Skip to main content
Global

3.2: Ulinganisho wa mstari wa Grafu katika Vigezo viwili

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    175713

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Panda pointi katika mfumo wa kuratibu mstatili
    • Grafu equation ya mstari kwa pointi za kupanga
    • Grafu mistari ya wima na ya usawa
    • Kupata\(x\) - na\(y\) -intercepts
    • Graph mstari kwa kutumia intercepts
    Kabla ya kuanza

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Tathmini\(5x−4\) lini\(x=−1\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].
    2. Tathmini\(3x−2y\) lini\(x=4,y=−3\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].
    3. Kutatua kwa\(y: 8−3y=20\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].

    Plot Pointi kwenye mfumo wa Kuratibu Rectangular

    Kama vile ramani zinazotumia mfumo wa gridi kutambua maeneo, mfumo wa gridi hutumika katika algebra kuonyesha uhusiano kati ya vigezo viwili katika mfumo wa kuratibu mstatili. Mfumo wa kuratibu mstatili pia huitwa\(xy\) -plane au “ndege ya kuratibu.”

    Mfumo wa kuratibu mstatili huundwa na mistari miwili ya namba ya intersecting, moja ya usawa na wima moja. Mstari wa nambari ya usawa huitwa\(x\) -axis. Mstari wa nambari ya wima huitwa\(y\) -axis. Axes hizi hugawanya ndege katika mikoa minne, inayoitwa quadrants. Quadrants zinatambuliwa na namba za Kirumi, kuanzia upande wa juu wa kulia na kuendelea kinyume chake. Angalia Kielelezo\(\PageIndex{1}\).

    Takwimu hii inaonyesha gridi ya mraba. usawa idadi line katikati ni kinachoitwa x. wima idadi line katikati ni kinachoitwa y. mistari idadi intersect katika sifuri na pamoja kugawanya gridi ya mraba katika 4 mraba sawa ukubwa ndogo. mraba katika haki ya juu ni kinachoitwa I. mraba katika kushoto ya juu ni kinachoitwa II. Mraba chini ya kushoto ni lebo III. Mraba chini ya kulia ni kinachoitwa IV.
    Kielelezo\(\PageIndex{1}\)

    Katika mfumo wa kuratibu mstatili, kila hatua inawakilishwa na jozi iliyoamriwa. Nambari ya kwanza katika jozi iliyoamriwa ni\(x\) -kuratibu ya uhakika, na nambari ya pili ni\(y\) -kuratibu ya uhakika. Maneno “jozi iliyoamriwa” ina maana kwamba utaratibu ni muhimu.

    kuamuru jozi

    Jozi iliyoamriwa,\((x,y)\) inatoa kuratibu ya uhakika katika mfumo wa kuratibu mstatili. Nambari ya kwanza ni\(x\) -kuratibu. Nambari ya pili ni\(y\) -kuratibu.

    Takwimu hii inaonyesha maneno (x, y). x variable ni kinachoitwa x-kuratibu. y variable ni lebo y-kuratibu.

    Je, ni jozi iliyoamriwa ya uhakika ambapo axes huvuka? Katika hatua hiyo kuratibu zote mbili ni sifuri, hivyo jozi yake iliyoamriwa\((0,0)\) ni.Hatua\((0,0)\) ina jina maalum. Inaitwa asili.

    Mwanzo

    Hatua\((0,0)\) inaitwa asili. Ni hatua ambapo\(x\) -axis na\(y\) -axis intersect.

    Tunatumia kuratibu Machapisho uhakika juu ya\(xy\) -plane. Hebu tufanye njama\((1,3)\) kama mfano. Kwanza, tafuta 1 kwenye\(x\) mhimili na mchoro mdogo mstari wa wima kupitia\(x=1\). Kisha, Machapisho\(3\) juu ya\(y\) -axis na mchoro mstari usawa kupitia\(y=3.\) Sasa, kupata uhakika ambapo mistari hizi mbili kukutana - kwamba ni uhakika na kuratibu\((1,3)\). Angalia Kielelezo\(\PageIndex{2}\).

    Takwimu hii inaonyesha hatua iliyopangwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Hatua (1, 3) imeandikwa. Mstari wa wima uliopigwa hupitia hatua na huingilia kati ya x-axis kwenye xplus1. Mstari wa usawa uliopigwa hupitia hatua na huingilia mhimili wa y kwenye yplus3.
    Kielelezo\(\PageIndex{2}\)

    Angalia kwamba mstari wa wima kupitia\(x=1\) na mstari usio na usawa kupitia\(y=3\) sio sehemu ya grafu. Tulitumia tu kutusaidia kupata uhakika\((1,3)\).

    Wakati moja ya kuratibu ni sifuri, hatua iko kwenye moja ya axes. Katika\(\PageIndex{3},\) Kielelezo uhakika\((0,4)\) ni juu ya\(y\) -axis na uhakika\((−2,0)\) ni juu ya\(x\) -axis.

    Takwimu hii inaonyesha pointi zilizopangwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Hatua (hasi 2, 0) imeandikwa na iko kwenye mhimili wa x. Hatua (0, 4) imeandikwa na iko kwenye mhimili wa y.
    Kielelezo\(\PageIndex{3}\)
    POINTI JUU YA AXES
    • Pointi na\(y\) -kuratibu sawa na\(0\) ni juu ya\(x\) -axis, na kuwa na kuratibu\((a,0)\).
    • Pointi na\(x\) -kuratibu sawa na\(0\) ni juu ya\(y\) -axis, na kuwa na kuratibu\((0,b)\).
    Mfano\(\PageIndex{1}\)

    Panda kila hatua katika mfumo wa kuratibu mstatili na kutambua quadrant ambayo hatua iko:

    a.\((−5,4\)) b.\((−3,−4)\) c.\((2,−3)\) d.\((0,−1)\) e\((3,\dfrac{5}{2})\).

    Suluhisho

    Nambari ya kwanza ya jozi ya kuratibu ni\(x\) -kuratibu, na namba ya pili ni\(y\) -kuratibu. Ili kupanga kila hatua, mchoro mstari wa wima kupitia\(x\) -kuratibu na mstari usio na usawa kupitia\(y\) -kuratibu. Mfululizo wao ni hatua.

    1. Tangu\(x=−5\), hatua ni upande wa kushoto wa\(y\) -axis. Pia, tangu\(y=4\), hatua ni juu ya\(x\) -axis. Hatua\((−5,4)\) ni katika Quadrant II.
    2. Tangu\(x=−3\), hatua ni upande wa kushoto wa\(y\) -axis. Pia, tangu\(y=−4\), hatua ni chini ya\(x\) -axis. Hatua\((−3,−4)\) ni katika Quadrant III.
    3. Tangu\(x=2\), hatua ni ya haki ya\(y\) -axis. Tangu\(y=−3\), hatua ni chini ya\(x\) -axis. Hatua\((2,−3)\) ni katika Quadrant IV.
    4. Tangu\(x=0\), hatua ambayo kuratibu\((0,−1)\) ni juu ya\(y\) -axis.
    5. Tangu\(x=3\), hatua ni ya haki ya\(y\) -axis. Tangu\(y=\dfrac{5}{2})\), hatua ni juu ya\(x\) -axis. (Inaweza kuwa na manufaa kuandika\(\dfrac{5}{2})\) kama nambari iliyochanganywa au decimal.) Hatua\((3,\dfrac{5}{2})\) ni katika Quadrant I.

    Takwimu hii inaonyesha pointi zilizopangwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Pointi zifuatazo zimeandikwa: (3, 5 imegawanywa na 2), (hasi 2, 3), hasi 5, 4), (hasi 3, hasi 4), na (2, hasi 3).

    Jaribu! \(\PageIndex{1}\)

    Panda kila hatua katika mfumo wa kuratibu mstatili na kutambua quadrant ambayo hatua iko:

    a.\((−2,1)\) b.\((−3,−1)\) c.\((4,−4)\) d.\((−4,4)\) e.\((−4,\dfrac{3}{2})\)

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha pointi zilizopangwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Hatua iliyoandikwa a ni vitengo 2 upande wa kushoto wa asili na kitengo 1 juu ya asili na iko katika roboduara II. Hatua iliyoandikwa b ni vitengo 3 upande wa kushoto wa asili na kitengo 1 chini ya asili na iko katika quadrant III. Hatua iliyoandikwa c ni vitengo 4 kwa haki ya asili na vitengo 4 chini ya asili na iko katika quadrant IV. Hatua iliyoandikwa d ni vitengo 4 upande wa kushoto wa asili na vitengo 4 juu ya asili na iko katika quadrant II. Hatua iliyoandikwa e ni vitengo 4 upande wa kushoto wa asili na vitengo 1 na nusu juu ya asili na iko katika quadrant II.

    Jaribu! \(\PageIndex{2}\)

    Panda kila hatua katika mfumo wa kuratibu mstatili na kutambua quadrant ambayo hatua iko:

    a.\((−4,1)\) b.\((−2,3)\) c.\((2,−5)\) d.\((−2,5)\) e.\((−3,\dfrac{5}{2})\)

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha pointi zilizopangwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Hatua iliyoandikwa a ni vitengo 4 upande wa kushoto wa asili na kitengo 1 juu ya asili na iko katika roboduara II. Hatua iliyoandikwa b ni vitengo 2 upande wa kushoto wa asili na vitengo 3 juu ya asili na iko katika quadrant II. Hatua iliyoandikwa c ni vitengo 2 kwa haki ya asili na vitengo 5 chini ya asili na iko katika quadrant IV. Hatua iliyoandikwa d ni vitengo 2 upande wa kushoto wa asili na vitengo 5 juu ya asili na iko katika quadrant II. Hatua iliyoandikwa e ni vitengo 3 upande wa kushoto wa asili na vitengo 2 na nusu juu ya asili na iko katika quadrant II.

    Ishara za\(x\) -kuratibu na\(y\) -kuratibu huathiri eneo la pointi. Huenda umeona baadhi ya ruwaza kama ulivyoweka pointi katika mfano uliopita. Tunaweza muhtasari mifumo ya ishara ya quadrants kwa njia hii:

    QUADRANTS
    Quadrant I Quadrant II Quadrant III Quadrant IV
    \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\)
    \((+,+)\) \((−,+)\) \((−,−)\) \((+,−)\)

    Takwimu hii inaonyesha x y-kuratibu ndege na quadrants nne kinachoitwa. Katika haki ya juu ya ndege ni quadrant mimi lebo (pamoja, pamoja). Katika upande wa kushoto wa ndege ni quadrant II iliyoandikwa (minus, plus). Chini ya kushoto ya ndege ni quadrant III iliyoandikwa (minus, minus). Katika haki ya chini ya ndege ni quadrant IV iliyoandikwa (pamoja, minus).

    Hadi sasa, equations wote una kutatuliwa walikuwa equations na variable moja tu. Katika karibu kila kesi, wakati kutatuliwa equation got hasa ufumbuzi moja. Lakini equations inaweza kuwa na variable zaidi ya moja. Ulinganisho na vigezo viwili inaweza kuwa ya fomu\(Ax+By=C\). Equation ya fomu hii inaitwa equation linear katika vigezo mbili.

    Mlinganyo wa mstari

    Equation ya fomu\(Ax+By=C\), wapi\(A\) na\(B\) si wote sifuri, inaitwa equation linear katika vigezo mbili.

    Hapa ni mfano wa equation linear katika vigezo mbili,\(x\) na\(y\).

    \ (\ kuanza {align*} {\ rangi {BrickRed} A} x + {\ rangi {Blue Royal} B} y &= {\ rangi {msitu kijani} C}\\ [5pt]
    x+ {\ rangi {Royal Blue} 4} y & = {\ rangi {msitu kijani} 8}\ mwisho {align*}\)

    \({\color{BrickRed}A = 1}\),\({\color{RoyalBlue}B = 4}\),\({\color{forestgreen}C=8}\)

    Equation pia\(y=−3x+5\) ni equation linear. Lakini haionekani kuwa katika fomu\(Ax+By=C\). Tunaweza kutumia Mali ya Kuongeza ya Usawa na kuandika tena kwa\(Ax+By=C\) fomu.

    \[ \begin{array} {lrll} {} &{y} &= &{-3x+5} \\ {\text{Add to both sides.} } &{y+3x} &= &{3x+5+3x} \\ {\text{Simplify.} } &{y+3x} &= &{5} \\ {\text{Use the Commutative Property to put it in} } &{} &{} &{} \\ {Ax+By=C\text{ form.} } &{3x+y} &= &{5} \end{array} \nonumber\]

    By kuandika upya\(y=−3x+5\) kama\(3x+y=5\), tunaweza kuona kwa urahisi kwamba ni equation linear katika vigezo mbili kwa sababu ni ya fomu\(Ax+By=C\). Wakati equation iko katika fomu\(Ax+By=C\), tunasema ni katika hali ya kiwango cha equation linear.

    Fomu ya kawaida ya Ulinganisho wa Mstari

    Equation linear ni katika hali ya kawaida wakati imeandikwa\(Ax+By=C\).

    Watu wengi wanapendelea\(C\) kuwa\(A,\)\(B,\) na kuwa integers na\(A \geq 0\) wakati wa kuandika equation linear katika fomu ya kawaida, ingawa si lazima madhubuti.

    Ulinganisho wa mstari una ufumbuzi mkubwa sana. Kwa kila idadi ambayo ni kubadilishwa kwa\(x\) kuna sambamba\(y\) -thamani. Jozi hii ya maadili ni suluhisho la equation linear na inawakilishwa na jozi iliyoamriwa\((x,y)\). Wakati sisi badala maadili haya ya\(x\) na\(y\) katika equation, matokeo yake ni kauli ya kweli, kwa sababu thamani upande wa kushoto ni sawa na thamani upande wa kulia.

    Suluhisho la Equation Linear katika Vigezo viwili

    Jozi iliyoamriwa\((x,y)\) ni suluhisho la equation linear\(Ax+By=C\), ikiwa equation ni taarifa ya kweli wakati\(x\) - na\(y\) -maadili ya jozi iliyoamriwa yanabadilishwa katika equation.

    Ulinganisho wa mstari una ufumbuzi mkubwa sana. Tunaweza kupanga ufumbuzi huu katika mfumo wa kuratibu mstatili. Pointi zitasimama kikamilifu katika mstari wa moja kwa moja. Tunaunganisha pointi kwa mstari wa moja kwa moja ili kupata grafu ya equation. Tunaweka mishale kwenye mwisho wa kila upande wa mstari ili kuonyesha kwamba mstari unaendelea kwa njia zote mbili.

    Grafu ni uwakilishi wa kuona wa ufumbuzi wote wa equation. Ni mfano wa msemo huo, “Picha ina thamani ya maneno elfu.” Mstari unaonyesha ufumbuzi wote wa equation hiyo. Kila hatua kwenye mstari ni suluhisho la equation. Na, kila ufumbuzi wa equation hii ni juu ya mstari huu. Mstari huu unaitwa grafu ya equation. Pointi si kwenye mstari sio ufumbuzi!

    GRAFU YA EQUATION YA MSTARI

    Grafu ya equation ya mstari\(Ax+By=C\) ni mstari wa moja kwa moja.

    • Kila hatua kwenye mstari ni suluhisho la equation.
    • Kila ufumbuzi wa equation hii ni hatua juu ya mstari huu.
    Mfano\(\PageIndex{2}\)

    Grafu ya\(y=2x−3\) inavyoonyeshwa.

    Takwimu hii inaonyesha mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari una mishale kwenye mwisho wote na hupitia pointi (hasi 3, hasi 9), (hasi 2, hasi 7), (hasi 1, hasi 5), (0, hasi 3), (1, hasi 1), (2, 1), (3, 3), (4, 5), (5, 7), na (6, 9). Mstari umeandikwa y pamoja na 2 x minus 3.

    Kwa kila jozi iliyoamriwa, chagua:

    1. Je, jozi iliyoamriwa ni suluhisho la equation?
    2. Je, ni hatua kwenye mstari?

    A:\((0,−3)\) B:\((3,3)\) C:\((2,−3)\) D:\((−1,−5)\)

    Suluhisho:

    Mbadala\(x\) - na\(y\) -maadili katika equation kuangalia kama jozi kuamuru ni suluhisho la equation.

    a.

    Mfano A inaonyesha jozi kuamuru (0, hasi 3). Chini ya hii ni equation y plus 2 x minus 3. Chini ya hii ni equation hasi 3 sawa mara 2 0 minus 3. Hasi 3 na 0 ni rangi sawa na hasi 3 na 0 katika jozi iliyoamriwa hapo juu. Kuna alama ya swali juu ya ishara ya pamoja. Chini hii ni equation hasi 3 pamoja na hasi 3. Chini ya hii ni taarifa (0, hasi 3) ni suluhisho. Mfano B unaonyesha jozi iliyoamriwa (3, 3). Chini ya hii ni equation y plus 2 x minus 3. Chini ya hii ni equation 3 sawa mara 2 3 minus 3. Ya 3 na 3 ni rangi sawa na 3 na 3 katika jozi iliyoamriwa hapo juu. Kuna alama ya swali juu ya ishara ya pamoja. Chini hii ni equation 3 pamoja 3. Chini ya hii ni taarifa (3, 3) ni suluhisho. Mfano C inaonyesha jozi kuamuru (2, hasi 3). Chini ya hii ni equation y plus 2 x minus 3. Chini ya hii ni equation hasi 3 sawa mara 2 2 minus 3. Hasi 3 na 2 ni rangi sawa na hasi 3 na 2 katika jozi iliyoamriwa hapo juu. Kuna alama ya swali juu ya ishara ya pamoja. Chini hii ni usawa hasi 3 si sawa na 1. Chini ya hii ni taarifa (2, hasi 3) sio suluhisho. Mfano D inaonyesha jozi iliyoamriwa (hasi 1, hasi 5). Chini ya hii ni equation y plus 2 x minus 3. Chini ya hii ni equation hasi 5 sawa mara 2 hasi 1 minus 3. Hasi 1 na hasi 5 ni rangi sawa na hasi 1 na hasi 5 katika jozi iliyoamriwa hapo juu. Kuna alama ya swali juu ya ishara ya pamoja. Chini hii ni equation hasi 5 pamoja na hasi 5. Chini ya hii ni taarifa (hasi 1, hasi 5) ni suluhisho.

    b Plot pointi\((0,−3)\),\((3,3)\),\((2,−3)\), na\((−1,−5)\).

    Takwimu hii inaonyesha grafu ya equation ya mstari y pamoja na 2 x minus 3 na baadhi ya pointi zilizowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari una mishale kwenye mwisho wote na huenda kupitia pointi (hasi 1, hasi 5), (0, hasi 3), na (3, 3). Hatua (2, hasi 3) pia imepangwa lakini sio kwenye mstari.

    pointi\((0,3)\),\((3,−3)\), na\((−1,−5)\) ni juu ya mstari\(y=2x−3\), na uhakika\((2,−3)\) si kwenye mstari.

    Vipengele ambavyo ni ufumbuzi wa\(y=2x−3\) ni kwenye mstari, lakini hatua ambayo sio suluhisho sio kwenye mstari.

    Jaribu! \(\PageIndex{3}\)

    Matumizi graph ya\(y=3x−1\). Kwa kila jozi iliyoamriwa, chagua:

    a. jozi kuamuru ufumbuzi wa equation?
    b Je, ni uhakika juu ya mstari?

    A\((0,−1)\) B\((2,5)\)

    Takwimu hii inaonyesha mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari una mishale kwenye mwisho wote na hupitia pointi (hasi 3, hasi 10), (hasi 2, hasi 7), (hasi 1, hasi 4), (0, hasi 1), (1, 2), (2, 5), na (3, 8). Mstari umeandikwa y pamoja na 3 x minus 1.

    Jibu

    a. ndiyo b. ndiyo

    Jaribu! \(\PageIndex{4}\)

    Matumizi graph ya\(y=3x−1\). Kwa kila jozi iliyoamriwa, chagua:

    a. jozi kuamuru ufumbuzi wa equation?
    b Je, ni uhakika juu ya mstari?

    A\((3,−1)\) B\((−1,−4)\)

    Takwimu hii inaonyesha mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari una mishale kwenye mwisho wote na hupitia pointi (hasi 3, hasi 10), (hasi 2, hasi 7), (hasi 1, hasi 4), (0, hasi 1), (1, 2), (2, 5), na (3, 8). Mstari umeandikwa y pamoja na 3 x minus 1.

    Jibu

    a. hapana b. ndiyo

    Graph Equation Linear na Pointi Plotting

    Kuna mbinu kadhaa ambazo zinaweza kutumika kwa grafu equation linear. Njia ya kwanza tutakayotumia inaitwa pointi za kupanga, au Njia ya Point-Plotting. Tunapata pointi tatu ambazo kuratibu ni ufumbuzi wa equation na kisha kuzipanga katika mfumo wa kuratibu mstatili. Kwa kuunganisha pointi hizi katika mstari, tuna grafu ya equation linear.

    Mfano\(\PageIndex{3}\): How to Graph a Linear Equation by Plotting Points

    Grafu equation\(y=2x+1\) kwa pointi njama.

    Suluhisho:

    Hatua ya 1 ni Kupata pointi tatu ambazo kuratibu ni ufumbuzi wa equation. Unaweza kuchagua maadili yoyote kwa x au y Katika kesi hii tangu y imetengwa upande wa kushoto wa milinganyo, ni rahisi kuchagua maadili kwa x. Sisi badala hii katika equation y plus 2 x plus 1 ili kupata y pamoja na mara 2 0 pamoja na 1. Hii simplifies kwa y plus 0 pamoja 1. Hivyo y pamoja na 1. Kuchagua x pamoja 1. Sisi badala hii katika equation y plus 2 x plus 1 ili kupata y pamoja na mara 2 1 pamoja na 1. Hii simplifies kwa y plus 2 pamoja 1. Hivyo y pamoja 3. Kuchagua x pamoja hasi 2. Sisi badala hii katika equation y plus 2 x plus 1 ili kupata y pamoja na mara 2 hasi 2 pamoja na 1. Hii simplifies kwa y plus hasi 4 pamoja 1. Ya y pamoja hasi 3. Kisha tunataka kuandaa ufumbuzi katika meza. Kwa tatizo hili tutaweka ufumbuzi tatu tulizopata tu kwenye meza. Jedwali lina safu 5 na nguzo 3. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na equation y plus 2 x plus 1. Mstari wa pili ni mstari wa kichwa na vichwa x, y, na (x, y). Mstari wa tatu una namba 0, 1, na (0, 1). Mstari wa nne una namba 1, 3, na (1, 3). Mstari wa tano una namba hasi 2, hasi 3, na (hasi 2, hasi 3).Hatua ya 2 ni kupanga njama katika mfumo wa kuratibu mstatili. Plot: (0, 1), (1, 3), (hasi 2, hasi 3). Takwimu hiyo inaonyesha grafu ya pointi fulani zilizopangwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Vipengele (0, 1), (1, 3), na (hasi 2, hasi 3) vinapangwa. Angalia kwamba pointi zinaendelea. Ikiwa hawana, angalia kwa makini kazi yako! Je, hatua ya mstari juu? Ndiyo, pointi katika mfano huu zinaendelea.Hatua ya 3 ni kuteka mstari kupitia pointi tatu. Panua mstari kujaza gridi ya taifa na kuweka mishale kwenye mwisho wa mstari. Mstari huu ni grafu ya y plus 2 x plus 1. Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Vipengele (hasi 2, hasi 3), (0, 1), na (1, 3) vinapangwa. Mstari wa moja kwa moja unapitia pointi tatu na una mishale kwenye ncha zote mbili.

    Jaribu! \(\PageIndex{5}\)

    Grafu equation kwa pointi njama:\(y=2x−3\).

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari unaendelea kupitia pointi (hasi 2, hasi 7), (hasi 1, hasi 5), (0, hasi 3), (1, hasi 1), (2, 1), (3, 3), (4, 5), na (5, 7).

    Jaribu! \(\PageIndex{6}\)

    Grafu equation kwa pointi njama:\(y=−2x+4\).

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari unaendelea kupitia pointi (hasi 2, 8), (hasi 1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0), (3, hasi 2), (4, hasi 4), (5, hasi 6) na (6, hasi 8).

    Hatua za kuchukua wakati wa kuchora usawa wa mstari kwa pointi za kupanga njama zinafupishwa hapa.

    GRAFU USAWA WA MSTARI KWA POINTI ZA KUPANGA
    1. Pata pointi tatu ambazo kuratibu ni ufumbuzi wa equation. Kuwaandaa katika meza.
    2. Panda pointi katika mfumo wa kuratibu mstatili. Angalia kwamba pointi zinaendelea. Ikiwa hawana, angalia kwa makini kazi yako.
    3. Chora mstari kupitia pointi tatu. Panua mstari kujaza gridi ya taifa na kuweka mishale kwenye mwisho wa mstari.

    Ni kweli kwamba inachukua pointi mbili tu kuamua mstari, lakini ni tabia nzuri ya kutumia pointi tatu. Ikiwa unapanga tu pointi mbili na mmoja wao si sahihi, bado unaweza kuteka mstari lakini hautawakilisha ufumbuzi wa equation. Itakuwa mstari usio sahihi.

    Ikiwa unatumia pointi tatu, na moja si sahihi, pointi hazitasimama. Hii inakuambia kitu kibaya na unahitaji kuangalia kazi yako. Angalia tofauti kati ya vielelezo hivi.

    Takwimu inaonyesha picha mbili. Katika picha ya kwanza kuna pointi tatu na mstari wa moja kwa moja unaopitia zote tatu. Katika picha ya pili kuna pointi tatu ambazo sio wote kwenye mstari wa moja kwa moja.

    Wakati equation ni pamoja na sehemu kama mgawo wa\(x,\) tunaweza bado mbadala idadi yoyote kwa\(x.\) Lakini hesabu ni rahisi kama sisi kufanya “nzuri” uchaguzi kwa ajili ya maadili ya njia\(x.\) hii sisi kuepuka majibu sehemu, ambayo ni vigumu graph usahihi.

    Mfano\(\PageIndex{4}\)

    Grafu equation:\(y=\frac{1}{2}x+3\).

    Suluhisho:

    Pata pointi tatu ambazo ni ufumbuzi wa equation. Kwa kuwa equation hii ina sehemu\(\dfrac{1}{2}\) kama mgawo wa\(x,\) sisi kuchagua maadili ya\(x\) makini. Tutatumia sifuri kama chaguo moja na mafungu ya\(2\) kwa uchaguzi mwingine. Kwa nini mafungu ya mbili uchaguzi mzuri kwa ajili ya maadili ya\(x\)? Kwa kuchagua wingi wa\(2\) kuzidisha kwa\(\dfrac{1}{2}\) simplifies kwa idadi nzima

    Seti ya kwanza ya equations huanza na x plus 0. Chini ya hii ni equation y plus 1 nusu x pamoja 3. Chini ya hii ni equation y plus 1 mara nusu 0 pamoja 3. Chini hii ni equation y plus 0 pamoja 3. Chini hii ni equation y plus 3. Seti ya pili ya equations huanza na x pamoja na 2. Chini ya hii ni equation y plus 1 nusu x pamoja 3. Chini ya hii ni equation y pamoja 1 mara nusu 2 pamoja 3. Chini hii ni equation y plus 1 pamoja 3. Chini hii ni equation y plus 4. Seti ya tatu ya equations huanza na x pamoja na 4. Chini ya hii ni equation y plus 1 nusu x pamoja 3. Chini ya hii ni equation y pamoja 1 mara nusu 4 pamoja 3. Chini hii ni equation y plus 2 pamoja 3. Chini hii ni equation y plus 5.

    Pointi zinaonyeshwa katika Jedwali.

    \(y=\frac{1}{2}x+3\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    0 3 \((0,3)\)
    2 4 \((2,4)\)
    4 5 \((4,5)\)

    Panda pointi, angalia kwamba wanaendelea, na kuteka mstari.

    Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 7 hadi 7. Vipengele (0, 3), (2, 4), na (4, 5) vinapangwa. Mstari wa moja kwa moja unapitia pointi tatu na una mishale kwenye ncha zote mbili. Mstari umeandikwa y pamoja na 1 imegawanywa na mara 2 x pamoja na 3.

    Jaribu! \(\PageIndex{7}\)

    Grafu equation:\(y=\frac{1}{3}x−1\).

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mstari unaendelea kupitia pointi (hasi 12, hasi 5), (hasi 9, hasi 4), (hasi 6, hasi 3), (hasi 3, hasi 2), (0, hasi 1), (3, 0), (6, 1), (9, 2), na (12, 3).

    Jaribu! \(\PageIndex{8}\)

    Grafu equation:\(y=\frac{1}{4}x+2\).

    Jibu

    Takwimu hii inaonyesha mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mstari unaendelea kupitia pointi (hasi 12, hasi 1), (hasi 8, 0), (hasi 4, 1), (0, 2), (4, 3), (8, 4), na (12, 5).

    Grafu Mstari wa Wima na Ulalo

    Baadhi ya equations linear na variable moja tu. Wanaweza kuwa\(x\) na haki na hapana\(y,\) au tu\(y\) bila\(x.\) Hii inabadilisha jinsi tunavyofanya meza ya maadili ili kupata pointi za kupanga njama.

    Hebu fikiria equation\(x=−3\). equation hii ina variable moja tu,\(x.\) equation anasema kwamba daima\(x\) ni sawa na\(−3\), hivyo thamani yake haina hutegemea\(y.\) Hakuna jambo gani ni thamani\(y,\) ya thamani ya\(x\) daima\(−3\).

    Ili kufanya meza ya maadili, ingiza\(−3\) kwa\(x\) maadili yote. Kisha chagua maadili yoyote kwa\(y.\) Tangu\(x\) haitegemei\(y,\) unaweza kuchagua namba yoyote unayopenda. Lakini kwa kifafa pointi juu ya kuratibu wetu graph, tutaweza kutumia 1, 2, na 3 kwa ajili ya\(y\) kuratibu -. Angalia Jedwali.

    \(x=−3\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    \(−3\) 1 \((−3,1)\)
    \(−3\) 2 \((−3,2)\)
    \((−3,)\) 3 \((−3,3)\)

    Panda pointi kutoka meza na uunganishe kwa mstari wa moja kwa moja. Kumbuka kwamba tuna graphed line wima.

    Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa wima wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 7 hadi 7. Vipengele (hasi 3, 1), (hasi 3, 2), na (hasi 3, 3) vinapangwa. Mstari unaendelea kupitia pointi tatu na ina mishale kwenye ncha zote mbili. Mstari umeandikwa x pamoja na hasi 3.

    Nini kama equation ina\(y\) lakini hapana\(x\)? Hebu graph equation\(y=4\). Wakati huu thamani y- ni mara kwa mara, hivyo katika equation hii,\(y\) haitegemei\(x.\) Jaza\(4\) kwa wote katika Jedwali na kisha kuchagua maadili yoyote kwa\(x.\) Tutaweza kutumia 0, 2, na 4 kwa ajili ya\(x\) kuratibu -.\(y\)

    \(y=4\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    0 4 \((0,4)\)
    2 4 \((2,4)\)
    4 4 \((4,4)\)

    Katika takwimu hii, tumeweka mstari usio na usawa unaopita kupitia\(y\) -axis\(4.\)

    Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja usawa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 7 hadi 7. Vipengele (0, 4), (2, 4), na (4, 4) vinapangwa. Mstari unaendelea kupitia pointi tatu na ina mishale kwenye ncha zote mbili. Mstari umeandikwa y plus 4.

    MISTARI YA WIMA NA USAWA

    Mstari wa wima ni grafu ya equation ya fomu\(x=a\).

    Mstari unapita kupitia\(x\) -axis saa\((a,0)\).

    Mstari wa usawa ni grafu ya equation ya fomu\(y=b\).

    Mstari unapita kupitia\(y\) -axis saa\((0,b)\).

    Mfano\(\PageIndex{5}\)

    Grafu: a.\(x=2\) b\(y=−1\).

    Suluhisho

    a. equation ina variable moja tu,\(x,\) na daima\(x\) ni sawa na\(2.\) Sisi kujenga meza ambapo\(x\) ni daima\(2\) na kisha kuweka katika maadili yoyote kwa\(y.\) grafu ni mstari wima kupita kwa njia ya\(x\) -axis katika\(2.\)

    \(x=2\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    \ (x\)” data-valign="midle">2 \ (y\)” data-valign="middle">1 \ ((x, y)\)” data-valign="middle">\((2,1)\)
    \ (x\)” data-valign="midle">2 \ (y\)” data-valign="midle">2 \ ((x, y)\)” data-valign="middle">\((2,2)\)
    \ (x\)” data-valign="midle">2 \ (y\)” data-valign="middle">3 \ ((x, y)\)” data-valign="middle">\((2,3)\)

    Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa wima wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 7 hadi 7. Vipengele (2, 1), (2, 2), na (2, 3) vinapangwa. Mstari unaendelea kupitia pointi tatu na ina mishale kwenye ncha zote mbili. Mstari umeandikwa x pamoja na 2.

    b Vile vile, equation\(y=−1\) ina variable moja tu,\(y\). Thamani ya\(y\) ni mara kwa mara. Jozi zote zilizoamriwa katika meza inayofuata zina sawa\(y\) -kuratibu. Grafu ni mstari usio na usawa unaopita kupitia\(y\) -axis\(−1.\)

    \(y=−1\)
    \(\mathbf{x}\) \(\mathbf{ y}\) \(\mathbf{(x,y)}\)
    \ (\ mathbf {x}\)” data-valign="middle">0 \ (\ mathbf {y}\)” data-valign="middle">\(−1\) \ (\ mathbf {(x, y)}\)” data-valign="middle">\((0,−1)\)
    \ (\ mathbf {x}\)” data-valign="middle">3 \ (\ mathbf {y}\)” data-valign="middle">\(−1\) \ (\ mathbf {(x, y)}\)” data-valign="middle">\((3,−1)\)
    \ (\ mathbf {x}\)” data-valign="middle">\(−3\) \ (\ mathbf {y}\)” data-valign="middle">\(−1\) \ (\ mathbf {(x, y)}\)” data-valign="middle">\((−3,−1)\)

    Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja usawa kwenye ndege ya kuratibu xy-. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 7 hadi 7. Vipengele (-3, -1), (0, -1), na (3, -1) vinapangwa. Mstari unaendelea kupitia pointi tatu na ina mishale kwenye ncha zote mbili. Mstari umeandikwa y sawa na hasi 1..

    Jaribu! \(\PageIndex{9}\)

    G Raph equations: a.\(x=5\) b. \(y=−4\).

    Jibu

    a.

    Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa wima wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mstari unaendelea kupitia pointi (5, hasi 3), (5, hasi 2), (5, hasi 1), (5, 0), (5, 1), (5, 2), na (5, 3).

    b.

    Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja usawa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mstari unaendelea kupitia pointi (hasi 3, hasi 4), (hasi 2, hasi 4), (hasi 1, hasi 4), (0, hasi 4), (1, hasi 4), (2, hasi 4), na (3, hasi 4).

    Jaribu! \(\PageIndex{10}\)

    G Raph equations: a.\(x=−2\) b. \(y=3\).

    Jibu

    a.

    Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa wima wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mstari unaendelea kupitia pointi (hasi 2, hasi 3), (hasi 2, hasi 2), (hasi 2, hasi 1), (hasi 2, 0), (hasi 2, 1), (hasi 2, 2), na (hasi 2, 3).

    b.

    Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja usawa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mstari unaendelea kupitia pointi (hasi 3, 3), (hasi 2, 3), (hasi 1, 3), (0, 3), (1, 3), (2, 3), na (3, 3).

    Ni tofauti gani kati ya equations\(y=4x\) na\(y=4\)?

    equation\(y=4x\) ina wote\(x\) na Thamani\(y.\) ya\(y\) inategemea thamani ya\(x,\) hivyo\(y\) -kuratibu mabadiliko kulingana na thamani ya\(x.\) equation\(y=4\) ina variable moja tu. Thamani ya\(y\) mara kwa mara, haitegemei thamani ya\(x,\) hivyo\(y\) -kuratibu daima\(4.\)

    Takwimu hii ina meza mbili. Jedwali la kwanza lina safu 5 na nguzo 3. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na equation y pamoja 4 x. mstari wa pili ni mstari header na headers x, y, na (x, y). Mstari wa tatu una namba 0, 0, na (0, 0). Mstari wa nne una namba 1, 4, na (1, 4). Mstari wa tano una namba 2, 8, na (2, 8). Jedwali la pili lina safu 5 na nguzo 3. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na equation y plus 4. Mstari wa pili ni mstari wa kichwa na vichwa x, y, na (x, y). Mstari wa tatu una namba 0, 4, na (0, 4). Mstari wa nne una namba 1, 4, na (1, 4). Mstari wa tano una namba 2, 4, na (2, 4).Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja usawa na mstari wa moja kwa moja uliopandwa kwenye ndege sawa ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 7 hadi 7. Mstari wa usawa unaendelea kupitia pointi (0, 4), (1, 4), na (2,4) na imeandikwa y pamoja na 4. Mstari uliopandwa unapitia pointi (0, 0), (1, 4), na (2, 8) na umeandikwa y pamoja na 4 x.

    Angalia, katika grafu, equation\(y=4x\) inatoa mstari uliopandwa, wakati\(y=4\) unatoa mstari usio na usawa.

    Mfano\(\PageIndex{6}\)

    Grafu\(y=−3x\) na\(y=−3\) katika mfumo huo wa kuratibu mstatili.

    Suluhisho:

    Tunaona kwamba equation kwanza ina variable\(x,\) wakati wa pili hana. Tunafanya meza ya pointi kwa kila equation na kisha graph mistari. Grafu mbili zinaonyeshwa.

    Takwimu hii ina meza mbili. Jedwali la kwanza lina safu 5 na nguzo 3. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na equation y plus hasi 3 x. mstari wa pili ni mstari header na headers x, y, na (x, y). Mstari wa tatu una namba 0, 0, na (0, 0). Mstari wa nne una namba 1, hasi 3, na (1, hasi 3). Mstari wa tano una namba 2, hasi 6, na (2, neg ative 6). Jedwali la pili lina safu 5 na nguzo 3. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na equation y plus hasi 3. Mstari wa pili ni mstari wa kichwa na vichwa x, y, na (x, y). Mstari wa tatu una namba 0, hasi 3, na (0, hasi 3). Mstari wa nne una namba 1, hasi 3, na (1, hasi 3). Mstari wa tano una namba 2, hasi 3, na (2, hasi 3).

    Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja usawa na mstari wa moja kwa moja uliopandwa kwenye ndege sawa ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 7 hadi 7. Mstari wa usawa unaendelea kupitia pointi (0, hasi 3), (1, hasi 3), na (2, hasi 3) na imeandikwa y pamoja na hasi 3. Mstari uliopandwa unapitia pointi (0, 0), (1, hasi 3), na (2, hasi 6) na imeandikwa y pamoja na hasi 3 x.

    Jaribu! \(\PageIndex{11}\)

    Grafu milinganyo katika mfumo huo wa kuratibu mstatili:\(y=−4x\) na\(y=−4\).

    Jibu

    Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja usawa na mstari wa moja kwa moja uliopandwa kwenye ndege sawa ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mstari wa usawa unaendelea kupitia pointi (0, hasi 4), (1, hasi 4), na (2, hasi 4). Mstari uliopandwa unapitia pointi (0, 0), (1, hasi 4), na (2, hasi 8).

    Jaribu! \(\PageIndex{12}\)

    Grafu milinganyo katika mfumo huo wa kuratibu mstatili:\(y=3\) na\(y=3x\).

    Jibu

    Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja usawa na mstari wa moja kwa moja uliopandwa kwenye ndege sawa ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mstari wa usawa unaendelea kupitia pointi (0, 3), (1, 3), na (2, 3). Mstari uliopandwa unapitia pointi (0, 0), (1, 3), na (2, 6).

    Kupata\(x\) - na\(y\) -intercepts

    Kila equation linear inaweza kuwakilishwa na mstari wa kipekee ambayo inaonyesha ufumbuzi wote wa equation. Tumeona kwamba wakati wa kuchora mstari kwa kupanga njama, unaweza kutumia ufumbuzi wowote wa tatu kwa grafu. Hii ina maana kwamba watu wawili graphing line wanaweza kutumia seti tofauti ya pointi tatu.

    Kwa mtazamo wa kwanza, mistari yao miwili inaweza kuonekana kuwa sawa, kwani wangekuwa na pointi tofauti zilizoandikwa. Lakini ikiwa kazi yote ilifanyika kwa usahihi, mistari inapaswa kuwa sawa. Njia moja ya kutambua kwamba wao ni kweli mstari huo ni kuangalia ambapo mstari unavuka\(x\) -axis na\(y\) -axis. Vipengele hivi huitwa intercepts ya mstari.

    INACHUKULIWA KWA MSTARI

    Pointi ambapo mstari unavuka\(x\) -axis na\(y\) -axis huitwa intercepts ya mstari.

    Hebu tuangalie grafu za mistari.

    Takwimu inaonyesha grafu nne za equations tofauti. Kwa mfano grafu ya 2 x plus y plus 6 imewekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Pointi (0, 6) na (3, 0) zimepangwa na zimeandikwa. Mstari wa moja kwa moja unapitia pointi zote mbili na ina mishale kwenye ncha zote mbili. Kwa mfano b grafu ya 3 x minus 4 y pamoja na 12 imewekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Pointi (0, hasi 3) na (4, 0) zimepangwa na zimeandikwa. Mstari wa moja kwa moja unapitia pointi zote mbili na ina mishale kwenye ncha zote mbili. Kwa mfano c grafu ya x minus y pamoja na 5 imewekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Pointi (0, hasi 5) na (5, 0) zimepangwa na zimeandikwa. Mstari wa moja kwa moja unapitia pointi zote mbili na ina mishale kwenye ncha zote mbili. Kwa mfano d grafu ya y plus hasi 2 x imewekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Hatua (0, 0) imepangwa na imeandikwa. Mstari wa moja kwa moja unapitia hatua hii na pointi (hasi 1, 2) na (1, hasi 2) na ina mishale kwenye mwisho wote.

    Kwanza, angalia ambapo kila moja ya mistari hii huvuka\(x\) -axis. Angalia Jedwali.

    Sasa, hebu tuangalie pointi ambapo mistari hii huvuka\(y\) mhimili.

    Kielelezo Mstari
    unavuka\(x\) -axis katika:    		 Jozi zilizoamriwa
    kwa hatua hii    		 Mstari
    unavuka y- mhimili katika:    		 Jozi zilizoamriwa
    kwa hatua hii
    Kielelezo (a) \ (x\) -mhimili katika:” data-valign="middle">\(3\) \((3,0)\) \(6\) \((0,6)\)
    Kielelezo (b) \ (x\) -mhimili katika:” data-valign="middle">\(4\) \((4,0)\) \(−3\) \((0,−3)\)
    Kielelezo (c) \ (x\) -mhimili katika:” data-valign="middle">\(5\) \((5,0)\) \(−5\) \((0,5)\)
    Kielelezo (d) \ (x\) -mhimili katika:” data-valign="middle">\(0\) \((0,0)\) \(0\) \((0,0)\)
    Kielelezo cha jumla \ (x\) -mhimili katika:” data-valign="middle">\(a\) \((a,0)\) \(b\) \((0,b)\)

    Je! Unaona mfano?

    Kwa kila mstari,\(y\) -kuratibu ya uhakika ambapo mstari unavuka\(x\) -axis ni sifuri. Hatua ambapo mstari unavuka\(x\) -axis ina fomu\((a,0)\) na inaitwa\(x\) -intercept ya mstari. \(x\)-Intercept hutokea wakati\(y\) ni sifuri.

    Katika kila mstari, kuratibu ya uhakika ambapo mstari unavuka\(y\) -axis ni sifuri.\(x\) Hatua ambapo mstari unavuka\(y\) -axis ina fomu\((0,b)\) na inaitwa\(y\) -intercept ya mstari. \(y\)-Intercept hutokea wakati\(x\) ni sifuri.

    Intercepts ya Line

    The\(x\) -intercept ni hatua\((a,0)\) ambapo mstari unavuka\(x\) -axis.

    The\(y\) -intercept ni hatua\((0,b)\) ambapo mstari unavuka\(y\) -axis.

    Jedwali lina safu 3 na nguzo 2. Mstari wa kwanza ni mstari header na headers x na y. mstari wa pili ina na 0. Mstari wa tatu una 0 na b.

    Mfano\(\PageIndex{7}\)

    Kupata\(x\) - na\(y\) -intercepts katika kila graph umeonyesha.

    Takwimu ina grafu tatu. Kielelezo a inaonyesha mstari wa moja kwa moja graphed juu ya x y-kuratibu ndege. Axes x na y huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari unaendelea kupitia pointi (hasi 8, 6), (hasi 4, 4), (0, 2), (4, 0), (8, hasi 2). Kielelezo b inaonyesha mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, hasi 6), (2, 0), na (4, 6). Kielelezo c inaonyesha mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari unaendelea kupitia pointi (hasi 5, 0), (hasi 3, hasi 3), (0, hasi 5), (1, hasi 6), na (2, hasi 7).

    Suluhisho:

    a. grafu huvuka\(x\) -axis katika hatua\((4,0)\). Kuzuia x ni\((4,0)\).
    Grafu huvuka\(y\) -axis kwa uhakika\((0,2)\). \(y\)Kizuizi ni\((0,2)\).

    b. grafu huvuka\(x\) -axis katika hatua\((2,0)\). \(x\)Kizuizi ni\((2,0)\).
    Grafu huvuka\(y\) -axis kwa uhakika\((0,−6)\). \(y\)Kizuizi ni\((0,−6)\).

    c. grafu huvuka\(x\) -axis katika hatua\((−5,0)\). \(x\)Kizuizi ni\((−5,0)\).
    Grafu huvuka\(y\) -axis kwa uhakika\((0,−5)\). \(y\)Kizuizi ni\((0,−5)\).

    Jaribu! \(\PageIndex{13}\)

    Kupata\(x\) - na\(y\) -intercepts kwenye grafu.

    Takwimu hii inaonyesha mstari wa moja kwa moja graphed kwenye x y-kuratibu ndege. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari unaendelea kupitia pointi (hasi 6, hasi 8), (hasi 4, hasi 6), (hasi 2, hasi 4), (0, hasi 2), (2, 0), (4, 2), (6, 4), (8, 6).

    Jibu

    \(x\)-kukatiza:\((2,0)\),
    \(y\) -kukatiza:\((0,−2)\)

    Jaribu! \(\PageIndex{14}\)

    Kupata\(x\) - na\(y\) -intercepts kwenye grafu.

    Takwimu hii inaonyesha mstari wa moja kwa moja graphed kwenye x y-kuratibu ndege. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari unaendelea kupitia pointi (hasi 6, 6), (hasi 3, 4), (0, 2), (3, 0), (6, hasi 2), na (9, hasi 4).

    Jibu

    \(x\)-kukatiza:\((3,0)\),
    \(y\) -kukatiza:\((0,2)\)

    Kutambua kwamba\(x\) -intercept hutokea wakati\(y\) ni sifuri na kwamba\(y\) -intercept hutokea wakati\(x\) ni sifuri, inatupa njia ya kupata intercepts ya mstari kutoka equation yake. Kupata\(x\) - intercept, basi\(y=0\) and solve for\(x.\) Kupata\(y\) - intercept, basi\(x=0\) and solve for\(y.\)

    Kutafuta Intercepts kutoka Equation ya Line

    Tumia equation ya mstari. Ili kupata:

    • \(x\)-intercept ya mstari, basi\(y=0\) na kutatua kwa\(x\).
    • \(y\)-intercept ya mstari, basi\(x=0\) na kutatua kwa\(y\).
    Mfano\(\PageIndex{8}\)

    Kupata intercepts ya\(2x+y=8\).

    Suluhisho:

    \(y=0\)Tutaruhusu kupata\(x\) -intercept, na\(x=0\) kuruhusu kupata\(y\) -intercept. Tutajaza meza, ambayo inatukumbusha kile tunachohitaji kupata.

    Takwimu ina meza yenye safu 4 na nguzo 2. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na equation 2 x plus y plus 8. Mstari wa pili ni mstari header na headers x na y. mstari wa tatu ni kinachoitwa x-intercept na ina safu ya kwanza tupu na 0 katika safu ya pili. Mstari wa nne umeandikwa y-intercept na ina 0 katika safu ya kwanza na safu ya pili tupu.
    Ili kupata\(x\) -intercept, basi\(y=0\).  
      \(2x+y=8\)
    Hebu\(y=0\). \(2x+{\color{red}0}=8\)
    Kurahisisha. \(2x=8\)
      \(x=4\)
    \(x\)Kizuizi ni: \((4,0)\)
    Ili kupata\(y\) -intercept, basi\(x=0\).  
      \(2x+y=8\)
    Hebu\(x=0\). \(2 ( {\color{red}0}) + y = 8\)
    Kurahisisha. \(0 + y = 8\)
      \(y=8\)
    \(y\)Kizuizi ni: \((0,8)\)

    Intercepts ni pointi\((4,0)\) na\((0,8)\) kama inavyoonekana katika meza.

    \(2x+y=8\)
    \(x\) \(y\)
    4 0
    0 8
    Jaribu! \(\PageIndex{15}\)

    Kupata intercepts:\(3x+y=12\).

    Jibu

    \(x\)-kukatiza:\((4,0)\),
    \(y\) -kukatiza:\((0,12)\)

    Jaribu! \(\PageIndex{16}\)

    Kupata intercepts:\(x+4y=8\).

    Jibu

    \(x\)-kukatiza:\((8,0)\),
    \(y\) -kukatiza:\((0,2)\)

    Grafu Mstari Kutumia Intercepts

    Ili kuchora equation ya mstari kwa pointi za kupanga, unahitaji kupata pointi tatu ambazo kuratibu ni ufumbuzi wa equation. Unaweza kutumia x- na y- intercepts kama mbili ya pointi yako tatu. Pata intercepts, na kisha kupata hatua ya tatu ili kuhakikisha usahihi. Kuhakikisha pointi line up-kisha kuteka line. Njia hii mara nyingi ni njia ya haraka ya kuchora mstari.

    Mfano\(\PageIndex{9}\): How to Graph a Line Using the Intercepts

    Grafu\(–x+2y=6\) kwa kutumia intercepts.

    Suluhisho:

    Hatua ya 1 ni kupata x na y-intercepts ya mstari. Ili kupata x-intercept basi y plus 0 na kutatua kwa x. equation hasi x pamoja 2 y plus 6 inakuwa hasi x pamoja 2 mara 0 pamoja 6. Hii simplifies kwa hasi x pamoja 6. Hii ni sawa na x plus hasi 6. X-intercept ni (hasi 6, 0). Ili kupata y-intercept basi x plus 0 na kutatua kwa y. equation hasi x pamoja 2 y plus 6 inakuwa hasi 0 pamoja 2 y plus 6. Hii simplifies kwa hasi 2 y plus 6. Hii ni sawa na y plus 3. Y-intercept ni (0, 3).Hatua ya 2 ni kupata suluhisho jingine la equation. Tutatumia x plus 2. Equation hasi x pamoja na 2 y pamoja na 6 inakuwa hasi 2 pamoja na 2 y pamoja na 6. Hii simplifies kwa 2 y pamoja 8. Hii ni sawa na y plus 4. Hatua ya tatu ni (2, 4).Hatua ya 3 ni kupanga njama tatu. Takwimu inaonyesha meza yenye safu 4 na nguzo 3. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na vichwa x, y, na (x, y). Mstari wa pili una hasi 6, 0, na (hasi 6, 0). Mstari wa tatu una 0, 3, na (0, 3). Mstari wa nne una 2, 4, na (2, 4). Takwimu pia ina grafu ya pointi tatu kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Pointi tatu (hasi 6, 0), (0, 3), na (2, 4) zimepangwa na zimeandikwa.Hatua ya 4 ni kuteka mstari. Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Mstari wa moja kwa moja unaendelea kupitia pointi (hasi 6, 0), (0, 3), na (2, 4).

    Jaribu! \(\PageIndex{17}\)

    Grafu kwa kutumia intercepts:\(x–2y=4\).

    Jibu

    Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mstari wa moja kwa moja unapitia pointi (hasi 4, hasi 4), (hasi 2, hasi 3), (0, hasi 2), (2, hasi 1), (4, 0), (6, 1), na (8, 2).

    Jaribu! \(\PageIndex{18}\)

    Grafu kwa kutumia intercepts:\(–x+3y=6\).

    Jibu

    Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mstari wa moja kwa moja unaendelea kupitia pointi (hasi 9, hasi 1), (hasi 6, 0), (hasi 3, 1), (0, 2), (3, 3), (6, 4), na (9, 5).

    Hatua za kuchora equation linear kwa kutumia intercepts ni muhtasari hapa.

    GRAFU EQUATION YA MSTARI KWA KUTUMIA INTERCEPTS
    1. Pata\(x\) - na\(y\) -intercepts ya mstari.
      • Hebu y=0y=0 na kutatua kwa\(x\).
      • Hebu x=0x=0 na kutatua kwa\(y\).
    2. Kupata ufumbuzi wa tatu kwa equation.
    3. Plot pointi tatu na kuangalia kwamba wao line up.
    4. Chora mstari.
    Mfano\(\PageIndex{10}\)

    Grafu\(4x−3y=12\) kwa kutumia intercepts.

    Suluhisho:

    Pata intercepts na hatua ya tatu.

    Ili kupata x-intercept basi y plus 0 na kutatua kwa x. equation 4 x bala 3 y pamoja 12 inakuwa 4 x bala mara 3 0 pamoja 12. Hii simplifies kwa hasi 4 x pamoja 12. Hii ni sawa na x pamoja na 3. Ili kupata y-intercept basi x plus 0 na kutatua kwa y. equation 4 x bala 3 y pamoja 12 inakuwa mara 4 0 bala 3 y pamoja 12. Hii simplifies kwa hasi 3 y plus 12. Hii ni sawa na y plus hasi 4. Ili kupata hatua ya tatu basi y plus 4 na kutatua kwa x. equation 4 x bala 3 y plus 12 inakuwa 4 x bala mara 3 4 pamoja 12. Hii simplifies kwa hasi 4 x pamoja 24. Hii ni sawa na x plus 6.

    Tunaorodhesha pointi kwenye meza na kuonyesha grafu.

    \(4x−3y=12\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    3 0 \((3,0)\)
    0 \(−4\) \((0,−4)\)
    6 4 \((6,4)\)

    Takwimu inaonyesha grafu ya equation 4 x minus 3 y pamoja na 12 kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 7 hadi 7. Mstari wa moja kwa moja unaendelea kupitia pointi (0, hasi 4), (3, 0), na (6, 4).

    Jaribu! \(\PageIndex{19}\)

    Grafu kwa kutumia intercepts:\(5x−2y=10\).

    Jibu

    Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari wa moja kwa moja unaendelea kupitia pointi (0, hasi 5), (2, 0), na (4, 5).

    Jaribu! \(\PageIndex{20}\)

    Grafu kwa kutumia intercepts:\(3x−4y=12\).

    Jibu

    Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari wa moja kwa moja unaendelea kupitia pointi (hasi 4, hasi 6), (0, hasi 3), (4, 0), na (8, 3).

    Wakati mstari unapita kupitia asili,\(x\) -intercept na\(y\) -intercept ni hatua sawa.

    Mfano\(\PageIndex{11}\)

    Grafu\(y=5x\) kwa kutumia intercepts.

    Suluhisho:

    Ili kupata x-intercept basi y plus 0 na kutatua kwa x. equation y plus 5 x inakuwa 0 pamoja 5 x Hii simplifies kwa 0 pamoja x. x-intercept ni (0, 0). Ili kupata y-intercept basi x plus 0 na kutatua kwa y. equation y plus 5 x inakuwa y plus 5 mara 0. Hii simplifies kwa y plus 0. Y-intercept pia ni (0, 0).

    Mstari huu una kizuizi kimoja tu. Ni hatua\((0,0)\).

    Ili kuhakikisha usahihi, tunahitaji kupanga njama tatu. Kwa kuwa\(x\) - na\(y\) -intercepts ni hatua sawa, tunahitaji pointi mbili zaidi kwa grafu mstari.

    Ili kupata hatua ya pili basi x plus 1 na kutatua kwa y. equation y plus 5 x inakuwa y plus 5 mara 1. Hii simplifies kwa y plus 5. Ili kupata hatua ya tatu basi x plus hasi 1 na kutatua kwa y. equation y plus 5 x inakuwa y plus 5 mara hasi 1. Hii simplifies kwa y plus hasi 5

    Vipengele vitatu vinavyotokana ni muhtasari katika meza.

    \(y=5x\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    0 0 \((0,0)\)
    1 5 \((1,5)\)
    \(−1\) \(−5\) \((−1,−5)\)

    Panda pointi tatu, angalia kwamba wao line up, na kuteka mstari.

    Takwimu inaonyesha grafu ya equation y pamoja na 5 x kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari wa moja kwa moja unaendelea kupitia pointi (hasi 1, hasi 5), (0, 0), na (1, 5).

    Jaribu! \(\PageIndex{21}\)

    Grafu kwa kutumia intercepts:\(y=4x\).

    Jibu

    Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mstari wa moja kwa moja unaendelea kupitia pointi (hasi 1, hasi 4), (0, 0), na (1, 4).

    Jaribu! \(\PageIndex{22}\)

    Graph intercepts:\(y=−x\).

    Jibu

    Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mstari wa moja kwa moja unaendelea kupitia pointi (hasi 1, 1), (0, 0), na (1, hasi 1).

    Dhana muhimu

    • Pointi kwenye Axes
      • Pointi na\(y\) -kuratibu sawa na\(0\) ni juu ya\(x\) -axis, na kuwa na kuratibu\((a,0)\).
      • Pointi na\(x\) -kuratibu sawa na\(0\) ni juu ya\(y\) -axis, na kuwa na kuratibu\((0,b)\).
    • Quadrant
      Quadrant I Quadrant II Quadrant III Quadrant IV
      \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\)
      \((+,+)\) \((-,+)\) \((-,-)\) \((+,-)\)

      Takwimu hii inaonyesha x y-kuratibu ndege na quadrants nne kinachoitwa. Katika haki ya juu ya ndege ni quadrant mimi lebo (pamoja, pamoja). Katika upande wa kushoto wa ndege ni quadrant II iliyoandikwa (minus, plus). Chini ya kushoto ya ndege ni quadrant III iliyoandikwa (minus, minus). Katika haki ya chini ya ndege ni quadrant IV iliyoandikwa (pamoja, minus).

    • Grafu ya Equation Linear: Grafu ya equation linear\(Ax+By=C\) ni mstari wa moja kwa moja.
      Kila hatua kwenye mstari ni suluhisho la equation.
      Kila ufumbuzi wa equation hii ni hatua juu ya mstari huu.
    • Jinsi ya grafu equation linear kwa pointi njama.
      1. Pata pointi tatu ambazo kuratibu ni ufumbuzi wa equation. Kuwaandaa katika meza.
      2. Panda pointi katika mfumo wa kuratibu mstatili. Angalia kwamba pointi zinaendelea. Ikiwa hawana, angalia kwa makini kazi yako.
      3. Chora mstari kupitia pointi tatu. Panua mstari kujaza gridi ya taifa na kuweka mishale kwenye mwisho wa mstari.
    • \(x\)-intercept na\(y\) -intercept ya Line
      • The\(x\) -intercept ni hatua\((a,0)\) ambapo mstari unavuka\(x\) -axis.
      • The\(y\) -intercept ni hatua\((0,b)\) ambapo mstari unavuka\(y\) -axis.

    Jedwali lina safu 3 na nguzo 2. Mstari wa kwanza ni mstari header na headers x na y. mstari wa pili ina na 0. X-intercept hutokea wakati y ni sifuri. Mstari wa tatu una 0 na b. y-intercept hutokea wakati x ni sifuri.

    • Kupata\(x\) - na\(y\) -intercepts kutoka Equation ya Line
      • Tumia equation ya mstari. Ili kupata:
        \(x\) -intercept ya mstari, basi\(y=0\) na kutatua\(x.\)
        kwa\(y\) -intercept ya mstari, basi\(x=0\) na kutatua\(y.\)
    • Jinsi ya grafu equation linear kwa kutumia intercepts.
      1. Pata\(x\) - na\(y\) -intercepts ya mstari.
        Hebu\(y=0\) na kutatua kwa\(x.\)
        Hebu\(x=0\) na kutatua\(y.\)
      2. Kupata ufumbuzi wa tatu kwa equation.
      3. Plot pointi tatu na kuangalia kwamba wao line up.
      4. Chora mstari.

    faharasa

    mstari wa usawa
    Mstari wa usawa ni grafu ya equation ya fomu\(y=b.\) Mstari hupita kupitia\(y\) -axis\((0,b).\)
    intercepts ya mstari
    Pointi ambapo mstari unavuka\(x\) -axis na\(y\) -axis huitwa intercepts ya mstari.
    equation linear
    equation ya fomu\(Ax+By=C,\) ambapo\(A\) na\(B\) si wote sifuri, inaitwa equation linear katika vigezo mbili.
    jozi iliyoamriwa
    Jozi iliyoamriwa,\((x,y),\) inatoa kuratibu ya uhakika katika mfumo wa kuratibu mstatili. Nambari ya kwanza ni\(x\) -kuratibu. Nambari ya pili ni\(y\) -kuratibu.
    asili
    Hatua\((0,0)\) inaitwa asili. Ni hatua ambapo\(x\) -axis na\(y\) -axis intersect.
    ufumbuzi wa equation linear katika vigezo viwili
    Jozi iliyoamriwa\((x,y)\) ni suluhisho la equation linear\(Ax+By=C,\) ikiwa equation ni taarifa ya kweli wakati\(x\) - na\(y\) -maadili ya jozi iliyoamuru hubadilishwa katika equation.
    fomu ya kawaida ya equation linear
    Equation linear ni katika hali ya kawaida wakati imeandikwa\(Ax+By=C.\)
    mstari wa wima
    Mstari wa wima ni grafu ya equation\(x=a.\) ya fomu Mstari unapita kupitia\(x\) -axis\((a,0).\)