6.4: Desenvolvimento da Teoria Quântica

Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

• Estenda o conceito de dualidade onda-partícula que foi observado na radiação eletromagnética também para a matéria
• Entenda a ideia geral da descrição mecânica quântica de elétrons em um átomo e que ela usa a noção de funções de onda tridimensionais, ou orbitais, que definem a distribuição de probabilidade para encontrar um elétron em uma parte específica do espaço
• Liste e descreva as características dos quatro números quânticos que formam a base para especificar completamente o estado de um elétron em um átomo

O modelo de Bohr explicou os dados experimentais do átomo de hidrogênio e foi amplamente aceito, mas também levantou muitas questões. Por que os elétrons orbitam apenas a distâncias fixas definidas por um único número quântico n = 1, 2, 3 e assim por diante, mas nunca entre elas? Por que o modelo funcionou tão bem descrevendo íons de hidrogênio e de um elétron, mas não conseguiu prever corretamente o espectro de emissão de hélio ou qualquer átomo maior? Para responder a essas perguntas, os cientistas precisaram revisar completamente a maneira como pensavam sobre a matéria.

Comportamento no mundo microscópico

Sabemos como a matéria se comporta no mundo macroscópico — objetos grandes o suficiente para serem vistos a olho nu seguem as regras da física clássica. Uma bola de bilhar que se move sobre uma mesa se comportará como uma partícula: ela continuará em linha reta, a menos que colida com outra bola ou com a almofada da mesa, ou seja acionada por alguma outra força (como atrito). A bola tem uma posição e velocidade bem definidas (ou um momento bem definido, p = mv, definido pela massa m e velocidade v) em qualquer momento. Em outras palavras, a bola está se movendo em uma trajetória clássica. Esse é o comportamento típico de um objeto clássico.

Quando as ondas interagem umas com as outras, elas mostram padrões de interferência que não são exibidos por partículas macroscópicas, como a bola de bilhar. Por exemplo, ondas interativas na superfície da água podem produzir padrões de interferência semelhantes aos mostrados na Figura 6.16. Este é um caso de comportamento das ondas na escala macroscópica, e está claro que partículas e ondas são fenômenos muito diferentes no reino macroscópico.

Figura 6.16 Um padrão de interferência na superfície da água é formado pela interação de ondas. As ondas são causadas pelo reflexo da água das rochas. (crédito: modificação da obra de Sukanto Debnath)

Como as melhorias tecnológicas permitiram aos cientistas sondar o mundo microscópico com mais detalhes, ficou cada vez mais claro na década de 1920 que pedaços muito pequenos de matéria seguem um conjunto de regras diferente daquelas que observamos para objetos grandes. A separação inquestionável de ondas e partículas não era mais o caso do mundo microscópico.

Uma das primeiras pessoas a prestar atenção ao comportamento especial do mundo microscópico foi Louis de Broglie. Ele fez a pergunta: Se a radiação eletromagnética pode ter um caráter semelhante a uma partícula, os elétrons e outras partículas submicroscópicas podem exibir um caráter ondulatório? Em sua tese de doutorado de 1925, de Broglie ampliou a dualidade onda-partícula da luz que Einstein usou para resolver o paradoxo do efeito fotoelétrico em partículas de material. Ele previu que uma partícula com massa m e velocidade v (ou seja, com momento linear p) também deveria exibir o comportamento de uma onda com um valor de comprimento de onda λ, dado por essa expressão na qual h é a familiar constante de Planck:

$$\lambda =\frac{h}{mv}=\frac{h}{p}$$

Isso é chamado de comprimento de onda de Broglie. Ao contrário dos outros valores de λ discutidos neste capítulo, o comprimento de onda de Broglie é uma característica das partículas e de outros corpos, não da radiação eletromagnética (observe que essa equação envolve velocidade [v, m/s], não frequência [λ, Hz]). Embora esses dois símbolos pareçam quase idênticos, eles significam coisas muito diferentes). Onde Bohr postulou o elétron como sendo uma partícula orbitando o núcleo em órbitas quantizadas, de Broglie argumentou que a suposição de quantização de Bohr pode ser explicada se o elétron for considerado não como uma partícula, mas sim como uma onda estacionária circular, de modo que apenas um número inteiro de comprimentos de onda poderia caber exatamente dentro da órbita (Figura 6.17).

Figura 6.17 Se um elétron for visto como uma onda circulando ao redor do núcleo, um número inteiro de comprimentos de onda deve caber na órbita para que esse comportamento de onda estacionária seja possível.

Para uma órbita circular de raio r, a circunferência é 2 π r e, portanto, a condição de Broglie é:

$$2\pi r=n\lambda ,n=1,2,3,...$$

Pouco depois de de Broglie propor a natureza ondulatória da matéria, dois cientistas dos Laboratórios Bell, C. J. Davisson e L. H. Germer, demonstraram experimentalmente que os elétrons podem exibir um comportamento ondulatório ao mostrar um padrão de interferência para elétrons que viajam através de um padrão atômico em um cristal. As camadas atômicas regularmente espaçadas serviram como fendas, conforme usadas em outros experimentos de interferência. Como o espaçamento entre as camadas que servem como fendas precisa ser semelhante em tamanho ao comprimento de onda da onda testada para que um padrão de interferência se forme, Davisson e Germer usaram um alvo de níquel cristalino para suas “fendas”, uma vez que o espaçamento dos átomos dentro da rede era aproximadamente o mesmo que o Comprimentos de onda de Broglie dos elétrons que eles usaram. A Figura 6.18 mostra um padrão de interferência. É surpreendentemente semelhante aos padrões de interferência da luz mostrados em Energia Eletromagnética para luz que passa por duas fendas estreitas e espaçadas. A dualidade onda-partícula da matéria pode ser vista na Figura 6.18 observando o que acontece se colisões de elétrons forem registradas por um longo período de tempo. Inicialmente, quando apenas alguns elétrons foram registrados, eles mostram um comportamento claro de partículas, tendo chegado em pequenos pacotes localizados que parecem aleatórios. À medida que mais e mais elétrons chegavam e eram registrados, surgiu um claro padrão de interferência que é a marca registrada do comportamento ondulatório. Assim, parece que, embora os elétrons sejam pequenas partículas localizadas, seu movimento não segue as equações de movimento implícitas pela mecânica clássica, mas é governado por algum tipo de equação de onda. Assim, a dualidade onda-partícula observada pela primeira vez com fótons é, na verdade, um comportamento fundamental intrínseco a todas as partículas quânticas.

Figura 6.18 (a) O padrão de interferência para elétrons que passam por fendas muito espaçadas demonstra que partículas quânticas, como elétrons, podem exibir comportamento ondulatório. (b) Os resultados experimentais ilustrados aqui demonstram a dualidade onda-partícula em elétrons.

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Veja o desenho animado Dr. Quantum — Double Slit Experiment para obter uma descrição fácil de entender da dualidade onda-partícula e dos experimentos associados.

Exemplo 6.6

Calculando o comprimento de onda de uma partícula

Se um elétron viaja a uma velocidade de 1.000$\times$10 ⁷ m s ^—1 e tem uma massa de 9,109$\times$10 a ²⁸ g, qual é o comprimento de onda?

Solução

Podemos usar a equação de Broglie para resolver esse problema, mas primeiro precisamos fazer uma conversão unitária da constante de Planck. Você aprendeu anteriormente que 1 J = 1 kg m ² /s ². Assim, podemos escrever h = 6,626$\times$10 ^—34 J é como 6.626$\times$10 ^—34 kg m ² /s.

$$\lambda =\frac{h}{mv}$$

$$\begin{array}{}\\ \\ =\frac{6.626\times {10}^{\mathrm{-34}}{\text{kg m}}^{\text{2}}\text{/s}}{\left(9.109\times {10}^{\mathrm{-31}}\text{kg}\right)\left(1.000\times {10}^7\text{m/s}\right)}\\ =7.274\times {10}^{\mathrm{-11}}\text{m}\end{array}$$

Esse é um valor pequeno, mas é significativamente maior do que o tamanho de um elétron na visão clássica (partícula). Esse tamanho é da mesma ordem de magnitude do tamanho de um átomo. Isso significa que o comportamento semelhante à onda do elétron será perceptível em um átomo.

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Calcule o comprimento de onda de uma bola de softball com uma massa de 100 g viajando a uma velocidade de 35 m s ^—1, assumindo que ela possa ser modelada como uma única partícula.

Resposta:

1.9$\times$10 ^—34 m.

Nunca pensamos em uma bola de softball lançada com um comprimento de onda, já que esse comprimento de onda é tão pequeno que é impossível que nossos sentidos ou qualquer instrumento conhecido detectem (estritamente falando) o comprimento de onda de uma bola de beisebol real corresponderia aos comprimentos de onda de seus átomos e moléculas constituintes, que, embora muito maiores do que esse valor, ainda seria microscopicamente pequeno). O comprimento de onda de Broglie só é apreciável para matéria que tem uma massa muito pequena e/ou uma velocidade muito alta.

Werner Heisenberg considerou os limites da precisão com que podemos medir as propriedades de um elétron ou de outras partículas microscópicas. Ele determinou que há um limite fundamental para a precisão com que se pode medir a posição e o momento de uma partícula simultaneamente. Quanto mais precisos medirmos o momento de uma partícula, menos precisos podemos determinar sua posição naquele momento e vice-versa. Isso se resume no que agora chamamos de princípio da incerteza de Heisenberg: é fundamentalmente impossível determinar simultaneamente e exatamente o momento e a posição de uma partícula. Para uma partícula de massa m se movendo com velocidade v _x na direção x (ou equivalentemente com momento p _x), o produto da incerteza na posição, Δx, e a incerteza no momento, Δp _x, deve ser maior ou igual a$\frac{\hslash }{2}$(onde$\hslash \text{}=\frac{h}{2\pi },$o valor da constante de Planck dividido por 2 π).

$$\text{Δ}x\times \text{Δ}{p}_x=\left(\text{Δ}x\right)\left(m\text{Δ}v\right)\ge \frac{\hslash }{2}$$

Essa equação nos permite calcular o limite da precisão com que podemos saber a posição simultânea de um objeto e seu momento. Por exemplo, se melhorarmos nossa medição da posição de um elétron para que a incerteza na posição (Δx) tenha um valor de, digamos, 1 pm (10 ^—12 m, cerca de 1% do diâmetro de um átomo de hidrogênio), então nossa determinação de seu momento deve ter uma incerteza com um valor de pelo menos

$$\left[\text{Δ}p=m\text{Δ}v=\frac{ħ}{\left(2\text{Δ}x\right)}\right]=\frac{\left(\mathrm{1,055}\times {10}^{\mathrm{-34}}{\text{kg m}}^{\text{2}}\text{/s}\right)}{\left(2\times 1\times 10^{\mathrm{-12}}\text{m}\right)}=5\times 10^{\mathrm{-23}}\text{kg m/s}.$$

O valor de não é grande, então a incerteza na posição ou no momento de um objeto macroscópico como uma bola de beisebol é muito insignificante para ser observada. No entanto, a massa de um objeto microscópico, como um elétron, é pequena o suficiente para que a incerteza possa ser grande e significativa.

Deve-se notar que o princípio da incerteza de Heisenberg não se limita apenas às incertezas de posição e momentum, mas também vincula outras variáveis dinâmicas. Por exemplo, quando um átomo absorve um fóton e faz a transição de um estado de energia para outro, a incerteza na energia e a incerteza no tempo necessário para a transição estão similarmente relacionadas, como ΔE Δt ≥$\frac{\hslash }{2}.$

O princípio de Heisenberg impõe limites máximos sobre o que é conhecido na ciência. Pode-se demonstrar que o princípio da incerteza é uma consequência da dualidade onda-partícula, que está no cerne do que distingue a teoria quântica moderna da mecânica clássica.

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Leia este artigo que descreve uma demonstração macroscópica recente do princípio da incerteza aplicado a objetos microscópicos.

O modelo quântico-mecânico de um átomo

Pouco depois de de Broglie publicar suas ideias de que o elétron em um átomo de hidrogênio poderia ser melhor considerado como uma onda estacionária circular em vez de uma partícula se movendo em órbitas circulares quantizadas, Erwin Schrödinger ampliou o trabalho de Broglie derivando o que hoje é conhecido como equação de Schrödinger. Quando Schrödinger aplicou sua equação a átomos semelhantes a hidrogênio, ele foi capaz de reproduzir a expressão de Bohr para a energia e, portanto, a fórmula de Rydberg que governava os espectros de hidrogênio. Schrödinger descreveu os elétrons como ondas estacionárias tridimensionais, ou funções de onda, representadas pela letra grega psi,. Alguns anos depois, Max Born propôs uma interpretação da função de onda que ainda é aceita hoje: os elétrons ainda são partículas e, portanto, as ondas representadas por não são ondas físicas, mas, em vez disso, são amplitudes de probabilidade complexas. O quadrado da magnitude de uma função de onda${\text{∣}\psi \text{∣}}^2$descreve a probabilidade da partícula quântica estar presente perto de um determinado local no espaço. Isso significa que as funções de onda podem ser usadas para determinar a distribuição da densidade do elétron em relação ao núcleo em um átomo. Na forma mais geral, a equação de Schrödinger pode ser escrita como:

$$\widehat{H}\psi =E\psi$$

$\widehat{H}$é o operador hamiltoniano, um conjunto de operações matemáticas que representam a energia total da partícula quântica (como um elétron em um átomo), é a função de onda dessa partícula que pode ser usada para encontrar a distribuição especial da probabilidade de encontrar a partícula, e$E$é o valor real da energia total da partícula.

O trabalho de Schrödinger, assim como o de Heisenberg e muitos outros cientistas seguindo seus passos, é geralmente chamado de mecânica quântica.

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Você também pode ter ouvido falar de Schrödinger por causa de seu famoso experimento mental. Esta história explica os conceitos de superposição e emaranhamento relacionados a um gato em uma caixa com veneno.

Entendendo a teoria quântica de elétrons em átomos

O objetivo desta seção é entender os orbitais de elétrons (localização dos elétrons nos átomos), suas diferentes energias e outras propriedades. O uso da teoria quântica fornece a melhor compreensão desses tópicos. Esse conhecimento é um precursor da ligação química.

Conforme descrito anteriormente, os elétrons nos átomos só podem existir em níveis discretos de energia, mas não entre eles. Diz-se que a energia de um elétron em um átomo é quantizada, ou seja, pode ser igual apenas a certos valores específicos e pode pular de um nível de energia para outro, mas não transitar suavemente ou permanecer entre esses níveis.

Os níveis de energia são rotulados com um valor n, onde n = 1, 2, 3,... De um modo geral, a energia de um elétron em um átomo é maior para valores maiores de n. Esse número, n, é chamado de número quântico principal. O número quântico principal define a localização do nível de energia. É essencialmente o mesmo conceito do n na descrição do átomo de Bohr. Outro nome para o número quântico principal é o número da casca. As camadas de um átomo podem ser pensadas em círculos concêntricos irradiando para fora do núcleo. Os elétrons que pertencem a uma camada específica têm maior probabilidade de serem encontrados na área circular correspondente. Quanto mais nos afastamos do núcleo, maior o número de conchas e, portanto, maior o nível de energia (Figura 6.19). Os prótons carregados positivamente no núcleo estabilizam os orbitais eletrônicos por atração eletrostática entre as cargas positivas dos prótons e as cargas negativas dos elétrons. Portanto, quanto mais distante o elétron estiver do núcleo, maior será a energia que ele tem.

Figura 6.19 Conchas diferentes são numeradas por números quânticos principais.

Esse modelo de mecânica quântica para onde os elétrons residem em um átomo pode ser usado para observar as transições eletrônicas, os eventos em que um elétron se move de um nível de energia para outro. Se a transição for para um nível de energia mais alto, a energia será absorvida e a mudança de energia terá um valor positivo. Para obter a quantidade de energia necessária para a transição para um nível de energia mais alto, um fóton é absorvido pelo átomo. A transição para um nível de energia mais baixo envolve uma liberação de energia, e a mudança de energia é negativa. Esse processo é acompanhado pela emissão de um fóton pelo átomo. A equação a seguir resume essas relações e é baseada no átomo de hidrogênio:

$$\begin{array}{c}\text{Δ}E=E_{\text{final}}-E_{\text{inicial}}\\ \\ \\ =\mathrm{-2,18}\times {10}^{\mathrm{-18}}\left(\frac{1}{n_{\text{f}}^2}-\frac{1}{n_{\text{eu}}^2}\right)\text{J}\end{array}$$

Os valores n _f e n _i são os estados de energia final e inicial do elétron. O exemplo 6.5 na seção anterior do capítulo demonstra cálculos de tais mudanças de energia.

O número quântico principal é um dos três números quânticos usados para caracterizar um orbital. Um orbital atômico é uma região geral de um átomo na qual é mais provável que um elétron resida. O modelo de mecânica quântica especifica a probabilidade de encontrar um elétron no espaço tridimensional ao redor do núcleo e é baseado em soluções da equação de Schrödinger. Além disso, o número quântico principal define a energia de um elétron em um átomo ou íon semelhante a hidrogênio ou hidrogênio (um átomo ou íon com apenas um elétron) e a região geral na qual os níveis discretos de energia dos elétrons em átomos e íons de vários elétrons estão localizados.

Outro número quântico é l, o número quântico secundário (momento angular). É um número inteiro que pode assumir os valores, l = 0, 1, 2,..., n — 1. Isso significa que um orbital com n = 1 pode ter apenas um valor de l, l = 0, enquanto n = 2 permite l = 0 e l = 1, e assim por diante. Enquanto o número quântico principal, n, define o tamanho geral e a energia do orbital, o número quântico secundário l especifica a forma do orbital. Orbitais com o mesmo valor de l definem uma subcamada.

Orbitais com l = 0 são chamados de orbitais s e formam as subcamadas s. O valor l = 1 corresponde aos orbitais p. Para um dado n, os orbitais p constituem uma subcamada p (por exemplo, 3 p se n = 3). Os orbitais com l = 2 são chamados de orbitais d, seguidos pelos orbitais f-, g- e h- para l = 3, 4 e 5.

Existem certas distâncias do núcleo nas quais a densidade de probabilidade de encontrar um elétron localizado em um orbital específico é zero. Em outras palavras, o valor da função de onda λ é zero nessa distância para esse orbital. Esse valor de raio r é chamado de nó radial. O número de nós radiais em um orbital é n — l — 1.

Figura 6.20 Os gráficos mostram a probabilidade (eixo y) de encontrar um elétron para os orbitais de 1 s, 2 s, 3 s em função da distância do núcleo.

Considere os exemplos na Figura 6.20. Os orbitais representados são do tipo s, portanto l = 0 para todos eles. Pode ser visto nos gráficos das densidades de probabilidade que existem 1 — 0 — 1 = 0 lugares onde a densidade é zero (nós) para 1 s (n = 1), 2 — 0 — 1 = 1 nó por 2 s e 3 — 0 — 1 = 2 nós para os orbitais de 3 s.

A distribuição da densidade eletrônica da subcamada s é esférica e a subcamada p tem uma forma de haltere. Os orbitais d e f são mais complexos. Essas formas representam as regiões tridimensionais nas quais o elétron provavelmente será encontrado.

Figura 6.21 Formas dos orbitais s, p, d e f.

O número quântico magnético, m _l, especifica a orientação espacial relativa de um orbital específico. De um modo geral, m _l pode ser igual a — l, — (l — 1),..., 0,..., (l — 1), l. O número total de orbitais possíveis com o mesmo valor de l (ou seja, na mesma subcamada) é 2 l + 1. Assim, há um orbital s em uma subcamada s (l = 0), há três orbitais p em uma subcamada p (l = 1), cinco orbitais d em uma subcamada d (l = 2), sete orbitais f em uma subcamada f (l = 3) e assim por diante. O número quântico principal define o valor geral da energia eletrônica. O número quântico do momento angular determina a forma do orbital. E o número quântico magnético especifica a orientação do orbital no espaço, como pode ser visto na Figura 6.21.

Figura 6.22 O gráfico mostra as energias dos orbitais de elétrons em um átomo de vários elétrons.

A Figura 6.22 ilustra os níveis de energia de vários orbitais. O número antes do nome orbital (como 2 s, 3 p e assim por diante) representa o número quântico principal, n. A letra no nome orbital define a subcamada com um número quântico de momento angular específico l = 0 para orbitais s, 1 para orbitais p, 2 para orbitais d. Finalmente, há mais de um orbital possível para l ≥ 1, cada um correspondendo a um valor específico de m _l. No caso de um átomo de hidrogênio ou de um íon de um elétron (como He ^{+, Li 2+} e assim por diante), as energias de todos os orbitais com o mesmo n são as mesmas. Isso é chamado de degeneração, e os níveis de energia para o mesmo número quântico principal, n, são chamados de orbitais degenerados. No entanto, em átomos com mais de um elétron, essa degeneração é eliminada pelas interações elétron-elétron, e orbitais que pertencem a diferentes subcamadas têm energias diferentes, conforme mostrado na Figura 6.22. Os orbitais dentro da mesma subcamada ainda estão degenerados e têm a mesma energia.

Embora os três números quânticos discutidos nos parágrafos anteriores funcionem bem para descrever orbitais de elétrons, alguns experimentos mostraram que eles não eram suficientes para explicar todos os resultados observados. Foi demonstrado na década de 1920 que, quando os espectros de linhas de hidrogênio são examinados em resolução extremamente alta, algumas linhas na verdade não são picos únicos, mas sim pares de linhas estreitamente espaçadas. Essa é a chamada estrutura fina do espectro e implica que existem pequenas diferenças adicionais nas energias dos elétrons, mesmo quando eles estão localizados no mesmo orbital. Essas observações levaram Samuel Goudsmit e George Uhlenbeck a propor que os elétrons têm um quarto número quântico. Eles chamaram isso de número quântico de spin, ou m _s.

Os outros três números quânticos, n, l e m _l, são propriedades de orbitais atômicos específicos que também definem em qual parte do espaço um elétron tem maior probabilidade de estar localizado. Os orbitais são o resultado da resolução da equação de Schrödinger para elétrons em átomos. O spin do elétron é um tipo diferente de propriedade. É um fenômeno completamente quântico sem análogos no reino clássico. Além disso, ela não pode ser derivada da resolução da equação de Schrödinger e não está relacionada às coordenadas espaciais normais (como os cartesianos x, y e z). O spin eletrônico descreve uma “rotação” ou “rotação” intrínseca de elétrons. Cada elétron atua como um pequeno ímã ou um pequeno objeto rotativo com um momento angular, ou como um loop com uma corrente elétrica, mesmo que essa rotação ou corrente não possa ser observada em termos de coordenadas espaciais.

A magnitude do spin geral do elétron só pode ter um valor, e um elétron só pode “girar” em um dos dois estados quantizados. Um é denominado estado α, com o componente z do spin na direção positiva do eixo z. Isso corresponde ao número quântico de spin$m_s\text{}=\frac{1}{2}.$O outro é chamado de estado β, com o componente z do spin sendo negativo e$m_s\text{}=-\frac{1}{2}.$Qualquer elétron, independentemente do orbital atômico em que está localizado, só pode ter um desses dois valores do número quântico de spin. As energias dos elétrons com$m_s\text{}=-\frac{1}{2}$e$m_s=\frac{1}{2}$são diferentes se um campo magnético externo for aplicado.

Figura 6.23 Elétrons com valores de rotação$\pm \frac{1}{2}$em um campo magnético externo.

A Figura 6.23 ilustra esse fenômeno. Um elétron age como um pequeno ímã. Seu momento é direcionado para cima (na direção positiva do eixo z) para o$\frac{1}{2}$número quântico de spin e para baixo (na direção z negativa) para o número quântico de spin de$-\frac{1}{2}.$Um ímã tem uma energia menor se seu momento magnético estiver alinhado com o campo magnético externo (o elétron esquerdo na Figura 6.23) e uma energia maior para o momento magnético sendo oposta ao campo aplicado. É por isso que um elétron com$m_s=\frac{1}{2}$tem uma energia ligeiramente menor em um campo externo na direção z positiva e um elétron com$m_s=-\frac{1}{2}$tem uma energia um pouco maior no mesmo campo. Isso é verdade até mesmo para um elétron ocupando o mesmo orbital em um átomo. Uma linha espectral correspondente a uma transição para elétrons do mesmo orbital, mas com números quânticos de spin diferentes, tem dois valores possíveis de energia; portanto, a linha no espectro mostrará uma divisão fina da estrutura.

O princípio de exclusão de Pauli

Um elétron em um átomo é completamente descrito por quatro números quânticos: n, _l, m l e m _s. Os primeiros três números quânticos definem o orbital e o quarto número quântico descreve a propriedade intrínseca do elétron chamada spin. O físico austríaco Wolfgang Pauli formulou um princípio geral que fornece a última informação de que precisamos para entender o comportamento geral dos elétrons nos átomos. O princípio de exclusão de Pauli pode ser formulado da seguinte forma: Dois elétrons no mesmo átomo não podem ter exatamente o mesmo conjunto de todos os quatro números quânticos. O que isso significa é que dois elétrons podem compartilhar o mesmo orbital (o mesmo conjunto dos números quânticos n, l e m _l) somente se seus números quânticos de spin m _s tiverem valores diferentes. Como o número quântico de spin só pode ter dois valores$\left(\pm \frac{1}{2}\right),$não mais do que dois elétrons podem ocupar o mesmo orbital (e se dois elétrons estiverem localizados no mesmo orbital, eles devem ter spins opostos). Portanto, qualquer orbital atômico pode ser preenchido por apenas zero, um ou dois elétrons.

As propriedades e o significado dos números quânticos de elétrons nos átomos estão resumidos brevemente na Tabela 6.1.

Números quânticos, suas propriedades e significado
Nome	Símbolo	Valores permitidos	Significado físico
número quântico principal	n	1, 2, 3, 4,...	concha, a região geral do valor da energia de um elétron no orbital
momento angular ou número quântico azimutal	l	0 ≤ l ≤ n — 1	subconcha, a forma do orbital
número quântico magnético	m l	— l ≤ m l ≤ l	orientação do orbital
número quântico de spin	m é	$\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$	direção da “rotação” quântica intrínseca do elétron

Tabela 6.1

Exemplo 6.7

Trabalhando com shells e subshells

Indique o número de subcamadas, o número de orbitais em cada subcamada e os valores de l e m _l para os orbitais na camada n = 4 de um átomo.

Solução

Para n = 4, l pode ter valores de 0, 1, 2 e 3. Assim, as subcamadas s, p, d e f são encontradas na camada n = 4 de um átomo. Para l = 0 (a subcamada s), m _l só pode ser 0. Assim, há apenas um orbital de 4 s. Para l = 1 (orbitais do tipo p), m pode ter valores de —1, 0, +1, então encontramos três orbitais de 4 p. Para l = 2 (orbitais do tipo d), m _l pode ter valores de —2, —1, 0, +1, +2, então temos cinco orbitais de 4 d. Quando l = 3 (orbitais do tipo f), m _l pode ter valores de —3, —2, —1, 0, +1, +2, +3, e podemos ter sete orbitais de 4 f. Assim, encontramos um total de 16 orbitais na camada n = 4 de um átomo.

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Identifique a subcamada na qual os elétrons com os seguintes números quânticos são encontrados: (a) n = 3, l = 1; (b) n = 5, l = 3; (c) n = 2, l = 0.

Resposta:

(a) 3 (b) 5 f (c) 2 s

Exemplo 6.8

Número máximo de elétrons

Calcule o número máximo de elétrons que podem ocupar uma camada com (a) n = 2, (b) n = 5 e (c) n como variável. Observe que você está observando apenas os orbitais com o valor n especificado, não aqueles com energias mais baixas.

Solução

(a) Quando n = 2, existem quatro orbitais (um único orbital de 2 s e três orbitais marcados com 2 p). Esses quatro orbitais podem conter oito elétrons.

(b) Quando n = 5, há cinco subcamadas de orbitais que precisamos somar:

$$\begin{array}{}\\ 1\text{orbital marcado}5s\\ 3\text{orbitais rotulados}5p\\ 5\text{orbitais rotulados}5d\\ 7\text{orbitais rotulados}5f\\ \underset{\ne }{+9\text{orbitais rotulados}5g}\\ 25\text{total de orbitais}\end{array}$$

Novamente, cada orbital contém dois elétrons, então 50 elétrons podem caber nessa camada.

(c) O número de orbitais em qualquer concha n será igual a n ²_. Pode haver até dois elétrons em cada orbital, então o número máximo de elétrons será 2$\times$n ².

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Se uma camada contém no máximo 32 elétrons, qual é o número quântico principal, n?

Resposta:

n = 4

Exemplo 6.9

Trabalhando com números quânticos

Preencha a tabela a seguir para orbitais atômicos:

Orbital	n	l	m l degeneração	Nódulos radiais (não.)
4 g
	4	1
	7		7	3
5 d

Solução

A tabela pode ser preenchida usando as seguintes regras:

• A designação orbital é nl, onde l = 0, 1, 2, 3, 4, 5,... é mapeada na sequência de letras s, p, d, f, g, h,...,
• A degeneração m _l é o número de orbitais dentro de uma subcamada l, assim como 2 l + 1 (há um orbital s, três orbitais p, cinco orbitais d, sete orbitais f e assim por diante).
• O número de nós radiais é igual a n — l — 1.

Orbital	n	l	m l degeneração	Nódulos radiais (não.)
4 g	4	3	7	0
4 p	4	1	3	2
7 de	7	3	7	3
5 d	5	2	5	2

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Quantos orbitais têm l = 2 e n = 3?

Resposta:

Os cinco orbitais degenerados de 3 d