Loading [MathJax]/extensions/TeX/mathchoice.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

4.3: Funções logarítmicas

Objetivos de
  • Converta da forma logarítmica para exponencial.
  • Converta da forma exponencial para a forma logarítmica.
  • Avalie logaritmos.
  • Use logaritmos comuns.
  • Use logaritmos naturais.

Em 2010, um grande terremoto atingiu o Haiti, destruindo ou danificando mais de 285.000 casas. Um ano depois, outro terremoto mais forte devastou Honshu, Japão, destruindo ou danificando mais de 332.000 edifícios, como os mostrados na Figura4.3.1. Embora ambos tenham causado danos substanciais, o terremoto de 2011 foi 100 vezes mais forte do que o terremoto no Haiti. Como sabemos? As magnitudes dos terremotos são medidas em uma escala conhecida como Escala Richter. O terremoto haitiano registrou 7,0 na escala Richter, enquanto o terremoto japonês registrou 9,0.

Foto das consequências do terremoto no Japão com foco na bandeira japonesa.

Figura4.3.1: Devastação do terremoto de 11 de março de 2011 em Honshu, Japão. (crédito: Daniel Pierce).

A Escala Richter é uma escala logarítmica de base dez. Em outras palavras, um terremoto de magnitude não8 é duas vezes maior que um terremoto de magnitude4. É

1084=104=10,000

vezes tão boas! Nesta lição, investigaremos a natureza da Escala Richter e a função de base dez da qual ela depende.

Conversão da forma logarítmica para exponencial

Para analisar a magnitude dos terremotos ou comparar as magnitudes de dois terremotos diferentes, precisamos ser capazes de converter entre a forma logarítmica e exponencial. Por exemplo, suponha que a quantidade de energia liberada de um terremoto seja 500 vezes maior do que a quantidade de energia liberada de outro. Queremos calcular a diferença de magnitude. A equação que representa esse problema é10x=500, ondex representa a diferença de magnitudes na Escala Richter. Como resolveríamos issox?

Ainda não aprendemos um método para resolver equações exponenciais. Nenhuma das ferramentas algébricas discutidas até agora é suficiente para resolver10x=500. Sabemos disso102=100 e103=1000, portanto, está claro quex deve haver algum valor entre 2 e 3, poisy=10x está aumentando. Podemos examinar um gráfico, como na Figura4.3.1, para estimar melhor a solução.

Gráfico das interseções das equações y=10^x e y=500.

Figura4.3.2

A estimativa a partir de um gráfico, no entanto, é imprecisa. Para encontrar uma solução algébrica, devemos introduzir uma nova função. Observe que o gráfico na Figura4.3.2 passa no teste da linha horizontal. A função exponencialy=bx é de um para um, então seu inverso tambémx=by é uma função. Como é o caso de todas as funções inversas, simplesmente trocamosxy e resolvemosy para encontrar a função inversa. Para representary como uma função dex, usamos uma função logarítmica do formulárioy=logb(x). Ob logaritmo base de um número é o expoente pelo qual devemos aumentarb para obter esse número.

Lemos uma expressão logarítmica como: “O logaritmo com baseb dex é igual a” ouy, simplificado, “logarítmicob dex é”y. Também podemos dizer “belevado à potência dey é”x, porque os registros são expoentes. Por exemplo, o2 logaritmo base de32 é5, porque5 é o expoente ao qual devemos aplicar2 para obter32. Desde então25=32, podemos escreverlog232=5. Lemos isso como “base2 logarítmica de32 is”5.

Podemos expressar a relação entre a forma logarítmica e sua forma exponencial correspondente da seguinte forma:

logb(x)=yby=x,b>0,b1

Note que a baseb é sempre positiva.

registrar xx.jpg

Como o logaritmo é uma função, ele é escrito corretamente comologb(x), usando parênteses para denotar a avaliação da função, assim como faríamos comf(x). No entanto, quando a entrada é uma única variável ou número, é comum ver os parênteses eliminados e a expressão escrita sem parênteses, comologbx. Observe que muitas calculadoras exigem parênteses ao redor dox.

Podemos ilustrar a notação dos logaritmos da seguinte forma:

Observe que, comparando a função logarítmica e a função exponencial, a entrada e a saída são comutadas. Isso significay=logb(x) ey=bx são funções inversas.

DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

A base logarítmicab de um número positivox satisfaz a seguinte definição.

Parax>0,b>0,b1,

y=logb(x) is equivalent to by=x

onde,

  • lemoslogb(x) como “o logaritmo com baseb dex” ou a “base logarítmicab de”x.
  • o logaritmoy é o expoente ao qualb deve ser aumentado para obterx.

Além disso, como as funções logarítmica e exponencial alternamy os valoresx e, o domínio e o alcance da função exponencial são trocados pela função logarítmica. Portanto,

  • o domínio da função logarítmica com baseb é(0,).
  • o intervalo da função logarítmica com baseb é(,).
Perguntas e respostas: Podemos pegar o logaritmo de um número negativo?

Não. Como a base de uma função exponencial é sempre positiva, nenhuma potência dessa base pode ser negativa. Nunca podemos usar o logaritmo de um número negativo. Além disso, não podemos usar o logaritmo de zero. As calculadoras podem gerar um log de um número negativo no modo complexo, mas o log de um número negativo não é um número real.

Como: Dada uma equação na forma logarítmicalogb(x)=y, convert it to exponential form
  1. Examine a equaçãoy=logbx e identifiqueby,x e.
  2. Reescrevalogbx=y comoby=x.
Exemplo4.3.1: Converting from Logarithmic Form to Exponential Form​​​​​​

Escreva as seguintes equações logarítmicas na forma exponencial.

  1. log6(6)=12
  2. log3(9)=2

Solução

Primeiro, identifique os valores deby,x e. Em seguida, escreva a equação no formulárioby=x.

  1. log6(6)=12

    Aquib=6,y=12,x=6 e. Portanto, a equaçãolog6(6)=12 é equivalente a

    612=6

  2. log3(9)=2

    Aquib=3,y=2,x=9 e. Portanto, a equaçãolog3(9)=2 é equivalente a

32=9

Exercício4.3.1

Escreva as seguintes equações logarítmicas na forma exponencial.

  1. log10(1,000,000)=6
  2. log5(25)=2
Responda a

log10(1,000,000)=6é equivalente a106=1,000,000

Resposta b

log5(25)=2é equivalente a52=25

Conversão da forma exponencial para a forma logarítmica

Para converter de expoentes em logaritmos, seguimos os mesmos passos ao contrário. Identificamos a baseb, o expoentex e a saíday. Em seguida, escrevemosx=logb(y).

Exemplo4.3.2: Converting from Exponential Form to Logarithmic Form

Escreva as seguintes equações exponenciais na forma logarítmica.

  1. 23=8
  2. 52=25
  3. 104=110,000

Solução

Primeiro, identifique os valores deby,x e. Em seguida, escreva a equação no formuláriox=logb(y).

  1. 23=8

    Aquib=2,x=3,y=8 e. Portanto, a equação23=8 é equivalentelog2(8)=3 a.

  2. 52=25

    Aquib=5,x=2,y=25 e. Portanto, a equação52=25 é equivalentelog5(25)=2 a.

  3. 104=110,000

    Aquib=10,x=4,y=110,000 e. Portanto, a equação104=110,000 é equivalentelog10(110,000)=4 a.

Exercício4.3.2

Escreva as seguintes equações exponenciais na forma logarítmica.

  1. 32=9
  2. 53=125
  3. 21=12
Responda a

32=9é equivalente alog3(9)=2

Resposta b

53=125é equivalente alog5(125)=3

Resposta c

21=12é equivalente alog2(12)=1

Cálculo de logaritmos

Conhecer os quadrados, cubos e raízes dos números nos permite avaliar muitos logaritmos mentalmente. Por exemplo, considerelog28. Perguntamos: “Para qual expoente deve2 ser elevado para obter 8?” Porque já sabemos23=8, segue issolog28=3.

Agora, considere resolverlog749 elog327 mentalmente.

  • Perguntamos: “Para qual expoente deve7 ser elevado para chegar49?” Nós sabemos72=49. Portanto,log749=2
  • Perguntamos: “Para qual expoente deve3 ser elevado para chegar27?” Nós sabemos33=27. Portanto,log327=3

Até mesmo alguns logaritmos aparentemente mais complicados podem ser avaliados sem uma calculadora. Por exemplo, vamos avaliar\log_{\ce{2/3}} \frac{4}{9} mentalmente.

  • Perguntamos: “Para qual expoente deve\ce{2/3} ser elevado para chegar\ce{4/9}? ” Nós sabemos2^2=4 e3^2=9,{\left(\dfrac{2}{3} \right )}^2=\dfrac{4}{9}. \nonumber portanto,{\log}_{\ce{2/3}} \left (\dfrac{4}{9} \right )=2. \nonumber
Como: Dado um logaritmo da formay={\log}_b(x),evaluate it mentally
  1. Reescreva o argumentox como um poder deb:b^y=x.
  2. Use o conhecimento prévio dos poderes deb identificaçãoy perguntando: “Para qual expoente deveb ser elevado para chegarx?”
Exemplo\PageIndex{3}: Solving Logarithms Mentally

Resolvay={\log}_4(64) sem usar uma calculadora.

Solução

Primeiro, reescrevemos o logaritmo na forma exponencial:4^y=64. Em seguida, perguntamos: “Para qual expoente deve4 ser elevado para chegar64?”

Nós sabemos

4^3=64

Portanto,

{\log}_4(64)=3

Exercício\PageIndex{3}

Resolvay={\log}_{121}(11) sem usar uma calculadora.

Responda

{\log}_{121}(11)=\dfrac{1}{2}(lembrando que\sqrt{121}={(121)}^{\tfrac{1}{2}}=11)

Exemplo\PageIndex{4}: Evaluating the Logarithm of a Reciprocal

Avaliey={\log}_3 \left (\dfrac{1}{27} \right ) sem usar uma calculadora.

Solução

Primeiro, reescrevemos o logaritmo na forma exponencial:3^y=\dfrac{1}{27}. Em seguida, perguntamos: “Para qual expoente deve3 ser elevado para chegar\dfrac{1}{27}?”

Nós sabemos3^3=27, mas o que devemos fazer para obter o recíproco,\dfrac{1}{27}? Lembre-se de trabalhar com expoentes queb^{−a}=\dfrac{1}{b^a}. Usamos essas informações para escrever

\begin{align*} 3^{-3}&= \dfrac{1}{3^3}\\ &= \dfrac{1}{27} \end{align*}

Portanto,{\log}_3 \left (\dfrac{1}{27} \right )=−3.

Exercício\PageIndex{4}

Avaliey={\log}_2 \left (\dfrac{1}{32} \right ) sem usar uma calculadora.

Responda

{\log}_2 \left (\dfrac{1}{32} \right )=−5

Usando logaritmos comuns

Às vezes, podemos ver um logaritmo escrito sem uma base. Nesse caso, assumimos que a base é10. Em outras palavras, a expressão\log(x) significa{\log}_{10}(x). Chamamos um-10 logaritmo base de logaritmo comum. Logaritmos comuns são usados para medir a Escala Richter mencionada no início da seção. As escalas para medir o brilho das estrelas e o pH dos ácidos e bases também usam logaritmos comuns.

DEFINIÇÃO DO LOGARITMO COMUM

Um logaritmo comum é um logaritmo com base10. Nós escrevemos{\log}_{10}(x) simplesmente como\log(x). O logaritmo comum de um número positivox satisfaz a seguinte definição.

Parax>0,

\begin{align} y={\log}(x)\text{ is equivalent to } {10}^y=x \end{align}

Lemos\log(x) como “o logaritmo com base10 dex” ou “logaritmo com base10 de”x.

O logaritmoy é o expoente ao qual10 deve ser aumentado para obterx.

Como: Dado um logaritmo comum do formulárioy=\log(x), evaluate it mentally
  1. Reescreva o argumentox como um poder de10:{10}^y=x.
  2. Use o conhecimento prévio dos poderes de10 para identificary perguntando: “Para qual expoente deve10 ser elevado para chegarx?”
Exemplo\PageIndex{5}: Finding the Value of a Common Logarithm Mentally

Avaliey=\log(1000) sem usar uma calculadora.

Solução

Primeiro, reescrevemos o logaritmo na forma exponencial:{10}^y=1000. Em seguida, perguntamos: “Para qual expoente deve10 ser elevado para chegar1000?” Nós sabemos

{10}^3=1000

Portanto,\log(1000)=3.

Exercício\PageIndex{5}

Avaliey=\log(1,000,000).

Responda

\log(1,000,000)=6

Como: Dado um logaritmo comum com o formulárioy=\log(x),evaluate it using a calculator
  1. Pressione [LOG].
  2. Insira o valor fornecido parax, seguido por [)].
  3. Pressione [ENTER].
Exemplo\PageIndex{6}: ​​​​​​Finding the Value of a Common Logarithm Using a Calculator

Avaliey=\log(321) até quatro casas decimais usando uma calculadora.

Solução

  • Pressione [LOG].
  • Insira 321, seguido por [)].
  • Pressione [ENTER].

Arredondando para quatro casas decimais,\log(321)≈2.5065.

Análise

Observe isso{10}^2=100 e aquilo{10}^3=1000. Uma vez que321 está entre100 e1000, sabemos que\log(321) deve ser entre\log(100)\log(1000) e. Isso nos dá o seguinte:

100<321<1000

2<2.5065<3

Exercício\PageIndex{6}

Avaliey=\log(123) até quatro casas decimais usando uma calculadora.

Responda

\log(123)≈2.0899

Exemplo\PageIndex{7}: Rewriting and Solving a Real-World Exponential Model

A quantidade de energia liberada de um terremoto foi500 vezes maior do que a quantidade de energia liberada de outro. A equação{10}^x=500 representa essa situação, ondex está a diferença de magnitudes na Escala Richter. Até o milésimo mais próximo, qual foi a diferença nas magnitudes?

Solução

Começamos reescrevendo a equação exponencial na forma logarítmica.

{10}^x=500

\log(500)=xUse a definição do registro comum.

Em seguida, avaliamos o logaritmo usando uma calculadora:

  • Pressione [LOG].
  • Digite500, seguido por [)].
  • Pressione [ENTER].
  • Até o milésimo mais próximo,\log(500)≈2.699.

A diferença nas magnitudes era de cerca de2.699.

Exercício\PageIndex{7}

A quantidade de energia liberada de um terremoto foi8,500 vezes maior do que a quantidade de energia liberada de outro. A equação{10}^x=8500 representa essa situação, ondex está a diferença de magnitudes na Escala Richter. Até o milésimo mais próximo, qual foi a diferença nas magnitudes?

Responda

A diferença nas magnitudes era de cerca de3.929.

Usando logaritmos naturais

A base usada com mais frequência para logaritmos ée. Ose logaritmos de base são importantes no cálculo e em algumas aplicações científicas; eles são chamados de logaritmos naturais. Oe logaritmo base{\log}_e(x),, tem sua própria notação,\ln(x). A maioria dos valores de só\ln(x) pode ser encontrada usando uma calculadora. A principal exceção é que, porque o logaritmo de1 está sempre0 em qualquer base,\ln1=0. Para outros logaritmos naturais, podemos usar a\ln chave que pode ser encontrada na maioria das calculadoras científicas. Também podemos encontrar o logaritmo natural de qualquer potência dee usar a propriedade inversa dos logaritmos.

DEFINIÇÃO DO LOGARITMO NATURAL

Um logaritmo natural é um logaritmo com basee. Nós escrevemos{\log}_e(x) simplesmente como\ln(x). O logaritmo natural de um número positivox satisfaz a seguinte definição.

Parax>0,

y=\ln(x)é equivalente ae^y=x

Lemos\ln(x) como “o logaritmo com basee dex” ou “o logaritmo natural de”x.

O logaritmoy é o expoente ao quale deve ser aumentado para obterx.

Uma vez que as funçõesy=e^x ey=\ln(x) são funções inversas,\ln(e^x)=x para todosx ee^{\ln (x)}=x parax>0.

Como: Dado um logaritmo natural com a formay=\ln(x), evaluate it using a calculator
  1. Pressione [LN].
  2. Insira o valor fornecido parax, seguido por [)].
  3. Pressione [ENTER].
Exemplo\PageIndex{8}: Evaluating a Natural Logarithm Using a Calculator

Avaliey=\ln(500) até quatro casas decimais usando uma calculadora.

Solução

  • Pressione [LN].
  • Digite500, seguido por [)].
  • Pressione [ENTER].

Arredondando para quatro casas decimais,\ln(500)≈6.2146

Exercício\PageIndex{8}

Avalie\ln(−500).

Responda

Não é possível obter o logaritmo de um número negativo no conjunto dos números reais.

Mídia

Acesse esse recurso on-line para obter instruções e práticas adicionais com logaritmos.

Equações-chave

Definição da função logarítmica Parax>0,b>0b≠1,y={\log}_b(x) se e somente seb^y=x.
Definição do logaritmo comum Parax>0,y=\log(x) se e somente se{10}^y=x.
Definição do logaritmo natural Parax>0,y=\ln(x) se e somente see^y=x.

Conceitos-chave

  • O inverso de uma função exponencial é uma função logarítmica e o inverso de uma função logarítmica é uma função exponencial.
  • As equações logarítmicas podem ser escritas em uma forma exponencial equivalente, usando a definição de um logaritmo. Veja o exemplo\PageIndex{1}.
  • As equações exponenciais podem ser escritas em sua forma logarítmica equivalente usando a definição de um logaritmo. Veja o exemplo\PageIndex{2}.
  • As funções logarítmicas com baseb podem ser avaliadas mentalmente usando o conhecimento prévio dos poderes deb. Veja o exemplo\PageIndex{3} e o exemplo\PageIndex{4}.
  • Os logaritmos comuns podem ser avaliados mentalmente usando o conhecimento prévio dos poderes de10. Veja o exemplo\PageIndex{5}.
  • Quando logaritmos comuns não podem ser avaliados mentalmente, uma calculadora pode ser usada. Veja o exemplo\PageIndex{6}.
  • Problemas exponenciais do mundo real com base10 podem ser reescritos como um logaritmo comum e depois avaliados usando uma calculadora. Veja o exemplo\PageIndex{7}.
  • Os logaritmos naturais podem ser avaliados usando um exemplo de calculadora\PageIndex{8}.

Contribuidores e atribuições