9.3: Relacionando pressão, volume, quantidade e temperatura - a lei do gás ideal
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Ao final desta seção, você poderá:
- Identificar as relações matemáticas entre as várias propriedades dos gases
- Use a lei do gás ideal e as leis relacionadas ao gás para calcular os valores de várias propriedades do gás sob condições especificadas
Durante o século XVII e especialmente o XVIII, impulsionados tanto pelo desejo de entender a natureza quanto pela busca de fazer balões nos quais pudessem voar (Figura 9.9), vários cientistas estabeleceram as relações entre as propriedades físicas macroscópicas dos gases, ou seja, pressão, volume, temperatura e quantidade de gás. Embora suas medições não fossem precisas para os padrões atuais, eles foram capazes de determinar as relações matemáticas entre pares dessas variáveis (por exemplo, pressão e temperatura, pressão e volume) que são válidas para um gás ideal - uma construção hipotética que os gases reais se aproximam abaixo certas condições. Eventualmente, essas leis individuais foram combinadas em uma única equação - a lei do gás ideal - que relaciona as quantidades de gás para gases e é bastante precisa para baixas pressões e temperaturas moderadas. Consideraremos os principais desenvolvimentos nas relações individuais (por razões pedagógicas que não estão exatamente em ordem histórica) e, em seguida, os reuniremos na lei do gás ideal.
Pressão e temperatura: Lei de Amontons
Imagine encher um recipiente rígido preso a um manômetro com gás e depois selar o recipiente para que nenhum gás escape. Se o recipiente for resfriado, o gás interno também fica mais frio e observa-se que sua pressão diminui. Como o recipiente é rígido e hermeticamente fechado, tanto o volume quanto o número de moles de gás permanecem constantes. Se aquecermos a esfera, o gás interno fica mais quente (Figura 9.10) e a pressão aumenta.
Essa relação entre temperatura e pressão é observada para qualquer amostra de gás confinada a um volume constante. Um exemplo de dados experimentais de pressão-temperatura é mostrado para uma amostra de ar nessas condições na Figura 9.11. Descobrimos que a temperatura e a pressão estão linearmente relacionadas e, se a temperatura estiver na escala Kelvin, P e T são diretamente proporcionais (novamente, quando o volume e os moles de gás são mantidos constantes); se a temperatura na escala Kelvin aumentar em um determinado fator, a pressão do gás aumenta pelo mesmo fator.
Guillaume Amontons foi o primeiro a estabelecer empiricamente a relação entre a pressão e a temperatura de um gás (~ 1700), e Joseph Louis Gay-Lussac determinou a relação com mais precisão (~ 1800). Por causa disso, a relação P - T para gases é conhecida como lei de Amontons ou lei de Gay-Lussac. Sob qualquer nome, afirma que a pressão de uma determinada quantidade de gás é diretamente proporcional à sua temperatura na escala Kelvin quando o volume é mantido constante. Matematicamente, isso pode ser escrito:
onde significa “é proporcional a” e k é uma constante de proporcionalidade que depende da identidade, quantidade e volume do gás.
Para um volume confinado e constante de gás, a proporçãoé, portanto, constante (ou seja,). Se o gás estiver inicialmente na “Condição 1” (com P = P 1 e T = T 1) e depois mudar para “Condição 2” (com P = P 2 e T = T 2), temos queeque se reduz aEssa equação é útil para cálculos de pressão-temperatura para um gás confinado em volume constante. Observe que as temperaturas devem estar na escala Kelvin para qualquer cálculo da lei do gás (0 na escala kelvin e a temperatura mais baixa possível é chamada de zero absoluto). (Observe também que há pelo menos três maneiras de descrever como a pressão de um gás muda à medida que a temperatura muda: podemos usar uma tabela de valores, um gráfico ou uma equação matemática.)
Exemplo 9.5
Prevendo a mudança na pressão com a temperatura
Uma lata de spray de cabelo é usada até ficar vazia, exceto pelo propelente, gás isobutano.(a) Na lata está o aviso “Armazenar somente em temperaturas abaixo de 120° F (48,8° C). Não incinere.” Por quê?
(b) O gás na lata está inicialmente a 24 °C e 360 kPa, e a lata tem um volume de 350 mL. Se a lata for deixada em um carro que atinge 50 °C em um dia quente, qual é a nova pressão na lata?
Solução
(a) A lata contém uma quantidade de gás isobutano em um volume constante, portanto, se a temperatura for aumentada pelo aquecimento, a pressão aumentará proporcionalmente. A alta temperatura pode levar à alta pressão, fazendo com que a lata se rompa. (Além disso, o isobutano é combustível, então a incineração pode fazer com que a lata exploda.)(b) Estamos procurando uma mudança de pressão devido a uma mudança de temperatura em volume constante, então usaremos a lei de Amontons/Gay-Lussac. Tomando P 1 e T 1 como os valores iniciais, T 2 como a temperatura em que a pressão é desconhecida e P 2 como a pressão desconhecida, e convertendo° C em K, temos:
Reorganizar e resolver dá:
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Uma amostra de nitrogênio, N 2, ocupa 45,0 mL a 27 °C e 600 torr. Que pressão ele terá se resfriado a —73 °C enquanto o volume permanece constante?Resposta:
40 torr
Volume e temperatura: Lei de Charles
Se enchermos um balão com ar e selarmos, o balão contém uma quantidade específica de ar à pressão atmosférica, digamos, 1 atm. Se colocarmos o balão na geladeira, o gás interno esfria e o balão encolhe (embora a quantidade de gás e sua pressão permaneçam constantes). Se deixarmos o balão muito frio, ele encolherá muito e se expandirá novamente quando esquentar.
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Este vídeo mostra como o resfriamento e o aquecimento de um gás fazem com que seu volume diminua ou aumente, respectivamente.
Esses exemplos do efeito da temperatura no volume de uma determinada quantidade de gás confinado a pressão constante são verdadeiros em geral: o volume aumenta à medida que a temperatura aumenta e diminui à medida que a temperatura diminui. Os dados de temperatura de volume para uma amostra de 1 mol de gás metano a 1 atm estão listados e representados graficamente na Figura 9.12.
A relação entre o volume e a temperatura de uma determinada quantidade de gás em pressão constante é conhecida como lei de Charles, em reconhecimento ao cientista francês e pioneiro do voo de balão Jacques Alexandre César Charles. A lei de Charles afirma que o volume de uma determinada quantidade de gás é diretamente proporcional à sua temperatura na escala Kelvin quando a pressão é mantida constante.
Matematicamente, isso pode ser escrito como:
com k sendo uma constante de proporcionalidade que depende da quantidade e pressão do gás.
Para uma amostra de gás confinada e de pressão constante,é constante (ou seja, a razão = k) e, como visto com a relação P - T, isso leva a outra forma da lei de Charles:
Exemplo 9.6
Prevendo a mudança no volume com a temperatura
Uma amostra de dióxido de carbono, CO 2, ocupa 0,300 L a 10 °C e 750 torr. Qual volume o gás terá a 30 °C e 750 torr?Solução
Como estamos procurando a mudança de volume causada por uma mudança de temperatura em pressão constante, esse é um trabalho para a lei de Charles. Tomando V 1 e T 1 como valores iniciais, T 2 como a temperatura na qual o volume é desconhecido e V 2 como o volume desconhecido, e convertendo° C em K, temos:Reorganizar e resolver dá:
Essa resposta corrobora nossa expectativa da lei de Charles, ou seja, que aumentar a temperatura do gás (de 283 K para 303 K) a uma pressão constante produzirá um aumento em seu volume (de 0,300 L para 0,321 L).
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Uma amostra de oxigênio, O 2, ocupa 32,2 mL a 30 °C e 452 torr. Qual volume ele ocupará a —70° C e a mesma pressão?Resposta:
21,6 mL
Exemplo 9.7
Medindo a temperatura com uma mudança de volume
Às vezes, a temperatura é medida com um termômetro de gás, observando a mudança no volume do gás à medida que a temperatura muda com pressão constante. O hidrogênio em um determinado termômetro de gás hidrogênio tem um volume de 150,0 cm 3 quando imerso em uma mistura de gelo e água (0,00° C). Quando imerso em amônia líquida fervente, o volume do hidrogênio, na mesma pressão, é de 131,7 cm 3. Encontre a temperatura de fervura da amônia nas escalas de kelvin e Celsius.Solução
Uma mudança de volume causada por uma mudança de temperatura sob pressão constante significa que devemos usar a lei de Charles. Tomando V 1 e T 1 como valores iniciais, T 2 como a temperatura na qual o volume é desconhecido e V 2 como o volume desconhecido, e convertendo° C em K, temos:O rearranjo dá
Subtraindo 273,15 de 239,8 K, descobrimos que a temperatura da amônia fervente na escala Celsius é de —33,4° C.
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Qual é o volume de uma amostra de etano a 467 K e 1,1 atm se ela ocupa 405 mL a 298 K e 1,1 atm?Resposta:
635 mL
Volume e pressão: Lei de Boyle
Se enchermos parcialmente uma seringa hermética com ar, a seringa contém uma quantidade específica de ar em temperatura constante, digamos 25 °C. Se pressionarmos lentamente o êmbolo, mantendo a temperatura constante, o gás na seringa é comprimido em um volume menor e sua pressão aumenta; se retirarmos o êmbolo, o volume aumenta e a pressão diminui. Este exemplo do efeito do volume na pressão de uma determinada quantidade de gás confinado é verdadeiro em geral. Diminuir o volume de um gás contido aumentará sua pressão, e aumentar seu volume diminuirá sua pressão. De fato, se o volume aumentar em um determinado fator, a pressão diminui pelo mesmo fator e vice-versa. Os dados de pressão de volume para uma amostra de ar à temperatura ambiente são representados graficamente na Figura 9.13.
Diferentemente das relações P - T e V - T, a pressão e o volume não são diretamente proporcionais entre si. Em vez disso, P e V exibem proporcionalidade inversa: o aumento da pressão resulta em uma diminuição do volume do gás. Matematicamente, isso pode ser escrito:
com k sendo uma constante. Graficamente, essa relação é mostrada pela linha reta que resulta ao traçar o inverso da pressãoversus o volume (V) ou o inverso do volumeversus a pressão (P). Gráficos com linhas curvas são difíceis de ler com precisão em valores baixos ou altos das variáveis e são mais difíceis de usar para ajustar equações e parâmetros teóricos aos dados experimentais. Por esses motivos, os cientistas geralmente tentam encontrar uma maneira de “linearizar” seus dados. Se traçarmos P versus V, obteremos uma hipérbole (veja a Figura 9.14).
A relação entre o volume e a pressão de uma determinada quantidade de gás em temperatura constante foi publicada pela primeira vez pelo filósofo natural inglês Robert Boyle há mais de 300 anos. Está resumido na declaração agora conhecida como lei de Boyle: O volume de uma determinada quantidade de gás mantida em temperatura constante é inversamente proporcional à pressão sob a qual é medido.
Exemplo 9.8
Volume de uma amostra de gás
A amostra de gás na Figura 9.13 tem um volume de 15,0 mL a uma pressão de 13,0 psi. Determine a pressão do gás em um volume de 7,5 mL, usando:(a) o gráfico P - V na Figura 9.13
(b) oversus gráfico V na Figura 9.13
(c) a equação da lei de Boyle
Comente sobre a provável precisão de cada método.
Solução
(a) A estimativa a partir do gráfico P - V fornece um valor para P em torno de 27 psi.(b) Estimativa a partir doversus o gráfico V fornece um valor de cerca de 26 psi.
(c) Pela lei de Boyle, sabemos que o produto de pressão e volume (PV) para uma determinada amostra de gás a uma temperatura constante é sempre igual ao mesmo valor. Portanto, temos P 1 V 1 = k e P 2 V 2 = k, o que significa que P 1 V 1 = P 2 V 2.
Usando P 1 e V 1 como os valores conhecidos 13,0 psi e 15,0 mL, P 2 como a pressão na qual o volume é desconhecido e V 2 como o volume desconhecido, temos:
Resolvendo:
Era mais difícil estimar bem a partir do gráfico P - V, então (a) é provavelmente mais impreciso do que (b) ou (c). O cálculo será tão preciso quanto a equação e as medições permitirem.
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A amostra de gás na Figura 9.13 tem um volume de 30,0 mL a uma pressão de 6,5 psi. Determine o volume do gás a uma pressão de 11,0 psi, usando:(a) o gráfico P - V na Figura 9.13
(b) oversus gráfico V na Figura 9.13
(c) a equação da lei de Boyle
Comente sobre a provável precisão de cada método.
Resposta:
(a) cerca de 17—18 mL; (b) ~ 18 mL; (c) 17,7 mL; era mais difícil estimar bem a partir do gráfico P - V, então (a) é provavelmente mais impreciso do que (b); o cálculo será tão preciso quanto a equação e as medições permitirem
Química na vida cotidiana
Respiração e a Lei de Boyle
O que você faz cerca de 20 vezes por minuto durante toda a sua vida, sem pausas e, muitas vezes, sem nem mesmo estar ciente disso? A resposta, claro, é respiração ou respiração. Como isso funciona? Acontece que as leis do gás se aplicam aqui. Seus pulmões absorvem os gases de que seu corpo precisa (oxigênio) e eliminam os gases residuais (dióxido de carbono). Os pulmões são feitos de tecido esponjoso e elástico que se expande e se contrai enquanto você respira. Quando você inspira, o diafragma e os músculos intercostais (os músculos entre as costelas) se contraem, expandindo a cavidade torácica e aumentando o volume pulmonar. O aumento no volume leva a uma diminuição na pressão (lei de Boyle). Isso faz com que o ar flua para os pulmões (de alta pressão para baixa pressão). Quando você expira, o processo se inverte: os músculos do diafragma e das costelas relaxam, a cavidade torácica se contrai e o volume pulmonar diminui, fazendo com que a pressão aumente (lei de Boyle novamente) e o ar saia dos pulmões (da alta pressão para a baixa pressão). Em seguida, você inspira e expira repetidamente, repetindo esse ciclo da lei de Boyle pelo resto de sua vida (Figura 9.15).
Moles de gás e volume: Lei de Avogadro
O cientista italiano Amedeo Avogadro apresentou uma hipótese em 1811 para explicar o comportamento dos gases, afirmando que volumes iguais de todos os gases, medidos nas mesmas condições de temperatura e pressão, contêm o mesmo número de moléculas. Com o tempo, essa relação foi apoiada por muitas observações experimentais, conforme expresso pela lei de Avogadro: Para um gás confinado, o volume (V) e o número de moles (n) são diretamente proporcionais se a pressão e a temperatura permanecerem constantes.
Em forma de equação, isso é escrito como:
As relações matemáticas também podem ser determinadas para os outros pares de variáveis, como P versus n e n versus T.
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Visite esta simulação interativa de PhET para investigar as relações entre pressão, volume, temperatura e quantidade de gás. Use a simulação para examinar o efeito de alterar um parâmetro em outro enquanto mantém os outros parâmetros constantes (conforme descrito nas seções anteriores sobre as várias leis do gás).
A Lei do Gás Ideal
Até este ponto, quatro leis separadas foram discutidas que relacionam pressão, volume, temperatura e o número de moles do gás:
- Lei de Boyle: PV = constante na constante T e n
- Lei de Amontons:= constante na constante V e n
- Lei de Charles:= constante na constante P e n
- Lei de Avogadro:= constante na constante P e T
A combinação dessas quatro leis produz a lei do gás ideal, uma relação entre a pressão, o volume, a temperatura e o número de moles de um gás:
onde P é a pressão de um gás, V é seu volume, n é o número de moles do gás, T é sua temperatura na escala Kelvin e R é uma constante chamada constante ideal do gás ou constante universal do gás. As unidades usadas para expressar pressão, volume e temperatura determinarão a forma adequada da constante do gás conforme exigido pela análise dimensional, sendo os valores mais comumente encontrados 0,08206 L atm mol —1 K —1 e 8,314 kPa L mol —1 K —1.
Diz-se que os gases cujas propriedades de P, V e T são descritas com precisão pela lei do gás ideal (ou pelas outras leis dos gases) apresentam um comportamento ideal ou se aproximam das características de um gás ideal. Um gás ideal é uma construção hipotética que pode ser usada junto com a teoria molecular cinética para explicar efetivamente as leis do gás, conforme descrito em um módulo posterior deste capítulo. Embora todos os cálculos apresentados neste módulo suponham um comportamento ideal, essa suposição só é razoável para gases sob condições de pressão relativamente baixa e alta temperatura. No módulo final deste capítulo, será introduzida uma lei de gases modificada que explica o comportamento não ideal observado para muitos gases em pressões relativamente altas e baixas temperaturas.
A equação do gás ideal contém cinco termos, a constante do gás R e as propriedades variáveis P, V, n e T. A especificação de quaisquer quatro desses termos permitirá o uso da lei do gás ideal para calcular o quinto termo, conforme demonstrado nos exercícios de exemplo a seguir.
Exemplo 9.9
Usando a Lei do Gás Ideal
O metano, CH 4, está sendo considerado para uso como combustível automotivo alternativo para substituir a gasolina. Um galão de gasolina pode ser substituído por 655 g de CH 4. Qual é o volume dessa quantidade de metano a 25 °C e 745 torr?Solução
Devemos reorganizar PV = nRt para resolver V:Se escolhermos usar R = 0,08206 L atm mol —1 K —1, então a quantidade deve estar em moles, a temperatura deve estar em kelvin e a pressão deve estar em atm.
Convertendo para as unidades “certas”:
Seria necessário 1020 L (269 gal) de metano gasoso a cerca de 1 atm de pressão para substituir 1 gal de gasolina. É necessário um recipiente grande para conter metano suficiente a 1 atm para substituir vários galões de gasolina.
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Calcule a pressão em bar de 2520 moles de gás hidrogênio armazenado a 27 °C no tanque de armazenamento de 180 L de um carro moderno movido a hidrogênio.Resposta:
350 bar
Se o número de moles de um gás ideal for mantido constante sob dois conjuntos diferentes de condições, uma relação matemática útil chamada lei combinada do gás é obtida:usando unidades de atm, L e K. Ambos os conjuntos de condições são iguais ao produto de nR (onde n = o número de moles do gás e R é a constante da lei do gás ideal).
Exemplo 9.10
Usando a Lei do Gás Combinado
Quando cheio de ar, um tanque de mergulho típico com um volume de 13,2 L tem uma pressão de 153 atm (Figura 9.16). Se a temperatura da água for de 27° C, quantos litros de ar esse tanque fornecerá aos pulmões de um mergulhador a uma profundidade de aproximadamente 70 pés no oceano, onde a pressão é de 3,13 atm?Deixando 1 representar o ar no tanque de mergulho e 2 representar o ar nos pulmões, e observando que a temperatura corporal (a temperatura que o ar estará nos pulmões) é de 37° C, temos:
Resolvendo para V 2:
(Nota: Esteja ciente de que este exemplo específico é aquele em que a suposição do comportamento ideal do gás não é muito razoável, pois envolve gases em pressões relativamente altas e baixas temperaturas. Apesar dessa limitação, o volume calculado pode ser visto como uma boa estimativa aproximada.)
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Verificou-se que uma amostra de amônia ocupa 0,250 L em condições de laboratório de 27 °C e 0,850 atm. Determine o volume desta amostra a 0 °C e 1,00 atm.Resposta:
0,193 L
Química na vida cotidiana
A interdependência entre a profundidade e a pressão do oceano no mergulho
Seja mergulhando na Grande Barreira de Corais na Austrália (mostrada na Figura 9.17) ou no Caribe, os mergulhadores devem entender como a pressão afeta uma série de questões relacionadas ao seu conforto e segurança.
A pressão aumenta com a profundidade do oceano, e a pressão muda mais rapidamente à medida que os mergulhadores atingem a superfície. A pressão que um mergulhador experimenta é a soma de todas as pressões acima do mergulhador (da água e do ar). A maioria das medições de pressão é dada em unidades de atmosferas, expressas como “atmosferas absolutas” ou ATA na comunidade de mergulho: cada 33 pés de água salgada representam 1 ATA de pressão, além de 1 ATA de pressão da atmosfera ao nível do mar. À medida que um mergulhador desce, o aumento da pressão faz com que as bolsas de ar do corpo nos ouvidos e pulmões se comprimam; na subida, a diminuição da pressão faz com que essas bolsas de ar se expandam, potencialmente rompendo os tímpanos ou estourando os pulmões. Os mergulhadores devem, portanto, passar pela equalização adicionando ar aos espaços aéreos do corpo na descida respirando normalmente e adicionando ar à máscara expirando pelo nariz ou adicionando ar às orelhas e seios nasais por técnicas de equalização; o corolário também é verdadeiro na subida, os mergulhadores devem liberar ar do corpo para mantenha a equalização. A flutuabilidade, ou a capacidade de controlar se um mergulhador afunda ou flutua, é controlada pelo compensador de flutuabilidade (BCD). Se um mergulhador estiver subindo, o ar em seu BCD se expande devido à pressão mais baixa de acordo com a lei de Boyle (diminuir a pressão dos gases aumenta o volume). A expansão do ar aumenta a flutuabilidade do mergulhador e ele começa a subir. O mergulhador deve ventilar o ar do BCD ou arriscar uma subida descontrolada que possa romper os pulmões. Ao descer, o aumento da pressão faz com que o ar no BCD se comprima e o mergulhador afunde muito mais rapidamente; o mergulhador deve adicionar ar ao BCD ou arriscar uma descida descontrolada, enfrentando pressões muito mais altas perto do fundo do oceano. A pressão também afeta quanto tempo um mergulhador pode ficar submerso antes de subir. Quanto mais fundo um mergulhador mergulha, mais comprimido é o ar respirado devido ao aumento da pressão: se um mergulhador mergulhar 33 pés, a pressão é de 2 ATA e o ar será comprimido até a metade do volume original. O mergulhador usa o ar disponível duas vezes mais rápido do que na superfície.
Condições padrão de temperatura e pressão
Vimos que o volume de uma determinada quantidade de gás e o número de moléculas (moles) em um determinado volume de gás variam com as mudanças na pressão e na temperatura. Às vezes, os químicos fazem comparações com uma temperatura e pressão padrão (STP) para relatar as propriedades dos gases: 273,15 K e 1 atm (101,325 kPa). 1 No STP, um mol de um gás ideal tem um volume de cerca de 22,4 L — isso é chamado de volume molar padrão (Figura 9.18).
Notas de pé
- 1 A definição da IUPAC de pressão padrão foi alterada de 1 atm para 1 bar (100 kPa) em 1982, mas a definição anterior permanece em uso por muitos recursos da literatura e será usada neste texto.