9.6: Resolvendo sistemas com eliminação gaussiana
- Page ID
- 189125
- Escreva a matriz aumentada de um sistema de equações.
- Escreva o sistema de equações a partir de uma matriz aumentada.
- Execute operações de linha em uma matriz.
- Resolva um sistema de equações lineares usando matrizes.
Carl Friedrich Gauss viveu durante o final\(18^{th}\) do século e início\(19^{th}\) do século, mas ele ainda é considerado um dos matemáticos mais prolíficos da história. Suas contribuições para a ciência da matemática e da física abrangem campos como álgebra, teoria dos números, análise, geometria diferencial, astronomia e óptica, entre outros. Suas descobertas sobre a teoria das matrizes mudaram a forma como os matemáticos trabalharam nos últimos dois séculos.
Encontramos pela primeira vez a eliminação gaussiana em Sistemas de Equações Lineares: Duas Variáveis. Nesta seção, revisitaremos essa técnica para resolver sistemas, desta vez usando matrizes.
Escrevendo a matriz aumentada de um sistema de equações
Uma matriz pode servir como um dispositivo para representar e resolver um sistema de equações. Para expressar um sistema em forma de matriz, extraímos os coeficientes das variáveis e das constantes, que se tornam as entradas da matriz. Usamos uma linha vertical para separar as entradas do coeficiente das constantes, substituindo essencialmente os sinais de igualdade. Quando um sistema é escrito dessa forma, nós o chamamos de matriz aumentada.
Por exemplo, considere o seguinte\(2 × 2\) sistema de equações.
\[\begin{align*} 3x+4y&= 7\\ 4x-2y&= 5 \end{align*}\]
Podemos escrever esse sistema como uma matriz aumentada:
\(\left[ \begin{array}{cc|c} 3&4&7\\4&-2&5\end{array} \right]\)
Também podemos escrever uma matriz contendo apenas os coeficientes. Isso é chamado de matriz de coeficientes.
\(\begin{bmatrix}3&4\\4&−2\end{bmatrix}\)
Um sistema de equações de três por três, como
\[\begin{align*} 3x-y-z&= 0\\ x+y&= 5\\ 2x-3z&= 2 \end{align*}\]
tem uma matriz de coeficientes
\(\begin{bmatrix}3&−1&−1\\1&1&0\\2&0&−3\end{bmatrix}\)
e é representado pela matriz aumentada
\(\left[ \begin{array}{ccc|c}3&−1&−1&0\\1&1&0&5\\2&0&−3&2\end{array} \right]\)
Observe que a matriz é escrita de forma que as variáveis se alinhem em suas próprias colunas:\(x\) -termos vão na primeira coluna,\(y\) -termos na segunda coluna e\(z\) -termos na terceira coluna. É muito importante que cada equação seja escrita em formato padrão\(ax+by+cz=d\) para que as variáveis se alinhem. Quando há um termo variável ausente em uma equação, o coeficiente é\(0\).
- Escreva os coeficientes dos\(x\) termos -como os números na primeira coluna.
- Escreva os coeficientes dos\(y\) termos -como os números abaixo da segunda coluna.
- Se houver\(z\) termos -, anote os coeficientes como números na terceira coluna.
- Desenhe uma linha vertical e escreva as constantes à direita da linha.
Escreva a matriz aumentada para o determinado sistema de equações.
\[\begin{align*} x+2y-z&= 3\\ 2x-y+2z&= 6\\ x-3y+3z&= 4 \end{align*}\]
Solução
A matriz aumentada exibe os coeficientes das variáveis e uma coluna adicional para as constantes.
\(\left[ \begin{array}{ccc|c}1&2&−1&3\\2&−1&2&6\\1&−3&3&4\end{array} \right]\)
Escreva a matriz aumentada de um determinado sistema de equações.
\[\begin{align*} 4x-3y&= 11\\ 3x+2y&= 4 \end{align*}\]
- Responda
-
\(\left[ \begin{array}{cc|c} 4&−3&11\\3&2&4\end{array} \right]\)
Escrevendo um sistema de equações a partir de uma matriz aumentada
Podemos usar matrizes aumentadas para nos ajudar a resolver sistemas de equações porque elas simplificam as operações quando os sistemas não estão sobrecarregados pelas variáveis. No entanto, é importante entender como alternar entre formatos para tornar a busca de soluções mais fácil e intuitiva. Aqui, usaremos as informações em uma matriz aumentada para escrever o sistema de equações na forma padrão.
Encontre o sistema de equações da matriz aumentada.
\(\left[ \begin{array}{ccc|c}1&−3&−5&-2\\2&−5&−4&5\\−3&5&4&6 \end{array} \right]\)
Solução
Quando as colunas representam as variáveis\(x\),\(y\), e\(z\),
\[\left[ \begin{array}{ccc|c}1&-3&-5&-2\\2&-5&-4&5\\-3&5&4&6 \end{array} \right] \rightarrow \begin{align*} x-3y-5z&= -2\\ 2x-5y-4z&= 5\\ -3x+5y+4z&= 6 \end{align*}\]
Escreva o sistema de equações da matriz aumentada.
\(\left[ \begin{array}{ccc|c}1&−1& 1&5\\2&−1&3&1\\0&1&1&-9\end{array}\right]\)
- Responda
-
\(\begin{align*} x-y+z&= 5\\ 2x-y+3z&= 1\\ y+z&= -9 \end{align*}\)
Executando operações de linha em uma matriz
Agora que podemos escrever sistemas de equações em forma de matriz aumentada, examinaremos as várias operações de linha que podem ser realizadas em uma matriz, como adição, multiplicação por uma constante e troca de linhas.
Realizar operações de linha em uma matriz é o método que usamos para resolver um sistema de equações. Para resolver o sistema de equações, queremos converter a matriz para a forma escalonada de linha, na qual há uns abaixo da diagonal principal do canto superior esquerdo para o canto inferior direito e zeros em todas as posições abaixo da diagonal principal, conforme mostrado.
Forma de escalão de linha\(\begin{bmatrix}1&a&b\\0&1&d\\0&0&1\end{bmatrix}\)
Usamos operações de linha correspondentes às operações de equação para obter uma nova matriz que seja equivalente a linha em uma forma mais simples. Aqui estão as diretrizes para obter um formulário de escalão de linha.
- Em qualquer linha diferente de zero, o primeiro número diferente de zero é\(1\) a. É chamado de líder\(1\).
- Qualquer linha totalmente zero é colocada na parte inferior da matriz.
- Qualquer liderança\(1\) está abaixo e à direita de uma liderança anterior\(1\).
- Qualquer coluna contendo uma entrelinha\(1\) tem zeros em todas as outras posições na coluna.
Para resolver um sistema de equações, podemos realizar as seguintes operações de linha para converter a matriz de coeficientes na forma escalonada de linha e fazer a substituição reversa para encontrar a solução.
- Linhas de intercâmbio. (Notação:\(R_i ↔ R_j\))
- Multiplique uma linha por uma constante. (Notação:\(cR_i\))
- Adicione o produto de uma linha multiplicado por uma constante a outra linha. (Notação:\(R_i+cR_j\))
Cada uma das operações de linha corresponde às operações que já aprendemos para resolver sistemas de equações em três variáveis. Com essas operações, existem alguns movimentos importantes que alcançarão rapidamente o objetivo de escrever uma matriz em forma de escalão de linha. Para obter uma matriz em forma de escalão de linha para encontrar soluções, usamos a eliminação gaussiana, um método que usa operações de linha para obter a\(1\) como primeira entrada para que essa linha\(1\) possa ser usada para converter as linhas restantes.
O método de eliminação gaussiana se refere a uma estratégia usada para obter a forma escalonada de uma matriz. O objetivo é escrever uma matriz\(A\) com o número\(1\) como entrada na diagonal principal e ter todos os zeros abaixo.
\(A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\xrightarrow{After\space Gaussian\space elimination} A=\begin{bmatrix}1&b_{12}& b_{13}\\0&1&b_{23}\\0&0&1\end{bmatrix}\)
A primeira etapa da estratégia gaussiana inclui a obtenção de a\(1\) como primeira entrada, para que essa linha\(1\) possa ser usada para alterar as linhas abaixo.
- A primeira equação deve ter um coeficiente inicial de\(1\). Troque linhas ou multiplique por uma constante, se necessário.
- Use operações de linha para obter zeros abaixo da primeira coluna abaixo da primeira entrada de\(1\).
- Use operações de linha para obter a\(1\) na linha 2, coluna 2.
- Use operações de linha para obter zeros abaixo da coluna 2, abaixo da entrada de 1.
- Use operações de linha para obter a\(1\) na linha 3, coluna 3.
- Continue esse processo para todas as linhas até que haja um\ (1) em cada entrada abaixo da diagonal principal e haja somente zeros abaixo.
- Se alguma linha contiver todos os zeros, coloque-os na parte inferior.
Resolva o sistema dado pela eliminação gaussiana.
\[\begin{align*} 2x+3y&= 6\\ x-y&= \dfrac{1}{2} \end{align*}\]
Solução
Primeiro, escrevemos isso como uma matriz aumentada.
\(\left[ \begin{array}{cc|c} 2&3&6\\1&−1&12\end{array} \right]\)
Queremos um\(1\) na linha 1, coluna 1. Isso pode ser feito trocando a linha 1 e a linha 2.
\(R_1\leftrightarrow R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1&−1&12\\2&3&6\end{array} \right]\)
Agora temos a\(1\) como primeira entrada na linha 1, coluna 1. Agora vamos obter a\(0\) na linha 2, coluna 1. Isso pode ser feito multiplicando a linha 1 por e\(−2\), em seguida, adicionando o resultado à linha 2.
\(-2R_1+R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1&−1&12\\0&5&5\end{array} \right]\)
Só temos mais um passo, multiplicar a linha 2 por\(\dfrac{1}{5}\).
\(\dfrac{1}{5}R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1&−1&12\\0&1&1\end{array} \right]\)
Use a substituição reversa. A segunda linha da matriz representa\(y=1\). Substitua novamente\(y=1\) na primeira equação.
\[\begin{align*} x-(1)&= \dfrac{1}{2}\\ x&= \dfrac{3}{2} \end{align*}\]
A solução é a questão\(\left(\dfrac{3}{2},1\right)\).
Resolva o sistema dado pela eliminação gaussiana.
\[\begin{align*} 4x+3y&= 11\\ x-3y&= -1 \end{align*}\]
- Responda
-
\((2, 1)\)
Use a eliminação gaussiana para resolver o determinado\(2 × 2\) sistema de equações.
\[\begin{align*} 2x+y&= 1\\ 4x+2y&= 6 \end{align*}\]
Solução
Escreva o sistema como uma matriz aumentada.
\(\left[ \begin{array}{cc|c} 2&1&1\\4&2&6\end{array} \right]\)
Obtenha a\(1\) na linha 1, coluna 1. Isso pode ser feito multiplicando a primeira linha por\(\dfrac{1}{2}\).
\(\dfrac{1}{2} R_1=R_1\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\4&2&6\end{array} \right]\)
Em seguida, queremos a\(0\) na linha 2, coluna 1. Multiplique a linha 1 por\(−4\) e adicione a linha 1 à linha 2.
\(-4R_1+R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\0&0&4\end{array} \right]\)
A segunda linha representa a equação\(0=4\). Portanto, o sistema é inconsistente e não tem solução.
Resolva o sistema de equações.
\[\begin{align*} 3x+4y&= 12\\ 6x+8y&= 24 \end{align*}\]
Solução
Execute operações de linha na matriz aumentada para tentar obter uma forma escalonada de linha.
\(A=\left[ \begin{array}{cc|c} 3&4&12\\6&8&24\end{array} \right]\)
\(-\dfrac{1}{2}R_2+R_1=R_1\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 0&0&0\\6&8&24\end{array} \right]\)
\(R_1\leftrightarrow R_2=\left[ \begin{array}{cc|c} 6&8&24\\0&0&0\end{array} \right]\)
A matriz termina com todos os zeros na última linha:\(0y=0\). Assim, há um número infinito de soluções e o sistema é classificado como dependente. Para encontrar a solução genérica, retorne a uma das equações originais e resolva para\(y\).
\[\begin{align*} 3x+4y&= 12\\ 4y&= 12-3x\\ y&= 3-\dfrac{3}{4}x \end{align*}\]
Portanto, a solução para esse sistema é\(\left(x,3−\dfrac{3}{4}x\right)\).
Execute operações de linha na matriz fornecida para obter a forma escalonada de linha.
\(\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-3&4&3\\2&-5&6&6\\-3&3&4&6\end{array} \right]\)
Solução
A primeira linha já tem um\(1\) na linha 1, coluna 1. O próximo passo é multiplicar a linha 1 por\(−2\) e adicioná-la à linha 2. Em seguida, substitua a linha 2 pelo resultado.
\(-2R_1+R_2=R_2 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-3&4&3\\0&1&-2&0\\-3&3&4&6\end{array} \right]\)
Em seguida, obtenha um zero na linha 3, coluna 1.
\(3R_1+R_3=R_3 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-3&4&3\\0&1&-2&0\\0&-6&16&15\end{array} \right]\)
Em seguida, obtenha um zero na linha 3, coluna 2.
\(6R_2+R_3=R_3 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-3&4&3\\0&1&-2&0\\0&0&4&15\end{array} \right]\)
A última etapa é obter um 1 na linha 3, coluna 3.
\(\dfrac{1}{3}R_3=R_3 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-3&4&3\\0&1&-2&0\\0&0&1&\dfrac{21}{2}\end{array} \right]\)
Escreva o sistema de equações em forma de escalão de linha.
\[\begin{align*} x−2y+3z &= 9 \\ −x+3y &= −4 \\ 2x−5y+5z &= 17 \end{align*}\]
- Responda
-
\(\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-\dfrac{5}{2}&\dfrac{5}{2}&\dfrac{17}{2}\\0&1&5&9\\0&0&1&2\end{array} \right]\)
Resolvendo um sistema de equações lineares usando matrizes
Vimos como escrever um sistema de equações com uma matriz aumentada e, em seguida, como usar operações de linha e substituição reversa para obter a forma escalonada de linha. Agora, daremos um passo adiante na forma de linha para resolver um\(3\) sistema\(3\) de equações lineares. A ideia geral é eliminar todas as variáveis, exceto uma, usando operações de linha e, em seguida, substituí-las novamente para resolver as outras variáveis.
Resolva o sistema de equações lineares usando matrizes.
\[\begin{align*} x-y+z&= 8\\ 2x+3y-z&= -2\\ 3x-2y-9z&= 9 \end{align*}\]
Solução
Primeiro, escrevemos a matriz aumentada.
\(\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\2&3&-1&-2\\3&-2&-9&9\end{array} \right]\)
Em seguida, realizamos operações de linha para obter a forma escalonada de linha.
\(−2R_1+R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\0&5&-3&-18\\3&-2&-9&9\end{array} \right]\)
\(−3R_1+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\0&5&-3&-18\\0&1&-12&-15\end{array} \right]\)
A maneira mais fácil de obter um\(1\) na linha 2 da coluna 1 é trocar\(R_2\)\(R_3\) e.
\(Interchange\space R_2\space and\space R_3\rightarrow\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\0&1&-12&-15\\0&5&-3&-18\end{array} \right]\)
Então
\(−5R_2+R_3=R_3\rightarrow\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\0&1&-12&-15\\0&0&57&57\end{array} \right]\)
\(−\dfrac{1}{57}R_3=R_3\rightarrow\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\0&1&-12&-15\\0&0&1&1\end{array} \right]\)
A última matriz representa o sistema equivalente.
\[\begin{align*} x−y+z &= 8 \\ y−12z &= −15 \\ z &= 1 \end{align*}\]
Usando a substituição reversa, obtemos a solução como\((4,−3,1)\).
Resolva o seguinte sistema de equações lineares usando matrizes.
\[\begin{align*} −x−2y+z &= −1 \\ 2x+3y &= 2 \\ y−2z &= 0 \end{align*}\]
Solução
Escreva a matriz aumentada.
\(\left[ \begin{array}{ccc|c} -1&-2&1&-1\\2&3&0&2\\0&1&-2&0\end{array} \right]\)
Primeiro, multiplique a linha 1 por\(−1\) para obter a\(1\) na linha 1, coluna 1. Em seguida, execute operações de linha para obter uma forma escalonada de linha.
\(-R_1\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&1\\2&3&0&2\\0&1&-2&0\end{array} \right]\)
\(R_2\leftrightarrow R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&1\\0&1&-2&0\\2&3&0&2\end{array} \right]\)
\(−2R_1+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&1\\0&1&-2&0\\0&-1&2&0\end{array} \right]\)
\(R_2+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&1\\0&1&-2&0\\0&0&0&0\end{array} \right]\)
A última matriz representa o sistema a seguir.
\[\begin{align*} x+2y−z &= 1 \\ y−2z &= 0 \\ 0 &= 0 \end{align*}\]
Vemos pela identidade\(0=0\) que este é um sistema dependente com um número infinito de soluções. Em seguida, encontramos a solução genérica. Ao resolver a segunda equação\(y\) e substituí-la pela primeira equação, podemos resolver\(z\) em termos de\(x\).
\[\begin{align*} x+2y−z &= 1 \\ y &= 2z \\ x+2(2z)−z &= 1 \\ x+3z &= 1 \\ z &=\dfrac{1−x}{3} \end{align*}\]
Agora substituímos a expressão por\(z\) na segunda equação para resolver\(y\) em termos de\(x\).
\[\begin{align*} y−2z &= 0 \\ z &= \dfrac{1−x}{3} \\ y−2\left(\dfrac{1−x}{3}\right) &= 0 \\ y &= \dfrac{2−2x}{3} \end{align*}\]
A solução genérica é\(\left(x,\dfrac{2−2x}{3},\dfrac{1−x}{3}\right)\).
Resolva o sistema usando matrizes.
\[\begin{align*} x+4y-z&= 4\\ 2x+5y+8z&= 1\\ 5x+3y-3z&= 1 \end{align*}\]
- Responda
-
\((1,1,1)\)
Sim, um sistema de equações lineares de qualquer tamanho pode ser resolvido pela eliminação gaussiana.
- Salve a matriz aumentada como uma variável de matriz\([A], [B], [C], ….\)
- Use a função ref () na calculadora, chamando cada variável da matriz conforme necessário.
Resolva o sistema de equações.
\[\begin{align*} 5x+3y+9z&= -1\\ -2x+3y-z&= -2\\ -x-4y+5z&= 1 \end{align*}\]
Solução
Escreva a matriz aumentada para o sistema de equações.
\(\left[ \begin{array}{ccc|c} 5&3&9&-1\\-2&3&-1&-2\\-1&-4&5&1\end{array} \right]\)
Na página da matriz da calculadora, insira a matriz aumentada acima como a variável da matriz\([A]\).
\([A]=\left[ \begin{array}{ccc|c} 5&3&9&-1\\-2&3&-1&-2\\-1&-4&5&1\end{array} \right]\)
Use a função ref () na calculadora, chamando a variável da matriz\([A]\).
ref ([A])
Avalie
\[\begin{array}{cc} {\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&\dfrac{3}{5}&\dfrac{9}{5}&\dfrac{1}{5}\\0&1&\dfrac{13}{21}&-\dfrac{4}{7}\\0&0&1&-\dfrac{24}{187}\end{array} \right] \rightarrow} & {\begin{align*} x+\dfrac{3}{5}y+\dfrac{9}{5}z &= -\dfrac{1}{5} \\ y+\dfrac{13}{21}z &= -\dfrac{4}{7} \\ z &= -\dfrac{24}{187} \end{align*}} \end{array}\]
Usando a substituição reversa, a solução é\(\left(\dfrac{61}{187},−\dfrac{92}{187},−\dfrac{24}{187}\right)\).
Carolyn investe um total de\($12,000\) em dois títulos municipais, um pagando\(10.5%\) juros e outro pagando\(12%\) juros. Os juros anuais auferidos sobre os dois investimentos no ano passado foram\($1,335\). Quanto foi investido em cada taxa?
Solução
Temos um sistema de duas equações em duas variáveis. Deixe\(x=\) o valor investido em\(10.5%\) juros e\(y=\) o valor investido em\(12%\) juros.
\[\begin{align*} x+y&= 12,000\\ 0.105x+0.12y&= 1,335 \end{align*}\]
Como matriz, temos
\(\left[ \begin{array}{cc|c} 1&1&12,000\\0.105&0.12&1,335\end{array} \right]\)
Multiplique a linha 1 por\(−0.105\) e adicione o resultado à linha 2.
\(\left[ \begin{array}{cc|c} 1&1&12,000\\0&0.015&75\end{array} \right]\)
Em seguida,
\[\begin{align*} 0.015y &= 75 \\ y &= 5,000 \end{align*}\]
Então\(12,000−5,000=7,000\).
Assim,\($5,000\) foi investido com\(12%\) juros e\($7,000\) com\(10.5%\) juros.
Ava investe um total de\($10,000\) em três contas, uma pagando\(5%\) juros, outra pagando\(8%\) juros e a terceira pagando\(9%\) juros. Os juros anuais auferidos sobre os três investimentos no ano passado foram\($770\). O valor investido\(9%\) foi o dobro do valor investido\(5%\). Quanto foi investido em cada taxa?
Solução
Temos um sistema de três equações em três variáveis. \(x\)Seja o valor investido com\(5%\) juros,\(y\) seja o valor investido com\(8%\) juros e\(z\) seja o valor investido com\(9%\) juros. Assim,
\[\begin{align*} x+y+z &= 10,000 \\ 0.05x+0.08y+0.09z &= 770 \\ 2x−z &= 0 \end{align*}\]
Como matriz, temos
\(\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0.05&0.08&0.09&770\\2&0&-1&0\end{array} \right]\)
Agora, realizamos a eliminação gaussiana para alcançar a forma escalonada em linha.
\(−0.05R_1+R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0&0.03&0.04&270\\2&0&-1&0\end{array} \right]\)
\(−2R_1+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0&0.03&0.04&270\\0&-2&-3&-20,000\end{array} \right]\)
\(\dfrac{1}{0.03}R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0&1&\dfrac{4}{3}&9,000\\0&-2&-3&-20,000\end{array} \right]\)
\(2R_2+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0&1&\dfrac{4}{3}&9,000\\0&0&-\dfrac{1}{3}&-2,000\end{array} \right]\)
A terceira linha nos diz\(−\dfrac{1}{3}z=−2,000\); portanto\(z=6,000\).
A segunda linha nos diz\(y+\dfrac{4}{3}z=9,000\). Substituindo\(z=6,000\), obtemos
\[\begin{align*} y+\dfrac{4}{3}(6,000) &= 9,000 \\ y+8,000 &= 9,000 \\ y &= 1,000 \end{align*}\]
A primeira linha nos diz\(x+y+z=10,000\). Substituindo\(y=1,000\) e\(z=6,000\), obtemos
\[\begin{align*} x+1,000+6,000 &= 10,000 \\ x &= 3,000 \end{align*}\]
A resposta é\($3,000\) investida com\(5%\) juros,\($1,000\) investida\(8%\) e\($6,000\) investida com\(9%\) juros.
Uma pequena empresa de calçados contraiu um empréstimo\($1,500,000\) para expandir seu estoque. Parte do dinheiro foi emprestado\(7%\), parte foi emprestada\(8%\) e parte foi emprestada em\(10%\). O valor emprestado\(10%\) foi quatro vezes o valor emprestado\(7%\), e os juros anuais dos três empréstimos foram\($130,500\). Use matrizes para encontrar o valor emprestado em cada taxa.
- Responda
-
\($150,000\)em\(7%\),\($750,000\) em\(8%\),\($600,000\) em\(10%\)
Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com a resolução de sistemas de equações lineares usando a eliminação gaussiana.
Conceitos-chave
- Uma matriz aumentada é aquela que contém os coeficientes e constantes de um sistema de equações. Veja o exemplo\(\PageIndex{1}\).
- Uma matriz aumentada com a coluna constante pode ser representada como o sistema original de equações. Veja o exemplo\(\PageIndex{2}\).
- As operações de linha incluem multiplicar uma linha por uma constante, adicionar uma linha a outra linha e trocar linhas.
- Podemos usar a eliminação gaussiana para resolver um sistema de equações. Veja exemplo\(\PageIndex{3}\)\(\PageIndex{4}\), exemplo e exemplo\(\PageIndex{5}\).
- As operações de linha são realizadas em matrizes para obter uma forma escalonada de linha. Veja o exemplo\(\PageIndex{6}\).
- Para resolver um sistema de equações, escreva-o em forma de matriz aumentada. Execute operações de linha para obter uma forma escalonada de linha. Substitua as costas para encontrar as soluções. Veja o exemplo\(\PageIndex{7}\) e o exemplo\(\PageIndex{8}\).
- Uma calculadora pode ser usada para resolver sistemas de equações usando matrizes. Veja o exemplo\(\PageIndex{9}\).
- Muitos problemas do mundo real podem ser resolvidos usando matrizes aumentadas. Veja o exemplo\(\PageIndex{10}\) e o exemplo\(\PageIndex{11}\).