4.2: Gráficos de funções exponenciais
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- Representar graficamente funções exponenciais.
- Faça um gráfico de funções exponenciais usando transformações.
Conforme discutimos na seção anterior, as funções exponenciais são usadas para muitas aplicações do mundo real, como finanças, ciência forense, ciência da computação e a maioria das ciências da vida. Trabalhar com uma equação que descreve uma situação do mundo real nos dá um método para fazer previsões. Na maioria das vezes, porém, a equação em si não é suficiente. Aprendemos muito sobre as coisas vendo suas representações pictóricas, e é exatamente por isso que representar graficamente equações exponenciais é uma ferramenta poderosa. Isso nos dá outra camada de visão para prever eventos futuros.
Representação gráfica de funções exponenciais
Antes de começarmos a representar graficamente, é útil revisar o comportamento do crescimento exponencial. Lembre-se da tabela de valores para uma função do formulário\(f(x)=b^x\) cuja base é maior que um. Usaremos a função\(f(x)=2^x\). Observe como os valores de saída na Tabela\(\PageIndex{1}\) mudam à medida que a entrada aumenta\(1\).
| \(x\) | \(−3\) | \(−2\) | \(−1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)=2^x\) | \(\dfrac{1}{8}\) | \(\dfrac{1}{4}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) |
Cada valor de saída é o produto da saída anterior e da base,\(2\). Chamamos a base\(2\) de proporção constante. Na verdade, para qualquer função exponencial com a forma\(f(x)=ab^x\),\(b\) é a razão constante da função. Isso significa que, à medida que a entrada aumenta\(1\), o valor de saída será o produto da base e a saída anterior, independentemente do valor de\(a\).
Observe na tabela que
- os valores de saída são positivos para todos os valores de\(x\);
- à medida que\(x\) aumenta, os valores de saída aumentam sem limite; e
- à medida que\(x\) diminui, os valores de saída diminuem, aproximando-se de zero.
A figura\(\PageIndex{1}\) mostra a função de crescimento exponencial\(f(x)=2^x\).
O domínio de\(f(x)=2^x\) é todo números reais, o intervalo é\((0,\infty)\) e a assíntota horizontal é\(y=0\).
Para ter uma ideia do comportamento do decaimento exponencial, podemos criar uma tabela de valores para uma função da forma\(f(x)=b^x\) cuja base está entre zero e um. Usaremos a função\(g(x)={\left(\dfrac{1}{2}\right)}^x\). Observe como os valores de saída na Tabela\(\PageIndex{2}\) mudam à medida que a entrada aumenta\(1\).
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)={\left(\dfrac{1}{2}\right)}^x\) | \(8\) | \(4\) | \(2\) | \(1\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{1}{4}\) | \(\dfrac{1}{8}\) |
Novamente, como a entrada está aumentando em\(1\), cada valor de saída é o produto da saída anterior e da base, ou razão constante\(\dfrac{1}{2}\).
Observe na tabela que
- os valores de saída são positivos para todos os valores de\(x\);
- à medida que\(x\) aumenta, os valores de produção diminuem, aproximando-se de zero; e
- à medida que\(x\) diminui, os valores de saída aumentam sem limites.
A figura\(\PageIndex{2}\) mostra a função de decaimento exponencial,\(g(x)={\left(\dfrac{1}{2}\right)}^x\).
O domínio de\(g(x)={(\dfrac{1}{2})}^x\) é todo números reais, o intervalo é\((0,\infty)\) e a assíntota horizontal é\(y=0\).
Uma função exponencial com a forma\(f(x)=b^x\),,\(b>0\)\(b≠1\), tem as seguintes características:
- função um para um
- assíntota horizontal:\(y=0\)
- domínio:\((–\infty, \infty)\)
- alcance:\((0,\infty)\)
- interceptação x: nenhuma
- interceptação y:\((0,1)\)
- aumentando se\(b>1\)
- diminuindo se\(b<1\)
A figura\(\PageIndex{3}\) compara os gráficos das funções exponenciais de crescimento e decaimento.
- Crie uma tabela de pontos.
- Faça um gráfico de pelo menos um\(3\) ponto da tabela, incluindo o intercepto \((0,1)\)y.
- Desenhe uma curva suave entre os pontos.
- Indique o domínio\((−\infty,\infty)\), o intervalo e a assíntota horizontal,\(y=0\).\((0,\infty)\)
Esboce um gráfico de\(f(x)=0.25^x\). Indique o domínio, o alcance e a assíntota.
Solução
Antes de representar graficamente, identifique o comportamento e crie uma tabela de pontos para o gráfico.
| \(x\) | \(−3\) | \(−2\) | \(−1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)={0.25}^x\) | \(64\) | \(16\) | \(4\) | \(1\) | \(0.25\) | \ (0,0625\ 0) | \(0.015625\) |
- Como\(b=0.25\) está entre zero e um, sabemos que a função está diminuindo. A cauda esquerda do gráfico aumentará sem limite e a cauda direita se aproximará da assíntota\(y=0\).
- Crie uma tabela de pontos como na Tabela\(\PageIndex{3}\).
- Faça um gráfico do intercepto y,\((0,1)\), junto com outros dois pontos. Podemos usar\((−1,4)\)\((1,0.25)\) e.
Desenhe uma curva suave conectando os pontos, como na Figura\(\PageIndex{4}\).
O domínio é\((−\infty,\infty)\); o intervalo é\((0,\infty)\); a assíntota horizontal é\(y=0\).
Esboce o gráfico de\(f(x)=4^x\). Indique o domínio, o alcance e a assíntota.
- Responda
-
O domínio é\((−\infty,\infty)\); o intervalo é\((0,\infty)\); a assíntota horizontal é\(y=0\).
Representação gráfica de transformações de funções exponenciais
As transformações de gráficos exponenciais se comportam de forma semelhante às de outras funções. Assim como com outras funções principais, podemos aplicar os quatro tipos de transformações — deslocamentos, reflexos, alongamentos e compressões — à função principal\(f(x)=b^x\) sem perda de forma. Por exemplo, assim como a função quadrática mantém sua forma parabólica quando deslocada, refletida, esticada ou comprimida, a função exponencial também mantém sua forma geral, independentemente das transformações aplicadas.
Representando graficamente uma mudança vertical
A primeira transformação ocorre quando adicionamos uma constante\(d\) à função principal\(f(x)=b^x\), fornecendo um deslocamento vertical de d unidades na mesma direção do sinal. Por exemplo, se começarmos representando graficamente uma função principal\(f(x)=2^x\), podemos então representar graficamente dois deslocamentos verticais ao lado dela, usando\(d=3\): o deslocamento para cima\(g(x)=2^x+3\) e o deslocamento para baixo,\(h(x)=2^x−3\). Ambos os deslocamentos verticais são mostrados na Figura\(\PageIndex{5}\).
Observe os resultados da mudança\(f(x)=2^x\) vertical:
- O domínio\((−\infty,\infty)\) permanece inalterado.
- Quando a função é deslocada para cima,\(3\) as unidades são transferidas para\(g(x)=2^x+3\):
- O intercepto y desloca as\(3\) unidades para\((0,4)\).
- A assíntota muda as\(3\) unidades para\(y=3\).
- O alcance se torna\((3,\infty)\).
- Quando a função é deslocada para baixo,\(3\) as unidades são\(h(x)=2^x−3\):
- O intercepto y desvia\(3\) as unidades para\((0,−2)\).
- A assíntota também reduz\(3\) as unidades para\(y=−3\).
- O alcance se torna\((−3,\infty)\).
Representando graficamente um deslocamento horizontal
A próxima transformação ocorre quando adicionamos uma constante\(c\) à entrada da função principal\(f(x)=b^x\), fornecendo\(c\) unidades de deslocamento horizontal na direção oposta do sinal. Por exemplo, se começarmos representando graficamente a função principal\(f(x)=2^x\), podemos então representar graficamente dois deslocamentos horizontais ao lado dela, usando\(c=3\): o shift para a esquerda e o shift para a direita,\(h(x)=2^{x−3}\).\(g(x)=2^{x+3}\) \(h(x)=2^{x−3}\). Ambos os deslocamentos horizontais são mostrados na Figura\(\PageIndex{6}\).
Observe os resultados da mudança\(f(x)=2^x\) horizontal:
- O domínio,\((−\infty,\infty)\), permanece inalterado.
- A assíntota,\(y=0\), permanece inalterada.
- O intercepto y muda de tal forma que:
- Quando a função é deslocada\(3\) unidades da esquerda para\(g(x)=2^{x+3}\), o intercepto y se torna\((0,8)\). Isso ocorre porque\(2^{x+3}=(8)2^x\), portanto, o valor inicial da função é\(8\).
- Quando a função é deslocada para\(3\) a direita\(h(x)=2^{x−3}\), o intercepto y se torna\((0,\dfrac{1}{8})\). Novamente, veja isso\(2^{x−3}=(\dfrac{1}{8})2^x\), então o valor inicial da função é\(\dfrac{1}{8}\).
Para quaisquer constantes\(c\) e\(d\), a função\(f(x)=b^{x+c}+d\) desloca a função principal\(f(x)=b^x\)
- \(d\)unidades verticais, na mesma direção do sinal de\(d\).
- \(c\)unidades horizontalmente, na direção oposta ao sinal de\(c\).
- O intercepto y se torna\((0,b^c+d)\).
- A assíntota horizontal se torna\(y=d\).
- O alcance se torna\((d,\infty)\).
- O domínio,\((−\infty,\infty)\), permanece inalterado.
- Desenhe a assíntota horizontal\(y=d\).
- Identifique a mudança como\((−c,d)\). Desloque o gráfico das\(c\) unidades da\(f(x)=b^x\) esquerda se\(c\) for positivo e\(c\) das unidades da direita se\(c\) for negativo.
- Desloque o gráfico de\(d\) unidades\(f(x)=b^x\) para cima se\(d\) for positivo e para baixo\(d\) se\(d\) for negativo.
- Indique o domínio\((−\infty,\infty)\), o intervalo e a assíntota horizontal\(y=d\).\((d,\infty)\)
Gráfico\(f(x)=2^{x+1}−3\). Indique o domínio, o alcance e a assíntota.
Solução
Temos uma equação exponencial da forma\(f(x)=b^{x+c}+d\)\(b=2\), com\(c=1\),\(d=−3\) e.
Desenhe a assíntota horizontal\(y=d\), então desenhe\(y=−3\).
Identifique a mudança como\((−c,d)\), então a mudança é\((−1,−3)\).
Desloque o gráfico das\(1\) unidades\(f(x)=b^x\) esquerdas e\(3\) unidades para baixo.
O domínio é\((−\infty,\infty)\); o intervalo é\((−3,\infty)\); a assíntota horizontal é\(y=−3\).
Gráfico\(f(x)=2^{x−1}+3\). Domínio de estado, alcance e assíntota.
- Responda
-
O domínio é\((−\infty,\infty)\); o intervalo é\((3,\infty)\); a assíntota horizontal é\(y=3\).
- Pressione [Y=]. Insira a equação exponencial fornecida na linha intitulada “Y 1 =”.
- Insira o valor fornecido para f (x) f (x) na linha intitulada “Y 2 =”.
- Pressione [JANELA]. Ajuste o eixo y para que ele inclua o valor inserido para “Y 2 =”.
- Pressione [GRAPH] para observar o gráfico da função exponencial junto com a linha para o valor especificado de (x). f (x).
- Para encontrar o valor de x, x, calculamos o ponto de interseção. Pressione [2ND] e depois [CALC]. Selecione “intersect” e pressione [ENTER] três vezes. O ponto de interseção fornece o valor de x para o valor indicado da função.
Resolva\(42=1.2{(5)}^x+2.8\) graficamente. Arredonde para o milésimo mais próximo.
Solução
Pressione [Y=] e digite\(1.2{(5)}^x+2.8\) ao lado de Y 1 =. Em seguida, digite ao\(42\) lado de Y2=. Para uma janela, use os valores\(–3\) para\(3\) para\(x\) e\(–5\) para\(55\) para\(y\). Pressione [GRAPH]. Os gráficos devem se cruzar em algum lugar próximo\(x=2\).
Para uma melhor aproximação, pressione [2ND] e depois [CALC]. Selecione [5: interseção] e pressione [ENTER] três vezes. A coordenada x do ponto de interseção é exibida como\(2.1661943\). (Sua resposta pode ser diferente se você usar uma janela diferente ou usar um valor diferente para Guess? ) Até o milésimo mais próximo,\(x≈2.166\).
Resolva\(4=7.85{(1.15)}^x−2.27\) graficamente. Arredonde para o milésimo mais próximo.
- Responda
-
\(x≈−1.608\)
Representação gráfica de um estiramento ou compressão
Enquanto os deslocamentos horizontais e verticais envolvem a adição de constantes à entrada ou à própria função, um alongamento ou compressão ocorre quando multiplicamos a função principal\(f(x)=b^x\) por uma constante\(|a|>0\). Por exemplo, se começarmos representando graficamente a função principal\(f(x)=2^x\), podemos então representar graficamente o trecho\(a=3\), usando, para obter\(g(x)=3{(2)}^x\) como mostrado à esquerda na Figura\(\PageIndex{8}\), e a compressão\(a=\dfrac{1}{3}\), usando, para obter\(h(x)=\dfrac{1}{3}{(2)}^x\) conforme mostrado à direita na Figura\(\PageIndex{8}\).
Para qualquer fator\(a>0\), a função\(f(x)=a{(b)}^x\)
- é esticado verticalmente por um fator de\(a\) if\(|a|>1\).
- é comprimido verticalmente por um fator de\(a\) if\(|a|<1\).
- tem um intercepto y de\((0,a)\).
- tem uma assíntota horizontal em\(y=0\), um intervalo de\((0,\infty)\) e um domínio de\((−\infty,\infty)\), que não são alterados em relação à função principal.
Esboce um gráfico de\(f(x)=4{(\dfrac{1}{2})}^x\). Indique o domínio, o alcance e a assíntota.
Solução
Antes de representar graficamente, identifique o comportamento e os pontos-chave no gráfico.
- Como\(b=\dfrac{1}{2}\) está entre zero e um, a cauda esquerda do gráfico aumentará sem limite à medida que\(x\) diminui, e a cauda direita se aproximará do eixo x à medida que\(x\) aumenta.
- Desde então\(a=4\), o gráfico de\(f(x)={(\dfrac{1}{2})}^x\) será esticado por um fator de\(4\).
- Crie uma tabela de pontos conforme mostrado na Tabela\(\PageIndex{4}\).
Tabela\(\PageIndex{4}\) \(x\) \(−3\) \(−2\) \(−1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(f(x)=4{(\dfrac{1}{2})}^x\) \(32\) \(16\) \(8\) \(4\) \(2\) \(1\) \(0.5\) - Faça um gráfico do intercepto y,\((0,4)\), junto com outros dois pontos. Podemos usar\((−1,8)\)\((1,2)\) e.
Desenhe uma curva suave conectando os pontos, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{9}\).
O domínio é\((−\infty,\infty)\); o intervalo é\((0,\infty)\); a assíntota horizontal é\(y=0\).
Esboce o gráfico de\(f(x)=\dfrac{1}{2}{(4)}^x\). Indique o domínio, o alcance e a assíntota.
- Responda
-
O domínio é\((−\infty,\infty)\); o intervalo é\((0,\infty)\); a assíntota horizontal é\(y=0\).
Representação gráfica de reflexões
Além de deslocar, compactar e esticar um gráfico, também podemos refleti-lo sobre o eixo x ou o eixo y. Quando multiplicamos a função principal\(f(x)=b^x\) por\(−1\), obtemos uma reflexão sobre o eixo x. Quando multiplicamos a entrada por\(−1\), obtemos uma reflexão sobre o eixo y. Por exemplo, se começarmos representando graficamente a função principal\(f(x)=2^x\), poderemos então representar graficamente as duas reflexões ao lado dela. A reflexão sobre o eixo x,\(g(x)=−2^x\), é mostrada no lado esquerdo da Figura\(\PageIndex{10}\), e a reflexão sobre o eixo y\(h(x)=2^{−x}\), é mostrada no lado direito da Figura\(\PageIndex{10}\).
A função\(f(x)=−b^x\)
- reflete a função principal\(f(x)=b^x\) sobre o eixo x.
- tem um intercepto y de\((0,−1)\).
- tem uma variedade de\((−\infty,0)\)
- tem uma assíntota horizontal em\(y=0\) e um domínio de\((−\infty,\infty)\), que não são alterados em relação à função principal.
A função\(f(x)=b^{−x}\)
- reflete a função principal\(f(x)=b^x\) sobre o eixo y.
- tem um intercepto y de\((0,1)\), uma assíntota horizontal em\(y=0\), um intervalo de\((0,\infty)\) e um domínio de\((−\infty,\infty)\), que permanecem inalterados em relação à função principal.
Encontre e represente graficamente a equação de uma função\(g(x)\),, que reflete\(f(x)={(\dfrac{1}{4})}^x\) sobre o eixo x. Indique seu domínio, alcance e assíntota.
Solução
Como queremos refletir a função principal\(f(x)={(\dfrac{1}{4})}^x\) sobre o eixo x, multiplicamos\(f(x)\) por\(−1\) para obter,\(g(x)=−{(\dfrac{1}{4})}^x\). Em seguida, criamos uma tabela de pontos como na Tabela\(\PageIndex{5}\).
| \(x\) | \(−3\) | \(−2\) | \(−1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)=−{(\dfrac{1}{4})}^x\) | \(−64\) | \(−16\) | \(−4\) | \(−1\) | \(−0.25\) | \(−0.0625\) | \(−0.0156\) |
Faça um gráfico do intercepto y,\((0,−1)\), junto com outros dois pontos. Podemos usar\((−1,−4)\)\((1,−0.25)\) e.
Desenhe uma curva suave conectando os pontos:
O domínio é\((−\infty,\infty)\); o intervalo é\((−\infty,0)\); a assíntota horizontal é\(y=0\).
Encontre e represente graficamente a equação de uma função\(g(x)\),, que reflete\(f(x)={1.25}^x\) sobre o eixo y. Indique seu domínio, alcance e assíntota.
- Responda
-
O domínio é\((−\infty,\infty)\); o intervalo é\((0,\infty)\); a assíntota horizontal é\(y=0\).
Resumindo traduções da função exponencial
Agora que trabalhamos com cada tipo de tradução para a função exponencial, podemos resumi-los na Tabela\(\PageIndex{6}\) para chegar à equação geral para traduzir funções exponenciais.
A tradução de uma função exponencial tem a forma
\(f(x)=ab^{x+c}+d\)
Onde a função principal,\(y=b^x\),\(b>1\), é
- \(c\)unidades deslocadas horizontalmente para a esquerda.
- esticado verticalmente por um fator de\(|a|\) if\(|a|>0\).
- comprimido verticalmente por um fator de\(|a|\) if\(0<|a|<1\).
- \(d\)unidades deslocadas verticalmente.
- refletido sobre o eixo x quando\(a<0\).
Observe que a ordem dos turnos, transformações e reflexões segue a ordem das operações.
Escreva a equação para a função descrita abaixo. Forneça a assíntota horizontal, o domínio e o alcance.
\(f(x)=e^x\)é esticado verticalmente por um fator de\(2\), refletido no eixo y e, em seguida, deslocado para cima\(4\) nas unidades.
Solução
Queremos encontrar uma equação na forma geral f (x) =abx+c+d. f (x) =abx+c+d. Usamos a descrição fornecida para encontrar a, a, b, b, c, c e d. d.
- Nós recebemos a função principal\(f(x)=e^x\), então\(b=e\).
- A função é ampliada por um fator de\(2\), então\(a=2\).
- A função é refletida sobre o eixo y. \(x\)Substituímos por\(−x\) para obter:\(e^{−x}\).
- O gráfico é deslocado verticalmente em 4 unidades, então\(d=4\).
Substituindo na forma geral que obtemos,
\(f(x)=ab^{x+c}+d\)
\(=2e^{−x+0}+4\)
\(=2e^{−x}+4\)
O domínio é\((−\infty,\infty)\); o intervalo é\((4,\infty)\); a assíntota horizontal é\(y=4\).
Escreva a equação para a função descrita abaixo. Forneça a assíntota horizontal, o domínio e o alcance.
\(f(x)=e^x\)é comprimido verticalmente por um fator de\(\dfrac{1}{3}\), refletido no eixo x e, em seguida, deslocado para baixo\(2\) nas unidades.
- Responda
-
\(f(x)=−\dfrac{1}{3}e^{x}−2\); o domínio é\((−\infty,\infty)\); o intervalo é\((−\infty,2)\); a assíntota horizontal é\(y=2\).
Acesse esse recurso on-line para obter instruções e práticas adicionais com a representação gráfica de funções exponenciais.
- Grafar funções exponenciais
Equações-chave
| Formulário geral para a tradução da função principal\(f(x)=b^x\) | \(f(x)=ab^{x+c}+d\) |
Conceitos-chave
- O gráfico da função\(f(x)=b^x\) tem um intercepto y em\((0, 1)\), domínio\((−\infty, \infty)\)\((0, \infty)\), alcance e assíntota horizontal\(y=0\). Veja o exemplo.
- Se\(b>1\), a função está aumentando. A cauda esquerda do gráfico se aproximará da assíntota\(y=0\) e a cauda direita aumentará sem limite.
- Se\(0<b<1\), a função está diminuindo. A cauda esquerda do gráfico aumentará sem limite e a cauda direita se aproximará da assíntota\(y=0\).
- A equação\(f(x)=b^x+d\) representa um deslocamento vertical da função principal\(f(x)=b^x\).
- A equação\(f(x)=b^{x+c}\) representa um deslocamento horizontal da função principal\(f(x)=b^x\). Veja o exemplo.
- Soluções aproximadas da equação\(f(x)=b^{x+c}+d\) podem ser encontradas usando uma calculadora gráfica. Veja o exemplo.
- A equação\(f(x)=ab^x\), onde\(a>0\), representa um alongamento vertical se\(|a|>1\) ou compressão if\(0<|a|<1\) da função principal\(f(x)=b^x\). Veja o exemplo.
- Quando a função principal\(f(x)=b^x\) é multiplicada por\(−1\), o resultado\(f(x)=−b^x\),, é uma reflexão sobre o eixo x. Quando a entrada é multiplicada por\(−1\), o resultado\(f(x)=b^{−x}\),, é uma reflexão sobre o eixo y. Veja o exemplo.
- Todas as traduções da função exponencial podem ser resumidas pela equação geral\(f(x)=ab^{x+c}+d\). Veja a tabela.
- Usando a equação geral\(f(x)=ab^{x+c}+d\), podemos escrever a equação de uma função dada sua descrição. Veja o exemplo.