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4.1: Funções exponenciais

Objetivos de
  • Avalie funções exponenciais.
  • Encontre a equação de uma função exponencial.
  • Use fórmulas de juros compostos.
  • Avalie funções exponenciais com basee.

A Índia é o segundo país mais populoso do mundo, com uma população de cerca de1.25 bilhões de pessoas em 2013. A população está crescendo a uma taxa de aproximadamente a.2% cada ano. Se essa taxa continuar, a população da Índia excederá a população da China até o ano de 2031. Quando as populações crescem rapidamente, costumamos dizer que o crescimento é “exponencial”, o que significa que algo está crescendo muito rapidamente. Para um matemático, no entanto, o termo crescimento exponencial tem um significado muito específico. Nesta seção, examinaremos as funções exponenciais, que modelam esse tipo de crescimento rápido.

Identificação de funções exponenciais

Ao explorar o crescimento linear, observamos uma taxa de variação constante — um número constante pelo qual a produção aumentou para cada aumento unitário na entrada. Por exemplo, na equaçãof(x)=3x+4, a inclinação nos diz que a saída aumenta3 cada vez que a entrada aumenta1. O cenário no exemplo da população da Índia é diferente porque temos uma variação percentual por unidade de tempo (em vez de uma mudança constante) no número de pessoas.

Definindo uma função exponencial

Um estudo descobriu que a porcentagem da população vegana nos Estados Unidos dobrou de 2009 a 2011. Em 2011,2.5% a população era vegana, aderindo a uma dieta que não inclui nenhum produto de origem animal — sem carne, aves, peixes, laticínios ou ovos. Se essa taxa continuar, os veganos10% constituirão a população dos EUA em 2015,40% em 2019 e80% em 2050.

O que exatamente significa crescer exponencialmente? O que a palavra duplo tem em comum com o aumento percentual? As pessoas usam essas palavras de forma errante. Essas palavras são usadas corretamente? As palavras certamente aparecem com frequência na mídia.

  • A variação percentual se refere a uma alteração com base em uma porcentagem do valor original.
  • O crescimento exponencial se refere a um aumento baseado em uma taxa de variação multiplicativa constante em incrementos iguais de tempo, ou seja, um aumento percentual da quantidade original ao longo do tempo.
  • O decaimento exponencial se refere a uma diminuição baseada em uma taxa de variação multiplicativa constante em incrementos iguais de tempo, ou seja, uma diminuição percentual da quantidade original ao longo do tempo.

Para obtermos uma compreensão clara do crescimento exponencial, vamos comparar o crescimento exponencial com o crescimento linear. Vamos construir duas funções. A primeira função é exponencial. Começaremos com uma entrada de0 e aumentaremos cada entrada em1. Vamos dobrar as saídas consecutivas correspondentes. A segunda função é linear. Começaremos com uma entrada de0 e aumentaremos cada entrada em1. Adicionaremos2 às saídas consecutivas correspondentes (Tabela4.1.1).

A partir da Tabela,4.1.1 podemos inferir que, para essas duas funções, o crescimento exponencial supera o crescimento linear.

  • O crescimento exponencial se refere ao valor original da faixa de aumentos na mesma porcentagem em incrementos iguais encontrados no domínio.
  • O crescimento linear se refere ao valor original da faixa de aumentos na mesma quantidade em incrementos iguais encontrados no domínio.
Tabela4.1.1
x f(x)=2x g(x)=2x
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">0 \ (f (x) =2^x\)” style="alinhamento vertical:médio; ">1 \ (g (x) =2x\)” style="alinhamento vertical:médio; ">0
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">1 \ (f (x) =2^x\)” style="alinhamento vertical:médio; ">2 \ (g (x) =2x\)” style="alinhamento vertical:médio; ">2
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">2 \ (f (x) =2^x\)” style="alinhamento vertical:médio; ">4 \ (g (x) =2x\)” style="alinhamento vertical:médio; ">4
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">3 \ (f (x) =2^x\)” style="alinhamento vertical:médio; ">8 \ (g (x) =2x\)” style="alinhamento vertical:médio; ">6
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">4 \ (f (x) =2^x\)” style="alinhamento vertical:médio; ">16 \ (g (x) =2x\)” style="alinhamento vertical:médio; ">8
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">5 \ (f (x) =2^x\)” style="alinhamento vertical:médio; ">32 \ (g (x) =2x\)” style="alinhamento vertical:médio; ">10
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">6 \ (f (x) =2^x\)” style="alinhamento vertical:médio; ">64 \ (g (x) =2x\)” style="alinhamento vertical:médio; ">12

Aparentemente, a diferença entre “a mesma porcentagem” e “a mesma quantidade” é bastante significativa. Para crescimento exponencial, em incrementos iguais, a taxa de variação multiplicativa constante resultou na duplicação da saída sempre que a entrada aumentava em um. Para o crescimento linear, a taxa aditiva constante de variação em incrementos iguais resultou na adição2 à saída sempre que a entrada era aumentada em um.

A forma geral da função exponencial éf(x)=abx, ondea é qualquer número diferente de zero,b é um número real positivo não igual1 a.

  • Seb>1, a função cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho.
  • Se0<b<1, a função decai a uma taxa proporcional ao seu tamanho.

Vamos dar uma olhada na funçãof(x)=2x do nosso exemplo. Criaremos uma tabela (Tabela4.1.2) para determinar as saídas correspondentes em um intervalo no domínio de3 até3.

Tabela4.1.2
x 3 2 1 0 1 2 3
f(x)=2x 23=18 22=14 21=12 20=1 21=2 22=4 23=8

Vamos examinar o gráfico def plotando os pares ordenados da Tabela4.1.2 e, em seguida, fazer algumas observações4.1.1.

Gráfico das funções das empresas A e B, cujos valores são encontrados na tabela anterior.
Figura4.1.1

Vamos definir o comportamento do gráfico da função exponencialf(x)=2x e destacar algumas de suas principais características.

  • o domínio é(,),
  • o alcance é(0,),
  • comoxf(x),
  • comoxf(x)0,
  • f(x)está sempre aumentando,
  • o gráfico de nuncaf(x) tocará o eixo x porque a base dois elevada a qualquer expoente nunca tem o resultado de zero.
  • y=0é a assíntota horizontal.
  • o intercepto y é1.
Definição: Funções exponenciais

Para qualquer número realx, uma função exponencial é uma função com a forma

f(x)=abx

onde

  • aé um número real diferente de zero chamado valor inicial e
  • bé qualquer número real positivo como esseb1.
  • O domínio def são todos números reais.
  • O intervalo def é todo um número real positivo sea>0.
  • O intervalo def é todo números reais negativos sea<0.
  • O intercepto y é(0,a), e a assíntota horizontal éy=0.
Exemplo4.1.1: Identifying Exponential Functions

Quais das seguintes equações não são funções exponenciais?

  • f(x)=43(x2)
  • g(x)=x3
  • h(x)=(13)x
  • j(x)=(2)x

Solução

Por definição, uma função exponencial tem uma constante como base e uma variável independente como expoente. Portanto,g(x)=x3 não representa uma função exponencial porque a base é uma variável independente. Na verdade,g(x)=x3 é uma função de energia.

Lembre-se de que a baseb de uma função exponencial é sempre uma constante positivab1 e. Assim,j(x)=(2)x não representa uma função exponencial porque a base,2, é menor que0.

Exercício4.1.1

Quais das seguintes equações representam funções exponenciais?

  • f(x)=2x23x+1
  • g(x)=0.875x
  • h(x)=1.75x+2
  • j(x)=1095.62x
Responda

g(x)=0.875xej(x)=1095.62x representam funções exponenciais.

Cálculo de funções exponenciais

Lembre-se de que a base de uma função exponencial deve ser um número real positivo diferente de1 .Por que limitamos a base bb a valores positivos? Para garantir que as saídas sejam números reais. Observe o que acontece se a base não for positiva:

  • Deixeb=9x=12 e. Entãof(x)=f(12)=(9)12=9, o que não é um número real.

Por que limitamos a base a valores positivos diferentes de1? Porque a base1 resulta na função constante. Observe o que acontece se a base for1:

  • Deixeb=1. Então,f(x)=1x=1 para qualquer valor dex.

Para calcular uma função exponencial com a formaf(x)=bx, simplesmente substituímosx pelo valor dado e calculamos a potência resultante. Por exemplo:

Deixef(x)=2x. O que éf(3)?

f(x)=2xf(3)=23Substitute x=3=8Evaluate the power

Para avaliar uma função exponencial com uma forma diferente da forma básica, é importante seguir a ordem das operações. Por exemplo:

Deixef(x)=30(2)x. O que éf(3)?

f(x)=30(2)xf(3)=30(2)3Substitute x=3=30(8)Simplify the power first=240Multiply

Observe que, se a ordem das operações não fosse seguida, o resultado estaria incorreto:

f(3)=30(2)3603=216,000

Exemplo4.1.2: Evaluating Exponential Functions

Deixef(x)=5(3)x+1. Avalief(2) sem usar uma calculadora.

Solução

Siga a ordem das operações. Certifique-se de prestar atenção aos parênteses.

f(x)=5(3)x+1f(2)=5(3)2+1Substitute x=2=5(3)3Add the exponents=5(27)Simplify the power=135Multiply

Exercício4.1.2

Deixef(x)=8(1.2)x5. Avalief(3) usando uma calculadora. Arredonde para quatro casas decimais.

Responda

5.5556

Definindo o crescimento exponencial

Como a produção de funções exponenciais aumenta muito rapidamente, o termo “crescimento exponencial” é frequentemente usado na linguagem cotidiana para descrever qualquer coisa que cresça ou aumente rapidamente. No entanto, o crescimento exponencial pode ser definido com mais precisão em um sentido matemático. Se a taxa de crescimento for proporcional à quantidade presente, a função modela o crescimento exponencial.

Definição: Crescimento exponencial

Uma função que modela o crescimento exponencial cresce em uma taxa proporcional à quantidade presente. Para qualquer número realx e qualquer número real positivoa eb tal queb1, uma função de crescimento exponencial tem a forma

f(x)=abx

onde

  • aé o valor inicial ou inicial da função.
  • bé o fator de crescimento ou multiplicador de crescimento por unidadex.

Em termos mais gerais, temos uma função exponencial, na qual uma base constante é elevada a um expoente variável. Para diferenciar entre funções lineares e exponenciais, vamos considerar duas empresas, A e B. A empresa A tem100 lojas e se expande abrindo50 novas lojas por ano, então seu crescimento pode ser representado pela funçãoA(x)=100+50x. A empresa B tem100 lojas e se expande aumentando o número de lojas a50% cada ano, para que seu crescimento possa ser representado pela funçãoB(x)=100(1+0.5)x.

Alguns anos de crescimento dessas empresas são ilustrados na Tabela4.1.3.

Tabela4.1.3
Ano,x Lojas, Empresa A Lojas, Empresa B
\ (x\) ">0 100+50(0)=100 100(1+0.5)0=100
\ (x\) ">1 100+50(1)=150 100(1+0.5)1=150
\ (x\) ">2 100+50(2)=200 100(1+0.5)2=225
\ (x\) ">3 100+50(3)=250 100(1+0.5)3=337.5
\ (x\) ">x A(x)=100+50x B(x)=100(1+0.5)x

Os gráficos que comparam o número de lojas de cada empresa em um período de cinco anos são mostrados na Figura4.1.2. Podemos ver que, com o crescimento exponencial, o número de lojas aumenta muito mais rapidamente do que com o crescimento linear.

Gráfico das funções das empresas A e B, cujos valores são encontrados na tabela anterior.
Figura4.1.2: O gráfico mostra o número de lojas que as empresas A e B abriram em um período de cinco anos.

Observe que o domínio para ambas as funções é[0,), e o intervalo para ambas as funções é[100,). Depois do primeiro ano, a empresa B sempre tem mais lojas do que a empresa A.

Agora vamos voltar nossa atenção para a função que representa o número de lojas da EmpresaB,B(x)=100(1+0.5)x. Nessa função exponencial,100 representa o número inicial de lojas,0.50 representa a taxa de crescimento e1+0.5=1.5 representa o fator de crescimento. Generalizando ainda mais, podemos escrever essa função comoB(x)=100(1.5)x, onde100 está o valor inicial,1.5 é chamada de base ex é chamada de expoente.

Exemplo4.1.3: Evaluating a Real-World Exponential Model

No início desta seção, aprendemos que a população da Índia era de cerca de1.25 bilhões no ano de 2013, com uma taxa de crescimento anual de cerca de1.2%. Essa situação é representada pela função de crescimentoP(t)=1.25(1.012)t, ondet está o número de anos desde 2013. Até o milésimo mais próximo, qual será a população da Índia em 2031?

Solução

Para estimar a população em 2031, avaliamos os modelos parat=18, porque 2031 é18 anos após 2013. Arredondando para o milésimo mais próximo,

P(18)=1.25(1.012)181.549

Haverá cerca1.549 de bilhões de pessoas na Índia no ano de 2031.

Exercício4.1.3

A população da China era de cerca de1.39 bilhões no ano de 2013, com uma taxa de crescimento anual de cerca de0.6%. Essa situação é representada pela função de crescimentoP(t)=1.39(1.006)t, ondet está o número de anos desde 2013. Até o milésimo mais próximo, qual será a população da China para o ano de 2031? Como isso se compara à previsão populacional que fizemos para a Índia em Example4.1.3?

Responda

Cerca1.548 de bilhões de pessoas; até o ano de 2031, a população da Índia excederá a da China em cerca de0.001 bilhões ou1 milhões de pessoas.

Encontrando equações de funções exponenciais

Nos exemplos anteriores, recebemos uma função exponencial, que depois avaliamos para uma determinada entrada. Às vezes, recebemos informações sobre uma função exponencial sem conhecê-la explicitamente. Devemos usar as informações para primeiro escrever a forma da função, depois determinar as constantesa,a e avaliar a função.b,b

Como: Dados dois pontos de dados, escrever um modelo exponencial
  1. Se um dos pontos de dados tiver o formato(0,a), então seráa o valor inicial. Usandoa, substitua o segundo ponto na equaçãof(x)=a(b)x e resolva porb.
  2. Se nenhum dos pontos de dados tiver a forma(0,a), substitua os dois pontos em duas equações pelo formuláriof(x)=a(b)x. Resolva o sistema resultante de duas equações em duas incógnitas para encontrarab e.
  3. Usando oa eb encontrado nas etapas acima, escreva a função exponencial no formuláriof(x)=a(b)x.
Exemplo4.1.4: Writing an Exponential Model When the Initial Value Is Known

Em 2006, os80 cervos foram introduzidos em um refúgio de vida selvagem. Em 2012, a população se transformou em180 veados. A população estava crescendo exponencialmente. Escreva uma função algébricaN(t) representando a população(N) de cervos ao longo do tempot.

Solução

Deixamos nossa variável independentet ser o número de anos após 2006. Assim, as informações fornecidas no problema podem ser escritas como pares de entrada-saída: (0, 80) e (6, 180). Observe que, ao escolher nossa variável de entrada para ser medida em anos após 2006, nos demos o valor inicial da função,a=80. Agora podemos substituir o segundo ponto na equaçãoN(t)=80bt para encontrarb:

N(t)=80bt180=80b6Substitute using point (6,180)94=b6Divide and write in lowest termsb=(94)16Isolate b using properties of exponentsb1.1447Round to 4 decimal places

Salvo indicação em contrário, não arredonde nenhum cálculo intermediário. Em seguida, arredonde a resposta final para quatro lugares no restante desta seção.

O modelo exponencial para a população de cervos éN(t)=80(1.1447)t. (Observe que essa função exponencial modela o crescimento de curto prazo. À medida que as entradas aumentam, a saída fica cada vez maior, tanto que o modelo pode não ser útil a longo prazo.)

Podemos representar graficamente nosso modelo para observar o crescimento populacional de veados no refúgio ao longo do tempo. Observe que o gráfico na Figura4.1.3 passa pelos pontos iniciais dados no problema,(0,80)(6,180) e. Também podemos ver que o domínio da função é[0,), e o intervalo da função é[80,).

Gráfico da função exponencial, N (t) = 80 (1,1447) ^t, com pontos rotulados em (0, 80) e (6, 180).
Figura4.1.3: Gráfico mostrando a população de cervos ao longo do tempoN(t)=80(1.1447)t,t anos após 2006
Exercício4.1.4

A população de lobos está crescendo exponencialmente. Em 2011,129 os lobos foram contados. Em 2013, a população havia atingido236 os lobos. Quais dois pontos podem ser usados para derivar uma equação exponencial modelando essa situação? Escreva a equação representando a populaçãoN de lobos ao longo do tempot.

Responda

(0,129)e(2,236);N(t)=129(1.3526)t

Exemplo4.1.5: Writing an Exponential Model When the Initial Value is Not Known

Encontre uma função exponencial que passe pelos pontos(2,6)(2,1) e.

Solução

Como não temos o valor inicial, substituímos os dois pontos em uma equação da forma ef(x)=abx, em seguida, resolvemos o sistema porab e.

  • Substituindo(2,6)6=ab2
  • Substituindo(2,1)1=ab2

Use a primeira equação para resolvera em termos deb:

6=ab26b2=aDividea=6b2Use properties of exponents to rewrite the denominator

Substitua a na segunda equação e resolva porb:

1=ab21=6b2b2=6b4Substitute ab=(16)14Round 4 decimal places rewrite the denominatorb0.6389

Use o valor deb na primeira equação para resolver o valor dea:

a=6b26(0.6389)22.4492

Assim, a equação éf(x)=2.4492(0.6389)x.

Podemos representar graficamente nosso modelo para verificar nosso trabalho. Observe que o gráfico na Figura4.1.4 passa pelos pontos iniciais dados no problema,(2,6)(2,1) e. O gráfico é um exemplo de uma função de decaimento exponencial.

Gráfico da função exponencial, f (x) =2,4492 (0,6389) ^x, com pontos rotulados em (-2, 6) e (2, 1).
Figura4.1.4: O gráfico do decaimento exponencial dosf(x)=2.4492(0.6389)x modelos.
Exercício4.1.5

Dados os dois pontos(1,3) e(2,4.5), encontre a equação da função exponencial que passa por esses dois pontos.

Responda

f(x)=2(1.5)x

Perguntas e respostas: Dois pontos sempre determinam uma função exponencial única?

Sim, desde que os dois pontos estejam ambos acima do eixo x ou ambos abaixo do eixo x e tenham coordenadas x diferentes. Mas lembre-se de que também precisamos saber que o gráfico é, na verdade, uma função exponencial. Nem todo gráfico que parece exponencial é realmente exponencial. Precisamos saber que o gráfico é baseado em um modelo que mostra o mesmo percentual de crescimento com cada unidade de aumento, o quex, em muitos casos do mundo real, envolve tempo.

Como: Dado o gráfico de uma função exponencial, escreva sua equação
  1. Primeiro, identifique dois pontos no gráfico. Escolha oy -intercept como um dos dois pontos sempre que possível. Tente escolher pontos tão distantes quanto possível para reduzir o erro de arredondamento.
  2. Se um dos pontos de dados for oy -intercept(0,a), então seráa o valor inicial. Usandoa, substitua o segundo ponto na equaçãof(x)=a(b)x e resolvab
  3. Se nenhum dos pontos de dados tiver a forma(0,a), substitua os dois pontos em duas equações pelo formuláriof(x)=a(b)x. Resolva o sistema resultante de duas equações em duas incógnitas para encontrarab e.
  4. Escreva a função exponencial,f(x)=a(b)x.
Exemplo4.1.6: Writing an Exponential Function Given Its Graph

Encontre uma equação para a função exponencial representada graficamente na Figura4.1.5.

Gráfico de uma função exponencial crescente com pontos notáveis em (0, 3) e (2, 12).
Figura4.1.5

Solução

Podemos escolher o yintercepto -do gráfico,(0,3), como nosso primeiro ponto. Isso nos dá o valor inicial,a=3. Em seguida, escolha um ponto na curva a alguma distância(0,3) que tenha coordenadas inteiras. Um desses pontos é(2,12).

y=abxWrite the general form of an exponential equationy=3bxSubstitute the initial value 3 for a12=3b2Substitute in 12 for y and 2 for x4=b2Divide by 3b=±2Take the square root

Porque nos restringimos a valores positivos deb, usaremosb=2. Substituaa eb na forma padrão para produzir a equaçãof(x)=3(2)x.

Exercício4.1.6

Encontre uma equação para a função exponencial representada graficamente na Figura4.1.6.

Gráfico de uma função crescente com um ponto rotulado em (0, sqrt (2)).
Figura4.1.6
Responda

f(x)=2(2)x. As respostas podem variar devido a um erro de arredondamento. A resposta deve estar muito próxima de1.4142(1.4142)x.

Como: Dados dois pontos na curva de uma função exponencial, use uma calculadora gráfica para encontrar a equação
  1. Pressione [STAT].
  2. Limpe todas as entradas existentes nas colunas L1 ou L2.
  3. Em L1, insira as coordenadas x fornecidas.
  4. Em L2, insira as coordenadas y correspondentes.
  5. Pressione [STAT] novamente. Cursor para a direita até CALC, role para baixo até ExpReg (Regressão Exponencial) e pressione [ENTER].
  6. A tela exibe os valores de a e b na equação exponencialy=abx.
Exemplo4.1.7: Using a Graphing Calculator to Find an Exponential Function

Use uma calculadora gráfica para encontrar a equação exponencial que inclui os pontos(2,24.8)(5,198.4) e.

Solução

Siga as diretrizes acima. Primeiro pressione [STAT], [EDIT], [1: Editar...] e limpe as listas L1 e L2. Em seguida, na coluna L1, insira asx coordenadas -,25 e. Faça o mesmo na coluna L2 para asy coordenadas -,24.8198.4 e.

Agora pressione [STAT], [CALC], [0: ExpReg] e pressione [ENTER]. Os valores serão exibidosa=6.2 eb=2 serão exibidos. A equação exponencial éy=6.22x.

Exercício4.1.7

Use uma calculadora gráfica para encontrar a equação exponencial que inclui os pontos(3,75.98)(6,481.07) e.

Responda

y121.85x

Aplicação da fórmula de juros compostos

Os instrumentos de poupança nos quais os lucros são continuamente reinvestidos, como fundos mútuos e contas de aposentadoria, usam juros compostos. O termo composição se refere aos juros auferidos não apenas sobre o valor original, mas sobre o valor acumulado da conta.

A taxa percentual anual (APR) de uma conta, também chamada de taxa nominal, é a taxa de juros anual obtida por uma conta de investimento. O termo nominal é usado quando a composição ocorre várias vezes, exceto uma vez por ano. Na verdade, quando os juros são compostos mais de uma vez por ano, a taxa de juros efetiva acaba sendo maior que a taxa nominal! Essa é uma ferramenta poderosa para investir.

Podemos calcular os juros compostos usando a fórmula de juros compostos, que é uma função exponencial das variáveis tempotPAPRr, principal e número de períodos compostos em um anon:

A(t)=P(1+rn)nt

Por exemplo, observe a Tabela4.1.4, que mostra o resultado do investimento$1,000 em10% um ano. Observe como o valor da conta aumenta à medida que a frequência de composição aumenta.

Tabela4.1.4
Frequência Valor após o1 ano
Anualmente \ (1\) ano">$1100
Semestralmente \ (1\) ano">$1102.50
Trimestral \ (1\) ano">$1103.81
Mensalmente \ (1\) ano">$1104.71
Diariamente \ (1\) ano">$1105.16
Definição: Juros compostos

Os juros compostos podem ser calculados usando a fórmula

A(t)=P(1+rn)nt

onde

  • A(t)é o valor da conta,
  • té medido em anos,
  • Pé o valor inicial da conta, geralmente chamado de principal, ou, mais geralmente, valor presente,
  • ré a taxa anual percentual (APR) expressa como decimal, e
  • né o número de períodos de composição em um ano.
Exemplo4.1.8: Calculating Compound Interest

Se investirmos$3,000 em uma conta de investimento pagando3% juros compostos trimestralmente, quanto valerá a conta em10 anos?

Solução

Porque estamos começando com$3,000,P=3000. Nossa taxa de juros é3%, entãor=0.03. Como estamos compondo trimestralmente, estamos compondo4 vezes por ano, entãon=4. Queremos saber o valor da conta em10 anos, então estamos procurandoA(10), o valor quandot=10.

A(t)=P(1+rn)ntUse the compound interest formulaA(10)=3000(1+0.034)(4)(10)Substitute using given values$4045.05Round to two decimal places

A conta valerá cerca$4,045.05 de10 anos.

Exercício4.1.8

Um investimento inicial$100,000 de12% juros é composto semanalmente (use52 semanas em um ano). Quanto valerá o investimento em30 anos?

Responda

sobre$3,644,675.88

Exemplo4.1.9: Using the Compound Interest Formula to Solve for the Principal

O Plano 529 é um plano de poupança universitária que permite que parentes invistam dinheiro para pagar as futuras mensalidades universitárias de uma criança; a conta cresce isenta de impostos. Lily quer abrir uma conta 529 para sua nova neta e quer que a conta cresça ao$40,000 longo dos18 anos. Ela acredita que a conta ganhará um valor6% composto semestralmente (duas vezes por ano). Até o dólar mais próximo, quanto Lily precisará investir na conta agora?

Solução

A taxa de juros nominal é6%, entãor=0.06. Os juros são compostos duas vezes por ano, entãok=2.

Queremos encontrar o investimento inicialP, necessário para que o valor da conta valha$40,000 em18 anos. Substitua os valores fornecidos na fórmula de juros compostos e resolvaP.

A(t)=P(1+rn)ntUse the compound interest formula40,000=P(1+0.062)2(18)Substitute using given values A,r,n,t40,000=P(1.03)36Simplify40,000(1.03)36=PIsolate PP$13,801Divide and round to the nearest dollar

Lily precisará investir$13,801 para ter$40,000 em18 anos.

Exercício4.1.9

Consulte o exemplo4.1.9. Até o dólar mais próximo, quanto Lily precisaria investir se a conta fosse composta trimestralmente?

Responda

$13,693

Avaliando funções com o Basee

Como vimos anteriormente, o valor ganho em uma conta aumenta à medida que a frequência de composição aumenta. A tabela4.1.5 mostra que o aumento da composição anual para a semestral é maior do que o aumento da composição mensal para a diária. Isso pode nos levar a perguntar se esse padrão continuará.

Examine o valor do$1 investimento em100% juros por1 ano, composto em várias frequências, listado na Tabela4.1.5.

Tabela4.1.5
Frequência A(t)=(1+1n)n Valor
Anualmente \ (A (t) = {\ left (1+\ dfrac {1} {n}\ right)} ^n\)” style="alinhamento vertical: meio; ">(1+11)1 $2
Semestralmente \ (A (t) = {\ left (1+\ dfrac {1} {n}\ right)} ^n\)” style="alinhamento vertical: meio; ">(1+12)2 $2.25
Trimestral \ (A (t) = {\ left (1+\ dfrac {1} {n}\ right)} ^n\)” style="alinhamento vertical: meio; ">(1+14)4 $2.441406
Mensalmente \ (A (t) = {\ left (1+\ dfrac {1} {n}\ right)} ^n\)” style="alinhamento vertical: meio; ">(1+112)12 $2.613035
Diariamente \ (A (t) = {\ left (1+\ dfrac {1} {n}\ right)} ^n\)” style="alinhamento vertical: meio; ">(1+1365)365 $2.714567
A cada hora \ (A (t) = {\ left (1+\ dfrac {1} {n}\ right)} ^n\)” style="alinhamento vertical: meio; ">(1+18760)8760 $2.718127
Uma vez por minuto \ (A (t) = {\ left (1+\ dfrac {1} {n}\ right)} ^n\)” style="alinhamento vertical: meio; ">(1+1525600)525600 $2.718279
Uma vez por segundo \ (A (t) = {\ left (1+\ dfrac {1} {n}\ right)} ^n\)” style="alinhamento vertical: meio; ">(1+131536000)31536000 $2.718282

Esses valores parecem estar se aproximando de um limite à medida quen aumentam sem limite. Na verdade, à medidan que se torna cada vez maior, a expressão(1+1n)n se aproxima de um número usado com tanta frequência em matemática que tem seu próprio nome: a letrae. Esse valor é um número irracional, o que significa que sua expansão decimal continua para sempre sem se repetir. Sua aproximação com seis casas decimais é mostrada abaixo.

Definição: O número e

A letrae representa o número irracional

(1+1n)n

à medida quen aumenta sem limite

A letrae é usada como base para muitos modelos exponenciais do mundo real. Para trabalhar com basee, usamos a aproximação,e2.718282. A constante foi nomeada pelo matemático suíço Leonhard Euler (1707—1783), que primeiro investigou e descobriu muitas de suas propriedades.

Exemplo4.1.10: Using a Calculator to Find Powers of e

Calculee3.14. Arredonde para cinco casas decimais.

Solução

Em uma calculadora, pressione o botão rotulado[ex]. A janela mostra[e(]. Digite3.14 e feche o parêntese,[)]. Pressione [ENTER]. Arredondando para5 casas decimais,e3.1423.10387. Cuidado: muitas calculadoras científicas têm um botão “Exp”, que é usado para inserir números em notação científica. Não é usado para encontrar poderes dee.

Exercício4.1.10

Use uma calculadora para encontrare0.5. Arredonde para cinco casas decimais.

Responda

e0.50.60653

Investigando o crescimento contínuo

Até agora, trabalhamos com bases racionais para funções exponenciais. Para a maioria dos fenômenos do mundo real, entretanto,e é usado como base para funções exponenciais. Os modelos exponenciais que usame como base são chamados de modelos contínuos de crescimento ou decaimento. Vemos esses modelos em finanças, ciência da computação e na maioria das ciências, como física, toxicologia e dinâmica de fluidos.

Definição: A fórmula contínua de crescimento/decaimento

Para todos os númerost reais e todos os números positivosa er, o crescimento ou declínio contínuo é representado pela fórmula

A(t)=aert

onde

  • aé o valor inicial,
  • ré a taxa de crescimento contínuo por unidade de tempo,
  • té o tempo decorrido.

Ser>0 sim, então a fórmula representa crescimento contínuo. Ser<0, então a fórmula representa decaimento contínuo.

Para aplicativos de negócios, a fórmula de crescimento contínuo é chamada de fórmula de composição contínua e assume a forma

A(t)=Pert

onde

  • Pé o principal ou o investido inicial,
  • ré o crescimento ou a taxa de juros por unidade de tempo,
  • té o período ou prazo do investimento.
Como: Dado o valor inicial, a taxa de crescimento ou decadência e o tempot, solve a continuous growth or decay function
  1. Use as informações do problema para determinara o valor inicial da função.
  2. Use as informações do problema para determinar a taxa de crescimentor.
    • Se o problema se refere ao crescimento contínuo, entãor>0.
    • Se o problema se referir à deterioração contínua, entãor<0.
  3. Use as informações do problema para determinar a horat.
  4. Substitua as informações fornecidas pela fórmula de crescimento contínuo e resolvaA(t).
Exemplo4.1.11: Calculating Continuous Growth

Uma pessoa investiu$1,000 em uma conta ganhando um valor nominal10% por ano composto continuamente. Quanto estava na conta no final de um ano?

Solução

Como o valor da conta está crescendo, esse é um problema contínuo de agravamento da taxa de crescimentor=0.10. O investimento inicial foi$1,000, entãoP=1000. Usamos a fórmula de composição contínua para encontrar o valor após ot=1 ano:

A(t)=PertUse the continuous compounding formula=1000(e)0.1Substitute known values for P,r,t1105.17Use a calculator to approximate

A conta vale$1,105.17 depois de um ano.

Exercício4.1.11

Uma pessoa investe$100,000 com12% juros nominais por ano compostos continuamente. Qual será o valor do investimento em30 anos?

Responda

$3,659,823.44

Exemplo4.1.12: Calculating Continuous Decay

Radon222decai a uma taxa contínua de17.3% por dia. Quanto tempo durará100mg aRadon222 decadência em3 dias?

Solução

Como a substância está em decomposição, a taxa,17.3%, é negativa. Então,r=0.173. A quantidade inicial deRadon222 foi de100 mg, entãoa=100. Usamos a fórmula de decaimento contínuo para encontrar o valor apóst=3 dias:

A(t)=aertUse the continuous growth formula=100e60.173(3)Substitute known values for a,r,t59.5115Use a calculator to approximate

Então,59.5115 meu filhoRadon222 permanecerá.

Exercício4.1.12

Usando os dados em Example4.1.12, quantoRadon222 restará após um ano?

Responda

3.77E26(Esta é a notação da calculadora para o número escrito como3.77×1026 na notação científica. Embora a saída de uma função exponencial nunca seja zero, esse número é tão próximo de zero que, para todos os propósitos práticos, podemos aceitar zero como resposta.)

Mídia

Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com funções exponenciais.

  • Função de crescimento exponencial
  • Juros compostos

Equações-chave

definição da função exponencial f(x)=bx, ondeb>0,b1
definição de crescimento exponencial f(x)=abx, ondea>0b>0,b1
fórmula de juros compostos

A(t)=P(1+rn)nt,

ondeA(t) está o valor da conta no momentot

té o número de anos

Pé o investimento inicial, muitas vezes chamado de principal

ré a taxa percentual anual (APR), ou taxa nominal

né o número de períodos de composição em um ano

fórmula de crescimento contínuo A(t)=aert, ondet é o número de períodos unitários de crescimentoa é a quantidade inicial (na fórmula de composição contínua, a é substituída porP, o principal)e é a constante matemática,e2.718282

Conceitos-chave

  • Uma função exponencial é definida como uma função com uma constante positiva diferente de1 elevada a um expoente variável. Veja o exemplo.
  • Uma função é avaliada resolvendo em um valor específico. Veja o exemplo e o exemplo.
  • Um modelo exponencial pode ser encontrado quando a taxa de crescimento e o valor inicial são conhecidos. Veja o exemplo.
  • Um modelo exponencial pode ser encontrado quando os dois pontos de dados do modelo são conhecidos. Veja o exemplo.
  • Um modelo exponencial pode ser encontrado usando dois pontos de dados do gráfico do modelo. Veja o exemplo.
  • Um modelo exponencial pode ser encontrado usando dois pontos de dados do gráfico e uma calculadora. Veja o exemplo.
  • O valor de uma conta a qualquer momentot pode ser calculado usando a fórmula de juros compostos quando o principal, a taxa de juros anual e os períodos compostos são conhecidos. Veja o exemplo.
  • O investimento inicial de uma conta pode ser encontrado usando a fórmula de juros compostos quando o valor da conta, a taxa de juros anual, os períodos compostos e a vida útil da conta são conhecidos. Veja o exemplo.
  • O númeroe é uma constante matemática frequentemente usada como base dos modelos de crescimento e decaimento exponenciais do mundo real. Sua aproximação decimal ée2.718282.
  • As calculadoras científicas e gráficas têm a chave[ex] ou[exp(x)] para calcular os poderes dee. Veja o exemplo.
  • Modelos contínuos de crescimento ou decaimento são modelos exponenciais que usame como base. Modelos contínuos de crescimento e decaimento podem ser encontrados quando o valor inicial e a taxa de crescimento ou decaimento são conhecidos. Veja o exemplo e o exemplo.