12.2: Equações lineares

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A regressão linear para duas variáveis é baseada em uma equação linear com uma variável independente. A equação tem a forma:

\[y = a + b\text{x}\nonumber \]

onde$a$ e$b$ são números constantes. A variável$x$ é a variável independente e$y$ é a variável dependente. Normalmente, você escolhe um valor para substituir a variável independente e, em seguida, resolver a variável dependente.

Exemplo$\PageIndex{1}$

Os exemplos a seguir são equações lineares.

\[y = 3 + 2\text{x}\nonumber \]

\[y = -0.01 + 1.2\text{x}\nonumber \]

Exercício$\PageIndex{1}$

O seguinte é um exemplo de uma equação linear?

\[y = -0.125 - 3.5\text{x}\nonumber \]

Responda: sim

O gráfico de uma equação linear da forma$y = a + b\text{x}$ é uma linha reta. Qualquer linha que não seja vertical pode ser descrita por essa equação.

Exemplo$\PageIndex{2}$

Faça um gráfico da equação$y = -1 + 2\text{x}$.

Gráfico da equação y = -1 + 2x. Esta é uma linha reta que cruza o eixo y em -1 e é inclinada para cima e para a direita, subindo 2 unidades para cada unidade de corrida. — Figura$\PageIndex{1}$.

Exercício$\PageIndex{2}$

O seguinte é um exemplo de uma equação linear? Por que ou por que não?

Este é um gráfico de uma equação. O eixo x é rotulado em intervalos de 2 de 0 a 14; o eixo y é rotulado em intervalos de 2 de 0 a 12. O gráfico da equação é uma curva que cruza o eixo y em 2 e se curva para cima e para a direita. — Figura$\PageIndex{2}$.

Responda: Não, o gráfico não é uma linha reta; portanto, não é uma equação linear.

Exemplo$\PageIndex{3}$

O Serviço de Processamento de Texto (AWPS) da Aaron faz o processamento de texto. A tarifa dos serviços é de $32 por hora mais uma taxa única de $31,50. O custo total para um cliente depende do número de horas necessárias para concluir o trabalho.

Encontre a equação que expressa o custo total em termos do número de horas necessárias para concluir o trabalho.

Responda

Deixe$x =$ o número de horas necessárias para concluir o trabalho.

Deixe$y =$ o custo total para o cliente.

O $31,50 é um custo fixo. Se levar$x$ horas para concluir o trabalho, então$(32)(x)$ é apenas o custo do processamento de texto. O custo total é:$y = 31.50 + 32\text{x}$

Exercício$\PageIndex{3}$

A Emma's Extreme Sports contrata instrutores de asa-delta e paga a eles uma taxa de $50 por aula, bem como $20 por aluno da turma. O custo total que Emma paga depende do número de alunos em uma turma. Encontre a equação que expressa o custo total em termos do número de alunos em uma turma.

Responda: $y = 50 + 20\text{x}$

Inclinação e interceptação Y de uma equação linear

Para a equação linear$y = a + b\text{x}$,$b =$ inclinação e$a = y$ intercepto. Da álgebra, lembre-se de que a inclinação é um número que descreve a inclinação de uma reta, e o$y$ intercepto -é a$y$ coordenada do$(0, a)$ ponto em que a linha cruza o$y$ eixo.

Três gráficos possíveis da equação y = a + bx. Para o primeiro gráfico, (a), b — Figura$\PageIndex{3}$:. Três gráficos possíveis de$y = a + b\text{x}$ (a) Se$b > 0$, a linha se inclina para cima, para a direita. (b) Se$b = 0$, a linha é horizontal. (c) Se$b < 0$, a linha se inclina para baixo para a direita.

Exemplo$\PageIndex{4}$

Svetlana ensina para ganhar dinheiro extra para a faculdade. Para cada sessão de tutoria, ela cobra uma taxa única de $25 mais $15 por hora de tutoria. Uma equação linear que expressa a quantidade total de dinheiro que Svetlana ganha por cada sessão que ela ensina é$y = 25 + 15\text{x}$.

Quais são as variáveis independentes e dependentes? O que é o$y$ intercepto -e qual é a inclinação? Interprete-os usando frases completas.

Responda

A variável independente ($x$) é o número de horas que Svetlana dá aulas em cada sessão. A variável dependente ($y$) é o valor, em dólares, que Svetlana ganha por cada sessão.

O$y$ -intercept é 25 ($a = 25$). No início da sessão de tutoria, Svetlana cobra uma taxa única de $25 (é quando$x = 0$). A inclinação é de 15 ($b = 15$). Para cada sessão, Svetlana ganha $15 por cada hora que ela ensina.

Exercício$\PageIndex{4}$

Ethan conserta eletrodomésticos, como lava-louças e geladeiras. Para cada visita, ele cobra $25 mais $20 por hora de trabalho. Uma equação linear que expressa a quantidade total de dinheiro que Ethan ganha por visita é$y = 25 + 20\text{x}$.

Quais são as variáveis independentes e dependentes? O que é o$y$ intercepto -e qual é a inclinação? Interprete-os usando frases completas.

Responda

A variável independente ($x$) é o número de horas que Ethan trabalha em cada visita. A variável dependente ($y$) é a quantia, em dólares, que Ethan ganha por cada visita.

O intercepto y é 25 ($a = 25$). No início de uma visita, Ethan cobra uma taxa única de $25 (é quando$x = 0$). A inclinação é de 20 ($b = 20$). Para cada visita, Ethan ganha $20 por cada hora em que trabalha.

Resumo

O tipo mais básico de associação é uma associação linear. Esse tipo de relacionamento pode ser definido algebricamente pelas equações usadas, numericamente com valores de dados reais ou previstos, ou graficamente a partir de uma curva traçada. (As linhas são classificadas como curvas retas.) Algebricamente, uma equação linear normalmente assume a forma$y = mx + b$, onde$m$ e$b$ são constantes,$x$ é a variável independente,$y$ é a variável dependente. Em um contexto estatístico, uma equação linear é escrita na forma$y = a + bx$, onde$a$ e$b$ são as constantes. Esse formulário é usado para ajudar os leitores a distinguir o contexto estatístico do contexto algébrico. Na equação$y = a + b\text{x}$, a constante b que multiplica a$x$ variável ($b$é chamada de coeficiente) é chamada de inclinação. A constante a é chamada$y$ de intercepto.

A inclinação de uma linha é um valor que descreve a taxa de variação entre as variáveis independentes e dependentes. A inclinação nos diz como a variável dependente ($y$) muda para cada aumento unitário na variável independente ($x$), em média. O$y$ -intercept é usado para descrever a variável dependente quando a variável independente é igual a zero.

Revisão da fórmula

$y = a + b\text{x}$onde a é o$y$ intercepto -e$b$ é a inclinação. A variável$x$ é a variável independente e$y$ é a variável dependente.