ya mwisho. 
Hatua ya 5. Kuchanganya kama maneno. 
Kuzidisha:
- \((x^2+6)(x−8)\)
- \((2ab+5)(4ab−4)\).
- Jibu
-
a.\(x^3−8x^2+6x−48\)
b.\(8a^2b^2+12ab−20\)
Kuzidisha:
- \((y^2+7)(y−9)\)
- \((2xy+3)(4xy−5)\).
- Jibu
-
a.\(y^3−9y^2+7y−63\)
b.\(8x^2y^2+2xy−15\)
Njia ya FOIL ni kawaida njia ya haraka zaidi ya kuzidisha binomials mbili, lakini inafanya kazi tu kwa binomials. Unaweza kutumia Mali Distributive kupata bidhaa ya polynomials yoyote mbili. Njia nyingine inayofanya kazi kwa polynomials zote ni Njia ya Wima. Ni sana kama njia unayotumia kuzidisha idadi nzima. Angalia kwa makini mfano huu wa kuzidisha namba mbili za tarakimu.
Sasa tutaweza kutumia njia hii hiyo ya kuzidisha binomials mbili.
Panua kwa kutumia Njia ya Wima:\((3y−1)(2y−6)\).
- Jibu
-
Haijalishi ambayo binomial inakwenda juu.
\ (\ kuanza {align*} & & &\ quad\;\;\; 3y - 1\\ [4pt]
& & &\ kusisitiza {\ quad\ mara\; 2y-6}\\ [4pt]
&\ maandishi {kuzidisha} 3y-1\ maandishi {na} -6. & &\ quad -18y + 6 & &\ maandishi {sehemu ya bidhaa}\\ [4pt]
&\ maandishi {kuzidisha} 3y-1\ maandishi {na} 2y. & &\ kusisitiza {6y ^ 2 - 2y} & &\ maandishi {bidhaa ya sehemu}\\ [4pt]
&\ maandishi {Ongeza kama maneno.} & & 6y ^ 2 - 20y + 6\ mwisho {align*}\)Angalia bidhaa za sehemu ni sawa na maneno katika njia ya FOIL.
Panua kwa kutumia Njia ya Wima:\((5m−7)(3m−6)\).
- Jibu
-
\(15m^2−51m+42\)
Panua kwa kutumia Njia ya Wima:\((6b−5)(7b−3)\).
- Jibu
-
\(42b^2−53b+15\)
Sasa tumetumia mbinu tatu za kuzidisha binomials. Hakikisha kufanya mazoezi ya kila njia, na jaribu kuamua ni nani unayopendelea. Mbinu zimeorodheshwa hapa zote pamoja, ili kukusaidia kukumbuka.
Ili kuzidisha binomials, tumia:
- Mali ya Kusambaza
- Njia ya foil
- Njia ya wima
Kuzidisha Polynomial na Polynomial
Tumeongeza monomials na monomials, monomials na polynomials, na binomials na binomials. Sasa tuko tayari kuzidisha polynomial na polynomial. Kumbuka, FOIL haifanyi kazi katika kesi hii, lakini tunaweza kutumia Mali ya Usambazaji au Njia ya Wima.
Kuzidisha\((b+3)(2b^2−5b+8)\) kutumia ⓐ Mali ya Usambazaji na ⓑ Njia ya Wima.
- Jibu
-
a.
Kusambaza. 
Kuzidisha. 
Kuchanganya kama maneno. 
b Ni rahisi kuweka polynomial na maneno machache chini kwa sababu tunapata bidhaa chache za sehemu kwa njia hii.
Kuzidisha\((2b^2−5b+8)\) kwa 3.
Kuzidisha\((2b^2−5b+8)\) kwa\(b\).
Ongeza kama maneno. 
Kuzidisha\((y−3)(y^2−5y+2)\) kutumia ⓐ Mali ya Usambazaji na ⓑ Njia ya Wima.
- Jibu
-
a.\(y^3−8y^2+17y−6\)
b.\(y^3−8y^2+17y−6\)
Kuzidisha\((x+4)(2x^2−3x+5)\) kutumia a) Mali ya Mgawanyo na b) Njia ya Wima.
- Jibu
-
a. na b.\(2x^3+5x^2−7x+20\)
Sasa tumeona mbinu mbili ambazo unaweza kutumia kuzidisha polynomial na polynomial. Baada ya kufanya mazoezi ya kila njia, pengine utapata unapendelea njia moja juu ya nyingine. Sisi orodha njia zote mbili zimeorodheshwa hapa, kwa ajili ya kumbukumbu rahisi.
Ili kuzidisha trinomial na binomial, tumia:
- Mali ya Kusambaza
- Njia ya wima
Kuzidisha Bidhaa Maalum
Wataalamu wa hisabati wanapenda kutafuta ruwaza ambazo zitafanya kazi yao iwe rahisi. Mfano mzuri wa hii ni mraba wa binomials. Wakati unaweza daima kupata bidhaa kwa kuandika binomial mara mbili na kuzidisha, kuna kazi ndogo ya kufanya ikiwa unajifunza kutumia mfano. Hebu tuanze kwa kuangalia mifano mitatu na uangalie mfano.
Angalia matokeo haya. Je! Unaona mwelekeo wowote?
Nini kuhusu idadi ya maneno? Katika kila mfano sisi squared binomial na matokeo ilikuwa trinomial.
\[(a+b)^2=\text{___}+\text{___}+\text{___} \nonumber\]
Sasa angalia muda wa kwanza katika kila matokeo. Ilitoka wapi?
Neno la kwanza ni bidhaa ya maneno ya kwanza ya kila binomial. Kwa kuwa binomials ni sawa, ni mraba wa muda wa kwanza!
\[(a+b)^2=a^2+\text{___}+\text{___} \nonumber\]
Ili kupata muda wa kwanza wa bidhaa, mraba mrefu wa kwanza.
Muda wa mwisho ulitoka wapi? Angalia mifano na upate mfano.
Muda wa mwisho ni bidhaa ya maneno ya mwisho, ambayo ni mraba wa muda wa mwisho.
\[(a+b)^2=\text{___}+\text{___}+b^2 \nonumber\]
Ili kupata muda wa mwisho wa bidhaa, mraba muda wa mwisho.
Hatimaye, angalia muda wa kati. Angalia ilitoka kwa kuongeza maneno ya “nje” na “ndani” ambayo ni sawa! Hivyo muda wa kati ni mara mbili ya bidhaa ya maneno mawili ya binomial.
\[(a+b)^2=\text{___}+2ab+\text{___} \nonumber\]
\[(a−b)^2=\text{___}−2ab+\text{___} \nonumber\]
Ili kupata muda wa kati wa bidhaa, kuzidisha maneno na bidhaa zao mara mbili.
Kuweka yote pamoja:
Kama na b ni idadi halisi,
Kwa mraba binomial, mraba mrefu wa kwanza, mraba mrefu wa mwisho, mara mbili ya bidhaa zao.
Kuzidisha: a.\((x+5)^2\) b\((2x−3y)^2\).
- Jibu
-
a.
Square muda wa kwanza. 
Square muda wa mwisho. 
Mara mbili bidhaa zao. 
Kurahisisha. 
b.
Tumia mfano. 
Kurahisisha. 
Kuzidisha: a.\((x+9)^2\) b\((2c−d)^2\).
- Jibu
-
a.\(x^2+18x+81\)
b.\(4c^2−4cd+d^2\)
Kuzidisha: a.\((y+11)^2\) b\((4x−5y)^2\).
- Jibu
-
a.\(y^2+22y+121\)
b.\(16x^2−40xy+25y^2\)
Sisi tu kuona mfano kwa ajili ya squaring binomials kwamba tunaweza kutumia kufanya kuzidisha baadhi binomials rahisi. Vile vile, kuna mfano wa bidhaa nyingine ya binomials. Lakini kabla ya kupata hiyo, tunahitaji kuanzisha msamiati fulani.
jozi ya binomials kwamba kila mmoja na huo wa kwanza mrefu na huo mwisho mrefu, lakini moja ni jumla na moja ni tofauti inaitwa jozi conjugate na ni ya fomu\((a−b)\),\((a+b)\).
Jozi ya conjugate ni binomials mbili za fomu
\[(a−b), (a+b). \nonumber\]
Jozi ya binomials kila mmoja huwa na muda huo wa kwanza na mrefu huo wa mwisho, lakini binomial moja ni jumla na nyingine ni tofauti.
Kuna mfano mzuri wa kutafuta bidhaa za conjugates. Unaweza, bila shaka, tu FOIL kupata bidhaa, lakini kutumia mfano hufanya kazi yako iwe rahisi. Hebu tuangalie mfano kwa kutumia FOIL ili kuzidisha jozi fulani za conjugate.
Unachunguza nini kuhusu bidhaa?
Bidhaa ya binomials mbili pia ni binomial! Bidhaa nyingi zinazosababishwa na FOIL zimekuwa za trinomials.
Kila neno la kwanza ni bidhaa ya maneno ya kwanza ya binomials, na kwa kuwa yanafanana ni mraba wa muda wa kwanza.
\[(a+b)(a−b)=a^2−\text{___} \nonumber\]
Ili kupata muda wa kwanza, mraba mrefu wa kwanza.
Muda wa mwisho ulikuja kutokana na kuzidisha masharti ya mwisho, mraba wa muda wa mwisho.
\[(a+b)(a−b)=a^2−b^2 \nonumber\]
Kupata muda wa mwisho, mraba mrefu wa mwisho.
Kwa nini hakuna muda wa kati? Angalia maneno mawili ya kati unayopata kutoka FOIL yanachanganya hadi 0 katika kila kesi, matokeo ya kuongeza moja na kuondoa moja.
Bidhaa ya conjugates daima ni ya fomu\(a^2−b^2\). Hii inaitwa tofauti ya mraba.
Hii inasababisha muundo:
Kama na b ni idadi halisi,
Bidhaa inaitwa tofauti ya mraba.
Ili kuzidisha conjugates, mraba mrefu wa kwanza, mraba mrefu wa mwisho, uandike kama tofauti ya mraba.
Kuzidisha kutumia bidhaa ya muundo wa conjugates: a.\((2x+5)(2x−5)\) b\((5m−9n)(5m+9n)\).
- Jibu
-
a.
Je, binomials hujiunga? 
Ni bidhaa ya conjugates. 
Square muda wa kwanza, 2x.2x. 
Square muda wa mwisho, 5.5. 
Kurahisisha. Bidhaa ni tofauti ya mraba. 
b.
Hii inafaa mfano. 
Tumia mfano. 
Kurahisisha. 
Kuzidisha: a.\((6x+5)(6x−5)\) b\((4p−7q)(4p+7q)\).
- Jibu
-
a.\(36x^2−25\)
b.\(16p^2−49q^2\)
Kuzidisha: a.\((2x+7)(2x−7)\) b\((3x−y)(3x+y)\).
- Jibu
-
a.\(4x^2−49\) b.\(9x^2−y^2\)
Tulianzisha tu mifumo maalum ya bidhaa kwa Mraba ya Binomial na kwa Bidhaa ya Conjugates. Bidhaa zinaonekana sawa, kwa hiyo ni muhimu kutambua wakati ni sahihi kutumia kila moja ya mifumo hii na kutambua jinsi tofauti. Angalia mifumo miwili pamoja na uangalie kufanana na tofauti zao.
| Mraba ya Binomial | Bidhaa ya Conjugates |
|---|---|
| \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) | \((a−b)(a+b)=a^2−b^2\) |
| \((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\) | |
| • Squaring binomial | • Kuzidisha conjugates |
| • Bidhaa ni trinomial | • Bidhaa ni binomial. |
| • Masharti ya ndani na ya nje na FOIL ni sawa. | • Masharti ya ndani na ya nje na FOIL ni kinyume. |
| • Muda wa kati ni mara mbili ya bidhaa ya maneno | • Hakuna muda wa kati. |
Chagua muundo unaofaa na uitumie ili kupata bidhaa:
a.\((2x−3)(2x+3)\) b.\((8x-5)^2\) c.\((6m+7)^2\) d\((5x−6)(6x+5)\).
- Jibu
-
a.\((2x−3)(2x+3)\)
Hizi ni conjugates. Wana idadi sawa ya kwanza, na namba sawa za mwisho, na binomial moja ni jumla na nyingine ni tofauti. Inafaa mfano wa Bidhaa ya Conjugates.
Tumia mfano. 
Kurahisisha. 
b.\((8x−5)^2\)
Tunaulizwa mraba binomial. Inafaa muundo wa mraba wa binomial.
Tumia mfano. 
Kurahisisha. 
c.\((6m+7)^2\)
Tena, sisi mraba binomial hivyo sisi kutumia binomial mraba mfano.
Tumia mfano. 
Kurahisisha. 
d.\((5x−6)(6x+5)\)
Bidhaa hii haifai mwelekeo, kwa hiyo tutatumia FOIL.
\(\begin{array} {ll} {} &{(5x−6)(6x+5)} \\ {\text{Use FOIL.}} & {30x^2+25x−36x−30} \\ {\text{Simplify.}} & {30x^2−11x−30} \\ \end{array}\)
Chagua muundo unaofaa na uitumie ili kupata bidhaa:
a.\((9b−2)(2b+9)\) b.\((9p−4)^2\) c.\((7y+1)^2\) d\((4r−3)(4r+3)\).
- Jibu
-
a. foil;\(18b^2+77b−18\)
b. Mraba ya Binomial;\(81p^2−72p+16\)
c Mraba ya Binomial;\(49y^2+14y+1\)
d. bidhaa za conjugates;\(16r^2−9\)
Chagua muundo unaofaa na uitumie ili kupata bidhaa:
a.\((6x+7)^2\) b.\((3x−4)(3x+4)\) c.\((2x−5)(5x−2)\) d\((6n−1)^2\).
- Jibu
-
a. Mraba ya Binomial;\(36x^2+84x+49\) b. bidhaa za conjugates;\(9x^2−16\) c. FOIL;\(10x^2−29x+10\) d.\(36n^2−12n+1\)
Kuzidisha Kazi za Polynomial
Kama vile polynomials inaweza kuongezeka, kazi za polynomial pia zinaweza kuongezeka.
Kwa ajili ya kazi\(f(x)\) na\(g(x)\),
\[(f·g)(x)=f(x)·g(x)\]
Kwa kazi\(f(x)=x+2\) na\(g(x)=x^2−3x−4\), tafuta:
- \((f·g)(x)\)
- \((f·g)(2)\).
- Jibu
-
a.
\(\begin{array} {ll} {} &{(f·g)(x)=f(x)·g(x)} \\ {\text{Substitute for } f(x) \text{ and } g(x)} &{(f·g)(x)=(x+2)(x^2−3x−4)} \\ {\text{Multiply the polynomials.}} &{(f·g)(x)=x(x^2−3x−4)+2(x^2−3x−4)} \\ {\text{Distribute.}} &{(f·g)(x)=x3−3x^2−4x+2x^2−6x−8} \\ {\text{Combine like terms.}} &{(f·g)(x)=x3−x^2−10x−8} \\ \end{array}\)
b Katika sehemua. tulipata\((f·g)(x)\) na sasa tunaulizwa kupata\((f·g)(2)\).
\(\begin{array} {ll} {} &{(f·g)(x)=x^3−x^2−10x−8} \\ {\text{To find }(f·g)(2), \text{ substitute } x=2.} &{(f·g)(2)=2^3−2^2−10·2−8} \\ {} &{(f·g)(2)=8−4−20−8} \\ {} &{(f·g)(2)=−24} \\ \end{array}\)
Kwa kazi\(f(x)=x−5\) na\(g(x)=x^2−2x+3\), tafuta
- \((f·g)(x)\)
- \((f·g)(2)\).
- Jibu
-
\((f·g)(x)=x^3−7x^2+13x−15\)
- Jibu b
-
\((f·g)(2)=−9\)
Kwa kazi\(f(x)=x−7\) na\(g(x)=x^2+8x+4\), tafuta
- \((f·g)(x)\)
- \((f·g)(2)\).
- Jibu
-
\((f·g)(x)=x^3+x^2−52x−28\)
- Jibu
-
\((f·g)(2)=−120\)
Kupata rasilimali hii online kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na kuzidisha polynomials.
- Utangulizi wa bidhaa maalum za binomials
Dhana muhimu
- Jinsi ya kutumia njia ya FOIL kuzidisha binomials mbili.
- Kuzidisha Binomials mbili: Ili kuzidisha binomials, tumia:
- Mali ya Kusambaza
- Njia ya foil
- Kuzidisha Polynomial na Polynomial: Ili kuzidisha trinomial na binomial, tumia:
- Mali ya Kusambaza
- Njia ya wima
- Binomial Mraba Pattern
Kama na b ni namba halisi,
- Bidhaa ya Conjugates Pattern
Kama, b ni namba
halisi Bidhaa inaitwa tofauti ya mraba.
Ili kuzidisha conjugates, mraba mrefu wa kwanza, mraba mrefu wa mwisho, uandike kama tofauti ya mraba. - Kulinganisha Sampuli za Bidhaa maalum
Mraba ya Binomial Bidhaa ya Conjugates \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) \((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\) \((a−b)(a+b)=a^2−b^2\) • Squaring binomial • Kuzidisha conjugates • Bidhaa ni trinomial • Bidhaa ni binomial. • Masharti ya ndani na ya nje na FOIL ni sawa. • Masharti ya ndani na ya nje na FOIL ni kinyume. • Muda wa kati ni mara mbili ya bidhaa ya maneno • Hakuna muda wa kati. - Kuongezeka kwa Kazi za Polynomial:
- Kwa ajili ya kazi\(f(x)\) na\(g(x)\),
\[(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x) \nonumber\]
- Kwa ajili ya kazi\(f(x)\) na\(g(x)\),
faharasa
- jozi conjugate
- Jozi ya conjugate ni binomials mbili za fomu\((a−b)\) na\((a+b)\). Jozi ya binomials kila mmoja huwa na muda huo wa kwanza na mrefu huo wa mwisho, lakini binomial moja ni jumla na nyingine ni tofauti.