1.3: Expoentes e notação científica
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- 189330
- Várias regras de expoentes
- Notação científica
Matemáticos, cientistas e economistas geralmente encontram números muito grandes e muito pequenos. Mas pode não ser óbvio o quão comuns esses números são na vida cotidiana. Por exemplo, um pixel é a menor unidade de luz que pode ser percebida e gravada por uma câmera digital. Uma câmera específica pode gravar uma imagem com\(2,048\) pixels por\(1,536\) pixels, que é uma imagem de altíssima resolução. Ele também pode perceber uma profundidade de cor (gradações de cores) de até\(48\) bits por quadro e pode fotografar o equivalente a\(24\) quadros por segundo. O número máximo possível de bits de informação usados para filmar um filme digital de uma hora (\(3,600\)-segundo) é então um número extremamente grande.
Usando uma calculadora\(2,048×1\)\(536×48×24×3\), entramos\(600\) e pressionamos ENTER. A calculadora é exibida\(1.304596316E13\). O que isso significa? A parte “\(E13\)” do resultado representa o expoente\(13\) de dez, portanto, há um máximo de aproximadamente\(1.3\times10^{13}\) bits de dados nesse filme de uma hora. Nesta seção, analisamos primeiro as regras dos expoentes e depois as aplicamos aos cálculos que envolvem números muito grandes ou pequenos.
Usando a regra do produto dos expoentes
Considere o produto\(x^3\times x^4\). Ambos os termos têm a mesma base\(x\), mas são elevados para expoentes diferentes. Expanda cada expressão e, em seguida, reescreva a expressão resultante.
\[ \begin{align*} x^3 \times x^4 &= \overbrace{x \times x \times x}^{\text{3 factors}} \times \overbrace{ x \times x \times x\times x}^{\text{4 factors}} \\[4pt] &= \overbrace{x\times x\times x\times x\times x\times x\times x}^{\text{7 factors}} \\[4pt] &=x^7 \end{align*}\]
O resultado é isso\(x^3\times x^4=x^{3+4}=x^7\).
Observe que o expoente do produto é a soma dos expoentes dos termos. Em outras palavras, ao multiplicar expressões exponenciais com a mesma base, escrevemos o resultado com a base comum e adicionamos os expoentes. Essa é a regra do produto dos expoentes.
\[a^m\times a^n=a^{m+n}\]
Agora, considere um exemplo com números reais.
\(2^3\times2^4=2^{3+4}=2^7\)
Sempre podemos verificar se isso é verdade simplificando cada expressão exponencial. Descobrimos que\(2^3\)\(2^4\) é\(8\)\(16\), é e\(2^7\) é\(128\). O produto\(8\times16\) é igual\(128\), então a relação é verdadeira. Podemos usar a regra do produto dos expoentes para simplificar expressões que são um produto de dois números ou expressões com a mesma base, mas com expoentes diferentes.
Para qualquer número real a e números naturais\(m\) e\(n\), a regra do produto dos expoentes afirma que
\[a^m\times a^n=a^{m+n} \label{prod}\]
Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique ainda mais.
- \(t^5\times t^3\)
- \((−3)^5\times(−3)\)
- \(x^2\times x^5\times x^3\)
Solução
Use a regra do produto (Equation\ ref {prod}) para simplificar cada expressão.
- \(t^5\times t^3=t^{5+3}=t^8\)
- \((−3)^5\times(−3)=(−3)^5\times(−3)^1=(−3)^{5+1}=(−3)^6\)
- \(x^2\times x^5\times x^3\)
A princípio, pode parecer que não podemos simplificar um produto de três fatores. No entanto, usando a propriedade associativa da multiplicação, comece simplificando as duas primeiras.
\[x^2\times x^5\times x^3=(x^2\times x^5) \times x^3=(x^{2+5})\times x^3=x^7\times x^3=x^{7+3}=x^{10} \nonumber\]
Observe que obtemos o mesmo resultado adicionando os três expoentes em uma etapa.
\[x^2\times x^5\times x^3=x^{2+5+3}=x^{10} \nonumber\]
Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique ainda mais.
- \(k^6\times k^9\)
- \(\left(\dfrac{2}{y}\right)^4\times\left(\dfrac{2}{y}\right)\)
- \(t^3\times t^6\times t^5\)
- Responda a um
-
\(k^{15}\)
- Resposta b
-
\(\left(\dfrac{2}{y}\right)^5\)
- Resposta c
-
\(t^{14}\)
Usando a regra do quociente dos expoentes
A regra do quociente dos expoentes nos permite simplificar uma expressão que divide dois números com a mesma base, mas com expoentes diferentes. De forma semelhante à regra do produto, podemos simplificar uma expressão como\(\dfrac{y^m}{y^n}\), where\(m>n\). Considere o exemplo\(\dfrac{y^9}{y^5}\). Execute a divisão cancelando fatores comuns.
\[\begin{align*} \dfrac{y^9}{y^5} &= \dfrac{y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y}{y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y}\\ &= \dfrac{y\cdot y\cdot y\cdot y}{1}\\ &= y^4 \end{align*}\]
Observe que o expoente do quociente é a diferença entre os expoentes do divisor e o dividendo.
\[\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}\]
Em outras palavras, ao dividir expressões exponenciais com a mesma base, escrevemos o resultado com a base comum e subtraímos os expoentes.
\(\dfrac{y^9}{y^5}=y^{9−5}=y^4\)
Por enquanto, devemos estar cientes da condição\(m>n\). Caso contrário, a diferença\(m-n\) pode ser zero ou negativa. Essas possibilidades serão exploradas em breve. Além disso, em vez de qualificar variáveis como diferentes de zero a cada vez, simplificaremos as coisas e assumiremos daqui em diante que todas as variáveis representam números reais diferentes de zero.
Para qualquer número real\(a\) e números naturais\(m\) e\(n\), de forma que\(m>n\), a regra do quociente dos expoentes afirma que
\[\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n} \label{quot}\]
Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique ainda mais.
- \(\dfrac{(−2)^{14}}{(−2)^{9}}\)
- \(\dfrac{t^{23}}{t^{15}}\)
- \(\dfrac{(z\sqrt{2})^5}{z\sqrt{2}}\)
Solução
Use a regra do quociente (Equação\ ref {quot}) para simplificar cada expressão.
- \(\dfrac{(−2)^{14}}{(−2)^{9}}=(−2)^{14−9}=(−2)^5\)
- \(\dfrac{t^{23}}{t^{15}}\)=t^ {23−15} =t^8\)
- \(\dfrac{(z\sqrt{2})^5}{z\sqrt{2}}=(z\sqrt{2})^{5−1}=(z\sqrt{2})^4\)
Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique ainda mais.
- \(\dfrac{s^{75}}{s^{68}}\)
- \(\dfrac{(−3)^6}{−3}\)
- \(\dfrac{(ef^2)^5}{(ef^2)^3}\)
- Responda a
-
\(s^7\)
- Resposta b
-
\((−3)^5\)
- Resposta c
-
\((ef^2)^2\)
Usando a regra de potência dos expoentes
Suponha que uma expressão exponencial seja elevada a alguma potência. Podemos simplificar o resultado? Sim. Para fazer isso, usamos a regra de potência dos expoentes. Considere a expressão\((x^2)^3\). A expressão dentro dos parênteses é multiplicada duas vezes porque tem um expoente de\(2\). Em seguida, o resultado é multiplicado três vezes porque toda a expressão tem um expoente de\(3\).
\[\begin{align*} (x^2)^3 &= (x^2)\times(x^2)\times(x^2)\\ &= x\times x\times x\times x\times x\times x\\ &= x^6 \end{align*}\]
O expoente da resposta é o produto dos expoentes:\((x^2)^3=x^{2⋅3}=x^6\). Em outras palavras, ao elevar uma expressão exponencial a uma potência, escrevemos o resultado com a base comum e o produto dos expoentes.
\[(a^m)^n=a^{m⋅n}\]
Tenha cuidado ao distinguir entre os usos da regra do produto e da regra de potência. Ao usar a regra do produto, termos diferentes com as mesmas bases são elevados a expoentes. Nesse caso, você adiciona os expoentes. Ao usar a regra de potência, um termo em notação exponencial é elevado a uma potência. Nesse caso, você multiplica os expoentes.
| Regra do produto | Regra de poder |
|---|---|
| \(5^3\times5^4=5^{3+4}=5^7\) | \((5^3)^4=5^{3\times4}=5^{12}\) |
| \(x^5\times x^2=x^{5+2}=x^7\) | \((x^5)^2=x^{5\times2}=x^{10}\) |
| \((3a)^7\times(3a)^{10}=(3a)^{7+10}=(3a)^{17}\) | \(((3a)^7)^{10}=(3a)^{7\times10}=(3a)^{70}\) |
Para qualquer número real a e números inteiros positivos m e n, a regra da potência dos expoentes afirma que
\[(a^m)^n=a^{m⋅n} \label{power}\]
Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique ainda mais.
- \((x^2)^7\)
- \(((2t)^5)^3\)
- \(((−3)^5)^{11}\)
Solução
Use a regra de potência (Equação\ ref {power}) para simplificar cada expressão.
- \((x^2)^7=x^{2⋅7}=x^{14}\)
- \(((2t)^5)^3=(2t)^{5⋅3}=(2t)^{15}\)
- \(((−3)^5)^{11}=(−3)^{5⋅11}=(−3)^{55}\)
Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique ainda mais.
- \(((3y)^8)^3\)
- \((t^5)^7\)
- \(((−g)^4)^4\)
- Responda a
-
\((3y)^{24}\)
- Resposta b
-
\(t^{35}\)
- Resposta c
-
\((−g)^{16}\)
Usando a regra do expoente zero dos expoentes
Retorne à regra do quociente. Estabelecemos a condição de\(m>n\) que a diferença nunca\(m−n\) fosse zero ou negativa. O que aconteceria se\(m=n\)? Nesse caso, usaríamos a regra do expoente zero dos expoentes para simplificar a expressão para\(1\). Para ver como isso é feito, vamos começar com um exemplo.
\[\dfrac{t^8}{t^8}=1 \nonumber\]
Se fôssemos simplificar a expressão original usando a regra do quociente, teríamos
\[\dfrac{t^8}{t^8}=t^{8−8}=t^0 \nonumber\]
Se igualarmos as duas respostas, o resultado é\(t^0=1\). Isso vale para qualquer número real diferente de zero ou qualquer variável que represente um número real.
\[a^0=1 \nonumber\]
A única exceção é a expressão\(0^0\). Isso aparece posteriormente em cursos mais avançados, mas, por enquanto, consideraremos o valor como indefinido.
Para qualquer número real diferente de zero a, a regra do expoente zero dos expoentes afirma que
\[a^0=1\]
Simplifique cada expressão usando a regra do expoente zero dos expoentes.
- \(\dfrac{c^3}{c^3}\)
- \(\dfrac{-3x^5}{x^5}\)
- \(\dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)\times(j^2k)^3}\)
- \(\dfrac{5(rs^2)^2}{(rs^2)^2}\)
Solução
Use o expoente zero e outras regras para simplificar cada expressão.
uma.\[\begin{align*} \dfrac{c^3}{c^3} &= c^{3-3}\\ &= c^0\\ &= 1 \end{align*}\]
b.\[\begin{align*} \dfrac{-3x^5}{x^5} &= -3\times\dfrac{x^5}{x^5}\\ &= -3\times x^{5-5}\\ &= -3\times x^0\\ &= -3\times 1\\ &= -3 \end{align*}\]
c.\[\begin{align*} \dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)\times(j^2k)^3} &= \dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)^{1+3}} && \text{ Use the product rule in the denominator}\\ &= \dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)^4} && \text{ Simplify}\\ &= (j^2k)^{4-4} && \text{ Use the quotient rule}\\ &= (j^2k)^0 && \text{ Simplify}\\ &= 1 \end{align*}\]
d.\[\begin{align*} \dfrac{5(rs^2)^2}{(rs^2)^2} &= 5(rs^2)^{2-2} && \text{ Use the quotient rule}\\ &= 5(rs^2)^0 && \text{ Simplify}\\ &= 5\times1 && \text{ Use the zero exponent rule}\\ &= 5 && \text{ Simplify} \end{align*}\]
Simplifique cada expressão usando a regra do expoente zero dos expoentes.
- \(\dfrac{t^7}{t^7}\)
- \(\dfrac{(de^2)^{11}}{2(de^2)^{11}}\)
- \(\dfrac{w^4\times w^2}{w^6}\)
- \(\dfrac{t^3\times t^4}{t^2\times t^5}\)
- Responda a um
-
\(1\)
- Resposta b
-
\(\dfrac{1}{2}\)
- Resposta c
-
\(1\)
- Resposta d
-
\(1\)
Usando a regra negativa dos expoentes
Outro resultado útil ocorre se relaxarmos ainda mais a condição\(m>n\) na regra do quociente. Por exemplo, podemos simplificar\(\dfrac{t^3}{t^5}\)? Quando,\(m<n\) ou seja, onde a diferença\(m−n\) é negativa, podemos usar a regra negativa dos expoentes para simplificar a expressão para sua recíproca.
Divida uma expressão exponencial por outra com um expoente maior. Use nosso exemplo,\(\dfrac{t^3}{t^5}\).
\[\begin{align*} \dfrac{t^3}{t^5} &= \dfrac{t\times t\times t}{t\times t\times t\times t\times t} \\ &= \dfrac{1}{t\times t}\\ &= \dfrac{1}{h^2} \end{align*}\]
Se fôssemos simplificar a expressão original usando a regra do quociente, teríamos
\[\begin{align*} \dfrac{t^3}{t^5} &= h^{3-5} \\ &= h^{-2} \end{align*}\]
Juntando as respostas, nós temos\(h^{−2}=\dfrac{1}{h^2}\). Isso vale para qualquer número real diferente de zero ou qualquer variável representando um número real diferente de zero.
Um fator com um expoente negativo se torna o mesmo fator com um expoente positivo se for movido pela barra de frações — do numerador para o denominador ou vice-versa.
Mostramos que a expressão exponencial an é definida quando\(n\) é um número natural ou o negativo de um número natural.\(0\) Isso significa que an é definido para qualquer número inteiro\(n\). Além disso, as regras do produto e do quociente e todas as regras que analisaremos em breve valem para qualquer número inteiro\(n\).
Para qualquer número real diferente de zero a e número natural n, a regra negativa dos expoentes afirma que
\[a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\]
Escreva cada um dos seguintes quocientes com uma única base. Não simplifique ainda mais. Escreva respostas com expoentes positivos.
- \(\dfrac{\theta^3}{\theta^{10}}\)
- \(\dfrac{z^2\times z}{z^4}\)
- \(\dfrac{(-5t^3)^4}{(-5t^3)^8}\)
Solução
- \(\dfrac{\theta^3}{\theta^{10}}=\theta^{3-10}=\theta^{-7}=\dfrac{1}{\theta^7}\)
- \(\dfrac{z^2\times z}{z^4}=\dfrac{z^{2+1}}{z^4}=\dfrac{z^3}{z^4}=z^{3-4}=z^{-1}=\dfrac{1}{z}\)
- \(\dfrac{(-5t^3)^4}{(-5t^3)^8}=(-5t^3)^{4-8}=(-5t^3)^{-4}=\dfrac{1}{(-5t^3)^4}\)
Escreva cada um dos seguintes quocientes com uma única base. Não simplifique ainda mais. Escreva respostas com expoentes positivos.
- \(\dfrac{(-3t)^2}{(-3t)^8}\)
- \(\dfrac{f^{47}}{f^{49}\times f}\)
- \(\dfrac{2k^4}{5k^7}\)
- Responda a um
-
\(\dfrac{1}{(-3t)^6}\)
- Resposta b
-
\(\dfrac{1}{f^3}\)
- Resposta c
-
\(\dfrac{2}{5k^3}\)
Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique ainda mais. Escreva respostas com expoentes positivos.
- \(b^2\times b^{-8}\)
- \((-x)^5\times(-x)^{-5}\)
- \(\dfrac{-7z}{(-7z)^5}\)
Solução
- \(b^2\times b^{-8}=b^{2-8}=b^{-6}=\dfrac{1}{b^6}\)
- \((-x)^5\times(-x)^{-5}=(-x)^{5-5}=(-x)^0=1\)
- \(\dfrac{-7z}{(-7z)^5}= \dfrac{(-7z)^1}{(-7z)^5}=(-7z)^{1-5}=(-7z)^{-4}=\dfrac{1}{(-7z)^4}\)
Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique ainda mais. Escreva respostas com expoentes positivos.
- \(t^{-11}\times t^6\)
- \(\dfrac{25^{12}}{25^{13}}\)
- Responda a um
-
\(t^{-5}=\dfrac{1}{t^5}\)
- Resposta b
-
\(\dfrac{1}{25}\)
Encontrando o poder de um produto
Para simplificar a potência de um produto de duas expressões exponenciais, podemos usar a potência de uma regra de produto de expoentes, que divide a potência de um produto de fatores em produto das potências dos fatores. Por exemplo, considere\((pq)^3\). Começamos usando as propriedades associativas e comutativas da multiplicação para reagrupar os fatores.
\[\begin{align*} (pq)^3 &= (pq)\times(pq)\times(pq)\\ &= p\times q\times p\times q\times p\times q\\ &= p^3\times q^3 \end{align*}\]
Em outras palavras,\((pq)^3=p^3\times q^3\).
Para qualquer número real a e b e qualquer inteiro n, a potência de uma regra de produto dos expoentes afirma que
\[(ab)^n=a^nb^n\]
Simplifique cada um dos seguintes produtos o máximo possível usando o poder de uma regra de produto. Escreva respostas com expoentes positivos.
- \((ab^2)^3\)
- \((2t)^{15}\)
- \((-2w^3)^3\)
- \(\dfrac{1}{(-7z)^4}\)
- \((e^{-2}f^2)^7\)
Solução
Use as regras do produto e do quociente e as novas definições para simplificar cada expressão.
uma.\((ab^2)^3=(a)^3\times(b^2)^3=a^{1\times3}\times b^{2\times3}=a^3b^6\)
b.\((2t)^{15}=(2)^{15}\times(t)^{15}=2^{15}t^{15}=32,768t^{15}\)
c.\((−2w^3)^3=(−2)^3\times(w^3)^3=−8\times w^{3\times3}=−8w^9\)
d.\(\dfrac{1}{(-7z)^4}=\dfrac{1}{(-7)^4\times(z)^4}=\dfrac{1}{2401z^4}\)
e.\((e^{-2}f^2)^7=(e^{−2})^7\times(f^2)^7=e^{−2\times7}\times f^{2\times7}=e^{−14}f^{14}=\dfrac{f^{14}}{e^{14}}\)
Simplifique cada um dos seguintes produtos o máximo possível usando o poder de uma regra de produto. Escreva respostas com expoentes positivos.
- \((g^2h^3)^5\)
- \((5t)^3\)
- \((-3y^5)^3\)
- \(\dfrac{1}{(a^6b^7)^3}\)
- \((r^3s^{-2})^4\)
- Responda a um
-
\(g^{10}h^{15}\)
- Resposta b
-
\(125t^3\)
- Resposta c
-
\(-27y^{15}\)
- Resposta d
-
\(\dfrac{1}{a^{18}b^{21}}\)
- Responda e
-
\(\dfrac{r^{12}}{s^8}\)
Encontrando a potência de um quociente
Para simplificar a potência de um quociente de duas expressões, podemos usar a potência de uma regra do quociente, que afirma que a potência de um quociente de fatores é o quociente das potências dos fatores. Por exemplo, vamos dar uma olhada no exemplo a seguir.
\[(e^{−2}f^2)^7=\dfrac{f^{14}}{e^{14}}\]
Vamos reescrever o problema original de forma diferente e ver o resultado.
\[\begin{align*} (e^{-2}f^2)^7 &= \left(\dfrac{f^2}{e^2}\right)^7\\ &= \dfrac{f^{14}}{e^{14}} \end{align*}\]
Nas duas últimas etapas, parece que podemos usar o poder de uma regra de produto como um poder de uma regra de quociente.
\[\begin{align*} (e^{-2}f^2)^7 &= \left(\dfrac{f^2}{e^2}\right)^7\\ &= \dfrac{(f^2)^7}{(e^2)^7}\\ &= \dfrac{f^{2\times7}}{e^{2\times7}}\\ &= \dfrac{f^{14}}{e^{14}} \end{align*}\]
Para qualquer número real a e b e qualquer inteiro n, a potência de uma regra de quociente de expoentes afirma que
\[\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\]
Simplifique cada um dos seguintes quocientes o máximo possível usando a potência de uma regra de quociente. Escreva respostas com expoentes positivos.
- \(\left(\dfrac{4}{z^{11}}\right)^3\)
- \(\left(\dfrac{p}{q^3}\right)^6\)
- \(\left(\dfrac{-1}{t^2}\right)^{27}\)
- \((j^3k^{-2})^4\)
- \((m^{-2}n^{-2})^3\)
Solução
uma.\(\left(\dfrac{4}{z^{11}}\right)^3=\dfrac{(4)^3}{(z^{11})^3}=\dfrac{64}{z^{11\times3}}=\dfrac{64}{z^{33}}\)
b.\(\left(\dfrac{p}{q^3}\right)^6=\dfrac{(p)^6}{(q^3)^6}=\dfrac{p^{1\times6}}{q^{3\times6}}=\dfrac{p^6}{q^{18}}\)
c.\(\left(\dfrac{-1}{t^2}\right)^{27}=\dfrac{(-1)^{27}}{(t^2)^{27}}=\dfrac{-1}{t^{2\times27}}=\dfrac{-1}{t^{54}}=-\dfrac{1}{t^{54}}\)
d.\((j^3k^{-2})^4=\left(\dfrac{j^3}{k^2}\right)^4=\dfrac{(j^3)^4}{(k^2)^4}=\dfrac{j^{3\times4}}{k^{2\times4}}=\dfrac{j^{12}}{k^8}\)
e.\((m^{-2}n^{-2})^3=\left(\dfrac{1}{m^2n^2}\right)^3=\dfrac{(1)^3}{(m^2n^2)^3}=\dfrac{1}{(m^2)^3(n^2)^3}=\dfrac{1}{m^{2\times3}n^{2\times3}}=\dfrac{1}{m^6n^6}\)
Simplifique cada um dos seguintes quocientes o máximo possível usando a potência de uma regra de quociente. Escreva respostas com expoentes positivos.
- \(\left(\dfrac{b^5}{c}\right)^3\)
- \(\left(\dfrac{5}{u^8}\right)^4\)
- \(\left(\dfrac{-1}{w^3}\right)^{35}\)
- \((p^{-4}q^3)^8\)
- \((c^{-5}d^{-3})^4\)
- Responda a um
-
\(\dfrac{b^{15}}{c^3}\)
- Resposta b
-
\(\dfrac{625}{u^{32}}\)
- Resposta c
-
\(\dfrac{-1}{w^{105}}\)
- Resposta d
-
\(\dfrac{q^{24}}{p^{32}}\)
- Responda e
-
\(\dfrac{1}{c^{20}d^{12}}\)
Simplificando expressões exponenciais
Lembre-se de que simplificar uma expressão significa reescrevê-la combinando termos ou expoentes; em outras palavras, escrever a expressão de forma mais simples com menos termos. As regras para expoentes podem ser combinadas para simplificar as expressões.
Simplifique cada expressão e escreva a resposta somente com expoentes positivos.
- \((6m^2n^{-1})^3\)
- \(17^5\times17^{-4}\times17^{-3}\)
- \(\left(\dfrac{u^{-1}v}{v^{-1}}\right)^2\)
- \((-2a^3b^{-1})(5a^{-2}b^2)\)
- \((x^2\sqrt{2})^4(x^2\sqrt{2})^{-4}\)
- \(\dfrac{(3w^2)^5}{(6w^{-2})^2}\)
Solução
uma.\[\begin{align*} (6m^2n^{-1})^3 &= (6)^3(m^2)^3(n^{-1})^3 && \text{ The power of a product rule}\\ &= 6^3m^{2\times3}n^{-1\times3} && \text{ The power rule}\\ &= 216m^6n^{-3} && \text{ The power rule}\\ &= \dfrac{216m^6}{n^3} && \text{ The negative exponent rule} \end{align*}\]
b.\[\begin{align*} 17^5\times17^{-4}\times17^{-3} &= 17^{5-4-3} && \text{ The product rule}\\ &= 17^{-2} && \text{ Simplify}\\ &= \dfrac{1}{17^2} \text{ or } \dfrac{1}{289} && \text{ The negative exponent rule} \end{align*}\]
c.\[\begin{align*} \left ( \dfrac{u^{-1}v}{v^{-1}} \right )^2 &= \dfrac{(u^{-1}v)^2}{(v^{-1})^2} && \text{ The power of a quotient rule}\\ &= \dfrac{u^{-2}v^2}{v^{-2}} && \text{ The power of a product rule}\\ &= u^{-2}v^{2-(-2)} && \text{ The quotient rule}\\ &= u^{-2}v^4 && \text{ Simplify}\\ &= \dfrac{v^4}{u^2} && \text{ The negative exponent rule} \end{align*}\]
d.\[\begin{align*} \left (-2a^3b^{-1} \right ) \left(5a^{-2}b^2 \right ) &= \left (x^2\sqrt{2} \right )^{4-4} && \text{ Commutative and associative laws of multiplication}\\ &= -10\times a^{3-2}\times b^{-1+2} && \text{ The product rule}\\ &= -10ab && \text{ Simplify} \end{align*}\]
e.\[\begin{align*} \left (x^2\sqrt{2})^4(x^2\sqrt{2} \right )^{-4} &= \left (x^2\sqrt{2} \right )^{4-4} && \text{ The product rule}\\ &= \left (x^2\sqrt{2} \right )^0 && \text{ Simplify}\\ &= 1 && \text{ The zero exponent rule} \end{align*}\]
f.\[\begin{align*} \dfrac{(3w^2)^5}{(6w^{-2})^2} &= \dfrac{(3)^5\times(w^2)^5}{(6)^2\times(w^{-2})^2} && \text{ The power of a product rule}\\ &= \dfrac{3^5w^{2\times5}}{6^2w^{-2\times2}} && \text{ The power rule}\\ &= \dfrac{243w^{10}}{36w^{-4}} && \text{ Simplify}\\ &= \dfrac{27w^{10-(-4)}}{4} && \text{ The quotient rule and reduce fraction}\\ &= \dfrac{27w^{14}}{4} && \text{ Simplify} \end{align*}\]
Usando notação científica
Lembre-se, no início da seção, de que encontramos o número\(1.3\times10^{13}\) ao descrever pedaços de informação em imagens digitais. Outros números extremos incluem a largura de um fio de cabelo humano, que é aproximadamente\(0.00005\; m\), e o raio de um elétron, que é aproximadamente\(0.00000000000047\; m\). Como podemos trabalhar de forma eficaz, ler, comparar e calcular com números como esses?
Um método abreviado de escrever números muito pequenos e muito grandes é chamado de notação científica, na qual expressamos números em termos de expoentes de\(10\). Para escrever um número em notação científica, mova o ponto decimal para a direita do primeiro dígito do número. Escreva os dígitos como um número decimal entre\(1\)\(10\) e. Conte o número de casas em\(n\) que você moveu o ponto decimal. Multiplique o número decimal por\(10\) elevado a uma potência de\(n\). Se você moveu o decimal para a esquerda como em um número muito grande,\(n\) é positivo. Se você moveu o decimal para a direita como em um número pequeno e grande,\(n\) é negativo.
Por exemplo, considere o número\(2,780,418\). Mova o decimal para a esquerda até que esteja à direita do primeiro dígito diferente de zero, que é\(2\).
Obtemos\(2.780418\) movendo as casas\(6\) decimais para a esquerda. Portanto, o expoente de\(10\) é\(6\) e é positivo porque movemos o ponto decimal para a esquerda. Isso é o que devemos esperar de um grande número.
Trabalhar com números pequenos é semelhante. Tomemos, por exemplo, o raio de um elétron,\(0.00000000000047\; m\). Execute a mesma série de etapas acima, exceto mover o ponto decimal para a direita.
Tenha cuidado para não incluir a liderança\(0\) em sua contagem. Movemos as casas\(13\) decimais para a direita, então o expoente de\(10\) é\(13\). O expoente é negativo porque movemos o ponto decimal para a direita. Isso é o que devemos esperar de um número pequeno.
Um número é escrito em notação científica se for escrito na forma\(a\times{10}^n\), onde\(1≤|a|<10\) e\(n\) é um número inteiro.
Escreva cada número em notação científica.
- Distância da Terra para a Galáxia de Andrômeda:\(24,000,000,000,000,000,000,000\; m\)
- Diâmetro da galáxia de Andrômeda:\(1,300,000,000,000,000,000,000\; m\)
- Número de estrelas na galáxia de Andrômeda:\(1,000,000,000,000\)
- Diâmetro do elétron:\(0.00000000000094\; m\)
- Probabilidade de ser atingido por um raio em qualquer ano:\(0.00000143\)
Solução
a.\(24,000,000,000,000,000,000,000\; m\)\(22\) lugares
\(2.4\times{10}^{22}\; m\)
b.\(1,300,000,000,000,000,000,000\; m\)\(21\) lugares
\(1.3\times{10}^{21}\; m\)
c.\(1,000,000,000,000\)\(12\) lugares
\(1\times{10}^{12}\)
d.\(0.00000000000094\; m\)\(13\) lugares
\(9.4\times{10}^{-13}\; m\)
e.\(0.00000143\)\(6\) lugares
\(1.43\times{10}^6\)
AnáliseObserve que, se o número dado for maior que\(1\), como nos exemplos a—c, o expoente de\(10\) é positivo; e se o número for menor que\(1\), como nos exemplos d—e, o expoente é negativo.
Escreva cada número em notação científica.
- Dívida nacional dos EUA por contribuinte (abril de 2014):\(\$152,000\)
- População mundial (abril de 2014):\(7,158,000,000\)
- Renda nacional bruta mundial (abril de 2014):\(\$85,500,000,000,000\)
- Hora da viagem da luz\(1\; m: 0.00000000334\; s\)
- Probabilidade de ganhar na loteria (combinação\(6\) de números\(49\) possíveis):\(0.0000000715\)
- Responda a
-
\(\$1.52\times{10}^5\)
- Resposta b
-
\(7.158\times{10}^9\)
- Resposta c
-
\(\$8.55\times{10}^{13}\)
- Resposta d
-
\(3.34\times{10}^{-9}\)
- Responda e
-
\(7.15\times{10}^{-8}\)
Conversão da notação científica para a notação padrão
Para converter um número em notação científica em notação padrão, basta inverter o processo. Mova as casas decimais n para a direita se\(n\) for positivo ou as\(n\) casas para a esquerda se\(n\) for negativo e adicione zeros conforme necessário. Lembre-se de que, se\(n\) for positivo, o valor do número será maior que e\(1\), se\(n\) for negativo, o valor do número será menor que um.
Converta cada número em notação científica em notação padrão.
- \(3.547\times{10}^{14}\)
- \(−2\times{10}^6\)
- \(7.91\times{10}^{−7}\)
- \(−8.05\times{10}^{−12}\)
Solução
uma.\(3.547\times{10}^{14}\)
\(3.54700000000000\)
\(\rightarrow14\)lugares
\(354,700,000,000,000\)
b.\(−2\times{10}^6\)
\(−2.000000\)
\(\rightarrow6\)lugares
\(−2,000,000\)
c.\(7.91\times{10}^{−7}\)
\(0000007.91\)
\(\rightarrow7\)lugares
\(0.000000791\)
d.\(−8.05\times{10}^{−12}\)
\(−000000000008.05\)
\(\rightarrow12\)lugares
\(−0.00000000000805\)
Converta cada número em notação científica em notação padrão.
- \(7.03\times{10}^5\)
- \(−8.16\times{10}^{11}\)
- \(−3.9\times{10}^{−13}\)
- \(8\times{10}^{−6}\)
- Responda a
-
\(703,000\)
- Resposta b
-
\(−816,000,000,000\)
- Resposta c
-
\(−0.00000000000039\)
- Resposta d
-
\(0.000008\)
Usando notação científica em aplicativos
A notação científica, usada com as regras dos expoentes, torna o cálculo com números grandes ou pequenos muito mais fácil do que com a notação padrão. Por exemplo, suponha que sejamos solicitados a calcular o número de átomos na\(1\; L\) água. Cada molécula de água contém\(3\) átomos (\(2\)hidrogênio e\(1\) oxigênio). A gota média de água contém cerca de\(1.32\times{10}{21}\) moléculas de água e\(1\; L\) de água contém cerca de gotas\(1.22\times{10}^{4}\) médias. Portanto, há aproximadamente\(3⋅(1.32\times{10}^{21})⋅(1.22\times{10}^4)≈4.83\times{10}^{25}\) átomos na\(1\; L\) água. Simplesmente multiplicamos os termos decimais e adicionamos os expoentes. Imagine ter que realizar o cálculo sem usar a notação científica!
Ao realizar cálculos com notação científica, certifique-se de escrever a resposta na notação científica adequada. Por exemplo, considere o produto\((7\times{10}^4)⋅(5\times{10}^6)=35\times{10}^{10}\). A resposta não está na notação científica adequada porque\(35\) é maior que\(10\). Considere\(35\) como\(3.5\times10\). Isso adiciona um dez ao expoente da resposta.
\((35)\times{10}^{10}=(3.5\times10)\times{10}^{10}=3.5\times(10\times{10}^{10})=3.5\times{10}^{11}\)
Execute as operações e escreva a resposta em notação científica.
- \((8.14\times{10}^{−7})(6.5\times{10}^{10})\)
- \((4\times{10}^5)÷(−1.52\times{10}^{9})\)
- \((2.7\times{10}^5)(6.04\times{10}^{13})\)
- \((1.2\times{10}^8)÷(9.6\times{10}^5)\)
- \((3.33\times{10}^4)(−1.05\times{10}^7)(5.62\times{10}^5)\)
Soluções
uma.\[\begin{align*} (8.14\times{10}^{-7})(6.5\times{10}^{10}) &= (8.14\times6.5)({10}^{-7}\times{10}^{10}) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &= (52.91)({10}^3) \text{ Product rule of exponents}\\ &= 5.291\times{10}^4 \text{ Scientific notation} \end{align*}\]
b.\[\begin{align*} (4\times{10}^5)\div (-1.52\times{10}^{9}) &= \left(\dfrac{4}{-1.52}\right)\left(\dfrac{{10}^5}{{10}^9}\right) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &\approx (-2.63)({10}^{-4}) \text{ Quotient rule of exponents}\\ &= -2.63\times{10}^{-4} \text{ Scientific notation} \end{align*}\]
c.\[\begin{align*} (2.7\times{10}^5)(6.04\times{10}^{13}) &= (2.7\times6.04)({10}^5\times{10}^{13}) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &= (16.308)({10}^{18}) \text{ Product rule of exponents}\\ &= 1.6308\times{10}^{19} \text{ Scientific notation} \end{align*}\]
d.\[\begin{align*} (1.2\times{10}^8)÷(9.6\times{10}^5) &= \left(\dfrac{1.2}{9.6}\right)\left(\dfrac{{10}^8}{{10}^5}\right) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &= (0.125)({10}^3) \text{ Quotient rule of exponents}\\ &= 1.25\times{10}^2 \text{ Scientific notation} \end{align*}\]
e.\[\begin{align*} (3.33\times{10}^4)(-1.05\times{10}^7)(5.62\times{10}^5) &= [3.33\times(-1.05)\times5.62]({10}^4\times{10}^7\times{10}^5)\\ &\approx (-19.65)({10}^{16})\\ &= -1.965\times{10}^{17} \end{align*}\]
Execute as operações e escreva a resposta em notação científica.
- \((−7.5\times{10}^8)(1.13\times{10}^{−2})\)
- \((1.24\times{10}^{11})÷(1.55\times{10}^{18})\)
- \((3.72\times{10}^9)(8\times{10}^3)\)
- \((9.933\times{10}^{23})÷(−2.31\times{10}^{17})\)
- \((−6.04\times{10}^9)(7.3\times{10}^2)(−2.81\times{10}^2)\)
- Responda a
-
\(−8.475\times{10}^6\)
- Resposta b
-
\(8\times{10}^{−8}\)
- Resposta c
-
\(2.976\times{10}^{13}\)
- Resposta d
-
\(−4.3\times{10}^6\)
- Responda e
-
\(≈1.24\times{10}^{15}\)
Em abril de 2014, a população dos Estados Unidos era de cerca de\(308,000,000\) pessoas. A dívida nacional era de cerca de\(\$17,547,000,000,000\). Escreva cada número em notação científica, arredondando os números para duas casas decimais e encontre o valor da dívida por cidadão americano. Escreva a resposta em notações científicas e padrão.
Solução
A população era\(308,000,000=3.08\times{10}^8\).
A dívida nacional era\($17,547,000,000,000≈$1.75\times{10}^{13}\).
Para encontrar o valor da dívida por cidadão, divida a dívida nacional pelo número de cidadãos.
\[\begin{align*} (1.75\times{10}^{13})\div (3.08\times{10}^8)&=\left(\dfrac{1.75}{3.08}\right)({10}^5)\\ &\approx 0.57\times{10}^5\\ &=5.7\times{10}^4 \end{align*}\]
A dívida por cidadão na época era de cerca de\($5.7\times{10}^4\), ou\($57,000\).
Um corpo humano médio contém cerca de glóbulos\(30,000,000,000,000\) vermelhos. Cada célula mede aproximadamente o\(0.000008\; m\) comprimento. Escreva cada número em notação científica e encontre o comprimento total se as células foram colocadas de ponta a ponta. Escreva a resposta em notações científicas e padrão.
- Resposta
-
Número de células:\(3\times{10}^{13}\); comprimento de uma célula:\(8\times{10}^{−6}\; m\); comprimento total:\(2.4\times{10}^8\; m\) ou\(240,000,000\; m\).
Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com expoentes e notação científica.
Simplifique as expressões de expon
Regra do quociente para expoentes
Conversão para notação decimal
Equações chave
| Regras de expoentes Para números reais diferentes de zero a e b e números inteiros m e n | |
| Regra do produto | \(a^m⋅a^n=a^{m+n}\) |
| Regra do quociente | \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}\) |
| Regra de poder | \((a^m)^n=a^{m⋅n}\) |
| Regra do expoente zero | \(a^0=1\) |
| Regra negativa | \(a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\) |
| Poder de uma regra de produto | \((a⋅b)^n=a^n⋅b^n\) |
| Potência de uma regra de quociente | \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\) |
Conceitos chave
- Produtos de expressões exponenciais com a mesma base podem ser simplificados com a adição de expoentes. Veja o exemplo.
- Os quocientes de expressões exponenciais com a mesma base podem ser simplificados subtraindo os expoentes. Veja o exemplo.
- Poderes de expressões exponenciais com a mesma base podem ser simplificados pela multiplicação de expoentes. Veja o exemplo.
- Uma expressão com expoente zero é definida como 1. Veja o exemplo.
- Uma expressão com um expoente negativo é definida como recíproca. Veja o exemplo e o exemplo.
- O poder de um produto de fatores é o mesmo que o produto dos poderes dos mesmos fatores. Veja o exemplo.
- O poder de um quociente de fatores é o mesmo que o quociente das potências dos mesmos fatores. Veja o exemplo.
- As regras para expressões exponenciais podem ser combinadas para simplificar expressões mais complicadas. Veja o exemplo.
- A notação científica usa potências de 10 para simplificar números muito grandes ou muito pequenos. Veja o exemplo e o exemplo.
- A notação científica pode ser usada para simplificar os cálculos com números muito grandes ou muito pequenos. Veja o exemplo e o exemplo.