Skip to main content
Global

4.8: Graphing Systems ya Usawa wa L

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    175973

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Kuamua kama jozi iliyoamriwa ni suluhisho la mfumo wa kutofautiana kwa mstari
    • Tatua mfumo wa kutofautiana kwa mstari kwa kuchora
    • Kutatua matumizi ya mifumo ya kutofautiana

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Kutatua kukosekana kwa usawa\(2a<5a+12\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].
    2. Kuamua kama jozi iliyoamriwa\((3,12)\) ni suluhisho la mfumo\(y>2x+3\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].

    Kuamua kama jozi iliyoamriwa ni suluhisho la mfumo wa kutofautiana kwa mstari

    Ufafanuzi wa mfumo wa kutofautiana kwa mstari ni sawa na ufafanuzi wa mfumo wa equations linear.

    Ufafanuzi: Mfumo wa kutofautiana kwa mstari

    Mbili au zaidi ya usawa linear makundi pamoja kuunda mfumo wa kutofautiana linear.

    Mfumo wa kutofautiana kwa mstari inaonekana kama mfumo wa equations linear, lakini ina usawa badala ya equations. Mfumo wa kutofautiana kwa mstari mbili unaonyeshwa hapa.

    \[\left\{\begin{array} {l} x+4y\geq 10\\3x−2y<12\end{array}\right.\nonumber\]

    Ili kutatua mfumo wa kutofautiana kwa mstari, tutapata maadili ya vigezo ambavyo ni ufumbuzi wa kutofautiana kwa wote. Sisi kutatua mfumo kwa kutumia grafu ya kila usawa na kuonyesha suluhisho kama grafu. Tutapata kanda kwenye ndege ambayo ina jozi zote zilizoamriwa\((x,y)\) kwamba kufanya usawa wote kweli.

    Ufumbuzi wa Mfumo wa Usawa wa Mstari

    Ufumbuzi wa mfumo wa kutofautiana kwa mstari ni maadili ya vigezo vinavyofanya kutofautiana kwa kweli.

    Suluhisho la mfumo wa kutofautiana kwa mstari unaonyeshwa kama eneo la kivuli katika mfumo wa\(xy\) kuratibu ambao unajumuisha pointi zote ambazo jozi zilizoamriwa zinafanya usawa wa kweli.

    Kuamua kama jozi iliyoamriwa ni suluhisho la mfumo wa kutofautiana mbili, tunabadilisha maadili ya vigezo katika kila usawa. Ikiwa jozi iliyoamriwa inafanya usawa wote kweli, ni suluhisho la mfumo.

    Mfano\(\PageIndex{1}\)

    Tambua kama jozi iliyoamriwa ni suluhisho la mfumo\(\left\{\begin{array} {l} x+4y\geq 10\\3x−2y<12\end{array}\right.\)

    a.\((−2,4)\) b.\((3,1)\)

    Suluhisho:

    a. jozi\((−2,4)\) kuamuru ufumbuzi?

    Sisi badala x sawa na hasi 2 na y sawa na 4 katika usawa wote. Ukosefu wa usawa wa kwanza ni x pamoja na mara 4 y kubwa kuliko au sawa na 10. Hivyo hasi 2 pamoja na 4 mabano wazi 4 mabano ya karibu ni kubwa kuliko au sawa na 10 au la. 14 ni kubwa kuliko au sawa na 10 ni kweli. Pili usawa, mara 3 x minus 2 mara y ni chini ya 12. Tatu wazi mabano hasi 2 karibu mabano minus mbili wazi mabano 4 karibu mabano ni chini ya 12 au la. Hasi 14 ni chini ya 12 ni kweli.

    Jozi iliyoamriwa\((−2,4)\) ilifanya usawa wote wa kweli. Kwa hiyo\((−2,4)\) ni suluhisho la mfumo huu.

    b Je, jozi iliyoamriwa\((3,1)\) ni suluhisho?

    Sisi badala x sawa na tatu na y sawa na moja katika kutofautiana wote. Ukosefu wa kwanza ni x pamoja na mara nne y kubwa kuliko au sawa na kumi. Hivyo tatu pamoja na nne mabano wazi mabano moja karibu ni kubwa kuliko au sawa na kumi au la. Saba kubwa kuliko au sawa na kumi ni uongo. Pili usawa, mara tatu x minus mara mbili y ni chini ya kumi na mbili. Mabano matatu ya wazi mabano matatu ya karibu hupunguza mabano mawili ya wazi - mabano ya karibu ni chini ya kumi na mbili au la. Saba chini ya 12 ana kweli.

    Jozi iliyoamriwa\((3,1)\) ilifanya usawa mmoja kweli, lakini mwingine uongo. Kwa hiyo\((3,1)\) sio suluhisho la mfumo huu.

    Jaribu! \(\PageIndex{1}\)

    Kuamua kama jozi iliyoamriwa ni suluhisho la mfumo:\(\left\{ \begin{array} {l} x−5y>10\\2x+3y>−2 \end{array} \right.\)

    a.\((3,−1)\) b.\((6,−3)\)

    Jibu

    a. hapana
    b. ndiyo

    Jaribu! \(\PageIndex{2}\)

    Kuamua kama jozi iliyoamriwa ni suluhisho la mfumo:\(\left\{ \begin{array} {l} y>4x−2\\4x−y<20 \end{array} \right.\)

    a.\((−2,1)\) b.\((4,−1)\)

    Jibu

    a. ndiyo
    b. hapana

    Tatua Mfumo wa Usawa wa Linear kwa Graphing

    Suluhisho la usawa wa mstari mmoja ni kanda upande mmoja wa mstari wa mipaka ambayo ina pointi zote zinazofanya usawa wa kweli. Suluhisho la mfumo wa kutofautiana kwa mstari mbili ni kanda ambayo ina ufumbuzi wa kutofautiana kwa wote. Ili kupata eneo hili, tutaweka kila usawa tofauti na kisha tutaona eneo ambalo wote wawili ni kweli. Suluhisho daima linaonyeshwa kama grafu.

    Mfano\(\PageIndex{2}\): How to Solve a System of Linear Inequalities by Graphing

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\left\{\begin{array} {l} y\geq 2x−1 \\ y<x+1\end{array}\right.\)

    Suluhisho:

    Hatua ya 1. Grafu ya usawa wa kwanza. Sisi grafu y chini ya 2x minus 1. Grafu mstari wa mipaka y sawa na 2x minus 1. Ni mstari imara kwa sababu ishara ya kukosekana kwa usawa ni chini ya. Kivuli upande wa mstari wa mipaka ambapo usawa ni kweli. Sisi kuchagua 0, 0 kama hatua ya mtihani. Ni suluhisho la equation, hivyo sisi kivuli juu ya mstari wa mipaka.Hatua ya 2. Kwenye gridi hiyo, grafu ya usawa wa pili y chini ya x pamoja na 1. Grafu mstari wa mipaka y sawa na x pamoja na 1. Ni mstari dashed kwa sababu ishara ya kukosekana kwa usawa ni chini ya. Kivuli upande wa mstari wa mipaka ambapo usawa ni kweli. Tena, tunatumia 0, 0 kama hatua ya mtihani. Ni suluhisho hivyo sisi kivuli chini ya mstari y sawa x plus 1.Hatua ya 3. Suluhisho ni kanda ambapo shading inakabiliwa. mahali ambapo mipaka mistari intersect si ufumbuzi kwa sababu si ufumbuzi wa y chini ya x plus 1. Suluhisho ni pointi zote katika eneo lililofungwa na mistari chini ya kushoto.Hatua ya 4. Angalia kwa kuchagua hatua ya mtihani. Tunatumia minus 1, chini ya 1. Kubadilisha katika usawa y chini ya 2x minus 1, sisi kupata minus 1 chini ya minus 3 ambayo ni kweli. Kwa hiyo, ni suluhisho. Vile vile, pia ni kweli kwa usawa mwingine. Kanda iliyo na minus 1, minus 1 ni suluhisho la mfumo huu.

    Jaribu! \(\PageIndex{3}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\left\{\begin{array} {l} y<3x+2\\y>−x−1\end{array}\right.\)

    Jibu

    Takwimu inaonyesha grafu iliyopangwa kwa kutofautiana y chini ya mara tatu x pamoja na mbili na y kubwa kuliko minus x minus moja. Mstari miwili huingiliana kwenye grafu. Eneo la kulia la mistari yote ni rangi ya kijivu. Ni suluhisho.

    Suluhisho ni kanda ya kijivu.

    Jaribu! \(\PageIndex{4}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\left\{\begin{array} {l} y<−12x+3 \\ y<3x−4\end{array}\right.\)

    Jibu

    Takwimu inaonyesha grafu iliyopangwa kwa kutofautiana y chini ya nusu ya x pamoja na tatu na y chini ya mara tatu x minus nne. Mstari miwili ya kuingiliana huonyeshwa kwenye grafu. Eneo lililofungwa na mistari miwili upande wa kulia wa chini linaonyeshwa kwa kijivu. Ni suluhisho.

    Suluhisho ni kanda ya kijivu.

    Tatua Mfumo wa Usawa wa Linear kwa Graphing
    1. Grafu ya usawa wa kwanza.
      • Grafu mstari wa mipaka.
      • Kivuli upande wa mstari wa mipaka ambapo usawa ni kweli.
    2. Kwenye gridi hiyo, grafu ya usawa wa pili.
      • Grafu mstari wa mipaka.
      • Kivuli upande wa mstari wa mipaka ambapo usawa ni kweli.
    3. Suluhisho ni kanda ambapo shading inakabiliwa.
    4. Angalia kwa kuchagua hatua ya mtihani.
    Mfano\(\PageIndex{3}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\left\{\begin{array} {l} x−y>3\\y<−15x+4\end{array}\right.\)

    Suluhisho:

      \(\left\{\begin{array} {l} x−y>3\\y<−15x+4\end{array}\right.\)
    Grafu\(x - y > 3,\) kwa kuchora\(x - y = 3\)
    na kupima uhakika.

    Intercepts ni\(x = 3\)\(y = −3\) na mstari wa
    mipaka itakuwa dashed.

    Mtihani\((0, 0)\) ambayo inafanya usawa uongo hivyo kivuli
    (nyekundu) upande ambayo haina\((0, 0).\)    		 .
    Grafu\(y<−15x+4\) kwa graphing\(y=−15x+4\)
    kutumia mteremko\(m=−15\) na\(y\) -intercept Mstari\(b = 4.\)
    wa mipaka itakuwa dashed

    mtihani\((0, 0)\) ambayo inafanya usawa kweli, hivyo
    kivuli (bluu) upande ambao una\((0, 0).\)

    Chagua hatua ya mtihani katika suluhisho na uhakikishe kuwa ni suluhisho la usawa wote.    		 .

    Hatua ya makutano ya mistari miwili haijumuishwa kama mistari yote ya mipaka ilipigwa. Suluhisho ni eneo lenye kivuli mara mbili—ambayo inaonekana kama eneo la giza la kivuli.

    Jaribu! \(\PageIndex{5}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\left\{\begin{array} {l} x+y\leq 2 \\ y\geq \frac{2}{3}x−1\end{array}\right.\)

    Jibu

    Takwimu inaonyesha grafu kwa kutofautiana x plus y chini ya au sawa na mbili na y kubwa kuliko au sawa na mbili na tatu ya x minus moja. Mistari miwili ya kuingiliana huonyeshwa na eneo lililofungwa na mistari yote ni alama ya kijivu. Ni suluhisho.

    Suluhisho ni kanda ya kijivu.

    Jaribu! \(\PageIndex{6}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\left\{\begin{array} {l} 3x−2y\leq 6\\y>−\frac{1}{4}x+5\end{array} \right.\)

    Jibu

    Takwimu inaonyesha grafu kwa kutofautiana mara tatu x bala mara mbili y chini ya au sawa na sita na y kubwa kuliko au sawa na minus moja kwa nne ya x pamoja na tano. Mistari miwili ya kuingiliana huonyeshwa na eneo lililofungwa na mistari yote ni alama ya kijivu. Ni suluhisho.

    Suluhisho ni kanda ya kijivu.

    Mfano\(\PageIndex{4}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\left\{\begin{array} {l} x−2y<5\\y>−4\end{array}\right.\)

    Suluhisho:

      \(\left\{\begin{array} {l} x−2y<5\\y>−4\end{array}\right.\)
    Grafu\(x−2y<5\), kwa kuchora\(x−2y=5\)
    na kupima uhakika. Intercepts ni\(x = 5\)\(y = −2.5\) na mstari wa
    mipaka itakuwa dashed.

    Mtihani\((0, 0)\) ambayo inafanya kukosekana kwa usawa kweli, hivyo kivuli
    (nyekundu) upande ambayo ina\((0, 0).\)    		 .
    Grafu\(y>−4\), kwa kuchora\(y=−4\) na
    kutambua kuwa ni mstari wa usawa
    kupitia\(y=−4\). Mstari wa mipaka
    utapigwa.

    Mtihani\((0, 0)\) ambayo inafanya
    kukosekana kwa usawa kweli hivyo kivuli (bluu) upande ambayo ina\((0, 0).\)    		 .

    Hatua\((0,0)\) ni katika suluhisho na tumegundua kuwa suluhisho la kila usawa. Hatua ya makutano ya mistari miwili haijumuishwa kama mistari yote ya mipaka ilipigwa.

    Suluhisho ni eneo lenye kivuli mara mbili—ambayo inaonekana kama eneo la giza la kivuli.

    Jaribu! \(\PageIndex{7}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\left\{\begin{array} {l} y\geq 3x−2 \\ y<−1\end{array}\right.\)

    Jibu

    Takwimu inaonyesha grafu kwa kutofautiana y kubwa kuliko au sawa na mara tatu x minus mbili na y chini ya minus moja. Mistari miwili ya kuingiliana huonyeshwa na eneo lililofungwa na mistari yote ni alama ya kijivu. Ni suluhisho

    Suluhisho ni kanda ya kijivu.

    Jaribu! \(\PageIndex{8}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\left\{\begin{array} {l} x>−4x−2 \\ y\geq −4 \end{array}\right.\)

    Jibu

    Takwimu inaonyesha grafu kwa kutofautiana x kubwa kuliko au sawa na minus nne na x minus mara mbili y kubwa kuliko minus nne. Mistari miwili ya kuingiliana huonyeshwa na eneo lililofungwa na mistari yote ni alama ya kijivu. Ni suluhisho.

    Suluhisho ni kanda ya kijivu.

    Mifumo ya usawa linear ambapo mistari ya mipaka ni sambamba inaweza kuwa hakuna ufumbuzi. Tutaona hili katika mfano unaofuata.

    Mfano\(\PageIndex{5}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\left\{\begin{array} {l} 4x+3y\geq 12 \\ y<−\frac{4}{3}x+1\end{array}\right.\)

    Suluhisho:

      \(\left\{\begin{array} {l} 4x+3y\geq 12 \\ y<−\frac{4}{3}x+1\end{array}\right.\)
    Grafu\(4x+3y\geq 12\), kwa kuchora\(4x+3y=12\)
    na kupima uhakika. Intercepts ni\(x = 3\)
    \(y = 4\) na mstari wa mipaka itakuwa imara.

    Mtihani\((0, 0)\) ambayo inafanya usawa uongo, hivyo
    kivuli (nyekundu) upande ambayo haina\((0, 0).\)    		 .
    Grafu\(y<−\frac{4}{3}x+1\) kwa kuchora\(y=−\frac{4}{3}x+1\)
    kwa kutumia mteremko\(m=−\frac{4}{3}\) na\(y\) -intercept\(b = 1.\) Mstari wa mipaka utapigwa.

    Mtihani\((0, 0)\) ambayo inafanya kukosekana kwa usawa wa kweli, hivyo
    kivuli (bluu) upande ambayo ina\((0, 0).\)    		 .

    Hakuna uhakika katika mikoa yote yenye kivuli, hivyo mfumo hauna suluhisho.

    Jaribu! \(\PageIndex{9}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\left\{\begin{array} {l} 3x−2y\geq 12 \\ y\geq \frac{3}{2}x+1\end{array}\right.\)

    Jibu

    Grafu ya mara tatu x minus mara mbili y kubwa kuliko au sawa na kumi na mbili na y kubwa kuliko au sawa na tatu na mbili ya x pamoja na moja inavyoonyeshwa. Mstari miwili ya kuingiliana huonyeshwa. Ukosefu wa usawa hauna suluhisho.

    Hakuna ufumbuzi.

    Jaribu! \(\PageIndex{10}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\left\{\begin{array} {l} x+3y>8\\y<−\frac{1}{3}x−2\end{array}\right.\)

    Jibu

    Grafu ya x pamoja na mara tatu y zaidi ya nane na y chini ya minus moja na tatu ya x minus mbili inavyoonyeshwa. Mstari miwili ya kuingiliana huonyeshwa. Ukosefu wa usawa hauna suluhisho.

    Hakuna ufumbuzi.

    Mifumo mingine ya kutofautiana kwa mstari ambapo mistari ya mipaka ni sambamba itakuwa na suluhisho. Tutaona hili katika mfano unaofuata.

    Mfano\(\PageIndex{6}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\left\{\begin{array} {l} y>\frac{1}{2}x−4\\x−2y<−4\end{array}\right.\)

    Suluhisho:

      \(\left\{\begin{array} {l} y>\frac{1}{2}x−4\\x−2y<−4\end{array}\right.\)
    Grafu\(y>\frac{1}{2}x−4\) kwa kuchora\(y=\frac{1}{2}x−4\)
    kwa kutumia mteremko\(m=\frac{1}{2}\) na kupinga\(b = −4.\) Mstari wa mipaka utapigwa.

    Mtihani\((0, 0)\) ambayo inafanya kukosekana kwa usawa kweli, hivyo
    kivuli (nyekundu) upande ambayo ina\((0, 0).\)    		 .
    Grafu\(x−2y<−4\) kwa kuchora\(x−2y=−4\)
    na kupima uhakika. Intercepts ni\(x = -4\)
    \(y=2\) na mstari wa mipaka itakuwa dashed.

    Chagua hatua ya mtihani katika suluhisho na
    uhakikishe kuwa ni suluhisho la kutofautiana kwa wote.

    Mtihani\((0, 0)\) ambayo inafanya usawa uongo, hivyo
    kivuli (bluu) upande ambayo haina\((0, 0).\)    		 .

    Hakuna uhakika juu ya mistari ya mipaka ni pamoja na katika suluhisho kama mistari yote ni dashed.

    Suluhisho ni kanda ambayo ni kivuli mara mbili ambayo pia ni suluhisho la\(x−2y<−4\).

    Jaribu! \(\PageIndex{11}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\left\{\begin{array} {l} y\geq 3x+1 \\ −3x+y\geq −4\end{array}\right.\)

    Jibu

    Takwimu inaonyesha grafu ya kutofautiana y kubwa kuliko au sawa na mara tatu x pamoja na moja na minus mara tatu x plus y kubwa kuliko au sawa na minus nne. Mstari wa sambamba mbili zinaonyeshwa na kanda upande wa kushoto wa wote ni rangi ya kijivu. Ni suluhisho.

    Suluhisho ni kanda ya kijivu.

    Jaribu! \(\PageIndex{12}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\left\{\begin{array} {l} y\leq −\frac{1}{4}x+2\\x+4y\leq 4\end{array}\right.\)

    Jibu

    Takwimu inaonyesha grafu ya kutofautiana y chini ya au sawa na minus moja ya nne ya x pamoja na 2 na x pamoja mara nne y chini ya au sawa na nne. Mstari wa sambamba mbili zinaonyeshwa na kanda chini ya zote mbili zina rangi ya kijivu. Ni suluhisho.

    Suluhisho ni kanda ya kijivu.

    Kutatua Matumizi ya Mifumo ya Usawa

    Jambo la kwanza tutahitaji kufanya ili kutatua maombi ya mifumo ya kutofautiana ni kutafsiri kila hali kuwa usawa. Kisha sisi grafu mfumo, kama tulivyofanya hapo juu, ili kuona eneo ambalo lina ufumbuzi. Hali nyingi zitakuwa kweli tu ikiwa vigezo vyote viwili ni chanya, kwa hiyo tunaongeza usawa kwa mfumo kama mahitaji ya ziada.

    Mfano\(\PageIndex{7}\)

    Christy anauza picha zake katika kibanda katika haki mitaani. Mwanzoni mwa siku, anataka kuwa na angalau picha 25 za kuonyesha kwenye kibanda chake. Kila picha ndogo yeye maonyesho gharama yake $4 na kila picha kubwa gharama yake $10. Hawataki kutumia zaidi ya $200 kwenye picha ili kuonyesha.

    Andika mfumo wa kutofautiana kwa mfano wa hali hii.
    b Graph mfumo.
    c Je, angeweza kuonyesha picha 10 ndogo na 20 kubwa?
    Je, anaweza kuonyesha picha 20 kubwa na 10 ndogo?

    Suluhisho:

    a.
    \(\begin{array} {ll} \text{Let} &{x=\text{the number of small photos.}} \\ {} &{y=\text{the number of large photos}}\end{array}\)

    Ili kupata mfumo wa equations kutafsiri habari.

    \( \qquad \begin{array} {l} \\ \\ \text{She wants to have at least 25 photos.} \\ \text{The number of small plus the number of large should be at least }25. \\ \hspace{45mm} x+y\geq 25 \\ \\ \\ $4 \text{ for each small and }$10\text{ for each large must be no more than }$200 \\ \hspace{40mm} 4x+10y\leq 200 \\ \\ \\ \text{The number of small photos must be greater than or equal to }0. \\ \hspace{50mm} x\geq 0 \\ \\ \\ \text{The number of large photos must be greater than or equal to }0. \\ \hspace{50mm} y\geq 0 \end{array} \)

    Tuna mfumo wetu wa equations.

    \(\hspace{65mm} \left\{\begin{array} {l} x+y\geq 25 \\4x+10y\leq 200\\x\geq 0\\y\geq 0\end{array}\right.\)

    b
    Tangu\(x\geq 0\) na\(y\geq 0\) (zote mbili ni kubwa kuliko au sawa) ufumbuzi wote utakuwa katika roboduara ya kwanza. Matokeo yake, grafu yetu inaonyesha moja tu ya quadrant.

    Kwa grafu\(x+y\geq 25\), grafu\(x+y=25\) kama mstari imara.
    Chagua\((0, 0)\) kama hatua ya mtihani. Kwa kuwa haifanyi usawa wa kweli, kivuli (nyekundu) upande ambao haujumuishi uhakika\((0, 0).\)

    Kwa grafu\(4x+10y\leq 200\), grafu\(4x+10y=200\) kama mstari imara.
    Chagua\((0, 0)\) kama hatua ya mtihani. Kwa kuwa haina kufanya usawa kweli, kivuli (bluu) upande kuwa ni pamoja na uhakika\((0, 0).\)    		 .

    Suluhisho la mfumo ni kanda ya grafu ambayo imevuliwa giza. Sehemu za mstari wa mipaka ambazo zinapakana na sehemu ya giza-kivuli zinajumuishwa katika suluhisho kama vile pointi kwenye\(x\) -axis kutoka\((25, 0)\) kwa\((55, 0).\)

    c Ili kuamua kama picha 10 ndogo na 20 kubwa zingeweza kufanya kazi, tunaangalia grafu ili kuona kama hatua\((10, 20)\) iko katika eneo la suluhisho. Tunaweza pia mtihani uhakika ili kuona kama ni suluhisho la equations zote mbili.

    Sio, Christy hakutaka kuonyesha picha 10 ndogo na 20 kubwa.

    d Kuamua kama picha 20 ndogo na 10 kubwa zingeweza kufanya kazi, tunaangalia grafu ili kuona kama hatua\((20, 10)\) iko katika eneo la suluhisho. Tunaweza pia mtihani uhakika ili kuona kama ni suluhisho la equations zote mbili.

    Ni hivyo Christy angeweza kuchagua kuonyesha picha 20 ndogo na 10 kubwa.

    Kumbuka kwamba tunaweza pia kupima ufumbuzi iwezekanavyo kwa kubadilisha maadili katika kila usawa.

    Jaribu! \(\PageIndex{13}\)

    Trailer inaweza kubeba uzito wa juu wa paundi 160 na kiasi cha juu cha miguu 15 za ujazo. Tanuri ya microwave ina uzito wa paundi 30 na ina miguu 2 ya ujazo ya kiasi, wakati printer ina uzito wa paundi 20 na ina futi 3 za ujazo za nafasi.

    Andika mfumo wa kutofautiana kwa mfano wa hali hii.
    b Graph mfumo.
    c Je, microwaves 4 na Printers 2 zinaweza kufanyika kwenye trailer hii?
    Je, microwaves 7 na Printers 3 zinaweza kufanyika kwenye trailer hii?

    Jibu

    a.\(\left\{\begin{array} {l} 30m+20p\leq 160\\2m+3p\leq 15\end{array}\right.\)
    b.

    Grafu ya mistari miwili ya kuingiliana, moja nyekundu na moja ya bluu, inavyoonyeshwa. Eneo lililofungwa na mistari miwili linaonyeshwa kwa kijivu.

    c. ndiyo
    d. hapana

    Jaribu! \(\PageIndex{14}\)

    Mary anahitaji kununua vifaa vya karatasi za majibu na penseli kwa ajili ya mtihani sanifu wa kutolewa kwa juniors katika shule yake ya sekondari. Idadi ya karatasi za jibu zinahitajika ni angalau 5 zaidi ya idadi ya penseli. Penseli zina gharama $2 na karatasi za jibu zina gharama $1. Bajeti Maria kwa ajili ya vifaa hivi inaruhusu kwa gharama ya juu ya $400.

    Andika mfumo wa kutofautiana kwa mfano wa hali hii.
    b Graph mfumo.
    c. inaweza Mary kununua 100 penseli na 100 karatasi jibu?
    d. inaweza Mary kununua 150 penseli na 150 karatasi jibu?

    Jibu

    a.\(\left\{\begin{array} {l} a\geq p+5 \\ a+2p\leq 400\end{array}\right.\)
    b.

    Grafu ya mistari miwili ya kuingiliana, moja nyekundu na moja ya bluu, inavyoonyeshwa. Eneo lililofungwa na mistari miwili linaonyeshwa kwa kijivu.

    c. hakuna
    d. hapana

    Tunapotumia vigezo vingine\(x\) na\(y\) kufafanua kiasi kisichojulikana, ni lazima tubadilishe majina ya shoka za grafu pia.

    Mfano\(\PageIndex{8}\)

    Omar anahitaji kula angalau kalori 800 kabla ya kwenda kwenye mazoezi ya timu yake. All anataka ni hamburgers na cookies, na yeye hataki kutumia zaidi ya $5. Katika mgahawa wa hamburger karibu na chuo chake, kila hamburger ina kalori 240 na gharama $1.40. Kila cookie ina kalori 160 na gharama $0.50.

    Andika mfumo wa kutofautiana kwa mfano wa hali hii.
    b Graph mfumo.
    Je, angeweza kula hamburgers 3 na cookie 1?
    Je, anaweza kula hamburgers 2 na biskuti 4?

    Suluhisho:

    a.
    \(\begin{array} {ll} \text{Let} & h=\text{the number of hamburgers.} \\ & c=\text{the number of cookies}\end{array}\)

    Ili kupata mfumo wa equations kutafsiri habari.

    Kalori kutoka hamburgers kwenye kalori 240 kila mmoja, pamoja na kalori kutoka kwa biskuti kwenye kalori 160 kila mmoja lazima iwe zaidi ya 800.

    \(\qquad \begin{array} {l} \hspace{40mm} 240h+160c\geq 800 \\ \\ \\ \text{The amount spent on hamburgers at }$1.40\text{ each, plus the amount spent on cookies}\\\text{at }$0.50\text{ each must be no more than }$5.00.\\ \hspace{40mm} 1.40h+0.50c\leq 5 \\ \\ \\ \text{The number of hamburgers must be greater than or equal to 0.} \\ \hspace{50mm} h\geq 0 \\ \text{The number of cookies must be greater than or equal to 0.}\\ \hspace{50mm} c\geq 0 \end{array} \)

    \(\text{We have our system of equations.} \qquad \left\{ \begin{array} {l} 240h+160c\geq 800 \\ 1.40h+0.50c\leq 5 \\ h\geq 0 \\ c\geq 0\end{array} \right.\)

    b
    Tangu\(h\geq 0\) na\(c\geq 0\) (zote mbili ni kubwa kuliko au sawa) ufumbuzi wote utakuwa katika roboduara ya kwanza. Matokeo yake, grafu yetu inaonyesha moja tu ya quadrant.

    Kwa grafu\(240h+160c\geq 800\), grafu\(240h+160c=800\) kama mstari imara.


    Chagua\((0, 0)\) kama hatua ya mtihani. Kwa kuwa haina kufanya usawa wa kweli, kivuli (nyekundu) upande ambao haujumuishi uhakika\((0, 0).\)    		 .

    Grafu\(1.40h+0.50c\leq 5\). Mstari wa mipaka ni\(1.40h+0.50c=5\). Sisi mtihani\((0, 0)\) na inafanya kukosekana kwa usawa kweli. Sisi kivuli upande wa mstari unaojumuisha\((0, 0).\)

    Suluhisho la mfumo ni kanda ya grafu ambayo imevuliwa giza. Sehemu za mstari wa mipaka ambazo zinapakana na sehemu ya kivuli giza zinajumuishwa katika suluhisho kama vile pointi kwenye\(x\) -axis kutoka\((5, 0)\) kwa\((10, 0).\)

    c Kuamua kama hamburgers 3 na cookies 2 zingefikia vigezo vya Omar, tunaona kama hatua\((3, 2)\) iko katika eneo la ufumbuzi. Ni, hivyo Omar anaweza kuchagua kula hamburgers 3 na cookies 2.

    Kuamua kama hamburgers 2 na vidakuzi 4 vingefikia vigezo vya Omar, tunaona kama hatua\((2, 4)\) iko katika eneo la suluhisho. Ni, Omar anaweza kuchagua kula hamburgers 2 na biskuti 4.

    Tunaweza pia kupima ufumbuzi iwezekanavyo kwa kubadilisha maadili katika kila usawa.

    Jaribu! \(\PageIndex{15}\)

    Mvutano unahitaji kula angalau kalori 1,000 za ziada kwa siku ili kujiandaa kwa ajili ya kuendesha marathon. Ana $25 tu kutumia kwenye chakula cha ziada anachohitaji na atatumia kwenye donuts za $0.75 ambazo zina kalori 360 kila mmoja na vinywaji vya nishati vya $2 ambavyo vina kalori 110.

    Andika mfumo wa kutofautiana unaofanana na hali hii.
    b Graph mfumo.
    Je, anaweza kununua donuts 8 na vinywaji 4 vya nishati na kukidhi mahitaji yake ya kalori?
    Je, anaweza kununua donut 1 na vinywaji vya nishati 3 na kukidhi mahitaji yake ya kalori?

    Jibu

    a.\(\left\{\begin{array} {l} 0.75d+2e\leq 25\\360d+110e\geq 1000\end{array}\right.\)
    b.

    Grafu ya mistari miwili ya kuingiliana, moja nyekundu na moja ya bluu, inavyoonyeshwa. Eneo lililofungwa na mistari miwili linaonyeshwa kwa kijivu.

    c. ndiyo
    d. hapana

    Jaribu! \(\PageIndex{16}\)

    Daktari wa Filipo anamwambia anapaswa kuongeza angalau kalori 1,000 zaidi kwa siku kwa mlo wake wa kawaida. Philip anataka kununua baa za protini ambazo zina gharama $1.80 kila mmoja na kuwa na kalori 140 na juisi ambazo zina gharama $1.25 kwa chupa na kuwa na kalori 125. Yeye hataki kutumia zaidi ya $12.

    Andika mfumo wa kutofautiana unaofanana na hali hii.
    b Graph mfumo.
    Je, anaweza kununua baa 3 za protini na chupa 5 za juisi?
    Je, anaweza kununua baa 5 za protini na chupa 3 za juisi?

    Jibu

    a.\(\left\{\begin{array} {l} 140p+125j\geq 1000\\1.80p+1.25j\leq 12\end{array}\right.\)
    b.

    Grafu ya mistari miwili ya kuingiliana, moja nyekundu na moja ya bluu, inavyoonyeshwa. Eneo lililofungwa na mistari miwili linaonyeshwa kwa kijivu.

    c. ndiyo
    d. hapana

    Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na mifumo ya kutatua usawa wa mstari kwa kuchora.

    • Kutatua Mifumo ya Usawa wa Linear kwa Graph
    • Mifumo ya kutofautiana kwa mstari

    Dhana muhimu

    • Ufumbuzi wa Mfumo wa Usawa wa Linear: Ufumbuzi wa mfumo wa kutofautiana kwa mstari ni maadili ya vigezo vinavyofanya kutofautiana kwa kweli. Suluhisho la mfumo wa kutofautiana kwa mstari unaonyeshwa kama eneo la kivuli katika mfumo wa\(xy\) kuratibu ambao unajumuisha pointi zote ambazo jozi zilizoamriwa zinafanya usawa wa kweli.
    • Jinsi ya kutatua mfumo wa kutofautiana kwa mstari kwa kuchora.
      1. Grafu ya usawa wa kwanza.
        Grafu mstari wa mipaka.
        Kivuli upande wa mstari wa mipaka ambapo usawa ni kweli.
      2. Kwenye gridi hiyo, grafu ya usawa wa pili.
        Grafu mstari wa mipaka.
        Kivuli upande wa mstari wa mipaka ambapo usawa ni kweli.
      3. Suluhisho ni kanda ambapo shading inakabiliwa.
      4. Angalia kwa kuchagua hatua ya mtihani.

    faharasa

    mfumo wa kutofautiana kwa mstari
    Mbili au zaidi ya usawa linear makundi pamoja kuunda mfumo wa kutofautiana linear.