10.E: Geometria Analítica (Exercícios)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 189366

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

10.1: A elipse

Nesta seção, investigaremos a forma desta sala e suas aplicações no mundo real, incluindo a distância entre duas pessoas no Statuary Hall e ainda ouvirem uma à outra sussurrar.

Verbal

1) Defina uma elipse em termos de seus focos.

Resposta: Uma elipse é o conjunto de todos os pontos no plano cuja soma das distâncias de dois pontos fixos, chamados focos, é uma constante.

2) Onde devem estar os focos de uma elipse?

3) Que caso especial da elipse temos quando os eixos maior e menor têm o mesmo comprimento?

Resposta: Esse caso especial seria um círculo.

4) Para o caso especial mencionado acima, o que seria verdade sobre os focos dessa elipse?

5) O que se pode dizer sobre a simetria do gráfico de uma elipse com centro na origem e focos ao longo do$y$ eixo -?

Resposta: É simétrico em relação ao$x$ eixo$y$ -, eixo -e à origem.

Algébrico

Para os exercícios 6-10, determine se as equações dadas representam elipses. Se sim, escreva em formato padrão.

6)$2x^2 +y=4$

7)$4x^2 + 9y^2=36$

Resposta: sim;$\dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1$

8)$4x^2 - y^2=4$

9)$4x^2 + 9y^2=1$

Resposta: sim;$\dfrac{x^2}{\left (\tfrac{1}{2} \right )^2}+\dfrac{y^2}{\left (\tfrac{1}{2} \right )^2}=1$

10)$4x^2-8x+9y^2-72y+112=0$

Para os exercícios 11-26, escreva a equação de uma elipse na forma padrão e identifique os pontos finais dos eixos maior e menor, bem como os focos.

11)$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{49}=1$

Resposta: $\dfrac{x^2}{2^2}+\dfrac{y^2}{7^2}=1$; Extremidades do eixo principal$(0,7)$$(0,-7)$ e. Extremidades do eixo menor$(2,0)$$(-2,0)$ e. Foco em$(0, 3\sqrt{5})$,$(0, -3\sqrt{5})$.

12)$\dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{64}=1$

13)$x^2 + 9y^2 = 1$

Resposta: $\dfrac{x^2}{(1)^2}+\dfrac{y^2}{\left (\tfrac{1}{3} \right )^2}=1$; Extremidades do eixo principal$(1,0)$$(-1,0)$ e. Extremidades do eixo menor$\left (0, \dfrac{1}{3} \right )$,$\left (0, -\dfrac{1}{3} \right )$. Foco em$\left (\dfrac{2\sqrt{2}}{3}, 0 \right )$,$\left (-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}, 0 \right )$.

14)$4x^2 + 16y^2 = 1$

15)$\dfrac{(x-2)^2}{49}+\dfrac{(y-4)^2}{25}=1$

Resposta: $\dfrac{(x-2)^2}{7^2}+\dfrac{(y-4)^2}{5^2}=1$; Extremidades do eixo principal$(9,4)$,$(-5,4)$. Extremidades do eixo menor$(2,9)$,$(2,-1)$. Foco em$(2+2\sqrt{6}, 4)$,$(2-2\sqrt{6}, 4)$

16)$\dfrac{(x-2)^2}{81}+\dfrac{(y+1)^2}{16}=1$

17)$\dfrac{(x+5)^2}{4}+\dfrac{(y-7)^2}{9}=1$

Resposta: $\dfrac{(x+5)^2}{2^2}+\dfrac{(y-7)^2}{3^2}=1$; Extremidades do eixo principal$(-5,10)$,$(-5,4)$. Extremidades do eixo menor$(-3,7)$,$(-7,7)$. Foco em$(-5, 7+\sqrt{5})$,$(-5, 7-\sqrt{5})$

18)$\dfrac{(x-7)^2}{49}+\dfrac{(y-7)^2}{49}=1$

19)$4x^2-8x+9y^2-72y+112=0$

Resposta: $\dfrac{(x-1)^2}{3^2}+\dfrac{(y-4)^2}{2^2}=1$; Extremidades do eixo principal$(4,4)$,$(-2,4)$. Extremidades do eixo menor$(1,6)$,$(1,2)$. Foco em$(1+\sqrt{5}, 4)$,$(1-\sqrt{5}, 4)$

20)$9x^2-54x+9y^2-54y+81=0$

21)$4x^2-24x+36y^2-360y+864=0$

Resposta: $\dfrac{(x-3)^2}{(3\sqrt{2})^2}+\dfrac{(y-5)^2}{\sqrt{2}^2}=1$; Extremidades do eixo principal$(3+3\sqrt{2}, 5)$,$(3-3\sqrt{2}, 5)$. Extremidades do eixo menor$(3, 5+\sqrt{2})$,$(3, 5-\sqrt{2})$. Foco em$(7,5)$,$(-1,5)$

22)$4x^2+24x+16y^2-128y+228=0$

23)$4x^2+40x+25y^2-100y+100=0$

Resposta: $\dfrac{(x+5)^2}{(5)^2}+\dfrac{(y-2)^2}{(2)^2}=1$; Extremidades do eixo principal$(0,2)$,$(-10,2)$. Extremidades do eixo menor$(-5,4)$,$(-5,0)$. Foco em$(-5+\sqrt{21}, 2)$,$(-5-\sqrt{21}, 2)$

24)$x^2+2x+100y^2-1000y+2401=0$

25)$4x^2+24x+25y^2+200y+336=0$

Resposta: $\dfrac{(x+3)^2}{(5)^2}+\dfrac{(y+4)^2}{(2)^2}=1$; Extremidades do eixo principal$(2,-4)$,$(-8,-4)$. Extremidades do eixo menor$(-3,-2)$,$(-3,-6)$. Foco em$(-3+\sqrt{21}, -4)$,$(-3-\sqrt{21}, -4)$

26)$9x^2+72x+16y^2+16y+4=0$

Para os exercícios 27-31, encontre os focos das elipses dadas.

27)$\dfrac{(x+3)^2}{25}+\dfrac{(y+1)^2}{36}=1$

Responda: Focos$(-3, -1+\sqrt{11})$,$(-3, -1-\sqrt{11})$

28)$\dfrac{(x+1)^2}{100}+\dfrac{(y-2)^2}{4}=1$

29)$x^2+y^2=1$

Responda: Foco$(0,0)$

30)$x^2+4y^2+4x+8y=1$

31)$10x^2+y^2+200x=0$

Responda: Focos$(-10,30)$,$(-10,-30)$

Gráfica

Para os exercícios 32-45, represente graficamente as elipses dadas, observando o centro, os vértices e os focos.

32)$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{36}=1$

33)$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$

Responda

Centro$(0,0)$, Vértices$(4,0)$$(-4,0)$,,$(0,3)$,$(0,-3)$. Focos$(\sqrt{7},0)$,$(-\sqrt{7},0)$

$Ex. 10.1.33.png$

34)$4x^2+9y^2=1$

35)$81x^2+49y^2=1$

Responda

Centro$(0,0)$, Vértices$\left ( \dfrac{1}{9}, 0 \right )$$\left ( -\dfrac{1}{9}, 0 \right )$,,$\left ( 0, \dfrac{1}{7} \right )$,$\left ( 0, \dfrac{1}{7} \right )$. Focos$\left ( 0, \dfrac{4\sqrt{2}}{63} \right )$,$\left ( 0, -\dfrac{4\sqrt{2}}{63} \right )$

$Ex. 10.1.35.png$

36)$\dfrac{(x-2)^2}{64}+\dfrac{(y-4)^2}{16}=1$

37)$\dfrac{(x+3)^2}{9}+\dfrac{(y-3)^2}{9}=1$

Responda

Centro$(-3,3)$, Vértices$(0,3)$$(-6,3)$,,$(-3,0)$,$(-3,6)$. Foco$(-3,3)$

Note que essa elipse é um círculo. O círculo tem apenas um foco, que coincide com o centro.

$Ex. 10.1.37.png$

38)$\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{(y+1)^2}{5}=1$

39)$4x^2-8x+16y^2-32y-44=0$

Responda

Centro$(1,1)$, Vértices$(5,1)$$(-3,1)$,,$(1,3)$,$(1,-1)$. Focos$(1,1+4\sqrt{3})$,$(1,1-4\sqrt{3})$

$Ex. 10.1.39.png$

40)$x^2-8x+25y^2-100y+91=0$

41)$x^2+8x+4y^2-40y+112=0$

Responda

Centro$(-4,5)$, Vértices$(-2,5)$$(-6,4)$,,$(-4,6)$,$(-4,4)$. Focos$(-4+\sqrt{3}, 5)$,$(-4-4\sqrt{3}, 5)$

$Ex. 10.1.41.png$

42)$64x^2+128x+9y^2-72y-368=0$

43)$16x^2+64x+4y^2-8y+4=0$

Responda

Centro$(-2,1)$, Vértices$(0,1)$$(-4,1)$,,$(-2,5)$,$(-2,-3)$. Focos$(-2,1+2\sqrt{3})$,$(-2,1-2\sqrt{3})$

$Ex. 10.1.43.png$

44)$100x^2+1000x+y^2-10y+2425=0$

45)$4x^2+16x+4y^2+16y+16=0$

Responda

Centro$(-2,2)$, Vértices$(0,-2)$$(-4,-2)$,,$(-2,0)$,$(-2,-4)$. Foco$(-2,-2)$

$Ex. 10.1.45.png$

Para os exercícios 46-51, use as informações fornecidas sobre o gráfico de cada elipse para determinar sua equação.

46) Centralize na origem, simétrico em relação aos$y$ eixos$x$ - e -, foque em$(4,0)$ um ponto no gráfico$(0,3)$.

47) Centralize na origem, simétrico em relação aos$y$ eixos$x$ - e -, foque em$(0,-2)$ um ponto no gráfico$(5,0)$.

Responda: $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{29}=1$

48) Centro na origem, simétrico em relação aos$y$ eixos$x$ - e -, foco em$(3,0)$, e o eixo maior é duas vezes maior que o eixo menor.

49) Centro$(4,2)$; vértice$(9,2)$; um foco:$(4+2\sqrt{6}, 2)$

Responda: $\dfrac{(x-4)^2}{25}+\dfrac{(y-2)^2}{1}=1$

50) Centro$(3,5)$; vértice$(3,11)$; um foco:$(3, 5+4\sqrt{2})$

51) Centro$(-3,4)$; vértice$(1,4)$; um foco:$(-3+2\sqrt{3}, 4)$

Responda: $\dfrac{(x+3)^2}{16}+\dfrac{(y-4)^2}{4}=1$

Para os exercícios 52-56, dado o gráfico da elipse, determine sua equação.

52)

$Ex. 10.1.52.png$

53)

$Ex. 10.1.53.png$

Responda: $\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{9}=1$

54)

$Ex. 10.1.54.png$

55)

$Ex. 10.1.55.png$

Responda: $\dfrac{(x+2)^2}{4}+\dfrac{(y-2)^2}{9}=1$

56)

$Ex. 10.1.56.png$

Extensões

Para os exercícios 57-61, encontre a área da elipse. A área de uma elipse é dada pela fórmula$\text {Area}=a\cdot b\cdot \pi$

57)$\dfrac{(x-3)^2}{9}+\dfrac{(y-3)^2}{16}=1$

Responda: $\text {Area} = 12\pi $unidades quadradas

(58)$\dfrac{(x+6)^2}{16}+\dfrac{(y-6)^2}{36}=1$

59)$\dfrac{(x+1)^2}{4}+\dfrac{(y-2)^2}{5}=1$

Responda: $\text {Area} = 2\sqrt{5} \pi $unidades quadradas

60)$4x^2-8x+9y^2-72y+112=0$

61)$9x^2-54x+9y^2-54y+81=0$

Responda: $\text {Area} = 9\pi $unidades quadradas

Aplicativos do mundo real

62) Encontre a equação da elipse que caberá apenas dentro de uma caixa com$8$ unidades de largura e$4$ unidades de altura.

63) Encontre a equação da elipse que caberá dentro de uma caixa que é quatro vezes maior que a altura. Expresse em termos de$h$ altura.

Responda: $\dfrac{x^2}{4h^2}+\dfrac{y^2}{\tfrac{1}{4}h^2}=1$

64) Um arco tem a forma de uma semi-elipse (a metade superior de uma elipse). O arco tem uma altura de$8$ pés e uma extensão de$20$ pés. Encontre uma equação para a elipse e use-a para encontrar a altura do$0.01$ pé mais próximo do arco a uma distância de$4$ pés do centro.

65) Um arco tem a forma de uma semi-elipse. O arco tem uma altura de$12$ pés e uma extensão de$40$ pés. Encontre uma equação para a elipse e use-a para encontrar a distância do centro até um ponto em que a altura seja$6$ pés. Arredonde para o centésimo mais próximo.

Responda: $\dfrac{x^2}{400}+\dfrac{y^2}{144}=1$. Distância =$17.32$ pés

66) Uma ponte deve ser construída na forma de um arco semi-elíptico e deve ter uma extensão de$120$ pés. A altura do arco a uma distância de$40$ pés do centro deve ser de$8$ pés. Encontre a altura do arco em seu centro.

67) Uma pessoa em uma galeria sussurrante parada em um foco da elipse pode sussurrar e ser ouvida por uma pessoa parada no outro foco porque todas as ondas sonoras que atingem o teto são refletidas para a outra pessoa. Se uma galeria sussurrante tiver um comprimento de$120$ pés e os focos estiverem localizados a$30$ pés do centro, encontre a altura do teto no centro.

Responda: Aproximadamente$51.96$ pés

68) Uma pessoa está a poucos$8$ metros da parede mais próxima em uma galeria sussurrante. Se essa pessoa está em um foco e o outro está a$80$ pés de distância, qual é o comprimento e a altura no centro da galeria?

10.2: A hipérbole

Em geometria analítica, uma hipérbole é uma seção cônica formada pela interseção de um cone circular reto com um plano em um ângulo de forma que ambas as metades do cone sejam cruzadas. Essa interseção produz duas curvas separadas e ilimitadas que são imagens espelhadas uma da outra.