3.4: Gráficos de funções polinomiais

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Objetivos de

Reconheça as características dos gráficos de funções polinomiais.
Use a fatoração para encontrar zeros de funções polinomiais.
Identifique zeros e suas multiplicidades.
Determine o comportamento final.
Entenda a relação entre grau e pontos de inflexão.
Representar graficamente funções polinomiais.
Use o teorema do valor intermediário.

A receita em milhões de dólares para uma empresa de TV a cabo fictícia de 2006 a 2013 é mostrada na Tabela$\PageIndex{1}$.

Tabela$\PageIndex{1}$
Ano	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
Receitas	52,4	52,8	51.2	49,5	48,6	48,6	48,7	47,1

A receita pode ser modelada pela função polinomial

\[R(t)=−0.037t^4+1.414t^3−19.777t^2+118.696t−205.332\]

onde$R$ representa a receita em milhões de dólares e$t$ representa o ano, com$t=6$ correspondente a 2006. Em quais intervalos a receita da empresa está aumentando? Em quais intervalos a receita da empresa está diminuindo? Essas perguntas, junto com muitas outras, podem ser respondidas examinando o gráfico da função polinomial. Já exploramos o comportamento local das quadráticas, um caso especial de polinômios. Nesta seção, exploraremos o comportamento local dos polinômios em geral.

Reconhecendo características de gráficos de funções polinomiais

Funções polinomiais de grau 2 ou mais têm gráficos que não têm cantos nítidos; lembre-se de que esses tipos de gráficos são chamados de curvas suaves. As funções polinomiais também exibem gráficos sem quebras. Curvas sem quebras são chamadas de contínuas. $\PageIndex{1}$A figura mostra um gráfico que representa uma função polinomial e um gráfico que representa uma função que não é um polinômio.

Gráfico de f (x) =x^3-0,01x — Figura$\PageIndex{1}$: Gráfico de$f(x)=x^3-0.01x$.

Exemplo$\PageIndex{1}$: Recognizing Polynomial Functions

Qual dos gráficos na Figura$\PageIndex{2}$ representa uma função polinomial?

$Dois gráficos nos quais um tem uma função polinomial e o outro tem uma função muito parecida com um polinômio, mas não é. Dois gráficos nos quais um tem uma função polinomial e o outro tem uma função muito parecida com um polinômio, mas não é.$
Figura$\PageIndex{2}$

Solução

Os gráficos de$f$ e$h$ são gráficos de funções polinomiais. Eles são suaves e contínuos.
Os gráficos de$g$ e$k$ são gráficos de funções que não são polinômios. O gráfico da função$g$ tem um canto nítido. O gráfico da função não$k$ é contínuo.

PERGUNTAS E RESPOSTAS

Todas as funções polinomiais têm como domínio todos os números reais?

Sim. Qualquer número real é uma entrada válida para uma função polinomial.

Usando fatoração para encontrar zeros de funções polinomiais

Lembre-se de que se$f$ é uma função polinomial, cujos valores$x$ de$f(x)=0$ são chamados de zeros de$f$. Se a equação da função polinomial puder ser fatorada, podemos definir cada fator igual a zero e resolver os zeros.

Podemos usar esse método para encontrar interceptos x porque nos interceptos x encontramos os valores de entrada quando o valor de saída é zero. Para polinômios gerais, essa pode ser uma perspectiva desafiadora. Embora as quadráticas possam ser resolvidas usando a fórmula quadrática relativamente simples, as fórmulas correspondentes para polinômios cúbicos e de quarto grau não são simples o suficiente de lembrar e não existem fórmulas para polinômios gerais de grau superior. Consequentemente, nos limitaremos a três casos nesta seção:

O polinômio pode ser fatorado usando métodos conhecidos: maior fator comum e fatoração trinomial.
O polinômio é dado em forma fatorada.
A tecnologia é usada para determinar as interceptações.

Como fazer: Dada uma função polinomial$f$, find the x-intercepts by factoring

Conjunto$f(x)=0$.
Se a função polinomial não for fornecida na forma fatorada:
1. Considere quaisquer fatores monomiais comuns.
2. Fatore quaisquer binômios ou trinômios fatoráveis.
Defina cada fator igual a zero e resolva para encontrar os interceptos x.

Exemplo$\PageIndex{2}$: Finding the x-Intercepts of a Polynomial Function by Factoring

Encontre as interceptações x de$f(x)=x^6−3x^4+2x^2$.

Solução

Podemos tentar fatorar esse polinômio para encontrar soluções para$f(x)=0$.

\[\begin{align*} x^6−3x^4+2x^2&=0 & &\text{Factor out the greatest common factor.} \\ x^2(x^4−3x^2+2)&=0 & &\text{Factor the trinomial.} \\ x^2(x^2−1)(x^2−2)&=0 & &\text{Set each factor equal to zero.} \end{align*}\]

\[\begin{align*} x^2&=0 & & & (x^2−1)&=0 & & & (x^2−2)&=0 \\ x^2&=0 & &\text{ or } & x^2&=1 & &\text{ or } & x^2&=2 \\ x&=0 &&& x&={\pm}1 &&& x&={\pm}\sqrt{2} \end{align*}\].

Isso nos dá cinco interceptos x:$(0,0)$$(1,0)$,$(−1,0)$,$(\sqrt{2},0)$, e$(−\sqrt{2},0)$ (Figura$\PageIndex{3}$). Podemos ver que essa é uma função uniforme.

Exemplo$\PageIndex{3}$: Finding the x-Intercepts of a Polynomial Function by Factoring

Encontre as interceptações x de$f(x)=x^3−5x^2−x+5$.

Solução

Encontre soluções$f(x)=0$ por fatoração.

\[\begin{align*} x^3−5x^2−x+5&=0 &\text{Factor by grouping.} \\ x^2(x−5)−(x−5)&=0 &\text{Factor out the common factor.} \\ (x^2−1)(x−5)&=0 &\text{Factor the difference of squares.} \\ (x+1)(x−1)(x−5)&=0 &\text{Set each factor equal to zero.} \end{align*}\]

\[\begin{align*} x+1&=0 & &\text{or} & x−1&=0 & &\text{or} & x−5&=0 \\ x&=−1 &&& x&=1 &&& x&=5\end{align*}\]

Existem três interceptos x:$(−1,0)$$(1,0)$, e$(5,0)$ (Figura$\PageIndex{4}$).

Gráfico de f (x) =x^3-5x^2-x+5 com seus três interceptos (-1, 0), (1, 0) e (5, 0). — Figura$\PageIndex{4}$: Gráfico de$f(x)$.

Exemplo$\PageIndex{4}$: Finding the y- and x-Intercepts of a Polynomial in Factored Form

Encontre as interceptações y e x de$g(x)=(x−2)^2(2x+3)$.

Solução

O intercepto y pode ser encontrado avaliando$g(0)$.

\[\begin{align*} g(0)&=(0−2)^2(2(0)+3) \\ &=12 \end{align*}\]

Então, o intercepto y é$(0,12)$.

Os interceptos x podem ser encontrados resolvendo$g(x)=0$.

\[(x−2)^2(2x+3)=0\]

\[\begin{align*} (x−2)^2&=0 & & & (2x+3)&=0 \\ x−2&=0 & &\text{or} & x&=−\dfrac{3}{2} \\ x&=2 \end{align*}\]

Portanto, os interceptos x são$(2,0)$$\left(−\dfrac{3}{2},0\right)$ e.

Análise

Sempre podemos verificar se nossas respostas são razoáveis usando uma calculadora gráfica para representar graficamente o polinômio, conforme mostrado na Figura$\PageIndex{5}$.

Gráfico de g (x) = (x-2) ^2 (2x+3) com seus dois interceptos x (2, 0) e (-3/2, 0) e seu intercepto y (0, 12). — Figura$\PageIndex{5}$: Gráfico de$g(x)$.

Exemplo$\PageIndex{5}$: Finding the x-Intercepts of a Polynomial Function Using a Graph

Encontre as interceptações x de$h(x)=x^3+4x^2+x−6$.

Solução

Esse polinômio não está na forma fatorada, não tem fatores comuns e não parece ser fatorável usando técnicas discutidas anteriormente. Felizmente, podemos usar a tecnologia para encontrar as interceptações. Lembre-se de que alguns valores dificultam a criação de gráficos manualmente. Nesses casos, podemos aproveitar os utilitários gráficos.

Observando o gráfico dessa função, conforme mostrado na Figura$\PageIndex{6}$, parece que há interceptos x em$x=−3,−2, \text{ and }1$.

Gráfico de h (x) =x^3+4x^2+x-6. — Figura$\PageIndex{6}$: Gráfico de$h(x)$.

Podemos verificar se eles estão corretos substituindo esses valores$x$ e verificando se
\[h(−3)=h(−2)=h(1)=0. \nonumber\]

Desde então$h(x)=x^3+4x^2+x−6$, temos:

\[ \begin{align*} h(−3)&=(−3)^3+4(−3)^2+(−3)−6=−27+36−3−6=0 \\[4pt] h(−2) &=(−2)^3+4(−2)^2+(−2)−6 =−8+16−2−6=0 \\[4pt] h(1)&=(1)^3+4(1)^2+(1)−6=1+4+1−6=0 \end{align*}\]

Cada intercepto x corresponde a um zero da função polinomial e cada zero produz um fator, então agora podemos escrever o polinômio na forma fatorada.

\[\begin{align*} h(x)&=x^3+4x^2+x−6 \\ &=(x+3)(x+2)(x−1) \end{align*}\]

Exercício$\PageIndex{1}$

Encontre os interceptos y e x da função$f(x)=x^4−19x^2+30x$.

Responda

intercepto y$(0,0)$;
interceptações x$(0,0)$$(–5,0)$,$(2,0)$, e$(3,0)$

Identificando zeros e suas multiplicidades

Os gráficos se comportam de forma diferente em vários interceptos x. Às vezes, o gráfico cruzará o eixo horizontal em uma interceptação. Outras vezes, o gráfico tocará o eixo horizontal e saltará. Suponha, por exemplo, que representemos graficamente a função

\[f(x)=(x+3)(x−2)^2(x+1)^3.\]

Observe na Figura$\PageIndex{7}$ que o comportamento da função em cada um dos interceptos x é diferente.

O intercepto x −3 é a solução da equação$(x+3)=0$. O gráfico passa diretamente pelo intercepto x em$x=−3$. O fator é linear (tem um grau de 1), então o comportamento próximo ao intercepto é semelhante ao de uma linha — ele passa diretamente pelo intercepto. Chamamos isso de zero único porque o zero corresponde a um único fator da função.

O intercepto x 2 é a solução repetida da equação$(x−2)^2=0$. O gráfico toca o eixo na interceptação e muda de direção. O fator é quadrático (grau 2), então o comportamento próximo ao intercepto é semelhante ao de um quadrático — ele salta do eixo horizontal na interceptação.

\[(x−2)^2=(x−2)(x−2)\]

O fator se repete, ou seja, o fator$(x−2)$ aparece duas vezes. O número de vezes que um determinado fator aparece na forma fatorada da equação de um polinômio é chamado de multiplicidade. O zero associado a esse fator,$x=2$, tem multiplicidade 2 porque o fator$(x−2)$ ocorre duas vezes.

O intercepto x −1 é a solução repetida do fator$(x+1)^3=0$. O gráfico passa pelo eixo na interceptação, mas se achata um pouco primeiro. Esse fator é cúbico (grau 3), então o comportamento próximo ao intercepto é semelhante ao de um cúbico, com a mesma forma de S perto da interceptação da função do kit de ferramentas$f(x)=x^3$. Chamamos isso de zero triplo ou zero com multiplicidade 3.

Para zeros com multiplicidades pares, os gráficos tocam ou são tangentes ao eixo x. Para zeros com multiplicidades ímpares, os gráficos cruzam ou cruzam o eixo x. Veja a Figura$\PageIndex{8}$ para exemplos de gráficos de funções polinomiais com multiplicidade 1, 2 e 3.

Figura$\PageIndex{8}$: Três gráficos mostrando três funções polinomiais diferentes com multiplicidade 1, 2 e 3.

Para potências pares mais altas, como 4, 6 e 8, o gráfico ainda tocará e saltará no eixo horizontal, mas, para cada potência uniforme crescente, o gráfico parecerá mais plano à medida que se aproxima e sai do eixo x.

Para potências ímpares mais altas, como 5, 7 e 9, o gráfico ainda cruzará o eixo horizontal, mas para cada potência ímpar crescente, o gráfico parecerá mais plano à medida que se aproxima e sai do eixo x.

Comportamento gráfico de polinômios em interceptos X

Se um polinômio contém um fator da forma$(x−h)^p$, o comportamento próximo ao intercepto x é determinado pela potência$p$. Dizemos que$x=h$ é zero de multiplicidade$p$.

O gráfico de uma função polinomial tocará o eixo x em zeros com multiplicidades pares. O gráfico cruzará o eixo x em zeros com multiplicidades ímpares.

A soma das multiplicidades é o grau da função polinomial.

COMO FAZER: Dado um gráfico de uma função polinomial de grau$n$, identify the zeros and their multiplicities

Se o gráfico cruza o eixo x e parece quase linear na interceptação, é um único zero.
Se o gráfico toca o eixo x e salta para fora do eixo, é um zero com multiplicidade par.
Se o gráfico cruza o eixo x em zero, é um zero com multiplicidade ímpar.
A soma das multiplicidades é$n$.

Exemplo$\PageIndex{6}$: Identifying Zeros and Their Multiplicities

Use o gráfico da função do grau 6 na Figura$\PageIndex{9}$ para identificar os zeros da função e suas possíveis multiplicidades.

Gráfico de um polinômio de grau par com grau 6. — Figura$\PageIndex{9}$: Gráfico de uma função polinomial com grau 5.

Solução

A função polinomial é de grau$n$. A soma das multiplicidades deve ser$n$.

Começando pela esquerda, o primeiro zero ocorre em$x=−3$. O gráfico toca o eixo x, então a multiplicidade do zero deve ser par. O zero de −3 tem multiplicidade 2.

O próximo zero ocorre em$x=−1$. O gráfico parece quase linear neste ponto. Este é um único zero de multiplicidade 1.

O último zero ocorre em$x=4$ .O gráfico cruza o eixo x, então a multiplicidade do zero deve ser ímpar. Sabemos que a multiplicidade é provavelmente 3 e que a soma das multiplicidades é provavelmente 6.

Exercício$\PageIndex{2}$

Use o gráfico da função do grau 5 na Figura$\PageIndex{10}$ para identificar os zeros da função e suas multiplicidades.

$Gráfico de uma função polinomial com grau 5.$

Figura$\PageIndex{10}$: Gráfico de uma função polinomial com grau 5.

Responda: O gráfico tem um zero de —5 com multiplicidade 1, zero de —1 com multiplicidade 2 e zero de 3 com multiplicidade par.

Determinando o comportamento final

Como já aprendemos, o comportamento de um gráfico de uma função polinomial da forma

\[f(x)=a_nx^n+a_{n−1}x^{n−1}+...+a_1x+a_0\]

acabará por subir ou cair à medida que$x$ aumenta sem limite e aumentará ou diminuirá à medida que$x$ diminui sem limite. Isso ocorre porque para entradas muito grandes, digamos 100 ou 1.000, o termo principal domina o tamanho da saída. O mesmo vale para entradas muito pequenas, digamos —100 ou —1.000.

Lembre-se de que chamamos esse comportamento de comportamento final de uma função. Como apontamos ao discutir equações quadráticas, quando o termo principal de uma função polinomial,$a_nx^n$, é uma função de potência par, pois$x$ aumenta ou diminui sem limite,$f(x)$ aumenta sem limite. Quando o termo principal é uma função de potência ímpar, à medida que$x$ diminui sem limite,$f(x)$ também diminui sem limite; à medida que$x$ aumenta sem limite,$f(x)$ também aumenta sem limite. Se o termo principal for negativo, ele mudará a direção do comportamento final. A figura$\PageIndex{11}$ resume todos os quatro casos.

Tabela mostrando o comportamento final de polinômios pares e ímpares com coeficientes positivos e negativos — Figura$\PageIndex{11}$.

Compreendendo a relação entre grau e pontos de inflexão

Além do comportamento final, lembre-se de que podemos analisar o comportamento local de uma função polinomial. Pode ter um ponto de viragem em que o gráfico muda de aumentar para diminuir (subir para cair) ou de diminuir para aumentar (cair para subir). Veja o gráfico da função polinomial$f(x)=x^4−x^3−4x^2+4x$ na Figura$\PageIndex{12}$. O gráfico tem três pontos de inflexão.

Gráfico de f (x) =x^4-x^3-4x^2+4x que indica onde a função aumenta e diminui e seus pontos de inflexão. — Figura$\PageIndex{12}$: Gráfico de$f(x)=x^4-x^3-4x^2+4x$

Essa função$f$ é uma função polinomial de 4º grau e tem 3 pontos de inflexão. O número máximo de pontos de inflexão de uma função polinomial é sempre um a menos que o grau da função.

Definição: Interpretando pontos de inflexão

Um ponto de viragem é um ponto do gráfico em que o gráfico muda de aumentar para diminuir (subir para cair) ou de diminuir para aumentar (cair para subir). Um polinômio de grau$n$ terá no máximo pontos de$n−1$ inflexão.

Exemplo$\PageIndex{7}$: Finding the Maximum Number of Turning Points Using the Degree of a Polynomial Function

Encontre o número máximo de pontos de inflexão de cada função polinomial.

$f(x)=−x^3+4x^5−3x^2+1$
$f(x)=−(x−1)^2(1+2x^2)$

Solução

uma.$f(x)=−x^3+4x^5−3x^2+1$

Primeiro, reescreva a função polinomial em ordem decrescente:$f(x)=4x^5−x^3−3x^2+1$

Identifique o grau da função polinomial. Essa função polinomial é de grau 5.

O número máximo de pontos de inflexão é$5−1=4$.

b.$f(x)=−(x−1)^2(1+2x^2)$

Primeiro, identifique o termo principal da função polinomial se a função fosse expandida.

$imageedit_33_3540887475.png$

Em seguida, identifique o grau da função polinomial. Essa função polinomial é de grau 4.

O número máximo de pontos de inflexão é$4−1=3$.

Representação gráfica de funções polinomiais

Podemos usar o que aprendemos sobre multiplicidades, comportamento final e pontos de inflexão para esboçar gráficos de funções polinomiais. Vamos juntar tudo isso e examinar as etapas necessárias para representar graficamente funções polinomiais.

Como fazer: Dada uma função polinomial, esboce o gráfico

Encontre as interceptações.
Verifique a simetria. Se a função for uma função par, seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y, ou seja,$f(−x)=f(x)$. Se uma função for ímpar, seu gráfico é simétrico em relação à origem, ou seja,$f(−x)=−f(x)$.
Use as multiplicidades dos zeros para determinar o comportamento do polinômio nos interceptos x.
Determine o comportamento final examinando o termo principal.
Use o comportamento final e o comportamento nas interceptações para esboçar um gráfico.
Certifique-se de que o número de pontos de inflexão não exceda um a menos que o grau do polinômio.
Opcionalmente, use a tecnologia para verificar o gráfico.

Exemplo$\PageIndex{8}$: Sketching the Graph of a Polynomial Function

Esboce um gráfico de$f(x)=−2(x+3)^2(x−5)$.

Solução

Este gráfico tem dois interceptos x. Em$x=−3$, o fator é quadrado, indicando uma multiplicidade de 2. O gráfico saltará nesse intercepto x. Em$x=5$, a função tem uma multiplicidade de um, indicando que o gráfico cruzará o eixo nessa interceptação.

O intercepto y é encontrado avaliando$f(0)$.

\[\begin{align*} f(0)&=−2(0+3)^2(0−5) \\ &=−2⋅9⋅(−5) \\ &=90 \end{align*}\]

O intercepto y é$(0,90)$.

Além disso, podemos ver que o termo principal, se esse polinômio fosse multiplicado, seria$−2x3$, então o comportamento final é o de um cúbico refletido verticalmente, com as saídas diminuindo à medida que as entradas se aproximam do infinito e as saídas aumentando à medida que as entradas se aproximam do infinito negativo. Veja a Figura$\PageIndex{13}$.

Figura$\PageIndex{13}$: Mostrando a distribuição do termo principal.

Para esboçar isso, consideramos que:

Como$x{\rightarrow}−{\infty}$ função$f(x){\rightarrow}{\infty}$, sabemos que o gráfico começa no segundo quadrante e está diminuindo em direção ao eixo x.
Como não$f(−x)=−2(−x+3)^2(−x–5)$ é igual a$f(x)$, o gráfico não exibe simetria.
Em$(−3,0)$, o gráfico salta do eixo x, então a função deve começar a aumentar.
Em$(0,90)$, o gráfico cruza o eixo y no intercepto y. Veja a Figura$\PageIndex{14}$.

Gráfico do comportamento final e das interceptações, (-3, 0) e (0, 90), para a função f (x) =-2 (x+3) ^2 (x-5). — Figura$\PageIndex{14}$: Gráfico do comportamento final e das interceptações,$(-3, 0)$ e$(0, 90)$, para a função$f(x)=-2(x+3)^2(x-5)$.

Em algum lugar depois desse ponto, o gráfico deve voltar para baixo ou começar a diminuir em direção ao eixo horizontal porque o gráfico passa pela próxima interceptação em$(5,0)$. Veja a Figura$\PageIndex{15}$.

Gráfico do comportamento final e dos interceptos, (-3, 0), (0, 90) e (5, 0), para a função f (x) =-2 (x+3) ^2 (x-5). — Figura$\PageIndex{15}$: Gráfico do comportamento final e das interceptações$(-3, 0)$,$(0, 90)$ e$(5, 0)$, para a função$f(x)=-2(x+3)^2(x-5)$.

Como$x{\rightarrow}{\infty}$ função$f(x){\rightarrow}−{\infty}$,

então sabemos que o gráfico continua diminuindo e podemos parar de desenhar o gráfico no quarto quadrante.

Usando a tecnologia, podemos criar o gráfico para a função polinomial, mostrada na Figura$\PageIndex{16}$, e verificar se o gráfico resultante se parece com o nosso esboço na Figura$\PageIndex{15}$.

$O gráfico completo da função polinomial f (x) =−2 (x+3) ^2 (x−5)$
Figura$\PageIndex{16}$: O gráfico completo da função polinomial$f(x)=−2(x+3)^2(x−5)$.

Exercício$\PageIndex{8}$

Esboce um gráfico de$f(x)=\dfrac{1}{4}x(x−1)^4(x+3)^3$.

Responda: $alt$
Figura$\PageIndex{17}$: Gráfico de$f(x)=\frac{1}{4}x(x−1)^4(x+3)^3$

Usando o teorema do valor intermediário

Em algumas situações, podemos conhecer dois pontos em um gráfico, mas não os zeros. Se esses dois pontos estiverem em lados opostos do eixo x, podemos confirmar que há um zero entre eles. Considere uma função polinomial$f$ cujo gráfico é suave e contínuo. O Teorema do Valor Intermediário afirma que, para dois números$a$ e$b$ no domínio de$f$$f(a){\neq}f(b)$, se$a<b$ e, a função$f$ assume todos os valores entre$f(a)$$f(b)$ e. Podemos aplicar esse teorema a um caso especial que é útil na representação gráfica de funções polinomiais. Se um ponto no gráfico de uma função contínua$f$ em$x=a$ estiver acima do eixo x e outro ponto estiver$x=b$ abaixo do eixo x, deve existir um terceiro ponto entre$x=a$ e$x=b$ onde o gráfico cruza o eixo x. Chame este ponto$(c,f(c))$. Isso significa que temos certeza de que há uma solução$c$ onde$f(c)=0$.

Em outras palavras, o Teorema do Valor Intermediário nos diz que quando uma função polinomial muda de um valor negativo para um valor positivo, a função deve cruzar o eixo x. A figura$\PageIndex{18}$ mostra que há um zero entre$a$$b$ e.

Gráfico de uma função polinomial de grau ímpar que mostra um ponto f (a) que é negativo, f (b) que é positivo e f (c) que é 0. — Figura$\PageIndex{18}$: Usando o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe um zero.

Definição: Teorema do valor intermediário

$f$Seja uma função polinomial. O Teorema do Valor Intermediário afirma que se$f(a)$ e$f(b)$ tem sinais opostos, então existe pelo menos um valor$c$ entre$a$ e$b$ para o qual$f(c)=0$.

Exemplo$\PageIndex{9}$: Using the Intermediate Value Theorem

Mostre que a função$f(x)=x^3−5x^2+3x+6$ tem pelo menos dois zeros reais entre$x=1$$x=4$ e.

Solução

Para começar, avalie$f(x)$ com os valores inteiros$x=1,\;2,\;3,\; \text{and }4$ (Tabela$\PageIndex{2}$).

Tabela$\PageIndex{2}$
$x$	1	2	3	4
$f(x)$	5	0	-3	2

Vemos que um zero ocorre em$x=2$. Além disso, como$f(3)$ é negativo e$f(4)$ positivo, pelo Teorema do Valor Intermediário, deve haver pelo menos um zero real entre 3 e 4.

Mostramos que há pelo menos dois zeros reais entre$x=1$$x=4$ e.

Análise

Também podemos ver no gráfico da função na Figura$\PageIndex{19}$ que existem dois zeros reais entre$x=1$$x=4$ e.

Gráfico de f (x) =x^3-5x^2+3x+6 e mostra, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existem dois zeros, pois f (1) =5 e f (4) =2 são positivos e f (3) = -3 é negativo. — Figura$\PageIndex{19}$.

Exercício$\PageIndex{4}$

Mostre que a função$f(x)=7x^5−9x^4−x^2$ tem pelo menos um zero real entre$x=1$$x=2$ e.

Responda: Como$f$ é uma função polinomial e, como$f(1)$$f(2)$ é negativa e positiva, há pelo menos um zero real entre$x=1$$x=2$ e.

Escrevendo fórmulas para funções polinomiais

Agora que sabemos como encontrar zeros de funções polinomiais, podemos usá-los para escrever fórmulas com base em gráficos. Como uma função polinomial escrita na forma fatorada terá um intercepto x em que cada fator é igual a zero, podemos formar uma função que passará por um conjunto de interceptos x introduzindo um conjunto correspondente de fatores.

Nota: Forma fatorada de polinômios

Se um polinômio de menor grau$p$ tiver interceptações horizontais em$x=x_1,x_2,…,x_n$, então o polinômio pode ser escrito na forma fatorada:$f(x)=a(x−x_1)^{p_1}(x−x_2)^{p_2}⋯(x−x_n)^{p_n}$ onde as potências$p_i$ de cada fator podem ser determinadas pelo comportamento do gráfico no intercepto correspondente e pelo fator de estiramento$a$ pode ser determinado com um valor da função diferente do intercepto x.

$alt$ Dado um gráfico de uma função polinomial, escreva uma fórmula para a função.

Identifique os interceptos x do gráfico para encontrar os fatores do polinômio.
Examine o comportamento do gráfico nos interceptos x para determinar a multiplicidade de cada fator.
Encontre o polinômio de menor grau contendo todos os fatores encontrados na etapa anterior.
Use qualquer outro ponto no gráfico (o intercepto y pode ser mais fácil) para determinar o fator de estiramento.

Exemplo$\PageIndex{10}$: Writing a Formula for a Polynomial Function from the Graph

Escreva uma fórmula para a função polinomial mostrada na Figura$\PageIndex{20}$.

Gráfico de um polinômio positivo de grau par com zeros em x=-3, 2, 5 e y=-2. — Figura$\PageIndex{20}$.

Solução

Este gráfico tem três interceptos x:$x=−3,\;2,\text{ and }5$. O intercepto y está localizado$(0,2)$ em .At$x=−3$ e$ x=5$ o gráfico passa pelo eixo linearmente, sugerindo que os fatores correspondentes do polinômio serão lineares. Em$x=2$, o gráfico salta na interceptação, sugerindo que o fator correspondente do polinômio será de segundo grau (quadrático). Juntos, isso nos dá

\[f(x)=a(x+3)(x−2)^2(x−5)\]

Para determinar o fator de estiramento, utilizamos outro ponto no gráfico. Usaremos o intercepto y$(0,–2)$, para resolver$a$.

\[\begin{align*} f(0)&=a(0+3)(0−2)^2(0−5) \\ −2&=a(0+3)(0−2)^2(0−5) \\ −2&=−60a \\ a&=\dfrac{1}{30} \end{align*}\]

O polinômio representado graficamente parece representar a função$f(x)=\dfrac{1}{30}(x+3)(x−2)^2(x−5)$.

Exercício$\PageIndex{5}$

Dado o gráfico mostrado na Figura$\PageIndex{21}$, escreva uma fórmula para a função mostrada.

Gráfico de um polinômio negativo de grau par com zeros em x=-1, 2, 4 e y=-4. — Figura$\PageIndex{21}$.

Responda: $f(x)=−\frac{1}{8}(x−2)^3(x+1)^2(x−4)$

Usando o Extrema Local e Global

Com o quadrático, conseguimos encontrar algebricamente o valor máximo ou mínimo da função encontrando o vértice. Para polinômios gerais, encontrar esses pontos de inflexão não é possível sem técnicas mais avançadas de cálculo. Mesmo assim, descobrir onde os extremos ocorrem ainda pode ser algebricamente desafiador. Por enquanto, vamos estimar as localizações dos pontos de inflexão usando a tecnologia para gerar um gráfico.

Cada ponto de inflexão representa um mínimo ou máximo local. Às vezes, um ponto de inflexão é o ponto mais alto ou mais baixo em todo o gráfico. Nesses casos, dizemos que o ponto de inflexão é um máximo global ou um mínimo global. Eles também são chamados de valores absolutos máximos e mínimos absolutos da função.

Nota: Extrema local e global

Um máximo local ou mínimo local em$x=a$ (às vezes chamado de máximo ou mínimo relativo, respectivamente) é a saída no ponto mais alto ou mais baixo do gráfico em um intervalo aberto em torno de$x=a$ .Se uma função tiver um máximo local em$a$, então$f(a){\geq}f(x)$ para todos $x$em um intervalo aberto ao redor$x=a$. Se uma função tiver um mínimo local em$a$, então$f(a){\leq}f(x)$ para todos$x$ em um intervalo aberto ao redor$x=a$.

Um máximo global ou mínimo global é a saída no ponto mais alto ou mais baixo da função. Se uma função tiver um máximo global em$a$, então$f(a){\geq}f(x)$ para todos$x$. Se uma função tiver um mínimo global em$a$, então$f(a){\leq}f(x)$ para todos$x$.

Podemos ver a diferença entre extremos locais e globais na Figura$\PageIndex{22}$.

Figura$\PageIndex{22}$: Gráfico de um polinômio de grau par que denota o máximo e mínimo locais e o máximo global.

$alt$ Todas as funções polinomiais têm um mínimo ou máximo global?

Não. Somente funções polinomiais de grau par têm um mínimo ou máximo global. Por exemplo, não$f(x)=x$ tem um máximo global nem um mínimo global.

Exemplo$\PageIndex{11}$: Using Local Extrema to Solve Applications

Uma caixa aberta deve ser construída cortando quadrados de cada canto de uma folha de plástico de 14 cm por 20 cm e dobrando as laterais. Encontre o tamanho dos quadrados que devem ser recortados para maximizar o volume fechado pela caixa.

Solução

Começaremos esse problema desenhando uma imagem como a da Figura$\PageIndex{23}$, rotulando a largura dos quadrados recortados com uma variável,$w$.

Figura$\PageIndex{23}$: Diagrama de um retângulo com quatro quadrados nos cantos.

Observe que depois que um quadrado é cortado de cada extremidade, ele deixa um retângulo de$a(14−2w)$$(20−2w)$ cm por cm para a base da caixa, e a caixa terá$w$ cm de altura. Isso dá o volume

\[\begin{align*} V(w)&=(20−2w)(14−2w)w \\ &=280w−68w^2+4w^3 \end{align*}\]

Observe que, como os fatores são$20–2w$$14–2w$,$w$, e, os três zeros são$10, \,7,$ e$0,) respectively. Because a height of \(0$ cm não é razoável, consideramos apenas os zeros$10$ e$7.$ O lado mais curto é$14$ e estamos cortando dois quadrados, então os valores$w$ podem assumir são maior que zero ou menor que$7.$ Isso significa que restringiremos o domínio dessa função a$0<w<7$ .Usando a tecnologia para esboçar o gráfico desse$V(w)$ domínio razoável, obtemos um gráfico como esse na Figura$\PageIndex{24}$. Podemos usar esse gráfico para estimar o valor máximo do volume, restrito aos valores razoáveis para esse problema — valores de 0 a 7.$w$

Gráfico de V (w) = (20-2w) (14-2w) w onde o eixo x é rotulado como w e o eixo y é rotulado como V (w). — Figura$\PageIndex{24}$: Gráfico de$V(w)=(20-2w)(14-2w)w$

A partir desse gráfico, voltamos nosso foco para apenas a parte do domínio razoável,$[0, 7]$. Podemos estimar o valor máximo em cerca de 340 cm cúbicos, o que ocorre quando os quadrados têm cerca de 2,75 cm de cada lado. Para melhorar essa estimativa, poderíamos usar recursos avançados de nossa tecnologia, se disponíveis, ou simplesmente alterar nossa janela para ampliar nosso gráfico e produzir a Figura$\PageIndex{25}$.

Gráfico de V (w) = (20-2w) (14-2w) w onde o eixo x é rotulado como w e o eixo y é rotulado como V (w) no domínio [2,4, 3]. — Figura$\PageIndex{25}$: Gráfico de$V(w)=(20-2w)(14-2w)w$.

A partir dessa visão ampliada, podemos refinar nossa estimativa do volume máximo para cerca de 339 cm cúbicos, quando os quadrados medem aproximadamente 2,7 cm de cada lado.

Exercício$\PageIndex{1}$

Use a tecnologia para encontrar os valores máximo e mínimo no intervalo$[−1,4]$ da função$f(x)=−0.2(x−2)^3(x+1)^2(x−4)$.

Responda: O mínimo ocorre aproximadamente no ponto$(0,−6.5)$
e o máximo ocorre aproximadamente no ponto$(3.5,7)$.

Conceitos-chave

As funções polinomiais de grau 2 ou mais são funções contínuas e suaves.
Para encontrar os zeros de uma função polinomial, se ela puder ser fatorada, fatore a função e defina cada fator igual a zero.
Outra forma de encontrar os interceptos x de uma função polinomial é representar graficamente a função e identificar os pontos nos quais o gráfico cruza o eixo x.
A multiplicidade de um zero determina como o gráfico se comporta nas interceptações x.
O gráfico de um polinômio cruzará o eixo horizontal em zero com multiplicidade ímpar.
O gráfico de um polinômio tocará o eixo horizontal em um zero com multiplicidade par.
O comportamento final de uma função polinomial depende do termo principal.
O gráfico de uma função polinomial muda de direção em seus pontos de inflexão.
Uma função polinomial de grau$n$ tem no máximo pontos de$n−1$ inflexão.
Para representar graficamente funções polinomiais, encontre os zeros e suas multiplicidades, determine o comportamento final e garanta que o gráfico final tenha no máximo pontos de$n−1$ inflexão.
Representar graficamente uma função polinomial ajuda a estimar extremos locais e globais.
O Teorema do Valor Intermediário nos diz que se$f(a)$ e$f(b)$ tem sinais opostos, então existe pelo menos um valor$c$ entre$a$ e$b$ para o qual$f(c)=0$.

Glossário

ponto de viragem
máximo global máximo em um gráfico;$f(a)$ onde$f(a){\geq}f(x)$ para todos$x$.

ponto de viragem
mínimo global mínimo em um gráfico;$f(a)$ onde$f(a){\leq}f(x)$ para todos$x$.

Teorema do valor intermediário
para dois números$a$ e$b$ no domínio de$f$, se$a<b$ e$f(a){\neq}f(b)$, então a função f assume todos os valores entre$f(a)$ e$f(b)$; especificamente, quando uma função polinomial muda de um valor negativo para um valor positivo, a função deve cruzar o eixo x

multiplicidade
o número de vezes que um determinado fator aparece na forma fatorada da equação de um polinômio; se um polinômio contém um fator da forma$(x−h)^p$,$x=h$ é zero de multiplicidade$p$.

Tabela\(\PageIndex{2}\)
\(x\)	1	2	3	4
\(f(x)\)	5	0	-3	2