1.5: Incerteza, exatidão e precisão da medição

Objetivos de

• Compare e contraste números exatos e incertos.
• Represente corretamente a incerteza em quantidades usando números significativos.
• Identifique o número de valores significativos.
• Resolva problemas que envolvam vários cálculos e relate os resultados com o número apropriado de números significativos.
• Aplique regras de arredondamento adequadas às quantidades computadas
• Defina exatidão e precisão e use exatidão e precisão para descrever conjuntos de dados.

A contagem é o único tipo de medição livre de incertezas, desde que o número de objetos contados não mude enquanto o processo de contagem está em andamento. O resultado dessa medição de contagem é um exemplo de um número exato. Se contarmos os ovos em uma caixa, sabemos exatamente quantos ovos a embalagem contém. Os números de quantidades definidas também são exatos. Por definição, 1 pé é exatamente 12 polegadas, 1 polegada é exatamente 2,54 centímetros e 1 grama é exatamente 0,001 kg. Quantidades derivadas de medições diferentes da contagem, no entanto, são incertas em diferentes extensões devido às limitações práticas do processo de medição usado.

Números significativos na medição

Os números de quantidades medidas, diferentemente das quantidades definidas ou contadas diretamente, não são exatos. Para medir o volume de líquido em um cilindro graduado, você deve fazer uma leitura na parte inferior do menisco, o ponto mais baixo da superfície curva do líquido.

Figura\(\PageIndex{1}\): Para medir o volume de líquido neste cilindro graduado, você deve subdividir mentalmente a distância entre as marcas de 21 e 22 mL em décimos de mililitro e, em seguida, fazer uma leitura (estimativa) na parte inferior do menisco.

Um cilindro graduado de 25 mililitros cheio de líquido. As marcas nos cilindros são ampliadas para mostrar a parte inferior do menisco entre 21 e 22 mililitros.

Consulte a ilustração na Figura\(\PageIndex{1}\). A parte inferior do menisco, neste caso, está claramente entre as marcações 21 e 22, o que significa que o volume do líquido é certamente maior que 21 mL, mas menor que 22 mL. O menisco parece estar um pouco mais próximo da marca de 22 mL do que da marca de 21 mL e, portanto, uma estimativa razoável do volume do líquido seria de 21,6 mL. No número 21.6, então, os dígitos 2 e 1 são certos, mas o 6 é uma estimativa. Algumas pessoas podem estimar a posição do menisco como igualmente distante de cada uma das marcações e estimar o dígito do décimo lugar como 5, enquanto outras podem pensar que está ainda mais próximo da marca de 22 mL e estimar esse dígito em 7. Observe que seria inútil tentar estimar um dígito para a casa dos centésimos, uma vez que o dígito do décimo lugar é incerto. Em geral, escalas numéricas como a deste cilindro graduado permitirão medições até um décimo da menor divisão de escala. Nesse caso, a escala tem divisões de 1 mL e, portanto, os volumes podem ser medidos até o 0,1 mL mais próximo.

Esse conceito é válido para todas as medições, mesmo que você não faça uma estimativa ativa. Se você colocar um quarto em uma balança eletrônica padrão, poderá obter uma leitura de 6,72 g. Os dígitos 6 e 7 são certos e o 2 indica que a massa do quarto provavelmente está entre 6,71 e 6,73 gramas. O trimestre pesa cerca de 6,72 gramas, com uma incerteza nominal na medição de ± 0,01 grama. Se pesarmos o quarto em uma balança mais sensível, podemos descobrir que sua massa é de 6,723 g. Isso significa que sua massa está entre 6,722 e 6,724 gramas, uma incerteza de 0,001 grama. Cada medição tem alguma incerteza, que depende do dispositivo usado (e da capacidade do usuário). Todos os dígitos em uma medição, incluindo o último dígito incerto, são chamados de números significativos ou dígitos significativos. Observe que zero pode ser um valor medido; por exemplo, se você estiver em uma balança que mostra o peso da libra mais próxima e mostra “120”, então 1 (centenas), 2 (dezenas) e 0 (unidades) são todos valores significativos (medidos).

Sempre que você faz uma medição corretamente, todos os dígitos no resultado são significativos. Mas e se você estivesse analisando um valor relatado e tentando determinar o que é significativo e o que não é? Bem, para começar, todos os dígitos diferentes de zero são significativos e são apenas zeros que exigem alguma reflexão. Usaremos os termos “líder”, “arrastado” e “cativo” para os zeros e consideraremos como lidar com eles.

 

O diagrama à esquerda usa o exemplo de 3090. O zero na casa das centenas é rotulado como “cativo” e o zero no lugar das centenas é rotulado como “arrastado”. O diagrama à direita usa o exemplo 0,008020. Os três zeros nas posições de um, décimos e centésimos são rotulados como “iniciais”. O zero na casa dos dez milésimos é rotulado como “cativo” e o zero na casa dos milionésimos é rotulado como “à direita”.

Começando com o primeiro dígito diferente de zero à esquerda, conte esse dígito e todos os dígitos restantes à direita. Esse é o número de números significativos na medição, a menos que o último dígito seja um zero à esquerda do ponto decimal.

 

O diagrama à esquerda usa o exemplo de 1267 metros. O número 1 é o primeiro número diferente de zero à esquerda. 1267 tem 4 números significativos no total. O diagrama correto usa o exemplo de 55,0 gramas. O número 5 na posição das dezenas é o primeiro valor diferente de zero à esquerda. 55,0 tem 3 números significativos. Observe que o 0 está à direita do ponto decimal e, portanto, é um valor significativo.

Os zeros cativos resultam da medição e, portanto, são sempre significativos. Os zeros iniciais, no entanto, nunca são significativos — eles simplesmente nos dizem onde o ponto decimal está localizado.

 

O diagrama à esquerda usa o exemplo de 70,607 mililitros. O número 7 é o primeiro valor diferente de zero à esquerda. 70,607 tem 5 números significativos no total, pois todos os números são medidos, incluindo os 2 zeros. O diagrama à direita usa o exemplo de 0,00832407 M L. O número 8 é o primeiro valor diferente de zero à esquerda. 0,00832407 tem 6 números significativos.

Os zeros iniciais neste exemplo não são significativos. Poderíamos usar a notação exponencial (conforme descrito no Apêndice B) e expressar o número como 8,32407\(\times\) 10 ⁻³; então o número 8,32407 contém todos os números significativos e 10 ⁻³ localiza o ponto decimal.

O número de números significativos é incerto em um número que termina com um zero à esquerda da localização do ponto decimal. Os zeros na medição de 1.300 gramas podem ser significativos ou podem simplesmente indicar onde o ponto decimal está localizado. A ambigüidade pode ser resolvida com o uso da notação exponencial: 1,3\(\times\) 10 ³ (dois números significativos), 1,30\(\times\) 10 ³ (três figuras significativas, se o lugar das dezenas foi medido) ou 1.300\(\times\) 10 ³ (quatro figuras significativas, se o lugar de um fosse também medido). Nos casos em que somente o número em formato decimal está disponível, é prudente supor que todos os zeros finais não sejam significativos.

 

Esta figura usa o exemplo de 1300 gramas. O primeiro e o 3 são números significativos, pois são claramente o resultado da medição. Os 2 zeros poderiam ser significativos se fossem medidos ou poderiam ser espaços reservados.

Ao determinar números significativos, preste atenção aos valores relatados e pense na medição e nos números significativos em termos do que é razoável ou provável, ou seja, se o valor faz sentido. Por exemplo, o censo oficial de janeiro de 2014 relatou a população residente dos EUA como 317.297.725. Você acha que a população dos EUA foi determinada corretamente com base nos nove números significativos relatados, ou seja, com o número exato de pessoas? As pessoas estão constantemente nascendo, morrendo ou se mudando para dentro ou para fora do país, e suposições são feitas para explicar o grande número de pessoas que não são realmente contadas. Por causa dessas incertezas, pode ser mais razoável esperar que conheçamos a população talvez dentro de um milhão ou mais, caso em que a população deve ser relatada como 317 milhões, ou\(3.17 \times 10^8 \) pessoas.

Números significativos nos cálculos

Um segundo princípio importante de incerteza é que os resultados calculados a partir de uma medição são pelo menos tão incertos quanto a medição em si. Devemos levar em consideração a incerteza em nossas medições para evitar deturpar a incerteza nos resultados calculados. Uma maneira de fazer isso é relatar o resultado de um cálculo com o número correto de números significativos, que é determinado pelas três regras a seguir para arredondar números:

1. Ao somar ou subtrair números, devemos arredondar o resultado para o mesmo número de casas decimais que o número com o menor número de casas decimais (o valor menos preciso em termos de adição e subtração).
2. Quando multiplicamos ou dividimos números, devemos arredondar o resultado para o mesmo número de dígitos do número com o menor número de números significativos (o valor menos preciso em termos de multiplicação e divisão).
3. Se o dígito a ser descartado (aquele imediatamente à direita do dígito a ser retido) for menor que 5, nós “arredondamos para baixo” e deixamos o dígito retido inalterado; se for maior que 5, nós “arredondamos para cima” e aumentamos o dígito retido em 1; se o dígito descartado for 5, arredondamos para cima ou para baixo, o que gerar um valor par para o dígito retido. (A última parte dessa regra pode parecer um pouco estranha, mas é baseada em estatísticas confiáveis e visa evitar qualquer viés ao eliminar o dígito “5", já que está igualmente próximo dos dois valores possíveis do dígito retido.)

Os exemplos a seguir ilustram a aplicação dessa regra ao arredondar alguns números diferentes para três números significativos:

• 0,028675 arredonda “para cima” para 0,0287 (o dígito descartado, 7, é maior que 5)
• 18.3384 arredonda “para baixo” para 18,3 (o dígito descartado, 3, é menor que 5)
• 6,8752 arredonda “para cima” para 6,88 (o dígito eliminado é 5 e o dígito retido é par)
• 92,85 arredonda “para baixo” para 92,8 (o dígito eliminado é 5 e o dígito retido é par)

Vamos analisar essas regras com alguns exemplos.

Exemplo\(\PageIndex{1}\): Rounding Numbers

Arredonde o seguinte para o número indicado de números significativos:

1. 31,57 (até dois números significativos)
2. 8.1649 (até três números significativos)
3. 0,051065 (até quatro números significativos)
4. 0,90275 (até quatro números significativos)

Solução

1. 31,57 arredonda “para cima” para 32 (o dígito descartado é 5 e o dígito retido é par)
2. 8.1649 arredonda “para baixo” para 8,16 (o dígito eliminado, 4, é menor que 5)
3. 0,051065 arredonda “para baixo” para 0,05106 (o dígito eliminado é 5 e o dígito retido é par)
4. 0,90275 arredonda “para cima” para 0,9028 (o dígito descartado é 5 e o dígito retido é par)

Exercício\(\PageIndex{1}\)

Arredonde o seguinte para o número indicado de números significativos:

1. 0,424 (até dois números significativos)
2. 0,0038661 (até três números significativos)
3. 421,25 (até quatro números significativos)
4. 28.683,5 (até cinco números significativos)

Responda a

0,42

Resposta b

0,00387

Resposta c

421,2

Resposta d

28.684

Exemplo\(\PageIndex{2}\): Addition and Subtraction with Significant Figures Rule:

Quando adicionamos ou subtraímos números, devemos arredondar o resultado para o mesmo número de casas decimais que o número com o menor número de casas decimais (ou seja, o valor menos preciso em termos de adição e subtração).

1. Adicione 1,0023 g e 4,383 g.
2. Subtraia 421,23 g de 486 g.

Solução

(uma)

\ [\ begin {align*}
&\ mathrm {1.0023\: g}\\ +\: &\ underline {\ mathrm {4.383\: g}\:\:}\\ &\ mathrm {5.3853\: g}
\ end {align*}\ nonumber\]

A resposta é 5,385 g (arredondar para a milésima casa; três casas decimais)

(b)

\ [\ begin {align*}
&\ mathrm {486\: g}\\ -\: &\ underline {\ mathrm {421.23\: g}}\\ &\ mathrm {\:\ :64,77\: g}
\ end {align*}\ nonumber\]

A resposta é 65 g (arredondar para a casa das unidades; sem casas decimais)

Exercício\(\PageIndex{2}\)

1. Adicione 2,334 mL e 0,31 mL.
2. Subtraia 55,8752 m de 56,533 m.

Responda a

2,64 mL

Resposta b

0,658 mm

Exemplo\(\PageIndex{3}\): Multiplication and Division with Significant Figures

Regra: Quando multiplicamos ou dividimos números, devemos arredondar o resultado para o mesmo número de dígitos que o número com o menor número de números significativos (o valor menos preciso em termos de multiplicação e divisão).

1. Multiplique 0,6238 cm por 6,6 cm.
2. Divida 421,23 g por 486 mL.

Solução

(uma)

\[\mathrm{0.6238\: cm\times6.6\:cm=4.11708\:cm^2\rightarrow result\: is\:4.1\:cm^2}\:\textrm{(round to two significant figures)} \nonumber \]
\[\textrm{four significant figures}\times \textrm{two significant figures}\rightarrow \textrm{two significant figures answer} \nonumber \]

(b)

\[\mathrm{\dfrac{421.23\: g}{486\: mL}=0.86728...\: g/mL\rightarrow result\: is\: 0.867\: g/mL} \: \textrm{(round to three significant figures)} \nonumber \]

\[\mathrm{\dfrac{five\: significant\: figures}{three\: significant\: figures}\rightarrow three\: significant\: figures\: answer} \nonumber \]

Exercício\(\PageIndex{3}\)

1. Multiplique 2,334 cm e 0,320 cm.
2. Divida 55,8752 m por 56,53 s.

Responda a

0,747 cm ²

Resposta b

0,9884 m/s

Em meio a todos esses detalhes técnicos, é importante ter em mente o motivo pelo qual usamos números significativos e regras de arredondamento — para representar corretamente a certeza dos valores que relatamos e garantir que um resultado calculado não seja representado como sendo mais certo do que o menor valor usado em o cálculo.

Exemplo\(\PageIndex{4}\): Calculation with Significant Figures

Uma banheira comum tem 13,44 cm de comprimento, 5,920 cm de largura e 2,54 cm de profundidade. Suponha que a banheira seja retangular e calcule seu volume aproximado em litros.

Solução

\ [\ begin {align*}
V&=l\ times w\ times d\\ &=\ mathrm {13,44\: dm\ times 5.920\: dm\ times 2.54\: dm}\\ &=\ mathrm {202,09459... dm^3}\:\ textrm {(valor da calculadora)}\\ &=\ mathrm {202\: dm^^^ 3,}\ textrm {ou 202 L (resposta arredondada para três números significativos)}
\ end {align*}\ número\]

Exercício\(\PageIndex{4}\): Determination of Density Using Water Displacement

Qual é a densidade de um líquido com uma massa de 31,1415 g e um volume de ^{30,13 cm 3}?

Responda

1,034 g/mL

Exemplo\(\PageIndex{4}\)

Um pedaço de vergalhão é pesado e depois submerso em um cilindro graduado parcialmente cheio de água, com os resultados mostrados.

 

Um cilindro graduado cheio de líquido é mostrado. Um mostra o nível antes da adição do vergalhão e o outro mostra o nível com o vergalhão submerso no líquido. A massa do vergalhão é 69,658 gramas, o volume final é 22,4 mililitros e o volume inicial é 13,5 mililitros.

1. Use esses valores para determinar a densidade desse pedaço de vergalhão.
2. O vergalhão é principalmente de ferro. Seu resultado em (a) apóia essa afirmação? Como?

Solução

O volume do pedaço de vergalhão é igual ao volume da água deslocada:

\[\mathrm{volume=22.4\: mL-13.5\: mL=8.9\: mL=8.9\: cm^3}\nonumber \]

(arredondado para o 0,1 mL mais próximo, de acordo com a regra de adição e subtração)

A densidade é a relação massa-volume:

\[\mathrm{density=\dfrac{mass}{volume}=\dfrac{69.658\: g}{8.9\: cm^3}=7.8\: g/cm^3}\nonumber \]

(arredondado para dois algarismos significativos, de acordo com a regra de multiplicação e divisão)

A densidade do ferro é de 7,9 g/cm ³, muito próxima à do vergalhão, o que dá algum suporte ao fato de que o vergalhão é principalmente ferro.

Exercício\(\PageIndex{4}\)

Uma peça de formato irregular de um material amarelado brilhante é pesada e depois submersa em um cilindro graduado, com os resultados mostrados.

 

Um cilindro graduado cheio de líquido é mostrado. Um mostra o nível antes de o material ser adicionado e o outro mostra o nível com o material submerso no líquido. A massa é 51,842 gramas, o volume final é 19,8 mililitros e o volume inicial é 17,1 mililitros.

1. Use esses valores para determinar a densidade desse material.
2. Você tem alguma suposição razoável sobre a identidade desse material? Explique seu raciocínio.

Responda a

19 g/cm ³

Resposta b

Provavelmente é ouro; tem a aparência certa para o ouro e muito próxima da densidade dada para o ouro.

 

Precisão e precisão

Os cientistas normalmente fazem medições repetidas de uma quantidade para garantir a qualidade de suas descobertas e conhecer a precisão e a exatidão de seus resultados. As medições são consideradas precisas se produzirem resultados muito semelhantes quando repetidas da mesma maneira. Uma medição é considerada precisa se produzir um resultado muito próximo do valor verdadeiro ou aceito. Valores precisos concordam entre si; valores precisos concordam com um valor real. Essas caracterizações podem ser estendidas a outros contextos, como os resultados de uma competição de arco e flecha (Figura\(\PageIndex{2}\)).

Figura\(\PageIndex{2}\): (a) Essas flechas estão próximas tanto do olho do boi quanto umas das outras, então elas são precisas e precisas. (b) Essas flechas estão próximas umas das outras, mas não estão no alvo, então são precisas, mas não precisas. (c) Essas flechas não estão no alvo nem próximas umas das outras, então elas não são precisas nem precisas.

Suponha que um químico de controle de qualidade em uma empresa farmacêutica tenha a tarefa de verificar a exatidão e a precisão de três máquinas diferentes destinadas a distribuir 10 onças (296 mL) de xarope para tosse em frascos de armazenamento. Ela passa a usar cada máquina para encher cinco garrafas e, em seguida, determina cuidadosamente o volume real dispensado, obtendo os resultados tabulados na Tabela\(\PageIndex{2}\).

Tabela\(\PageIndex{2}\): Volume (mL) de medicamento para tosse fornecido por dispensadores de 10 onças (296 mL)

Dispensador #1	Dispensador #2	Dispensador #3
283,3	298,3	296,1
284,1	294.2	295,9
283,9	296,0	296,1
284,0	297,8	296,0
284,1	293,9	296,1

Considerando esses resultados, ela relatará que o dispensador #1 é preciso (valores todos próximos um do outro, dentro de alguns décimos de mililitro), mas não preciso (nenhum dos valores está próximo do valor-alvo de 296 mL, cada um sendo mais de 10 mL muito baixo). Os resultados do dispensador #2 representam uma precisão aprimorada (cada volume está a menos de 3 mL de 296 mL), mas uma precisão pior (os volumes variam em mais de 4 mL). Finalmente, ela pode relatar que o dispensador #3 está funcionando bem, dispensando xarope para tosse com precisão (todos os volumes dentro de 0,1 mL do volume alvo) e com precisão (volumes que diferem entre si em não mais que 0,2 mL).

Resumo

As quantidades podem ser exatas ou medidas. As quantidades medidas têm uma incerteza associada que é representada pelo número de números significativos na medição. A incerteza de um valor calculado depende das incertezas nos valores usados no cálculo e é refletida na forma como o valor é arredondado. Os valores medidos podem ser precisos (próximos ao valor real) e/ou precisos (mostrando pouca variação quando medidos repetidamente).

Glossário

incerteza

estimativa da quantidade pela qual a mensuração difere do valor real

números significativos

(também, dígitos significativos) todos os dígitos medidos em uma determinação, incluindo o último dígito incerto

arredondar

procedimento usado para garantir que os resultados calculados reflitam adequadamente a incerteza nas medições usadas no cálculo

precisão

até que ponto uma medição coincide com a mesma medição quando repetida

número exato

número derivado por contagem ou por definição

precisão

até que ponto uma medição se alinha com um valor correto