Skip to main content
Global

6.3: O modelo de Bohr

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    198590

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Descreva o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio
    • Use a equação de Rydberg para calcular as energias da luz emitida ou absorvida pelos átomos de hidrogênio

    Seguindo o trabalho de Ernest Rutherford e seus colegas no início do século XX, a imagem de átomos consistindo em pequenos núcleos densos cercados por elétrons mais leves e ainda menores se movendo continuamente ao redor do núcleo estava bem estabelecida. Essa imagem foi chamada de modelo planetário, pois retratava o átomo como um “sistema solar” em miniatura com os elétrons orbitando o núcleo como planetas orbitando o sol. O átomo mais simples é o hidrogênio, consistindo de um único próton como núcleo sobre o qual um único elétron se move. A força eletrostática que atrai o elétron para o próton depende apenas da distância entre as duas partículas. Essa descrição mecânica clássica do átomo está incompleta, no entanto, uma vez que um elétron se movendo em uma órbita elíptica estaria acelerando (mudando de direção) e, de acordo com o eletromagnetismo clássico, deveria emitir continuamente radiação eletromagnética. Essa perda de energia orbital deve fazer com que a órbita do elétron fique cada vez menor até entrar em espiral no núcleo, o que implica que os átomos são inerentemente instáveis.

    Em 1913, Niels Bohr tentou resolver o paradoxo atômico ignorando a previsão do eletromagnetismo clássico de que o elétron em órbita no hidrogênio emitiria luz continuamente. Em vez disso, ele incorporou à mecânica clássica a descrição do átomo das ideias de quantização de Planck e a descoberta de Einstein de que a luz consiste em fótons cuja energia é proporcional à sua frequência. Bohr presumiu que o elétron orbitando o núcleo normalmente não emitiria nenhuma radiação (a hipótese do estado estacionário), mas emitiria ou absorveria um fóton se fosse movido para uma órbita diferente. A energia absorvida ou emitida refletiria diferenças nas energias orbitais de acordo com esta equação:

    ∣ΔE∣=∣Ef−Eeu∣=hπ=hcλ∣ΔE∣=∣Ef−Eeu∣=hπ=hcλ

    Nessa equação, h é a constante de Planck e E i e E f são as energias orbitais inicial e final, respectivamente. O valor absoluto da diferença de energia é usado, pois as frequências e os comprimentos de onda são sempre positivos. Em vez de permitir valores contínuos de energia, Bohr assumiu que as energias desses orbitais de elétrons foram quantizadas:

    En=−kn2,n=1,2,3,...En=−kn2,n=1,2,3,...

    Nessa expressão, k é uma constante que compreende constantes fundamentais, como a massa e a carga do elétron e a constante de Planck. Inserindo a expressão para as energias da órbita na equação de ΔE dá

    ΔE=k(1n12−1n22)=hcλΔE=k(1n12−1n22)=hcλ

    ou

    1λ=khc(1n12−1n22)1λ=khc(1n12−1n22)

    que é idêntica à equação de Rydberg na qualR∞=khc.R∞=khc.Quando Bohr calculou seu valor teórico para a constante de Rydberg,R∞,R∞,e o comparou com o valor aceito experimentalmente, ele obteve uma excelente concordância. Como a constante de Rydberg era uma das constantes medidas com maior precisão na época, esse nível de concordância foi surpreendente e fez com que o modelo de Bohr fosse levado a sério, apesar das muitas suposições de que Bohr precisava derivá-lo.

    Os poucos níveis de energia mais baixos são mostrados na Figura 6.14. Uma das leis fundamentais da física é que a matéria é mais estável com a menor energia possível. Assim, o elétron em um átomo de hidrogênio geralmente se move na órbita n = 1, a órbita na qual ele tem a menor energia. Quando o elétron está nessa órbita de menor energia, diz-se que o átomo está em seu estado eletrônico fundamental (ou simplesmente no estado fundamental). Se o átomo receber energia de uma fonte externa, é possível que o elétron se mova para uma órbita com um valor n mais alto e o átomo esteja agora em um estado eletrônico excitado (ou simplesmente um estado excitado) com uma energia maior. Quando um elétron faz a transição de um estado excitado (órbita de maior energia) para um estado menos excitado, ou estado fundamental, a diferença de energia é emitida como um fóton. Da mesma forma, se um fóton é absorvido por um átomo, a energia do fóton move um elétron de uma órbita de energia mais baixa para uma mais excitada. Podemos relacionar a energia dos elétrons nos átomos com o que aprendemos anteriormente sobre energia. A lei de conservação de energia diz que não podemos criar nem destruir energia. Assim, se uma certa quantidade de energia externa for necessária para excitar um elétron de um nível de energia para outro, essa mesma quantidade de energia será liberada quando o elétron retornar ao seu estado inicial (Figura 6.15).

    Como o modelo de Bohr envolvia apenas um único elétron, ele também poderia ser aplicado aos íons de elétron único He +, Li 2+, Be 3+ e assim por diante, que diferem do hidrogênio apenas em suas cargas nucleares, e assim os átomos e íons de um elétron são coletivamente chamados de hidrogênio- como átomos. A expressão de energia para átomos semelhantes a hidrogênio é uma generalização da energia do átomo de hidrogênio, na qual Z é a carga nuclear (+1 para hidrogênio, +2 para He, +3 para Li e assim por diante) e k tem um valor de 2,179××10 —18 J.

    En=−kZ2n2En=−kZ2n2

    Os tamanhos das órbitas circulares para átomos semelhantes a hidrogênio são dados em termos de seus raios pela seguinte expressão, na qualuma0uma0é uma constante chamada raio de Bohr, com um valor de 5,292××10 −11 m:

    r=n2Zuma0r=n2Zuma0

    A equação também nos mostra que, à medida que a energia do elétron aumenta (à medida que n aumenta), o elétron é encontrado a maiores distâncias do núcleo. Isso está implícito na dependência inversa da atração eletrostática na distância, pois, à medida que o elétron se afasta do núcleo, a atração eletrostática entre ele e o núcleo diminui e ele é mantido com menos força no átomo. Observe que, à medida que n aumenta e as órbitas ficam maiores, suas energias se aproximam de zero e, portanto, os limitesn⟶∞n⟶∞er⟶∞r⟶∞implicam que E = 0 corresponde ao limite de ionização onde o elétron é completamente removido do núcleo. Assim, para o hidrogênio no estado fundamental n = 1, a energia de ionização seria:

    ΔE=En⟶∞−E1=0+k=kΔE=En⟶∞−E1=0+k=k

    Com três paradoxos extremamente intrigantes agora resolvidos (radiação de corpo negro, efeito fotoelétrico e átomo de hidrogênio), e todos envolvendo a constante de Planck de maneira fundamental, ficou claro para a maioria dos físicos da época que as teorias clássicas que funcionavam tão bem no mundo macroscópico eram fundamentalmente defeituoso e não pôde ser estendido até o domínio microscópico de átomos e moléculas. Infelizmente, apesar da notável conquista de Bohr em derivar uma expressão teórica para a constante de Rydberg, ele não conseguiu estender sua teoria para o próximo átomo mais simples, He, que tem apenas dois elétrons. O modelo de Bohr tinha graves falhas, pois ainda era baseado na noção mecânica clássica de órbitas precisas, um conceito que mais tarde foi considerado insustentável no domínio microscópico, quando um modelo adequado de mecânica quântica foi desenvolvido para substituir a mecânica clássica.

    A figura inclui um diagrama representando os níveis relativos de energia dos números quânticos do átomo de hidrogênio. Uma seta apontando para cima à esquerda do diagrama é rotulada como “E”. Um retângulo cinza com orientação vertical sombreado é colocado logo à direita da seta. A altura do retângulo corresponde ao comprimento da seta. Segmentos de linha horizontal coloridos são colocados dentro do retângulo e os rótulos são colocados à direita da caixa e dispostos em uma coluna com o título “Energia, n.”. Na base do retângulo, um segmento de linha horizontal roxo é desenhado. Um segmento de linha preta se estende à direita do rótulo, “menos 2,18 vezes 10 sobrescrito menos 18 J, 1”. Em um nível de aproximadamente três quartos da distância até o topo do retângulo, um segmento de linha horizontal azul é desenhado. Um segmento de linha preta se estende à direita do rótulo, “menos 5,45 vezes 10 sobrescrito menos 19 J, 2”. Em um nível de aproximadamente sete oitavos da distância da base do retângulo, um segmento de linha horizontal verde é desenhado. Um segmento de linha preta se estende à direita do rótulo, “menos 2,42 vezes 10 sobrescrito menos 19 J, 3”. Apenas uma curta distância acima desse segmento, um segmento de linha horizontal laranja é desenhado. Um segmento de linha preta se estende à direita do rótulo, “menos 1,36 vezes 10 sobrescrito menos 19 J, 4”. Logo acima desse segmento, um segmento de linha horizontal vermelha é desenhado. Um segmento de linha preta se estende à direita do rótulo, “menos 8,72 vezes 10 sobrescrito menos 20 J, 5”. Apenas uma curta distância acima desse segmento, um segmento de linha horizontal marrom é desenhado. Um segmento de linha preta se estende à direita até o rótulo, “0,00 J, infinito”.
    Figura 6.14 Números quânticos e níveis de energia em um átomo de hidrogênio. Quanto mais negativo for o valor calculado, menor será a energia.

    Exemplo 6.4

    Calculando a energia de um elétron em uma órbita de Bohr

    Os primeiros pesquisadores ficaram muito entusiasmados quando conseguiram prever a energia de um elétron a uma distância específica do núcleo em um átomo de hidrogênio. Se uma faísca promove o elétron em um átomo de hidrogênio em uma órbita com n = 3, qual é a energia calculada, em joules, do elétron?

    Solução

    A energia do elétron é dada por esta equação:
    E=−kZ2n2E=−kZ2n2

    O número atômico, Z, do hidrogênio é 1; k = 2,179××10 —18 J; e o elétron é caracterizado por um valor n de 3. Assim,

    E=−(2.179×10−18J)×(1)2(3)2=−2,421×10−19JE=−(2.179×10−18J)×(1)2(3)2=−2,421×10−19J

    Verifique seu aprendizado

    O elétron na Figura 6.15 é promovido ainda mais para uma órbita com n = 6. Qual é sua nova energia?

    Resposta:

    −6,053××10 —20 J

    A figura inclui um diagrama representando os níveis relativos de energia dos números quânticos do átomo de hidrogênio. Uma seta apontando para cima à esquerda do diagrama é rotulada como “E”. Um retângulo cinza com orientação vertical sombreado é colocado logo à direita da seta. A altura do retângulo corresponde ao comprimento da seta. Segmentos de linha horizontal coloridos são colocados dentro do retângulo e os rótulos são colocados à direita da caixa, dispostos em uma coluna com o título “Energia, n.”. Na base do retângulo, um segmento de linha horizontal roxo é desenhado. Uma linha preta se estende para a direita até o rótulo “1". Em um nível de aproximadamente três quartos da distância até o topo do retângulo, um segmento de linha horizontal azul é desenhado. Uma linha preta se estende para a direita até o rótulo “2". Em um nível de aproximadamente sete oitavos da distância da base do retângulo, um segmento de linha horizontal verde é desenhado. Uma linha preta se estende para a direita até o rótulo “3”. Apenas uma curta distância acima desse segmento, um segmento de linha horizontal laranja é desenhado. Um segmento de linha preta se estende à direita até o rótulo “4". Logo acima desse segmento, um segmento de linha horizontal vermelha é desenhado. Uma linha preta se estende para a direita até o rótulo “5". Apenas uma curta distância acima desse segmento, um segmento de linha horizontal marrom é desenhado. Uma linha preta se estende para a direita até o rótulo “infinito”. As setas são desenhadas para representar as energias dos fótons absorvidos, conforme mostrado pelas setas apontando para cima à esquerda, ou liberadas conforme mostrado pelas setas apontando para baixo no lado direito do diagrama entre os segmentos de linha coloridos. O rótulo “O elétron se move para uma energia mais alta à medida que a luz é absorvida” é colocado abaixo das setas apontando para cima. Da mesma forma, o rótulo “O elétron se move para diminuir a energia à medida que a luz é emitida” aparece abaixo das setas apontando para baixo. Movendo-se da esquerda para a direita no diagrama, as setas se estendem de um segmento de linha colorido para o próximo na seguinte ordem: roxo para azul, roxo para verde, roxo para laranja, roxo para vermelho, roxo para marrom, azul para verde, azul para laranja e azul para vermelho. As setas originárias do mesmo segmento colorido são agrupadas pelo posicionamento próximo das setas. Da mesma forma, as setas para baixo seguem nessa sequência; marrom para roxo, vermelho para roxo, laranja para roxo, verde para roxo, azul para roxo, vermelho para azul, laranja para azul e verde para azul. As setas são novamente agrupadas por um posicionamento próximo, de acordo com a cor na qual as setas terminam.
    Figura 6.15 As linhas horizontais mostram a energia relativa das órbitas no modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, e as setas verticais mostram a energia dos fótons absorvidos (à esquerda) ou emitidos (à direita) à medida que os elétrons se movem entre essas órbitas.

    Exemplo 6.5

    Calculando a energia e o comprimento de onda das transições de elétrons em um sistema de um elétron (Bohr)

    Qual é a energia (em joules) e o comprimento de onda (em metros) da linha no espectro do hidrogênio que representa o movimento de um elétron da órbita de Bohr com n = 4 até a órbita com n = 6? Em que parte do espectro eletromagnético encontramos essa radiação?

    Solução

    Nesse caso, o elétron começa com n = 4, então n 1 = 4. Ele repousa na órbita n = 6, então n 2 = 6. A diferença de energia entre os dois estados é dada por esta expressão:
    ΔE=E1−E2=2.179×10−18(1n12−1n22)ΔE=E1−E2=2.179×10−18(1n12−1n22)
    ΔE=2.179×10−18(142−162)JΔE=2.179×10−18(142−162)J
    ΔE=2.179×10−18(116−136)JΔE=2.179×10−18(116−136)J
    ΔE=7.566×10−20JΔE=7.566×10−20J

    Essa diferença de energia é positiva, indicando que um fóton entra no sistema (é absorvido) para excitar o elétron da órbita n = 4 até a órbita n = 6. O comprimento de onda de um fóton com essa energia é encontrado pela expressãoE=hcλ.E=hcλ.O rearranjo dá:

    λ=hcEλ=hcE
    =(6.626×10−34Js)×2.998×108ms−17.566×10−20J=2.626×10−6m=(6.626×10−34Js)×2.998×108ms−17.566×10−20J=2.626×10−6m

    A partir da ilustração do espectro eletromagnético em Energia Eletromagnética, podemos ver que esse comprimento de onda é encontrado na porção infravermelha do espectro eletromagnético.

    Verifique seu aprendizado

    Qual é a energia em joules e o comprimento de onda em metros do fóton produzido quando um elétron cai do nível n = 5 para n = 3 em um íon He + (Z = 2 para He +)?

    Resposta:

    6.198××10 —19 J; 3,205××10 −7 m

    O modelo de Bohr do átomo de hidrogênio fornece uma visão sobre o comportamento da matéria no nível microscópico, mas não leva em conta as interações elétron-elétron em átomos com mais de um elétron. Ele apresenta várias características importantes de todos os modelos usados para descrever a distribuição de elétrons em um átomo. Esses recursos incluem o seguinte:

    • As energias dos elétrons (níveis de energia) em um átomo são quantizadas, descritas por números quânticos: números inteiros com apenas um valor específico permitido e usados para caracterizar a disposição dos elétrons em um átomo.
    • A energia de um elétron aumenta com o aumento da distância do núcleo.
    • As energias discretas (linhas) nos espectros dos elementos resultam de energias eletrônicas quantizadas.

    Dessas características, a mais importante é o postulado dos níveis de energia quantizados para um elétron em um átomo. Como consequência, o modelo lançou as bases para o modelo de mecânica quântica do átomo. Bohr ganhou o Prêmio Nobel de Física por suas contribuições à nossa compreensão da estrutura dos átomos e como isso está relacionado às emissões de espectros de linha.