9.7: Resolvendo sistemas com inversas
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- Encontre o inverso de uma matriz.
- Resolva um sistema de equações lineares usando uma matriz inversa
Nancy planeja investir\($10,500\) em dois títulos diferentes para distribuir seu risco. O primeiro título tem um retorno anual de\(10%\), e o segundo título tem um retorno anual de\(6%\). Para receber um\(8.5%\) retorno dos dois títulos, quanto Nancy deve investir em cada título? Qual é o melhor método para resolver esse problema? Existem várias maneiras de resolver esse problema. Como vimos nas seções anteriores, sistemas de equações e matrizes são úteis para resolver problemas do mundo real envolvendo finanças. Depois de estudar esta seção, teremos as ferramentas para resolver o problema de ligação usando o inverso de uma matriz.
Encontrando o inverso de uma matriz
Sabemos que o inverso multiplicativo de um número real\(a\) é\(a^{−1}\), então
\[aa^{−1}=a^{−1}a=\left(\dfrac{1}{a}\right)a=1 \label{eq0}\]
Por exemplo, considere a situação de multiplicação escalar
\[2^{−1}=\dfrac{1}{2} \nonumber\]
portanto, da Equação\ ref {eq0}
\[\left(\dfrac{1}{2}\right)2=1. \nonumber\]
O inverso multiplicativo de uma matriz é similar em conceito, exceto que o produto da matriz\(A\) e seu inverso são\(A^{−1}\) iguais à matriz de identidade. A matriz de identidade é uma matriz quadrada contendo uns abaixo da diagonal principal e zeros em todos os outros lugares. Identificamos matrizes de identidade por\(I_n\) onde\(n\) representa a dimensão da matriz. As equações\ ref {eq1} e\ ref {eq2} são as matrizes de identidade para uma\(2×2\) matriz e uma\(3×3\) matriz, respectivamente:
\[I_2=\begin{bmatrix}1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} \label{eq1}\]
\[I_3=\begin{bmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix} \label{eq2}\]
A matriz de identidade atua como uma álgebra\(1\) in matricial. Por exemplo,
\[AI=IA=A\nonumber\]
Uma matriz que tem um inverso multiplicativo tem as propriedades
\[AA^{−1}=I\]
\[A^{−1}A=I\]
Uma matriz que tem um inverso multiplicativo é chamada de matriz invertível. Somente uma matriz quadrada pode ter um inverso multiplicativo, como a reversibilidade,
\[AA^{−1}=A^{−1}A=I\]
é um requisito. Nem todas as matrizes quadradas têm um inverso, mas se\(A\) for invertível, então\(A^{−1}\) é único. Veremos dois métodos para encontrar o inverso de uma\(2 × 2\) matriz e um terceiro método que pode ser usado em ambas\(2 × 2\)\(3 × 3\) as matrizes.
A matriz de identidade,\(I_n\), é uma matriz quadrada contendo uns abaixo da diagonal principal e zeros em todos os outros lugares.
\[I_2=\begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\ 0&1\end{bmatrix}\]
quanto à matriz\(2 × 2\) de identidade
\[I_3=\begin{bmatrix}1&0&0 \nonumber \\ 0&1&0 \nonumber \\ 0&0&1\end{bmatrix}\]
quanto à matriz\(3 × 3\) de identidade
Se\(A\) é uma\(n × n\) matriz e\(B\) é uma\(n × n\) matriz tal que\(AB=BA=I_n\), então\(B=A−1\), o inverso multiplicativo de uma matriz\(A\).
Dada a matriz\(A\), mostre isso\(AI=IA=A\).
\[A=\begin{bmatrix}3&4 \nonumber \\ −2&5\end{bmatrix}\]
Solução
Use a multiplicação de matrizes para mostrar que o produto\(A\) e a matriz de identidade são iguais ao produto da matriz de identidade\(A\) e.
\[\begin{align*} AI&=\begin{bmatrix}3&4 \nonumber \\ −2&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\ 0&1\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}3⋅1+4⋅0&3⋅0+4⋅1 \nonumber \\ −2⋅1+5⋅0&−2⋅0+5⋅1\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}3&4 \nonumber \\ −2&5\end{bmatrix} \end{align*}\]
\[\begin{align*} AI&=\begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\ 0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&4 \nonumber \\ −2&5\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}1⋅3+0⋅(−2)&1⋅4+0⋅5 \nonumber \\ 0⋅3+1⋅(−2)&0⋅4+1⋅5\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}3&4 \nonumber \\ −2&5\end{bmatrix} \end{align*}\]
- Dada matriz\(A\) de ordem\(n × n\) e matriz\(B\) de\(n × n\) multiplicação de ordem\(AB\).
- Em caso\(AB=I\) afirmativo, encontre o produto\(BA\). E se\(BA=I\), então\(B=A^{−1}\)\(A=B^{−1}\) e.
Mostre que as matrizes dadas são inversas multiplicativas uma da outra.
\[A=\begin{bmatrix}1&5 \nonumber \\ −2&−9\end{bmatrix}\]
e
\[B=\begin{bmatrix}−9&−5 \nonumber \\ 2&1\end{bmatrix}\]
Solução
Multiplique\(AB\)\(BA\) e. Se ambos os produtos forem iguais à identidade, as duas matrizes serão inversas uma da outra.
\[\begin{align*} AB &= \begin{bmatrix}1&5 \nonumber \\ −2&−9\end{bmatrix}·\begin{bmatrix}−9&−5 \nonumber \\ 2&1\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}1(−9)+5(2)&1(−5)+5(1) \nonumber \\ −2(−9)−9(2)&−2(−5)−9(1)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\ 0&1\end{bmatrix} \end{align*}\]
e
\[\begin{align*} BA &= \begin{bmatrix}−9&−5 \nonumber \\ 2&1\end{bmatrix}·\begin{bmatrix}1&5 \nonumber \\ −2&−9\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}−9(1)−5(−2)&−9(5)−5(−9) \nonumber \\ 2(1)+1(−2)&2(−5)+1(−9)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\0&1\end{bmatrix} \end{align*}\]
\(A\)e\(B\) são inversos um do outro.
Mostre que as duas matrizes a seguir são inversas uma da outra.
\[A=\begin{bmatrix}1&4 \nonumber \\[4pt] −1&−3\end{bmatrix}\]
e
\[B=\begin{bmatrix}−3&−4 \nonumber \\[4pt] 1&1\end{bmatrix}\]
- Resposta
-
\(\begin{align*} AB&=\begin{bmatrix}1&4 \nonumber \\[4pt] −1&−3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}−3&−4 \nonumber \\[4pt] 1&1\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}1(−3)+4(1)&1(−4)+4(1) \nonumber \\[4pt] −1(−3)+−3(1)&−1(−4)+−3(1)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1\end{bmatrix} \end{align*}\)
\(\begin{align*} BA&=\begin{bmatrix}−3&−4 \nonumber \\[4pt] 1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&4 \nonumber \\[4pt] −1&−3\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}−3(1)+−4(−1)&−3(4)+−4(−3) \nonumber \\[4pt] 1(1)+1(−1)&1(4)+1(−3)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1\end{bmatrix} \end{align*}\)
Encontrando o inverso multiplicativo usando multiplicação de matrizes
Agora podemos determinar se duas matrizes são inversas, mas como encontraríamos o inverso de uma determinada matriz? Como sabemos que o produto de uma matriz e seu inverso é a matriz de identidade, podemos encontrar o inverso de uma matriz configurando uma equação usando a multiplicação de matrizes.
Use a multiplicação de matrizes para encontrar o inverso da matriz dada.
\[A=\begin{bmatrix}1&−2 \nonumber \\[4pt] 2&−3\end{bmatrix}\]
Solução
Para esse método, multiplicamos\(A\) por uma matriz contendo constantes desconhecidas e a definimos como igual à identidade.
\(\begin{bmatrix}1&−2 \nonumber \\[4pt] 2&−3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b \nonumber \\[4pt] c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1\end{bmatrix}\)
Encontre o produto das duas matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.
\[\begin{bmatrix}1&−2 \nonumber \\[4pt] 2&−3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b \nonumber \\[4pt] c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1a−2c&1b−2d \nonumber \\[4pt] 2a−3c&2b−3d\end{bmatrix}\]
Em seguida, configure um sistema de equações com a entrada na linha 1, coluna 1 da nova matriz igual à primeira entrada da identidade,\(1\). Defina a entrada na linha 2, coluna 1 da nova matriz igual à entrada correspondente da identidade, que é\(0\).
\(1a−2c=1\space R_1\)
\(2a−3c=0\space R_2\)
Usando operações de linha, multiplique e adicione da seguinte forma:\((−2)R_1+R_2\rightarrow R_2\). Adicione as equações e resolva\(c\).
\[ \begin{align*} 1a−2c &=1 \nonumber \\[4pt] 0+1c &=−2 \nonumber \\[4pt] c=−2 \nonumber \end{align*} \nonumber\]
Substituto traseiro para resolver\(a\).
\[ \begin{align*} a−2(−2)&=1 \nonumber \\[4pt] a+4&=1 \nonumber \\[4pt] a&=−3 \nonumber\end{align*} \nonumber\]
Escreva outro sistema de equações definindo a entrada na linha 1, coluna 2 da nova matriz igual à entrada correspondente da identidade,\(0\). Defina a entrada na linha 2, coluna 2, igual à entrada correspondente da identidade.
\(1b−2d=0\space R_1\)
\(2b−3d=1\space R_2\)
Usando operações de linha, multiplique e adicione da seguinte forma:\((−2)R_1+R_2=R_2\). Adicione as duas equações e resolva para\(d\).
\[ \begin{align*} 1b−2d&=0 \nonumber \\[4pt] 0+1d&=1 \nonumber \\[4pt] d&=1 \nonumber \end{align*} \nonumber\]
Mais uma vez, substitua e resolva\(b\).
\[ \begin{align*} b−2(1)&=0 \nonumber \\[4pt] b&−2=0 \nonumber \\[4pt] b &=2 \nonumber \end{align*} \nonumber\]
\[A^{−1}=\begin{bmatrix}−3&2 \nonumber \\[4pt] −2&1\end{bmatrix}\]
Encontrando o inverso multiplicativo aumentando com a identidade
Outra forma de encontrar o inverso multiplicativo é aumentando com a identidade. Quando a matriz\(A\) é transformada em\(I\), a matriz aumentada se\(I\) transforma em\(A^{−1}\).
Por exemplo, dado
\(A=\begin{bmatrix}2&1 \nonumber \\[4pt] 5&3\end{bmatrix}\)
aumentar\(A\) com a identidade
\(\left[ \begin{array}{cc|cc} 2&1&1&0 \\ 5&3&0&1\end{array} \right]\)
Execute operações de linha com o objetivo de transformar A em identidade.
- Troque a linha 1 e a linha 2.
\(\left[ \begin{array}{cc|cc} 5&3&0&1 \nonumber \\[4pt] 2&1&1&0\end{array} \right]\)
- Multiplique a linha 2 por −2 e adicione à linha 1.
\(\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&1&-2&1 \nonumber \\[4pt] 2&1&1&0\end{array} \right]\)
- Multiplique a linha 1 por −2 e adicione à linha 2.
\(\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&1&-2&1 \nonumber \\[4pt] 0&-1&5&-2\end{array} \right]\)
- Adicione a linha 2 à linha 1.
\(\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&0&3&-1 \nonumber \\[4pt] 0&-1&5&-2\end{array} \right]\)
- Multiplique a linha 2 por−1. −1.
\(\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&0&3&-1 \nonumber \\[4pt] 0&1&-5&2\end{array} \right]\)
A matriz que encontramos é\(A^{−1}\).
\(A^{−1}=\begin{bmatrix}3&−1 \nonumber \\[4pt] −5&2\end{bmatrix}\)
Encontrando o inverso multiplicativo de\(2×2\) matrizes usando uma fórmula
Quando precisamos encontrar o inverso multiplicativo de uma\(2 × 2\) matriz, podemos usar uma fórmula especial em vez de usar multiplicação de matrizes ou aumentar com a identidade.
Se\(A\) for uma\(2×2\) matriz, como
\(A=\begin{bmatrix}a&b \nonumber \\[4pt] c&d\end{bmatrix}\)
o inverso multiplicativo de\(A\) é dado pela fórmula
\(A^{−1}=\dfrac{1}{ad−bc}\begin{bmatrix}d&−b \nonumber \\[4pt] −c&a\end{bmatrix}\)
onde\(ad−bc≠0\). Se\(ad−bc=0\), então não\(A\) tem inverso.
Use a fórmula para encontrar o inverso multiplicativo de
\[A=\begin{bmatrix}1&−2 \nonumber \\[4pt] 2&−3\end{bmatrix}\]
Solução
Podemos verificar se nossa fórmula funciona usando um dos outros métodos para calcular o inverso. Vamos aumentar\(A\) com a identidade.
\(\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&-2&1&0 \nonumber \\[4pt] 2&-3&0&1\end{array}\right]\)
Execute operações de linha com o objetivo de se\(A\) transformar em identidade.
- Multiplique a linha 1 por\(−2\) e adicione à linha 2.
\(\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&-2&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&-2&1\end{array} \right]\)
- Multiplique a linha 1 por\(2\) e adicione à linha 1.
\(\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&0&-3&2 \nonumber \\[4pt] 0&1&-2&1\end{array} \right]\)
Então, verificamos nossa solução original.
\(A^{−1}=\begin{bmatrix}−3&2 \nonumber \\[4pt] −2&1\end{bmatrix}\)
Use a fórmula para encontrar o inverso da matriz\(A\). Verifique sua resposta aumentando com a matriz de identidade.
\(A=\begin{bmatrix}1&−1 \nonumber \\[4pt] 2&3\end{bmatrix}\)
- Resposta
-
\(A^{−1}=\begin{bmatrix}\dfrac{3}{5}&\dfrac{1}{5} \nonumber \\[4pt] −\dfrac{2}{5}&\dfrac{1}{5}\end{bmatrix}\)
Determine o inverso, se existir, da matriz dada.
\(A=\begin{bmatrix}3&6 \nonumber \\[4pt] 1&2\end{bmatrix}\)
Solução
Usaremos o método de aumentar com a identidade.
\(\left[ \begin{array}{cc|cc} 3&6&1&0 \nonumber \\[4pt] 1&3&0&1\end{array} \right]\)
- Troque a linha 1 e a linha 2.
\(\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&3&0&1 \nonumber \\[4pt] 3&6&1&0\end{array} \right]\)
- Multiplique a linha 1 por −3 e adicione-a à linha 2.
\(\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&2&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&-3&1\end{array} \right]\)
- Não há mais nada que possamos fazer. Os zeros na linha 2 indicam que essa matriz não tem inverso.
Encontrando o inverso multiplicativo de\(3×3\) matrizes
Infelizmente, não temos uma fórmula semelhante à de uma\(2×2\) matriz para encontrar o inverso de uma\(3×3\) matriz. Em vez disso, aumentaremos a matriz original com a matriz de identidade e usaremos operações de linha para obter o inverso.
Dada uma\(3 × 3\) matriz
\[A=\begin{bmatrix}2&3&1 \nonumber \\[4pt] 3&3&1 \nonumber \\[4pt] 2&4&1\end{bmatrix}\]
aumentar\(A\) com a matriz de identidade
\[\begin{array}{c|c}A&I\end{array}=\left[ \begin{array}{ccc|ccc}2&3&1&1&0&0 \nonumber \\[4pt] 3&3&1&0&1&0 \nonumber \\[4pt] 2&4&1&0&0&1\end{array} \right]\]
Para começar, escrevemos a matriz aumentada com a identidade à direita e à\(A\) esquerda. Executando operações elementares de linha para que a matriz de identidade apareça à esquerda, obteremos a matriz inversa à direita. Encontraremos o inverso dessa matriz no próximo exemplo.
- Escreva a matriz original aumentada com a matriz de identidade à direita.
- Use operações elementares de linha para que a identidade apareça à esquerda.
- O que é obtido à direita é o inverso da matriz original.
- Use a multiplicação de matrizes para mostrar isso\(AA^{−1}=I\)\(A^{−1}A=I\) e.
Dada a\(3 × 3\) matriz\(A\), encontre o inverso.
\(A=\begin{bmatrix}2&3&1 \nonumber \\[4pt] 3&3&1 \nonumber \\[4pt] 2&4&1\end{bmatrix}\)
Solução
Aumente\(A\) com a matriz de identidade e inicie as operações de linha até que a matriz de identidade seja substituída\(A\). A matriz à direita será o inverso de\(A\).
\(\left[ \begin{array}{ccc|ccc}2&3&1&1&0&0 \nonumber \\[4pt] 3&3&1&0&1&0 \nonumber \\[4pt] 2&4&1&0&0&1 \end{array} \right] \xrightarrow{Interchange\space R_2\space and\space R_1} \left[ \begin{array}{ccc|ccc}3&3&1&0&1&0 \nonumber \\[4pt] 2&3&1&1&0&0 \nonumber \\[4pt] 2&4&1&0&0&1 \end{array} \right]\)
\(−R_2+R_1=R_1\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&1&0 \nonumber \\[4pt] 2&3&1&1&0&0 \nonumber \\[4pt] 2&4&1&0&0&1\end{array} \right]\)
\(−R_2+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&1&0 \nonumber \\[4pt] 2&3&1&1&0&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&0&-1&0&1\end{array} \right]\)
\(R_2\leftrightarrow R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&0&-1&0&1 \nonumber \\[4pt] 2&3&1&1&0&0\end{array} \right]\)
\(−2R_1+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&0&-1&0&1 \nonumber \\[4pt] 0&3&1&3&-2&0\end{array} \right]\)
\(−3R_2+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&0&-1&0&1 \nonumber \\[4pt] 0&0&1&6&-2&-3\end{array} \right]\)
Assim,
\(A^{−1}=B=\begin{bmatrix}−1&1&0 \nonumber \\[4pt] −1&0&1 \nonumber \\[4pt] 6&−2&−3\end{bmatrix}\)
Análise
Para provar isso\(B=A^{−1}\), vamos multiplicar as duas matrizes para ver se o produto é igual à identidade, se\(AA^{−1}=I\)\(A^{−1}A=I\) e.
\[\begin{align*} AA^{−1} & =\begin{bmatrix}2&3&1 \nonumber \\[4pt] 3&3&1 \nonumber \\[4pt] 2&4&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}−1&1&0 \nonumber \\[4pt] −1&0&1 \nonumber \\[4pt] 6&−2&−3\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}2(−1)+3(−1)+1(6)&2(1)+3(0)+1(−2)&2(0)+3(1)+1(−3) \nonumber \\[4pt] 3(−1)+3(−1)+1(6)& 3(1)+3(0)+1(−2)& 3(0)+3(1)+1(−3) \nonumber \\[4pt] 2(−1)+4(−1)+1(6)& 2(1)+4(0)+1(−2)& 2(0)+4(1)+1(−3)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}1&0&0&0&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&1\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] A^{−1}A &= \begin{bmatrix}−1&1&0 \nonumber \\[4pt] −1&0&1 \nonumber \\[4pt] 6&−2&−3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}&2&31 \nonumber \\[4pt] 3&3&1 \nonumber \\[4pt] 2&4&1\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}−1(2)+1(3)+0(2)& −1(3)+1(3)+0(4)& −1(1)+1(1)+0(1) \nonumber \\[4pt] −1(2)+0(3)+1(2)& −1(3)+0(3)+1(4)& −1(1)+0(1)+1(1) \nonumber \\[4pt] 6(2)+−2(3)+−3(2)& 6(3)+−2(3)+−3(4)& 6(1)+−2(1)+−3(1)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}1&0&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&1\end{bmatrix} \end{align*}\]
Encontre o inverso da\(3×3\) matriz.
\(A=\begin{bmatrix}2&−17&11 \nonumber \\[4pt] −1&11&−7 \nonumber \\[4pt] 0&3&−2\end{bmatrix}\)
- Resposta
-
\(A^{−1}=\begin{bmatrix}1&1&2 \nonumber \\[4pt] 2&4&−3 \nonumber \\[4pt] 3&6&−5\end{bmatrix}\)
Resolvendo um sistema de equações lineares usando o inverso de uma matriz
Resolver um sistema de equações lineares usando o inverso de uma matriz requer a definição de duas novas matrizes:\(X\) é a matriz que representa as variáveis do sistema e\(B\) é a matriz que representa as constantes. Usando multiplicação de matrizes, podemos definir um sistema de equações com o mesmo número de equações que variáveis como
\(AX=B\)
Para resolver um sistema de equações lineares usando uma matriz inversa,\(A\) seja a matriz de coeficientes,\(X\) seja a matriz variável e\(B\) seja a matriz constante. Portanto, queremos resolver um sistema\(AX=B\). Por exemplo, veja o seguinte sistema de equações.
\(a_1x+b_1y=c_1\)
\(a_2x+b_2y=c_2\)
A partir desse sistema, a matriz de coeficientes é
\(A=\begin{bmatrix}a_1&b_1 \nonumber \\[4pt] a_2&b_2\end{bmatrix}\)
A matriz variável é
\(X=\begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y\end{bmatrix}\)
E a matriz constante é
\(B=\begin{bmatrix}c_1 \nonumber \\[4pt] c_2\end{bmatrix}\)
Então\(AX=B\) parece que
\(\begin{bmatrix}a_1&b_1 \nonumber \\[4pt] a_2&b_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_1 \nonumber \\[4pt] c_2\end{bmatrix}\)
Lembre-se da discussão anterior nesta seção sobre a multiplicação de um número real pelo inverso,\((2^{−1}) 2=\left(\dfrac{1}{2}\right) 2=1\). Para resolver uma única equação linear\(ax=b\) para\(x\), simplesmente multiplicaríamos os dois lados da equação pelo inverso multiplicativo (recíproco) de\(a\). Assim,
\[\begin{align*} ax&= b\\ \left(\dfrac{1}{a}\right)ax&= \left(\dfrac{1}{a}\right)b\\ \left(a^{-1}\right)ax&= \left(a^{-1}\right)b\\ \left[\left(a^{-1}\right)a\right]x&= \left(a^{-1}\right)b\\ 1x&= \left(a^{-1}\right)b\\ x&= \left(a^{-1}\right)b \end{align*}\]
A única diferença entre resolver uma equação linear e um sistema de equações escrito em forma de matriz é que encontrar o inverso de uma matriz é mais complicado, e a multiplicação de matrizes é um processo mais longo. No entanto, o objetivo é o mesmo: isolar a variável.
Investigaremos essa ideia em detalhes, mas é útil começar com um\(2 × 2\) sistema e depois passar para um\(3 × 3\) sistema.
Dado um sistema de equações, escreva a matriz de coeficientes\(A\), a matriz\(X\) variável e a matriz constante\(B\). Então
\(AX=B\)
Multiplique os dois lados pelo inverso de\(A\) para obter a solução.
\[\begin{align*} \left(A^{-1}\right)AX&= \left(A^{-1}\right)B\\ \left[\left(A^{-1}\right)A \right]X&= \left(A^{-1}\right)B\\ IX&= \left(A^{-1}\right)B\\ X&= \left(A^{-1}\right)B \end{align*}\]
Não, se a matriz de coeficientes não for invertível, o sistema pode ser inconsistente e não ter solução, ou ser dependente e ter infinitas soluções.
Resolva o sistema de equações dado usando o inverso de uma matriz.
\[\begin{align*} 3x+8y&= 5\\ 4x+11y&= 7 \end{align*}\]
Solução
Escreva o sistema em termos de uma matriz de coeficientes, uma matriz variável e uma matriz constante.
\(A=\begin{bmatrix}3&8 \nonumber \\[4pt] 4&11\end{bmatrix}\),\(X=\begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y\end{bmatrix}\),\(B=\begin{bmatrix}5 \nonumber \\[4pt] 7\end{bmatrix}\)
Então
\(\begin{bmatrix}3&8 \nonumber \\[4pt] 4&11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5 \nonumber \\[4pt] 7\end{bmatrix}\)
Primeiro, precisamos calcular\(A^{−1}\). Usando a fórmula para calcular o inverso de a\(2\) por\(2\) matriz, temos:
\[\begin{align*} A^{−1} &= \dfrac{1}{ad−bc}\begin{bmatrix}d&−b \nonumber \\[4pt] −c&a\end{bmatrix} \\ &= \dfrac{1}{3(11)−8(4)}\begin{bmatrix}11&−8 \nonumber \\[4pt] −4&3\end{bmatrix} \\ &=\dfrac{1}{1}\begin{bmatrix}11&−8 \nonumber \\[4pt] −4&3\end{bmatrix} \end{align*}\]
Então,
\(A^{−1}=\begin{bmatrix}11&−8 \nonumber \\[4pt] −4 &3\end{bmatrix}\)
Agora estamos prontos para resolver. Multiplique os dois lados da equação por\(A^{−1}\).
\[\begin{align*} \left(A^{−1}\right)AX&=\left(A^{−1}\right)B \\[4pt] \begin{bmatrix}11&−8 \nonumber \\[4pt] −4&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&8 \nonumber \\[4pt] 4&11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}11&−8 \nonumber \\[4pt] −4&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5 \nonumber \\[4pt] 7\end{bmatrix} \\[4pt] \begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}11(5)+(−8)7 \nonumber \\[4pt] −4(5)+3(7)\end{bmatrix} \\[4pt] \begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}−1 \nonumber \\[4pt] 1\end{bmatrix} \end{align*}\]
A solução é\((−1,1)\).
Não, lembre-se de que a multiplicação de matrizes não é comutativa, então\(A^{−1}B≠BA^{−1}\). Considere nossas etapas para resolver a equação matricial.
\[\begin{align*} \left(A^{-1}\right)AX&= \left(A^{-1}\right)B\\ \left[ \left(A^{-1}\right)A \right]X&= \left(A^{-1}\right)B\\ IX&= \left(A^{-1}\right)B\\ X&= \left(A^{-1}\right)B \end{align*}\]
Observe que na primeira etapa multiplicamos os dois lados da equação por\(A^{−1}\), mas o\(A^{−1}\) estava à esquerda do\(A\) lado esquerdo e à esquerda do\(B\) lado direito. Como a multiplicação de matrizes não é comutativa, a ordem é importante.
Resolva o sistema a seguir usando o inverso de uma matriz.
\[\begin{align*} 5x+15y+56z&= 35\\ -4x-11y-41z&= -26\\ -x-3y-11z&= -7 \end{align*}\]
Solução
Escreva a equação\(AX=B\).
\(\begin{bmatrix}5&15&56 \nonumber \\[4pt] −4&−11&−41 \nonumber \\[4pt] −1&−3&−11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y \nonumber \\[4pt] z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}35 \nonumber \\[4pt] −26 \nonumber \\[4pt] −7\end{bmatrix}\)
Primeiro, encontraremos o inverso de\(A\) aumentando com a identidade.
\(\left[ \begin{array}{ccc|ccc}5&15&56&1&0&0 \nonumber \\[4pt] −4&−11&−41&0&1&0 \nonumber \\[4pt] −1&−3&−11&0&0&1\end{array} \right]\)
Multiplique a linha 1 por\(\dfrac{1}{5}\).
\(\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&3&\dfrac{56}{5}&\dfrac{1}{5}&0&0 \nonumber \\[4pt] −4&−11&−41&0&1&0 \nonumber \\[4pt] −1&−3&−11&0&0&1\end{array} \right]\)
Multiplique a linha 1 por\(4\) e adicione à linha 2.
\(\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&3&\dfrac{56}{5}&\dfrac{1}{5}&0&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&\dfrac{19}{5}&\dfrac{4}{5}&1&0 \nonumber \\[4pt] −1&−3&−11&0&0&1\end{array} \right]\)
Adicione a linha 1 à linha 3.
\(\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&3&\dfrac{56}{5}&\dfrac{1}{5}&0&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&\dfrac{19}{5}&\dfrac{4}{5}&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&\dfrac{1}{5}&\dfrac{1}{5}&0&1\end{array} \right]\)
Multiplique a linha 2 por\(−3\) e adicione à linha 1.
\(\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&-\dfrac{1}{5}&-\dfrac{11}{5}&-3&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&\dfrac{19}{5}&\dfrac{4}{5}&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&\dfrac{1}{5}&\dfrac{1}{5}&0&1\end{array} \right]\)
Multiplique a linha 3 por\(5\).
\(\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&-\dfrac{1}{5}&-\dfrac{11}{5}&-3&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&\dfrac{19}{5}&\dfrac{4}{5}&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&1&1&0&5\end{array} \right]\)
Multiplique a linha 3 por\(\dfrac{1}{5}\) e adicione à linha 1.
\(\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-2&-3&1 \nonumber \\[4pt] 0&1&\dfrac{19}{5}&\dfrac{4}{5}&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&1&1&0&5\end{array} \right]\)
Multiplique a linha 3 por\(−\dfrac{19}{5}\) e adicione à linha 2.
\(\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-2&-3&1 \nonumber \\[4pt] 0&1&0&-3&1&-19 \nonumber \\[4pt] 0&0&1&1&0&5\end{array} \right]\)
Então,
\(A^{−1}=\begin{bmatrix}−2&−3&1 \nonumber \\[4pt] −3&1&−19 \nonumber \\[4pt] 1&0&5\end{bmatrix}\)
Multiplique os dois lados da equação por\(A^{−1}\). Queremos\(A^{−1}AX=A^{−1}B\):
\(\begin{bmatrix}−2&−3&1 \nonumber \\[4pt] −3&1&−19 \nonumber \\[4pt] 1&0&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5&15&56 \nonumber \\[4pt] −4&−11&−41 \nonumber \\[4pt] −1&−3&−11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y \nonumber \\[4pt] z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}−2&−3&1 \nonumber \\[4pt] −3&1&−19 \nonumber \\[4pt] 1&0&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}35 \nonumber \\[4pt] −26 \nonumber \\[4pt] −7\end{bmatrix}\)
Assim,
\(A^{−1}B=\begin{bmatrix}−70+78−7 \nonumber \\[4pt] −105−26+133 \nonumber \\[4pt] 35+0−35\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 \nonumber \\[4pt] 2 \nonumber \\[4pt] 0\end{bmatrix}\)
A solução é\((1,2,0)\).
Resolva o sistema usando o inverso da matriz de coeficientes.
\[\begin{align*} 2x-17y+11z&= 0\\ -x+11y-7z&= 8\\ 3y-2z&= -2 \end{align*}\]
- Resposta
-
\(X=\begin{bmatrix}4 \nonumber \\[4pt] 38 \nonumber \\[4pt] 58\end{bmatrix}\)
- Salve a matriz de coeficientes e a matriz constante como variáveis de matriz\([ A ]\)\([ B ]\) e.
- Insira a multiplicação na calculadora, chamando cada variável da matriz conforme necessário.
- Se a matriz de coeficientes for invertível, a calculadora apresentará a matriz da solução; se a matriz de coeficientes não for invertível, a calculadora apresentará uma mensagem de erro.
Resolva o sistema de equações com inversos matriciais usando uma calculadora
\[\begin{align*} 2x+3y+z&= 32\\ 3x+3y+z&= -27\\ 2x+4y+z&= -2 \end{align*}\]
Solução
Na página da matriz da calculadora, insira a matriz de coeficientes como a variável\([ A ]\) da matriz e a matriz constante como a variável da matriz\([ B ]\).
\([A]=\begin{bmatrix}2&3&1 \nonumber \\[4pt] 3&3&1 \nonumber \\[4pt] 2&4&1\end{bmatrix}\),\([B]=\begin{bmatrix}32 \nonumber \\[4pt] −27 \nonumber \\[4pt] −2\end{bmatrix}\)
Na tela inicial da calculadora, digite a multiplicação a ser resolvida\(X\), chamando cada variável da matriz conforme necessário.
\([A]^{−1}×[B]\)
Avalie a expressão.
\(\begin{bmatrix}−59 \nonumber \\[4pt] −34 \nonumber \\[4pt] 252\end{bmatrix}\)
Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com sistemas de resolução com inversas.
Equações chave
| Matriz de identidade para uma\(2 × 2\) matriz | \(I_2=\begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1\end{bmatrix}\) |
| Matriz de identidade para uma\(3 × 3\) matriz | \(I_3=\begin{bmatrix}1&0&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&1\end{bmatrix}\) |
| Inverso multiplicativo de uma\(2 × 2\) matriz | \(A^{−1}=\dfrac{1}{ad−bc}\begin{bmatrix}d&−b \nonumber \\[4pt] −c&a\end{bmatrix}\), onde\(ad−bc≠0\) |
Conceitos chave
- Uma matriz de identidade tem a propriedade\(AI=IA=A\). Veja o exemplo\(\PageIndex{1}\).
- Uma matriz invertível tem a propriedade\(AA^{−1}=A^{−1}A=I\). Veja o exemplo\(\PageIndex{2}\).
- Use a multiplicação de matrizes e a identidade para encontrar o inverso de uma\(2×2\) matriz. Veja o exemplo\(\PageIndex{3}\).
- O inverso multiplicativo pode ser encontrado usando uma fórmula. Veja o exemplo\(\PageIndex{4}\).
- Outro método para encontrar o inverso é aumentar a identidade. Veja o exemplo\(\PageIndex{5}\).
- Podemos aumentar uma\(3×3\) matriz com a identidade à direita e usar operações de linha para transformar a matriz original na identidade, e a matriz à direita se torna a inversa. Veja o exemplo\(\PageIndex{6}\).
- Escreva o sistema de equações como\(AX=B\) e multiplique os dois lados pelo inverso de\(A\):\(A^{−1}AX=A^{−1}B\). Veja o exemplo\(\PageIndex{7}\) e o exemplo\(\PageIndex{8}\).
- Também podemos usar uma calculadora para resolver um sistema de equações com inversos matriciais. Veja o exemplo\(\PageIndex{9}\).