3.3: Funções de potência e funções polinomiais

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Objetivos de

Identifique as funções de potência.
Identifique o comportamento final das funções de potência.
Identifique funções polinomiais.
Identifique o grau e o coeficiente principal das funções polinomiais.

Suponha que uma certa espécie de ave prospere em uma pequena ilha. Sua população nos últimos anos é mostrada na Tabela$\PageIndex{1}$.

Tabela$\PageIndex{1}$
Ano	2009	2010	2011	2012	2013
População de pássaros	800	897	992	1.083	1.169

A população pode ser estimada usando a função$P(t)=−0.3t^3+97t+800$, onde$P(t)$ representa a população de aves na ilha$t$ anos após 2009. Podemos usar esse modelo para estimar a população máxima de aves e quando isso ocorrerá. Também podemos usar esse modelo para prever quando a população de aves desaparecerá da ilha. Nesta seção, examinaremos as funções que podemos usar para estimar e prever esses tipos de mudanças.

Três pássaros em um penhasco com o sol nascendo ao fundo. — Figura$\PageIndex{1}$: (crédito: Jason Bay, Flickr)

Identificação de funções de alimentação

Para entender melhor o problema das aves, precisamos entender um tipo específico de função. Uma função de potência é uma função com um único termo que é o produto de um número real, um coeficiente e uma variável elevada a um número real fixo. (Um número que multiplica uma variável elevada a um expoente é conhecido como coeficiente.)

Como exemplo, considere as funções de área ou volume. A função para a área de um círculo com raio$r$ é

\[A(r)={\pi}r^2 \nonumber\]

e a função para o volume de uma esfera com raio$r$ é

\[V(r)=\dfrac{4}{3}{\pi}r^3 \nonumber\]

Ambos são exemplos de funções de potência porque consistem em um coeficiente${\pi}$ ou$\dfrac{4}{3}{\pi}$ multiplicado por uma variável$r$ elevada a uma potência.

Definição: Função de potência

Uma função de potência é uma função que pode ser representada na forma

\[f(x)=kx^p \label{power}\]

onde$k$ e$p$ são números reais, e$k$ é conhecido como coeficiente.

Perguntas e respostas: É$f(x)=2^x$ a power function?

Não. Uma função de potência contém uma base variável elevada a uma potência fixa (Equação\ ref {power}). Essa função tem uma base constante elevada a uma potência variável. Isso é chamado de função exponencial, não função de potência. Essa função será discutida posteriormente.

Exemplo$\PageIndex{1}$: Identifying Power Functions

Quais das seguintes funções são funções de potência?

\[\begin{align*} f(x)&=1 &\text{Constant function} \\f(x)&=x &\text{Identify function} \\f(x)&=x^2 &\text{Quadratic function} \\ f(x)&=x^3 &\text{Cubic function} \\ f(x)&=\dfrac{1}{x} &\text{Reciprocal function} \\f(x)&=\dfrac{1}{x^2} &\text{Reciprocal squared function} \\ f(x)&=\sqrt{x} &\text{Square root function} \\ f(x)&=\sqrt[3]{x} &\text{Cube root function} \end{align*}\]

Solução

Todas as funções listadas são funções de alimentação.

As funções constante e de identidade são funções de poder porque podem ser escritas como$f(x)=x^0$ e$f(x)=x^1$ respectivamente.

As funções quadrática e cúbica são funções de potência com potências de números inteiros$f(x)=x^2$$f(x)=x^3$ e.

As funções quadradas recíprocas e recíprocas são funções de potência com potências negativas de números inteiros porque podem ser escritas como$f(x)=x^{−1}$$f(x)=x^{−2}$ e.

As funções de raiz quadrada e cúbica são funções de potência com potências fracionárias porque podem ser escritas como$f(x)=x^{1/2}$ ou$f(x)=x^{1/3}$.

Exercício$\PageIndex{1}$

Quais funções são funções de potência?

$f(x)=2x^2⋅4x^3$
$g(x)=−x^5+5x^3−4x$
$h(x)=\frac{2x^5−1}{3x^2+4}$

Resposta: $f(x)$é uma função de potência porque pode ser escrita como$f(x)=8x^5$. As outras funções não são funções de alimentação.

Identificação do comportamento final das funções de potência

A figura$\PageIndex{2}$ mostra os gráficos de$f(x)=x^2$,$g(x)=x^4$ e e$h(x)=x^6$, que são todas funções de potência com potências pares de números inteiros. Observe que esses gráficos têm formas semelhantes, muito parecidas com as da função quadrática no kit de ferramentas. No entanto, à medida que a potência aumenta, os gráficos se achatam um pouco perto da origem e se afastam da origem.

Gráfico de três funções, h (x) =x^2 em verde, g (x) =x^4 em laranja e f (x) =x^6 em azul. — Figura$\PageIndex{2}$: Funções de potência uniforme

Para descrever o comportamento à medida que os números se tornam cada vez maiores, usamos a ideia de infinito. Usamos o símbolo$\infty$ para infinito positivo e$−\infty$ para infinito negativo. Quando dizemos que “x se aproxima do infinito”, o que pode ser escrito simbolicamente como$x{\rightarrow}\infty$, estamos descrevendo um comportamento; estamos dizendo que$x$ está aumentando sem limites.

Com a função de potência uniforme, à medida que a entrada aumenta ou diminui sem limite, os valores de saída se tornam números muito grandes e positivos. Equivalentemente, poderíamos descrever esse comportamento dizendo que, à medida que$x$ se aproxima do infinito positivo ou negativo, os$f(x)$ valores aumentam sem limites. Em forma simbólica, poderíamos escrever

\[\text{as } x{\rightarrow}{\pm}{\infty}, \;f(x){\rightarrow}{\infty} \nonumber\]

A figura$\PageIndex{3}$ mostra os gráficos de$f(x)=x^3$,$g(x)=x^5$, e$h(x)=x^7$, que são todas funções de potência com potências ímpares de números inteiros. Observe que esses gráficos são semelhantes à função cúbica no kit de ferramentas. Novamente, à medida que a potência aumenta, os gráficos se achatam perto da origem e se afastam mais da origem.

Gráfico de três funções, f (x) =x^3 em verde, g (x) =x^5 em laranja e h (x) =x^7 em azul. — Figura$\PageIndex{3}$: Função ODD-power

Esses exemplos ilustram que as funções da forma$f(x)=x^n$ revelam simetria de um tipo ou de outro. Primeiro, na Figura,$\PageIndex{2}$ vemos que até mesmo as funções da forma$f(x)=x^n$,$n$ pares, são simétricas em relação ao$y$ eixo. Na Figura,$\PageIndex{3}$ vemos que funções ímpares da forma$f(x)=x^n$,$n$ ímpares, são simétricas em relação à origem.

Para essas funções de potência ímpares, à medida que$x$ se aproxima do infinito negativo,$f(x)$ diminui sem limite. À medida que$x$ se aproxima do infinito positivo,$f(x)$ aumenta sem limite. Na forma simbólica, escrevemos

\[\begin{align*} &\text{as }x{\rightarrow}-{\infty},\;f(x){\rightarrow}-{\infty} \\ &\text{as }x{\rightarrow}{\infty},\;f(x){\rightarrow}{\infty} \end{align*}\]

O comportamento do gráfico de uma função quando os valores de entrada ficam muito pequenos$(x{\rightarrow}−{\infty})$ e muito grandes$x{\rightarrow}{\infty}$ é chamado de comportamento final da função. Podemos usar palavras ou símbolos para descrever o comportamento final.

A figura$\PageIndex{4}$ mostra o comportamento final das funções de potência na forma$f(x)=kx^n$ em que$n$ há um número inteiro não negativo dependendo da potência e da constante.

Como fazer: Dada uma função de potência$f(x)=kx^n$ where $n$ is a non-negative integer, identify the end behavior.

Determine se a potência é par ou ímpar.
Determine se a constante é positiva ou negativa.
Use$\PageIndex{4}$ a Figura para identificar o comportamento final.

Exemplo$\PageIndex{2}$: Identifying the End Behavior of a Power Function

Descreva o comportamento final do gráfico de$f(x)=x^8$.

Solução

O coeficiente é 1 (positivo) e o expoente da função de potência é 8 (um número par). À medida que$x$ se aproxima do infinito, a saída (valor de$f(x)$) aumenta sem limite. Escrevemos$x→∞,$$f(x)→∞.$ quando$x$ As se aproxima do infinito negativo, a saída aumenta sem limite. Em forma simbólica, pois$x→−∞,$$f(x)→∞.$ podemos representar graficamente a função conforme mostrado na Figura$\PageIndex{5}$.

Gráfico de f (x) =x^8 — Figura$\PageIndex{5}$: Gráfico de$f(x)=x^8$.

Exemplo$\PageIndex{3}$: Identifying the End Behavior of a Power Function.

Descreva o comportamento final do gráfico de$f(x)=−x^9$.

Solução

O expoente da função de potência é 9 (um número ímpar). Como o coeficiente é —1 (negativo), o gráfico é a reflexão sobre o$x$ eixo -do gráfico de$f(x)=x^9$. A figura$\PageIndex{6}$ mostra que, à medida que$x$ se aproxima do infinito, a saída diminui sem limite. À medida que$x$ se aproxima do infinito negativo, a saída aumenta sem limite. Em forma simbólica, escreveríamos

\[\begin{align*} \text{as }x{\rightarrow}-{\infty},\;f(x){\rightarrow}{\infty} \\ \text{as }x{\rightarrow}{\infty},\;f(x){\rightarrow}-{\infty} \end{align*}\]

Análise

Podemos verificar nosso trabalho usando o recurso de tabela em um utilitário gráfico.

Tabela$\PageIndex{2}$
$x$	$f(x)$
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">-10	\ (f (x)\)” style="alinhamento vertical: médio; ">1.000.000.000
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">-5	\ (f (x)\)” style="alinhamento vertical: médio; ">1.953.125
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">0	\ (f (x)\)” style="alinhamento vertical:médio; ">0
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">5	\ (f (x)\)” style="alinhamento vertical: médio; ">-1.953.125
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">10	\ (f (x)\)” style="alinhamento vertical: médio; ">-1.000.000.000

Podemos ver na Tabela$\PageIndex{2}$ que, quando substituímos valores muito pequenos por valores muito pequenos$x$, a saída é muito grande e, quando substituímos valores muito grandes$x$, a saída é muito pequena (o que significa que é um valor negativo muito grande).

Exercício$\PageIndex{2}$

Descreva em palavras e símbolos o comportamento final de$f(x)=−5x^4$.

Resposta: À medida que$x$ se aproxima do infinito positivo ou negativo,$f(x)$ diminui sem limite: como$x{\rightarrow}{\pm}{\infty}$,$f(x){\rightarrow}−{\infty}$ por causa do coeficiente negativo.

Identificação de funções polinomiais

Um oleoduto estoura no Golfo do México, causando uma mancha de óleo em uma forma aproximadamente circular. A mancha tem atualmente 24 milhas de raio, mas esse raio está aumentando em 8 milhas a cada semana. Queremos escrever uma fórmula para a área coberta pela mancha de óleo combinando duas funções. O raio$r$ do vazamento depende do número de semanas$w$ que passaram. Essa relação é linear.

\[r(w)=24+8w \nonumber\]

Podemos combinar isso com a fórmula para a área A de um círculo.

\[A(r)={\pi}r^2 \nonumber\]

A composição dessas funções fornece uma fórmula para a área em termos de semanas.

\[ \begin{align*} A(w)&=A(r(w)) \\ &=A(24+8w) \\ & ={\pi}(24+8w)^2 \end{align*}\]

A multiplicação fornece a fórmula.

\[A(w)=576{\pi}+384{\pi}w+64{\pi}w^2 \nonumber\]

Essa fórmula é um exemplo de função polinomial. Uma função polinomial consiste em zero ou na soma de um número finito de termos diferentes de zero, cada um dos quais é um produto de um número, chamado coeficiente do termo, e uma variável elevada a uma potência inteira não negativa.

Definição: Funções polinomiais

$n$Seja um número inteiro não negativo. Uma função polinomial é uma função que pode ser escrita na forma

\[f(x)=a_nx^n+...+a_2x^2+a_1x+a_0 \label{poly}\]

Isso é chamado de forma geral de uma função polinomial. Cada um$a_i$ é um coeficiente e pode ser qualquer número real. Cada produto$a_ix^i$ é um termo de uma função polinomial.

Exemplo$\PageIndex{4}$: Identifying Polynomial Functions

Quais das seguintes são funções polinomiais?

$f(x)=2x^3⋅3x+4$
$g(x)=−x(x^2−4)$
$h(x)=5\sqrt{x}+2$

Solução

As duas primeiras funções são exemplos de funções polinomiais porque podem ser escritas na forma de Equação\ ref {poly}, onde as potências são números inteiros não negativos e os coeficientes são números reais.

$f(x)$pode ser escrito como$f(x)=6x^4+4$.
$g(x)$pode ser escrito como$g(x)=−x^3+4x$.
$h(x)$não pode ser escrito dessa forma e, portanto, não é uma função polinomial.

Identificando o grau e o coeficiente principal de uma função polinomial

Por causa da forma de uma função polinomial, podemos ver uma variedade infinita no número de termos e na potência da variável. Embora a ordem dos termos na função polinomial não seja importante para realizar operações, normalmente organizamos os termos em ordem decrescente de potência ou na forma geral. O grau do polinômio é a maior potência da variável que ocorre no polinômio; é a potência da primeira variável se a função estiver na forma geral. O termo principal é o termo que contém a maior potência da variável ou o termo com o grau mais alto. O coeficiente principal é o coeficiente do termo principal.

Terminologia das funções polinomiais

Freqüentemente, reorganizamos os polinômios para que as potências sejam decrescentes.

Quando um polinômio é escrito dessa maneira, dizemos que ele está na forma geral.

Como fazer: Dada uma função polinomial, identifique o grau e o coeficiente principal

Encontre a maior potência de$x$ para determinar a função de grau.
Identifique o termo que contém a maior potência de$x$ para encontrar o termo principal.
Identifique o coeficiente do termo principal.

Exemplo$\PageIndex{5}$: Identifying the Degree and Leading Coefficient of a Polynomial Function

Identifique o grau, o termo principal e o coeficiente principal das seguintes funções polinomiais.

$f(x)=3+2x^2−4x^3$

$g(t)=5t^5−2t^3+7t$

$h(p)=6p−p^3−2$

Solução

Para a função$f(x)$, a maior potência de$x$ é 3, então o grau é 3. O termo principal é o termo que contém esse grau,$−4x^3$. O coeficiente principal é o coeficiente desse termo, −4.

Para a função$g(t)$, a maior potência de$t$ é 5, então o grau é 5. O termo principal é o termo que contém esse grau,$5t^5$. O coeficiente principal é o coeficiente desse termo, 5.

Para a função$h(p)$, a maior potência de$p$ é 3, então o grau é 3. O termo principal é o termo que contém esse grau,$−p^3$; o coeficiente principal é o coeficiente desse termo, −1.

Exercício$\PageIndex{3}$

Identifique o grau, o termo principal e o coeficiente principal do polinômio$f(x)=4x^2−x^6+2x−6$.

Resposta: O diploma é$6.$ O termo principal é$−x^6$. O coeficiente principal é$−1.$

Identificando o comportamento final de funções polinomiais

Saber o grau de uma função polinomial é útil para nos ajudar a prever seu comportamento final. Para determinar seu comportamento final, observe o termo principal da função polinomial. Como o poder do termo principal é o mais alto, esse termo crescerá significativamente mais rápido do que os outros termos, à medida que$x$ se tornam muito grandes ou muito pequenos, então seu comportamento dominará o gráfico. Para qualquer polinômio, o comportamento final do polinômio corresponderá ao comportamento final do termo de maior grau (Tabela$\PageIndex{3}$).

Tabela$\PageIndex{3}$
Função polinomial	Termo principal	Gráfico da função polinomial
$f(x)=5x^4+2x^3−x−4$	$5x^4$	$Gráfico de f (x) =5x^4+2x^3-x-4.$
$f(x)=−2x^6−x^5+3x^4+x^3$	$−2x^6$	$Gráfico de f (x) =-2x^6-x^5+3x^4+x^3$
$f(x)=3x^5−4x^4+2x^2+1$	$3x^5$	$Gráfico de f (x) =3x^5-4x^4+2x^2+1$
$f(x)=−6x^3+7x^2+3x+1$	$−6x^3$	$Gráfico de f (x) =-6x^3+7x^2+3x+1$

Exemplo$\PageIndex{6}$: Identifying End Behavior and Degree of a Polynomial Function

Descreva o comportamento final e determine um possível grau da função polinomial na Figura$\PageIndex{8}$.

Gráfico de um polinômio de grau ímpar. — Figura$\PageIndex{8}$.

Solução

À medida que os valores de entrada$x$ ficam muito grandes, os valores de saída$f(x)$ aumentam sem limites. À medida que os valores de entrada$x$ ficam muito pequenos, os valores de saída$f(x)$ diminuem sem limites. Podemos descrever o comportamento final simbolicamente escrevendo

\[\text{as } x{\rightarrow}{\infty}, \; f(x){\rightarrow}{\infty} \nonumber\]

\[\text{as } x{\rightarrow}-{\infty}, \; f(x){\rightarrow}-{\infty} \nonumber\]

Em palavras, podemos dizer que quando$x$ os valores se aproximam do infinito, os valores da função se aproximam do infinito e, quando$x$ os valores se aproximam do infinito negativo, os valores da função se aproximam do infinito negativo.

Podemos dizer que esse gráfico tem a forma de uma função de potência de grau ímpar que não foi refletida, então o grau do polinômio que cria esse gráfico deve ser ímpar e o coeficiente principal deve ser positivo.

Exercício$\PageIndex{1}$

Descreva o comportamento final e determine um possível grau da função polinomial na Figura$\PageIndex{9}$.

Resposta: Como$x{\rightarrow}{\infty}$,$f(x){\rightarrow}−{\infty}$; como$x{\rightarrow}−{\infty}$,$f(x){\rightarrow}−{\infty}$. Tem a forma de uma função de potência de grau uniforme com um coeficiente negativo.

Exemplo$\PageIndex{7}$: Identifying End Behavior and Degree of a Polynomial Function

Dada a função$f(x)=−3x^2(x−1)(x+4)$, expresse a função como um polinômio na forma geral e determine o termo principal, o grau e o comportamento final da função.

Solução

Obtenha a forma geral expandindo a expressão dada para$f(x)$.

\[\begin{align*} f(x)&=−3x^2(x−1)(x+4) \\ &=−3x^2(x^2+3x−4) \\ &=−3x^4−9x^3+12x^2 \end{align*}\]

A forma geral é$f(x)=−3x^4−9x^3+12x^2$. O termo principal é$−3x^4$; portanto, o grau do polinômio é 4. O grau é par (4) e o coeficiente principal é negativo (—3), então o comportamento final é

\[\text{as }x{\rightarrow}−{\infty}, \; f(x){\rightarrow}−{\infty} \nonumber\]

\[\text{as } x{\rightarrow}{\infty}, \; f(x){\rightarrow}−{\infty} \nonumber\]

Exercício$\PageIndex{7}$

Dada a função$f(x)=0.2(x−2)(x+1)(x−5)$, expresse a função como um polinômio na forma geral e determine o termo principal, o grau e o comportamento final da função.

Resposta: O termo principal é$0.2x^3$, portanto, é um polinômio de grau 3. À medida que$x$ se aproxima do infinito positivo,$f(x)$ aumenta sem limite; à medida que$x$ se aproxima do infinito negativo,$f(x)$ diminui sem limite.

Identificação do comportamento local de funções polinomiais

Além do comportamento final das funções polinomiais, também estamos interessados no que acontece no “meio” da função. Em particular, estamos interessados em locais onde o comportamento gráfico muda. Um ponto de inflexão é um ponto no qual os valores da função mudam de aumentar para diminuir ou de diminuir para aumentar.

Também estamos interessados nas interceptações. Como em todas as funções, o$y$ intercepto -é o ponto em que o gráfico cruza o eixo vertical. O ponto corresponde ao par de coordenadas no qual o valor de entrada é zero. Como um polinômio é uma função, somente um valor de saída corresponde a cada valor de entrada, então só pode haver um$y$ intercepto$(0,a_0)$. Os$x$ -intercepts ocorrem nos valores de entrada que correspondem a um valor de saída de zero. É possível ter mais$x$ de um intercepto. Veja a Figura$\PageIndex{10}$.

Definição: Interceptações e pontos de inflexão de funções polinomiais

O ponto de virada de um gráfico é um ponto no qual o gráfico muda de direção de aumentar para diminuir ou de diminuir para aumentar. O$y$ -intercept é o ponto em que a função tem um valor de entrada de zero. Os$x$ -intercepts são os pontos nos quais o valor de saída é zero.

$alt$ Dada uma função polinomial, determine os interceptos.

Determine o$y$ -intercept definindo$x=0$ e encontrando o valor de saída correspondente.
Determine os$x$ interceptos -resolvendo os valores de entrada que geram um valor de saída de zero.

Exemplo$\PageIndex{8}$: Determining the Intercepts of a Polynomial Function

Dada a função polinomial$f(x)=(x−2)(x+1)(x−4)$, escrita em formato fatorado para sua conveniência, determine os$x$ interceptos$y$ - e -.

Solução

O$y$ -intercept ocorre quando a entrada é zero, então substitua 0 por$x$.

\[ \begin{align*}f(0)&=(0−2)(0+1)(0−4) \\ &=(−2)(1)(−4) \\ &=8 \end{align*}\]

O$y$ intercepto -é$(0,8)$.

Os$x$ -intercepts ocorrem quando a saída é zero.

\[ 0=(x−2)(x+1)(x−4) \nonumber \]

\[\begin{align*} x−2&=0 & &\text{or} & x+1&=0 & &\text{or} & x−4&=0 \\ x&=2 & &\text{or} & x&=−1 & &\text{or} & x&=4 \end{align*}\]

As$x$ interceptações -são$(2,0)$$(–1,0)$,$(4,0)$ e.

Podemos ver essas interceptações no gráfico da função mostrada na Figura$\PageIndex{11}$.

Gráfico de f (x) = (x-2) (x+1) (x-4), que rotula todos os interceptos. — Figura$\PageIndex{11}$: Gráfico de$f(x)=(x-2)(x+1)(x-4)$.

Exemplo$\PageIndex{9}$: Determining the Intercepts of a Polynomial Function with Factoring

Dada a função polinomial$f(x)=x^4−4x^2−45$, determine os$x$ interceptos$y$ - e -.

Solução

O$y$ -intercept ocorre quando a entrada é zero.

\[ \begin{align*} f(0) &=(0)^4−4(0)^2−45 \\[4pt] &=−45 \end{align*}\]

O$y$ intercepto -é$(0,−45)$.

Os$x$ -intercepts ocorrem quando a saída é zero. Para determinar quando a saída é zero, precisaremos fatorar o polinômio.

\ [\ begin {align*} f (x) &=x^4−4x^2−45\\ &= (x^2−9) (x^2+5)\\ &= (x−3) (x+3) (x^2+5)
\ end {align*}\]

\[0=(x−3)(x+3)(x^2+5) \nonumber\]

\[\begin{align*} x−3&=0 & &\text{or} & x+3&=0 & &\text{or} & x^2+5&=0 \\ x&=3 & &\text{or} & x&=−3 & &\text{or} &\text{(no real solution)} \end{align*}\]

As$x$ interceptações -são$(3,0)$$(–3,0)$ e.

Podemos ver essas interceptações no gráfico da função mostrada na Figura$\PageIndex{12}$. Podemos ver que a função é mesmo porque$f(x)=f(−x)$.

Gráfico de f (x) =x^4-4x^2-45, que rotula todos os interceptos em (-3, 0), (3, 0) e (0, -45). — Figura$\PageIndex{12}$: Gráfico de$f(x)=x^4-4x^2-45$.

Exercício$\PageIndex{5}$

$\PageIndex{5}$: Dada a função polinomial$f(x)=2x^3−6x^2−20x$, determine os$x$ interceptos$y$ - e -.

Solução: $y$-interceptar$(0,0)$;$x$ -intercepta$(0,0)$$(–2,0)$, e$(5,0)$

Comparando gráficos suaves e contínuos

O grau de uma função polinomial nos ajuda a determinar o número$x$ de interceptações e o número de pontos de inflexão. Uma função polinomial de$n^\text{th}$ grau é o produto de$n$ fatores, portanto, ela terá no máximo$n$ raízes ou zeros, ou$x$ interceptos. O gráfico da função polinomial de grau$n$ deve ter no máximo pontos de$n–1$ inflexão. Isso significa que o gráfico tem no máximo um ponto de inflexão a menos que o grau do polinômio ou um a menos que o número de fatores.

Uma função contínua não tem quebras em seu gráfico: o gráfico pode ser desenhado sem levantar a caneta do papel. Uma curva suave é um gráfico que não tem cantos nítidos. Os pontos de inflexão de um gráfico suave devem sempre ocorrer em curvas arredondadas. Os gráficos das funções polinomiais são contínuos e suaves.

Interceptações e pontos de inflexão de polinômios

Um polinômio de grau$n$ terá, no máximo,$n$$x$ interceptações e pontos de$n−1$ inflexão.

Exemplo$\PageIndex{10}$: Determining the Number of Intercepts and Turning Points of a Polynomial

Sem representar graficamente a função, determine o comportamento local da função encontrando o número máximo$x$ de interceptações e pontos de inflexão para$f(x)=−3x^{10}+4x^7−x^4+2x^3$.

Solução

O polinômio tem um grau de 10, então há no máximo$n$$x$ interceptos e no máximo pontos de$n−1$ inflexão.

Exercício$\PageIndex{6}$

Sem representar graficamente a função, determine o número máximo$x$ de interceptações e pontos de inflexão para$f(x)=108−13x^9−8x^4+14x^{12}+2x^3$

Resposta: Há no máximo 12$x$ interceptações e no máximo 11 pontos de inflexão.

Exemplo$\PageIndex{11}$: Drawing Conclusions about a Polynomial Function from the Graph

O que podemos concluir sobre o polinômio representado pelo gráfico mostrado na Figura$\PageIndex{12}$ com base em suas interceptações e pontos de inflexão?

Solução

O comportamento final do gráfico nos diz que esse é o gráfico de um polinômio de grau par. Veja a Figura$\PageIndex{14}$.

Gráfico de um polinômio de grau par que denota os pontos de inflexão e as interceptações. — Figura$\PageIndex{14}$: Gráfico de um polinômio de grau par.

O gráfico tem 2$x$ interceptos, sugerindo um grau de 2 ou maior e 3 pontos de inflexão, sugerindo um grau de 4 ou maior. Com base nisso, seria razoável concluir que o grau é par e pelo menos 4.

Exercício$\PageIndex{7}$

O que podemos concluir sobre o polinômio representado pelo gráfico mostrado na Figura$\PageIndex{15}$ com base em suas interceptações e pontos de inflexão?

$CNX_Precalc_Figure_03_03_222.jpg$

Figura$\PageIndex{15}$.

Resposta: Adicione textos aqui. Não exclua esse texto primeiro.

Solução

O comportamento final indica uma função polinomial de grau ímpar; há 3$x$ interceptos e 2 pontos de inflexão, então o grau é ímpar e pelo menos 3. Por causa do comportamento final, sabemos que o coeficiente de chumbo deve ser negativo.

Exemplo$\PageIndex{12}$: Drawing Conclusions about a Polynomial Function from the Factors

Dada a função$f(x)=−4x(x+3)(x−4)$, determine o comportamento local.

Solução

O$y$ intercepto -é encontrado por meio da avaliação$f(0)$.

\[\begin{align*} f(0)&=−4(0)(0+3)(0−4) \\ &=0 \end{align*}\]

O$y$ intercepto -é$(0,0)$.

Os$x$ interceptos -são encontrados determinando os zeros da função.

\[\begin{align*} 0&=-4x(x+3)(x-4) \\ x&=0 & &\text{or} & x+3&=0 & &\text{or} & x-4&=0 \\ x&=0 & &\text{or} & x&=−3 & &\text{or} & x&=4 \end{align*}\]

As$x$ interceptações -são$(0,0)$$(–3,0)$,$(4,0)$ e.

O grau é 3, então o gráfico tem no máximo 2 pontos de inflexão.

Exercício$\PageIndex{8}$

Dada a função$f(x)=0.2(x−2)(x+1)(x−5)$, determine o comportamento local.

Resposta: Os$x$ interceptos -são$(2,0)$, e$(−1,0)$$(5,0)$, o$y$ intercepto -é$(0,2)$, e o gráfico tem no máximo 2 pontos de inflexão.

Equações chave

forma geral de uma função polinomial:$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}...+a_2x^2+a_1x+a_0$

Conceitos chave

Uma função de potência é uma base variável elevada a uma potência numérica.
O comportamento de um gráfico à medida que a entrada diminui sem limite e aumenta sem limite é chamado de comportamento final.
O comportamento final depende se a potência é par ou ímpar.
Uma função polinomial é a soma dos termos, cada um dos quais consiste em uma função de potência transformada com potência de número inteiro positivo.
O grau de uma função polinomial é a maior potência da variável que ocorre em um polinômio. O termo que contém a maior potência da variável é chamado de termo principal. O coeficiente do termo principal é chamado de coeficiente principal.
O comportamento final de uma função polinomial é igual ao comportamento final da função de potência representada pelo termo principal da função.
Um polinômio de grau$n$ terá no máximo$n$$x$ -interceptações e no máximo pontos de$n−1$ inflexão.

Glossário

coeficiente

um número real diferente de zero que é multiplicado por uma variável elevada a um expoente (somente o fator número é o coeficiente)

função contínua

uma função cujo gráfico pode ser desenhado sem levantar a caneta do papel porque não há quebras no gráfico

diploma

a maior potência da variável que ocorre em um polinômio

comportamento final

o comportamento do gráfico de uma função à medida que a entrada diminui sem limite e aumenta sem limite

coeficiente principal

o coeficiente do termo principal

termo principal

o termo que contém a maior potência da variável

função polinomial

uma função que consiste em zero ou na soma de um número finito de termos diferentes de zero, cada um dos quais é um produto de um número, chamado coeficiente do termo, e uma variável elevada a uma potência inteira não negativa.

função de alimentação

uma função que pode ser representada na forma em$f(x)=kx^p$ que$k$ é uma constante, a base é uma variável e o expoente,$p$, é uma constante

curva suave

um gráfico sem cantos afiados

termo de uma função polinomial

qualquer uma$a_ix^i$ de uma função polinomial na forma$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}...+a_2x^2+a_1x+a_0$

ponto de viragem

a localização na qual o gráfico de uma função muda de direção

Função polinomial	Termo principal	Gráfico da função polinomial
\(f(x)=5x^4+2x^3−x−4\)	\(5x^4\)	$Gráfico de f (x) =5x^4+2x^3-x-4.$
\(f(x)=−2x^6−x^5+3x^4+x^3\)	\(−2x^6\)	$Gráfico de f (x) =-2x^6-x^5+3x^4+x^3$
\(f(x)=3x^5−4x^4+2x^2+1\)	\(3x^5\)	$Gráfico de f (x) =3x^5-4x^4+2x^2+1$
\(f(x)=−6x^3+7x^2+3x+1\)	\(−6x^3\)	$Gráfico de f (x) =-6x^3+7x^2+3x+1$