1.3: Expoentes e notação científica

objetivos de aprendizagem

• Várias regras de expoentes
• Notação científica

Matemáticos, cientistas e economistas geralmente encontram números muito grandes e muito pequenos. Mas pode não ser óbvio o quão comuns esses números são na vida cotidiana. Por exemplo, um pixel é a menor unidade de luz que pode ser percebida e gravada por uma câmera digital. Uma câmera específica pode gravar uma imagem com$2,048$ pixels por$1,536$ pixels, que é uma imagem de altíssima resolução. Ele também pode perceber uma profundidade de cor (gradações de cores) de até$48$ bits por quadro e pode fotografar o equivalente a$24$ quadros por segundo. O número máximo possível de bits de informação usados para filmar um filme digital de uma hora ($3,600$-segundo) é então um número extremamente grande.

Usando uma calculadora$2,048×1$$536×48×24×3$, entramos$600$ e pressionamos ENTER. A calculadora é exibida$1.304596316E13$. O que isso significa? A parte “$E13$” do resultado representa o expoente$13$ de dez, portanto, há um máximo de aproximadamente$1.3\times10^{13}$ bits de dados nesse filme de uma hora. Nesta seção, analisamos primeiro as regras dos expoentes e depois as aplicamos aos cálculos que envolvem números muito grandes ou pequenos.

Usando a regra do produto dos expoentes

Considere o produto$x^3\times x^4$. Ambos os termos têm a mesma base$x$, mas são elevados para expoentes diferentes. Expanda cada expressão e, em seguida, reescreva a expressão resultante.

$$\begin{align*} x^3 \times x^4 &= \overbrace{x \times x \times x}^{\text{3 factors}} \times \overbrace{ x \times x \times x\times x}^{\text{4 factors}} \\[4pt] &= \overbrace{x\times x\times x\times x\times x\times x\times x}^{\text{7 factors}} \\[4pt] &=x^7 \end{align*}$$

O resultado é isso$x^3\times x^4=x^{3+4}=x^7$.

Observe que o expoente do produto é a soma dos expoentes dos termos. Em outras palavras, ao multiplicar expressões exponenciais com a mesma base, escrevemos o resultado com a base comum e adicionamos os expoentes. Essa é a regra do produto dos expoentes.

$$a^m\times a^n=a^{m+n}$$

Agora, considere um exemplo com números reais.

$2^3\times2^4=2^{3+4}=2^7$

Sempre podemos verificar se isso é verdade simplificando cada expressão exponencial. Descobrimos que$2^3$$2^4$ é$8$$16$, é e$2^7$ é$128$. O produto$8\times16$ é igual$128$, então a relação é verdadeira. Podemos usar a regra do produto dos expoentes para simplificar expressões que são um produto de dois números ou expressões com a mesma base, mas com expoentes diferentes.

A REGRA DO PRODUTO DOS EXPOENTES

Para qualquer número real a e números naturais$m$ e$n$, a regra do produto dos expoentes afirma que

$$a^m\times a^n=a^{m+n} \label{prod}$$

Exemplo$\PageIndex{1}$: Using the Product Rule

Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique ainda mais.

1. $t^5\times t^3$
2. $(−3)^5\times(−3)$
3. $x^2\times x^5\times x^3$

Solução

Use a regra do produto (Equation\ ref {prod}) para simplificar cada expressão.

1. $t^5\times t^3=t^{5+3}=t^8$
2. $(−3)^5\times(−3)=(−3)^5\times(−3)^1=(−3)^{5+1}=(−3)^6$
3. $x^2\times x^5\times x^3$

A princípio, pode parecer que não podemos simplificar um produto de três fatores. No entanto, usando a propriedade associativa da multiplicação, comece simplificando as duas primeiras.

$$x^2\times x^5\times x^3=(x^2\times x^5) \times x^3=(x^{2+5})\times x^3=x^7\times x^3=x^{7+3}=x^{10} \nonumber$$

Observe que obtemos o mesmo resultado adicionando os três expoentes em uma etapa.

$$x^2\times x^5\times x^3=x^{2+5+3}=x^{10} \nonumber$$

Exercício$\PageIndex{1}$

Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique ainda mais.

1. $k^6\times k^9$
2. $\left(\dfrac{2}{y}\right)^4\times\left(\dfrac{2}{y}\right)$
3. $t^3\times t^6\times t^5$

Responda a um

$k^{15}$

Resposta b

$\left(\dfrac{2}{y}\right)^5$

Resposta c

$t^{14}$

Usando a regra do quociente dos expoentes

A regra do quociente dos expoentes nos permite simplificar uma expressão que divide dois números com a mesma base, mas com expoentes diferentes. De forma semelhante à regra do produto, podemos simplificar uma expressão como$\dfrac{y^m}{y^n}$, where$m>n$. Considere o exemplo$\dfrac{y^9}{y^5}$. Execute a divisão cancelando fatores comuns.

$$\begin{align*} \dfrac{y^9}{y^5} &= \dfrac{y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y}{y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y}\\ &= \dfrac{y\cdot y\cdot y\cdot y}{1}\\ &= y^4 \end{align*}$$

Observe que o expoente do quociente é a diferença entre os expoentes do divisor e o dividendo.

$$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}$$

Em outras palavras, ao dividir expressões exponenciais com a mesma base, escrevemos o resultado com a base comum e subtraímos os expoentes.

$\dfrac{y^9}{y^5}=y^{9−5}=y^4$

Por enquanto, devemos estar cientes da condição$m>n$. Caso contrário, a diferença$m-n$ pode ser zero ou negativa. Essas possibilidades serão exploradas em breve. Além disso, em vez de qualificar variáveis como diferentes de zero a cada vez, simplificaremos as coisas e assumiremos daqui em diante que todas as variáveis representam números reais diferentes de zero.

A REGRA DO QUOCIENTE DOS EXPOENTES

Para qualquer número real$a$ e números naturais$m$ e$n$, de forma que$m>n$, a regra do quociente dos expoentes afirma que

$$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n} \label{quot}$$

Exemplo$\PageIndex{2}$: Using the Quotient Rule

Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique ainda mais.

1. $\dfrac{(−2)^{14}}{(−2)^{9}}$
2. $\dfrac{t^{23}}{t^{15}}$
3. $\dfrac{(z\sqrt{2})^5}{z\sqrt{2}}$

Solução

Use a regra do quociente (Equação\ ref {quot}) para simplificar cada expressão.

1. $\dfrac{(−2)^{14}}{(−2)^{9}}=(−2)^{14−9}=(−2)^5$
2. $\dfrac{t^{23}}{t^{15}}$=t^ {23−15} =t^8\)
3. $\dfrac{(z\sqrt{2})^5}{z\sqrt{2}}=(z\sqrt{2})^{5−1}=(z\sqrt{2})^4$

Exercício$\PageIndex{2}$

Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique ainda mais.

1. $\dfrac{s^{75}}{s^{68}}$
2. $\dfrac{(−3)^6}{−3}$
3. $\dfrac{(ef^2)^5}{(ef^2)^3}$

Responda a

$s^7$

Resposta b

$(−3)^5$

Resposta c

$(ef^2)^2$

Usando a regra de potência dos expoentes

Suponha que uma expressão exponencial seja elevada a alguma potência. Podemos simplificar o resultado? Sim. Para fazer isso, usamos a regra de potência dos expoentes. Considere a expressão$(x^2)^3$. A expressão dentro dos parênteses é multiplicada duas vezes porque tem um expoente de$2$. Em seguida, o resultado é multiplicado três vezes porque toda a expressão tem um expoente de$3$.

$$\begin{align*} (x^2)^3 &= (x^2)\times(x^2)\times(x^2)\\ &= x\times x\times x\times x\times x\times x\\ &= x^6 \end{align*}$$

O expoente da resposta é o produto dos expoentes:$(x^2)^3=x^{2⋅3}=x^6$. Em outras palavras, ao elevar uma expressão exponencial a uma potência, escrevemos o resultado com a base comum e o produto dos expoentes.

$$(a^m)^n=a^{m⋅n}$$

Tenha cuidado ao distinguir entre os usos da regra do produto e da regra de potência. Ao usar a regra do produto, termos diferentes com as mesmas bases são elevados a expoentes. Nesse caso, você adiciona os expoentes. Ao usar a regra de potência, um termo em notação exponencial é elevado a uma potência. Nesse caso, você multiplica os expoentes.

Tabela$\PageIndex{1}$

Regra do produto	Regra de poder
$5^3\times5^4=5^{3+4}=5^7$	$(5^3)^4=5^{3\times4}=5^{12}$
$x^5\times x^2=x^{5+2}=x^7$	$(x^5)^2=x^{5\times2}=x^{10}$
$(3a)^7\times(3a)^{10}=(3a)^{7+10}=(3a)^{17}$	$((3a)^7)^{10}=(3a)^{7\times10}=(3a)^{70}$

A REGRA DO PODER DOS EXPOENTES

Para qualquer número real a e números inteiros positivos m e n, a regra da potência dos expoentes afirma que

$$(a^m)^n=a^{m⋅n} \label{power}$$

Exemplo$\PageIndex{3}$: Using the Power Rule

Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique ainda mais.

1. $(x^2)^7$
2. $((2t)^5)^3$
3. $((−3)^5)^{11}$

Solução

Use a regra de potência (Equação\ ref {power}) para simplificar cada expressão.

1. $(x^2)^7=x^{2⋅7}=x^{14}$
2. $((2t)^5)^3=(2t)^{5⋅3}=(2t)^{15}$
3. $((−3)^5)^{11}=(−3)^{5⋅11}=(−3)^{55}$

Exercício$\PageIndex{3}$

Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique ainda mais.

1. $((3y)^8)^3$
2. $(t^5)^7$
3. $((−g)^4)^4$

Responda a

$(3y)^{24}$

Resposta b

$t^{35}$

Resposta c

$(−g)^{16}$

Usando a regra do expoente zero dos expoentes

Retorne à regra do quociente. Estabelecemos a condição de$m>n$ que a diferença nunca$m−n$ fosse zero ou negativa. O que aconteceria se$m=n$? Nesse caso, usaríamos a regra do expoente zero dos expoentes para simplificar a expressão para$1$. Para ver como isso é feito, vamos começar com um exemplo.

$$\dfrac{t^8}{t^8}=1 \nonumber$$

Se fôssemos simplificar a expressão original usando a regra do quociente, teríamos

$$\dfrac{t^8}{t^8}=t^{8−8}=t^0 \nonumber$$

Se igualarmos as duas respostas, o resultado é$t^0=1$. Isso vale para qualquer número real diferente de zero ou qualquer variável que represente um número real.

$$a^0=1 \nonumber$$

A única exceção é a expressão$0^0$. Isso aparece posteriormente em cursos mais avançados, mas, por enquanto, consideraremos o valor como indefinido.

A REGRA DO EXPOENTE ZERO DOS EXPOENTES

Para qualquer número real diferente de zero a, a regra do expoente zero dos expoentes afirma que

$$a^0=1$$

Exemplo$\PageIndex{4}$: Using the Zero Exponent Rule

Simplifique cada expressão usando a regra do expoente zero dos expoentes.

1. $\dfrac{c^3}{c^3}$
2. $\dfrac{-3x^5}{x^5}$
3. $\dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)\times(j^2k)^3}$
4. $\dfrac{5(rs^2)^2}{(rs^2)^2}$

Solução

Use o expoente zero e outras regras para simplificar cada expressão.

uma. $$\begin{align*} \dfrac{c^3}{c^3} &= c^{3-3}\\ &= c^0\\ &= 1 \end{align*}$$

b. $$\begin{align*} \dfrac{-3x^5}{x^5} &= -3\times\dfrac{x^5}{x^5}\\ &= -3\times x^{5-5}\\ &= -3\times x^0\\ &= -3\times 1\\ &= -3 \end{align*}$$

c. $$\begin{align*} \dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)\times(j^2k)^3} &= \dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)^{1+3}} && \text{ Use the product rule in the denominator}\\ &= \dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)^4} && \text{ Simplify}\\ &= (j^2k)^{4-4} && \text{ Use the quotient rule}\\ &= (j^2k)^0 && \text{ Simplify}\\ &= 1 \end{align*}$$

d. $$\begin{align*} \dfrac{5(rs^2)^2}{(rs^2)^2} &= 5(rs^2)^{2-2} && \text{ Use the quotient rule}\\ &= 5(rs^2)^0 && \text{ Simplify}\\ &= 5\times1 && \text{ Use the zero exponent rule}\\ &= 5 && \text{ Simplify} \end{align*}$$

Exercício$\PageIndex{4}$

Simplifique cada expressão usando a regra do expoente zero dos expoentes.

1. $\dfrac{t^7}{t^7}$
2. $\dfrac{(de^2)^{11}}{2(de^2)^{11}}$
3. $\dfrac{w^4\times w^2}{w^6}$
4. $\dfrac{t^3\times t^4}{t^2\times t^5}$

Responda a um

$1$

Resposta b

$\dfrac{1}{2}$

Resposta c

$1$

Resposta d

$1$

Usando a regra negativa dos expoentes

Outro resultado útil ocorre se relaxarmos ainda mais a condição$m>n$ na regra do quociente. Por exemplo, podemos simplificar$\dfrac{t^3}{t^5}$? Quando,$m<n$ ou seja, onde a diferença$m−n$ é negativa, podemos usar a regra negativa dos expoentes para simplificar a expressão para sua recíproca.

Divida uma expressão exponencial por outra com um expoente maior. Use nosso exemplo,$\dfrac{t^3}{t^5}$.

$$\begin{align*} \dfrac{t^3}{t^5} &= \dfrac{t\times t\times t}{t\times t\times t\times t\times t} \\ &= \dfrac{1}{t\times t}\\ &= \dfrac{1}{h^2} \end{align*}$$

Se fôssemos simplificar a expressão original usando a regra do quociente, teríamos

$$\begin{align*} \dfrac{t^3}{t^5} &= h^{3-5} \\ &= h^{-2} \end{align*}$$

Juntando as respostas, nós temos$h^{−2}=\dfrac{1}{h^2}$. Isso vale para qualquer número real diferente de zero ou qualquer variável representando um número real diferente de zero.

Um fator com um expoente negativo se torna o mesmo fator com um expoente positivo se for movido pela barra de frações — do numerador para o denominador ou vice-versa.

$a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}$e$a^n=\dfrac{1}{a^{−n}}$

Mostramos que a expressão exponencial an é definida quando$n$ é um número natural ou o negativo de um número natural.$0$ Isso significa que an é definido para qualquer número inteiro$n$. Além disso, as regras do produto e do quociente e todas as regras que analisaremos em breve valem para qualquer número inteiro$n$.

A REGRA NEGATIVA DOS EXPOENTES

Para qualquer número real diferente de zero a e número natural n, a regra negativa dos expoentes afirma que

$$a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}$$

Exemplo$\PageIndex{5}$: Using the Negative Exponent Rule

Escreva cada um dos seguintes quocientes com uma única base. Não simplifique ainda mais. Escreva respostas com expoentes positivos.

1. $\dfrac{\theta^3}{\theta^{10}}$
2. $\dfrac{z^2\times z}{z^4}$
3. $\dfrac{(-5t^3)^4}{(-5t^3)^8}$

Solução

1. $\dfrac{\theta^3}{\theta^{10}}=\theta^{3-10}=\theta^{-7}=\dfrac{1}{\theta^7}$
2. $\dfrac{z^2\times z}{z^4}=\dfrac{z^{2+1}}{z^4}=\dfrac{z^3}{z^4}=z^{3-4}=z^{-1}=\dfrac{1}{z}$
3. $\dfrac{(-5t^3)^4}{(-5t^3)^8}=(-5t^3)^{4-8}=(-5t^3)^{-4}=\dfrac{1}{(-5t^3)^4}$

Exercício$\PageIndex{5}$

Escreva cada um dos seguintes quocientes com uma única base. Não simplifique ainda mais. Escreva respostas com expoentes positivos.

1. $\dfrac{(-3t)^2}{(-3t)^8}$
2. $\dfrac{f^{47}}{f^{49}\times f}$
3. $\dfrac{2k^4}{5k^7}$

Responda a um

$\dfrac{1}{(-3t)^6}$

Resposta b

$\dfrac{1}{f^3}$

Resposta c

$\dfrac{2}{5k^3}$

Exemplo$\PageIndex{6}$: Using the Product and Quotient Rules

Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique ainda mais. Escreva respostas com expoentes positivos.

1. $b^2\times b^{-8}$
2. $(-x)^5\times(-x)^{-5}$
3. $\dfrac{-7z}{(-7z)^5}$

Solução

1. $b^2\times b^{-8}=b^{2-8}=b^{-6}=\dfrac{1}{b^6}$
2. $(-x)^5\times(-x)^{-5}=(-x)^{5-5}=(-x)^0=1$
3. $\dfrac{-7z}{(-7z)^5}= \dfrac{(-7z)^1}{(-7z)^5}=(-7z)^{1-5}=(-7z)^{-4}=\dfrac{1}{(-7z)^4}$

Exercício$\PageIndex{6}$

Escreva cada um dos seguintes produtos com uma única base. Não simplifique ainda mais. Escreva respostas com expoentes positivos.

1. $t^{-11}\times t^6$
2. $\dfrac{25^{12}}{25^{13}}$

Responda a um

$t^{-5}=\dfrac{1}{t^5}$

Resposta b

$\dfrac{1}{25}$

Encontrando o poder de um produto

Para simplificar a potência de um produto de duas expressões exponenciais, podemos usar a potência de uma regra de produto de expoentes, que divide a potência de um produto de fatores em produto das potências dos fatores. Por exemplo, considere$(pq)^3$. Começamos usando as propriedades associativas e comutativas da multiplicação para reagrupar os fatores.

$$\begin{align*} (pq)^3 &= (pq)\times(pq)\times(pq)\\ &= p\times q\times p\times q\times p\times q\\ &= p^3\times q^3 \end{align*}$$

Em outras palavras,$(pq)^3=p^3\times q^3$.

O PODER DE UM PRODUTO: REGRA DE EXPOENTES

Para qualquer número real a e b e qualquer inteiro n, a potência de uma regra de produto dos expoentes afirma que

$$(ab)^n=a^nb^n$$

Exemplo$\PageIndex{7}$: Using the Power of a Product Rule

Simplifique cada um dos seguintes produtos o máximo possível usando o poder de uma regra de produto. Escreva respostas com expoentes positivos.

1. $(ab^2)^3$
2. $(2t)^{15}$
3. $(-2w^3)^3$
4. $\dfrac{1}{(-7z)^4}$
5. $(e^{-2}f^2)^7$

Solução

Use as regras do produto e do quociente e as novas definições para simplificar cada expressão.

uma.$(ab^2)^3=(a)^3\times(b^2)^3=a^{1\times3}\times b^{2\times3}=a^3b^6$

b.$(2t)^{15}=(2)^{15}\times(t)^{15}=2^{15}t^{15}=32,768t^{15}$

c.$(−2w^3)^3=(−2)^3\times(w^3)^3=−8\times w^{3\times3}=−8w^9$

d.$\dfrac{1}{(-7z)^4}=\dfrac{1}{(-7)^4\times(z)^4}=\dfrac{1}{2401z^4}$

e.$(e^{-2}f^2)^7=(e^{−2})^7\times(f^2)^7=e^{−2\times7}\times f^{2\times7}=e^{−14}f^{14}=\dfrac{f^{14}}{e^{14}}$

Exercício$\PageIndex{7}$

Simplifique cada um dos seguintes produtos o máximo possível usando o poder de uma regra de produto. Escreva respostas com expoentes positivos.

1. $(g^2h^3)^5$
2. $(5t)^3$
3. $(-3y^5)^3$
4. $\dfrac{1}{(a^6b^7)^3}$
5. $(r^3s^{-2})^4$

Responda a um

$g^{10}h^{15}$

Resposta b

$125t^3$

Resposta c

$-27y^{15}$

Resposta d

$\dfrac{1}{a^{18}b^{21}}$

Responda e

$\dfrac{r^{12}}{s^8}$

Encontrando a potência de um quociente

Para simplificar a potência de um quociente de duas expressões, podemos usar a potência de uma regra do quociente, que afirma que a potência de um quociente de fatores é o quociente das potências dos fatores. Por exemplo, vamos dar uma olhada no exemplo a seguir.

$$(e^{−2}f^2)^7=\dfrac{f^{14}}{e^{14}}$$

Vamos reescrever o problema original de forma diferente e ver o resultado.

$$\begin{align*} (e^{-2}f^2)^7 &= \left(\dfrac{f^2}{e^2}\right)^7\\ &= \dfrac{f^{14}}{e^{14}} \end{align*}$$

Nas duas últimas etapas, parece que podemos usar o poder de uma regra de produto como um poder de uma regra de quociente.

$$\begin{align*} (e^{-2}f^2)^7 &= \left(\dfrac{f^2}{e^2}\right)^7\\ &= \dfrac{(f^2)^7}{(e^2)^7}\\ &= \dfrac{f^{2\times7}}{e^{2\times7}}\\ &= \dfrac{f^{14}}{e^{14}} \end{align*}$$

A POTÊNCIA DE UMA REGRA DE QUOCIENTE DE EXPOENTES

Para qualquer número real a e b e qualquer inteiro n, a potência de uma regra de quociente de expoentes afirma que

$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$$

Exemplo$\PageIndex{8}$: Using the Power of a Quotient Rule

Simplifique cada um dos seguintes quocientes o máximo possível usando a potência de uma regra de quociente. Escreva respostas com expoentes positivos.

1. $\left(\dfrac{4}{z^{11}}\right)^3$
2. $\left(\dfrac{p}{q^3}\right)^6$
3. $\left(\dfrac{-1}{t^2}\right)^{27}$
4. $(j^3k^{-2})^4$
5. $(m^{-2}n^{-2})^3$

Solução

uma.$\left(\dfrac{4}{z^{11}}\right)^3=\dfrac{(4)^3}{(z^{11})^3}=\dfrac{64}{z^{11\times3}}=\dfrac{64}{z^{33}}$

b.$\left(\dfrac{p}{q^3}\right)^6=\dfrac{(p)^6}{(q^3)^6}=\dfrac{p^{1\times6}}{q^{3\times6}}=\dfrac{p^6}{q^{18}}$

c.$\left(\dfrac{-1}{t^2}\right)^{27}=\dfrac{(-1)^{27}}{(t^2)^{27}}=\dfrac{-1}{t^{2\times27}}=\dfrac{-1}{t^{54}}=-\dfrac{1}{t^{54}}$

d.$(j^3k^{-2})^4=\left(\dfrac{j^3}{k^2}\right)^4=\dfrac{(j^3)^4}{(k^2)^4}=\dfrac{j^{3\times4}}{k^{2\times4}}=\dfrac{j^{12}}{k^8}$

e.$(m^{-2}n^{-2})^3=\left(\dfrac{1}{m^2n^2}\right)^3=\dfrac{(1)^3}{(m^2n^2)^3}=\dfrac{1}{(m^2)^3(n^2)^3}=\dfrac{1}{m^{2\times3}n^{2\times3}}=\dfrac{1}{m^6n^6}$

Exercício$\PageIndex{8}$

Simplifique cada um dos seguintes quocientes o máximo possível usando a potência de uma regra de quociente. Escreva respostas com expoentes positivos.

1. $\left(\dfrac{b^5}{c}\right)^3$
2. $\left(\dfrac{5}{u^8}\right)^4$
3. $\left(\dfrac{-1}{w^3}\right)^{35}$
4. $(p^{-4}q^3)^8$
5. $(c^{-5}d^{-3})^4$

Responda a um

$\dfrac{b^{15}}{c^3}$

Resposta b

$\dfrac{625}{u^{32}}$

Resposta c

$\dfrac{-1}{w^{105}}$

Resposta d

$\dfrac{q^{24}}{p^{32}}$

Responda e

$\dfrac{1}{c^{20}d^{12}}$

Simplificando expressões exponenciais

Lembre-se de que simplificar uma expressão significa reescrevê-la combinando termos ou expoentes; em outras palavras, escrever a expressão de forma mais simples com menos termos. As regras para expoentes podem ser combinadas para simplificar as expressões.

Exemplo$\PageIndex{9}$: Simplifying Exponential Expressions

Simplifique cada expressão e escreva a resposta somente com expoentes positivos.

1. $(6m^2n^{-1})^3$
2. $17^5\times17^{-4}\times17^{-3}$
3. $\left(\dfrac{u^{-1}v}{v^{-1}}\right)^2$
4. $(-2a^3b^{-1})(5a^{-2}b^2)$
5. $(x^2\sqrt{2})^4(x^2\sqrt{2})^{-4}$
6. $\dfrac{(3w^2)^5}{(6w^{-2})^2}$

Solução

uma. $$\begin{align*} (6m^2n^{-1})^3 &= (6)^3(m^2)^3(n^{-1})^3 && \text{ The power of a product rule}\\ &= 6^3m^{2\times3}n^{-1\times3} && \text{ The power rule}\\ &= 216m^6n^{-3} && \text{ The power rule}\\ &= \dfrac{216m^6}{n^3} && \text{ The negative exponent rule} \end{align*}$$

b. $$\begin{align*} 17^5\times17^{-4}\times17^{-3} &= 17^{5-4-3} && \text{ The product rule}\\ &= 17^{-2} && \text{ Simplify}\\ &= \dfrac{1}{17^2} \text{ or } \dfrac{1}{289} && \text{ The negative exponent rule} \end{align*}$$

c. $$\begin{align*} \left ( \dfrac{u^{-1}v}{v^{-1}} \right )^2 &= \dfrac{(u^{-1}v)^2}{(v^{-1})^2} && \text{ The power of a quotient rule}\\ &= \dfrac{u^{-2}v^2}{v^{-2}} && \text{ The power of a product rule}\\ &= u^{-2}v^{2-(-2)} && \text{ The quotient rule}\\ &= u^{-2}v^4 && \text{ Simplify}\\ &= \dfrac{v^4}{u^2} && \text{ The negative exponent rule} \end{align*}$$

d. $$\begin{align*} \left (-2a^3b^{-1} \right ) \left(5a^{-2}b^2 \right ) &= \left (x^2\sqrt{2} \right )^{4-4} && \text{ Commutative and associative laws of multiplication}\\ &= -10\times a^{3-2}\times b^{-1+2} && \text{ The product rule}\\ &= -10ab && \text{ Simplify} \end{align*}$$

e. $$\begin{align*} \left (x^2\sqrt{2})^4(x^2\sqrt{2} \right )^{-4} &= \left (x^2\sqrt{2} \right )^{4-4} && \text{ The product rule}\\ &= \left (x^2\sqrt{2} \right )^0 && \text{ Simplify}\\ &= 1 && \text{ The zero exponent rule} \end{align*}$$

f. $$\begin{align*} \dfrac{(3w^2)^5}{(6w^{-2})^2} &= \dfrac{(3)^5\times(w^2)^5}{(6)^2\times(w^{-2})^2} && \text{ The power of a product rule}\\ &= \dfrac{3^5w^{2\times5}}{6^2w^{-2\times2}} && \text{ The power rule}\\ &= \dfrac{243w^{10}}{36w^{-4}} && \text{ Simplify}\\ &= \dfrac{27w^{10-(-4)}}{4} && \text{ The quotient rule and reduce fraction}\\ &= \dfrac{27w^{14}}{4} && \text{ Simplify} \end{align*}$$

Usando notação científica

Lembre-se, no início da seção, de que encontramos o número$1.3\times10^{13}$ ao descrever pedaços de informação em imagens digitais. Outros números extremos incluem a largura de um fio de cabelo humano, que é aproximadamente$0.00005\; m$, e o raio de um elétron, que é aproximadamente$0.00000000000047\; m$. Como podemos trabalhar de forma eficaz, ler, comparar e calcular com números como esses?

Um método abreviado de escrever números muito pequenos e muito grandes é chamado de notação científica, na qual expressamos números em termos de expoentes de$10$. Para escrever um número em notação científica, mova o ponto decimal para a direita do primeiro dígito do número. Escreva os dígitos como um número decimal entre$1$$10$ e. Conte o número de casas em$n$ que você moveu o ponto decimal. Multiplique o número decimal por$10$ elevado a uma potência de$n$. Se você moveu o decimal para a esquerda como em um número muito grande,$n$ é positivo. Se você moveu o decimal para a direita como em um número pequeno e grande,$n$ é negativo.

Por exemplo, considere o número$2,780,418$. Mova o decimal para a esquerda até que esteja à direita do primeiro dígito diferente de zero, que é$2$.

Obtemos$2.780418$ movendo as casas$6$ decimais para a esquerda. Portanto, o expoente de$10$ é$6$ e é positivo porque movemos o ponto decimal para a esquerda. Isso é o que devemos esperar de um grande número.

$2.780418\times{10}^6$

Trabalhar com números pequenos é semelhante. Tomemos, por exemplo, o raio de um elétron,$0.00000000000047\; m$. Execute a mesma série de etapas acima, exceto mover o ponto decimal para a direita.

Tenha cuidado para não incluir a liderança$0$ em sua contagem. Movemos as casas$13$ decimais para a direita, então o expoente de$10$ é$13$. O expoente é negativo porque movemos o ponto decimal para a direita. Isso é o que devemos esperar de um número pequeno.

$4.7\times{10}^{−13}$

NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Um número é escrito em notação científica se for escrito na forma$a\times{10}^n$, onde$1≤|a|<10$ e$n$ é um número inteiro.

Exemplo$\PageIndex{10}$: Converting Standard Notation to Scientific Notation

Escreva cada número em notação científica.

1. Distância da Terra para a Galáxia de Andrômeda:$24,000,000,000,000,000,000,000\; m$
2. Diâmetro da galáxia de Andrômeda:$1,300,000,000,000,000,000,000\; m$
3. Número de estrelas na galáxia de Andrômeda:$1,000,000,000,000$
4. Diâmetro do elétron:$0.00000000000094\; m$
5. Probabilidade de ser atingido por um raio em qualquer ano:$0.00000143$

Solução

a.$24,000,000,000,000,000,000,000\; m$$22$ lugares

$2.4\times{10}^{22}\; m$

b.$1,300,000,000,000,000,000,000\; m$$21$ lugares

$1.3\times{10}^{21}\; m$

c.$1,000,000,000,000$$12$ lugares

$1\times{10}^{12}$

d.$0.00000000000094\; m$$13$ lugares

$9.4\times{10}^{-13}\; m$

e.$0.00000143$$6$ lugares

$1.43\times{10}^6$

Análise

Observe que, se o número dado for maior que$1$, como nos exemplos a—c, o expoente de$10$ é positivo; e se o número for menor que$1$, como nos exemplos d—e, o expoente é negativo.

Exercício$\PageIndex{10}$

Escreva cada número em notação científica.

1. Dívida nacional dos EUA por contribuinte (abril de 2014):$\$152,000$
2. População mundial (abril de 2014):$7,158,000,000$
3. Renda nacional bruta mundial (abril de 2014):$\$85,500,000,000,000$
4. Hora da viagem da luz$1\; m: 0.00000000334\; s$
5. Probabilidade de ganhar na loteria (combinação$6$ de números$49$ possíveis):$0.0000000715$

Responda a

$\$1.52\times{10}^5$

Resposta b

$7.158\times{10}^9$

Resposta c

$\$8.55\times{10}^{13}$

Resposta d

$3.34\times{10}^{-9}$

Responda e

$7.15\times{10}^{-8}$

Conversão da notação científica para a notação padrão

Para converter um número em notação científica em notação padrão, basta inverter o processo. Mova as casas decimais n para a direita se$n$ for positivo ou as$n$ casas para a esquerda se$n$ for negativo e adicione zeros conforme necessário. Lembre-se de que, se$n$ for positivo, o valor do número será maior que e$1$, se$n$ for negativo, o valor do número será menor que um.

Exemplo$\PageIndex{11}$: Converting Scientific Notation to Standard Notation

Converta cada número em notação científica em notação padrão.

1. $3.547\times{10}^{14}$
2. $−2\times{10}^6$
3. $7.91\times{10}^{−7}$
4. $−8.05\times{10}^{−12}$

Solução

uma.$3.547\times{10}^{14}$

$3.54700000000000$

$\rightarrow14$lugares

$354,700,000,000,000$

b.$−2\times{10}^6$

$−2.000000$

$\rightarrow6$lugares

$−2,000,000$

c.$7.91\times{10}^{−7}$

$0000007.91$

$\rightarrow7$lugares

$0.000000791$

d.$−8.05\times{10}^{−12}$

$−000000000008.05$

$\rightarrow12$lugares

$−0.00000000000805$

Exercício$\PageIndex{11}$

Converta cada número em notação científica em notação padrão.

1. $7.03\times{10}^5$
2. $−8.16\times{10}^{11}$
3. $−3.9\times{10}^{−13}$
4. $8\times{10}^{−6}$

Responda a

$703,000$

Resposta b

$−816,000,000,000$

Resposta c

$−0.00000000000039$

Resposta d

$0.000008$

Usando notação científica em aplicativos

A notação científica, usada com as regras dos expoentes, torna o cálculo com números grandes ou pequenos muito mais fácil do que com a notação padrão. Por exemplo, suponha que sejamos solicitados a calcular o número de átomos na$1\; L$ água. Cada molécula de água contém$3$ átomos ($2$hidrogênio e$1$ oxigênio). A gota média de água contém cerca de$1.32\times{10}{21}$ moléculas de água e$1\; L$ de água contém cerca de gotas$1.22\times{10}^{4}$ médias. Portanto, há aproximadamente$3⋅(1.32\times{10}^{21})⋅(1.22\times{10}^4)≈4.83\times{10}^{25}$ átomos na$1\; L$ água. Simplesmente multiplicamos os termos decimais e adicionamos os expoentes. Imagine ter que realizar o cálculo sem usar a notação científica!

Ao realizar cálculos com notação científica, certifique-se de escrever a resposta na notação científica adequada. Por exemplo, considere o produto$(7\times{10}^4)⋅(5\times{10}^6)=35\times{10}^{10}$. A resposta não está na notação científica adequada porque$35$ é maior que$10$. Considere$35$ como$3.5\times10$. Isso adiciona um dez ao expoente da resposta.

$(35)\times{10}^{10}=(3.5\times10)\times{10}^{10}=3.5\times(10\times{10}^{10})=3.5\times{10}^{11}$

Exemplo$\PageIndex{12}$: Using Scientific Notation

Execute as operações e escreva a resposta em notação científica.

1. $(8.14\times{10}^{−7})(6.5\times{10}^{10})$
2. $(4\times{10}^5)÷(−1.52\times{10}^{9})$
3. $(2.7\times{10}^5)(6.04\times{10}^{13})$
4. $(1.2\times{10}^8)÷(9.6\times{10}^5)$
5. $(3.33\times{10}^4)(−1.05\times{10}^7)(5.62\times{10}^5)$

Soluções

uma. $$\begin{align*} (8.14\times{10}^{-7})(6.5\times{10}^{10}) &= (8.14\times6.5)({10}^{-7}\times{10}^{10}) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &= (52.91)({10}^3) \text{ Product rule of exponents}\\ &= 5.291\times{10}^4 \text{ Scientific notation} \end{align*}$$

b. $$\begin{align*} (4\times{10}^5)\div (-1.52\times{10}^{9}) &= \left(\dfrac{4}{-1.52}\right)\left(\dfrac{{10}^5}{{10}^9}\right) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &\approx (-2.63)({10}^{-4}) \text{ Quotient rule of exponents}\\ &= -2.63\times{10}^{-4} \text{ Scientific notation} \end{align*}$$

c. $$\begin{align*} (2.7\times{10}^5)(6.04\times{10}^{13}) &= (2.7\times6.04)({10}^5\times{10}^{13}) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &= (16.308)({10}^{18}) \text{ Product rule of exponents}\\ &= 1.6308\times{10}^{19} \text{ Scientific notation} \end{align*}$$

d. $$\begin{align*} (1.2\times{10}^8)÷(9.6\times{10}^5) &= \left(\dfrac{1.2}{9.6}\right)\left(\dfrac{{10}^8}{{10}^5}\right) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &= (0.125)({10}^3) \text{ Quotient rule of exponents}\\ &= 1.25\times{10}^2 \text{ Scientific notation} \end{align*}$$

e. $$\begin{align*} (3.33\times{10}^4)(-1.05\times{10}^7)(5.62\times{10}^5) &= [3.33\times(-1.05)\times5.62]({10}^4\times{10}^7\times{10}^5)\\ &\approx (-19.65)({10}^{16})\\ &= -1.965\times{10}^{17} \end{align*}$$

Exercício$\PageIndex{12}$

Execute as operações e escreva a resposta em notação científica.

1. $(−7.5\times{10}^8)(1.13\times{10}^{−2})$
2. $(1.24\times{10}^{11})÷(1.55\times{10}^{18})$
3. $(3.72\times{10}^9)(8\times{10}^3)$
4. $(9.933\times{10}^{23})÷(−2.31\times{10}^{17})$
5. $(−6.04\times{10}^9)(7.3\times{10}^2)(−2.81\times{10}^2)$

Responda a

$−8.475\times{10}^6$

Resposta b

$8\times{10}^{−8}$

Resposta c

$2.976\times{10}^{13}$

Resposta d

$−4.3\times{10}^6$

Responda e

$≈1.24\times{10}^{15}$

Exemplo$\PageIndex{13}$: Applying Scientific Notation to Solve Problems

Em abril de 2014, a população dos Estados Unidos era de cerca de$308,000,000$ pessoas. A dívida nacional era de cerca de$\$17,547,000,000,000$. Escreva cada número em notação científica, arredondando os números para duas casas decimais e encontre o valor da dívida por cidadão americano. Escreva a resposta em notações científicas e padrão.

Solução

A população era$308,000,000=3.08\times{10}^8$.

A dívida nacional era$$17,547,000,000,000≈$1.75\times{10}^{13}$.

Para encontrar o valor da dívida por cidadão, divida a dívida nacional pelo número de cidadãos.

$$\begin{align*} (1.75\times{10}^{13})\div (3.08\times{10}^8)&=\left(\dfrac{1.75}{3.08}\right)({10}^5)\\ &\approx 0.57\times{10}^5\\ &=5.7\times{10}^4 \end{align*}$$

A dívida por cidadão na época era de cerca de$$5.7\times{10}^4$, ou$$57,000$.

Exercício$\PageIndex{13}$

Um corpo humano médio contém cerca de glóbulos$30,000,000,000,000$ vermelhos. Cada célula mede aproximadamente o$0.000008\; m$ comprimento. Escreva cada número em notação científica e encontre o comprimento total se as células foram colocadas de ponta a ponta. Escreva a resposta em notações científicas e padrão.

Resposta

Número de células:$3\times{10}^{13}$; comprimento de uma célula:$8\times{10}^{−6}\; m$; comprimento total:$2.4\times{10}^8\; m$ ou$240,000,000\; m$.

Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com expoentes e notação científica.

Notação exponencial

Propriedades dos expoentes

Expoente zero

Simplifique as expressões de expon

Regra do quociente para expoentes

Notação científica

Conversão para notação decimal

Equações chave

Regras de expoentes Para números reais diferentes de zero a e b e números inteiros m e n
Regra do produto	$a^m⋅a^n=a^{m+n}$
Regra do quociente	$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}$
Regra de poder	$(a^m)^n=a^{m⋅n}$
Regra do expoente zero	$a^0=1$
Regra negativa	$a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}$
Poder de uma regra de produto	$(a⋅b)^n=a^n⋅b^n$
Potência de uma regra de quociente	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$

Conceitos chave

• Produtos de expressões exponenciais com a mesma base podem ser simplificados com a adição de expoentes. Veja o exemplo.
• Os quocientes de expressões exponenciais com a mesma base podem ser simplificados subtraindo os expoentes. Veja o exemplo.
• Poderes de expressões exponenciais com a mesma base podem ser simplificados pela multiplicação de expoentes. Veja o exemplo.
• Uma expressão com expoente zero é definida como 1. Veja o exemplo.
• Uma expressão com um expoente negativo é definida como recíproca. Veja o exemplo e o exemplo.
• O poder de um produto de fatores é o mesmo que o produto dos poderes dos mesmos fatores. Veja o exemplo.
• O poder de um quociente de fatores é o mesmo que o quociente das potências dos mesmos fatores. Veja o exemplo.
• As regras para expressões exponenciais podem ser combinadas para simplificar expressões mais complicadas. Veja o exemplo.
• A notação científica usa potências de 10 para simplificar números muito grandes ou muito pequenos. Veja o exemplo e o exemplo.
• A notação científica pode ser usada para simplificar os cálculos com números muito grandes ou muito pequenos. Veja o exemplo e o exemplo.