8.S: Intervalos de confiança (resumo)
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Revisão
Neste módulo, aprendemos como calcular o intervalo de confiança para uma única média de população onde o desvio padrão da população é conhecido. Ao estimar uma média populacional, a margem de erro é chamada de limite de erro para uma média populacional (EBM). Um intervalo de confiança tem a forma geral:
\((\text{lower bound, upper bound}) = (\text{point estimate} – EBM, \text{point estimate} + EBM)\)
O cálculo de\(EBM\) depende do tamanho da amostra e do nível de confiança desejado. O nível de confiança é a porcentagem de todas as amostras possíveis que podem incluir o verdadeiro parâmetro da população. À medida que o nível de confiança aumenta, o correspondente também\(EBM\) aumenta. À medida que o tamanho da amostra aumenta, o\(EBM\) diminui. Pelo teorema do limite central,
\(EBM = z\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
Dado um intervalo de confiança, você pode trabalhar de trás para frente para encontrar o limite de erro (\(EBM\)) ou a média da amostra. Para encontrar o limite do erro, encontre a diferença entre o limite superior do intervalo e a média. Se você não souber a média da amostra, poderá encontrar o limite do erro calculando metade da diferença dos limites superior e inferior. Para encontrar a média da amostra com um intervalo de confiança, encontre a diferença entre o limite superior e o limite de erro. Se o limite do erro for desconhecido, calcule a média dos limites superior e inferior do intervalo de confiança para encontrar a média da amostra.
Às vezes, os pesquisadores sabem de antemão que desejam estimar a média da população dentro de uma margem de erro específica para um determinado nível de confiança. Nesse caso, resolva a\(EBM\) fórmula\(n\) para descobrir o tamanho da amostra que é necessário para atingir esse objetivo:
\(n = \frac{z^{2}\sigma^{2}}{EBM^{2}}\)
Revisão da fórmula
\(\bar{X} - N \left(\mu_{x}, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)A distribuição das médias da amostra é normalmente distribuída com média igual à média da população e desvio padrão dado pelo desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra.
A forma geral de um intervalo de confiança para uma única população média, desvio padrão conhecido e distribuição normal é dada por
\[(\text{lower bound, upper bound}) = (\text{point estimate} – EBM, \text{point estimate} + EBM)\]
\[= \bar{x} - EBM, \bar{x} + EBM\]
\[= \left(\bar{x} - z\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\]
\(EBM = z\frac{\sigma}{\sqrt{n}} =\)o limite de erro para a média ou a margem de erro para uma única média da população; essa fórmula é usada quando o desvio padrão da população é conhecido.
\(CL =\)nível de confiança ou a proporção dos intervalos de confiança criados que devem conter o verdadeiro parâmetro da população
\(\alpha = 1 – CL =\)a proporção dos intervalos de confiança que não conterão o parâmetro da população
\(z_{\frac{\alpha}{2}}\)= a\(z\) pontuação -com a propriedade de que a área à direita da pontuação z é\(\frac{\propto}{2}\) essa é a\(z\) pontuação -usada no cálculo de "\(EBM\)onde\(\alpha = 1 – CL\)”.
\(n = \frac{z^{2}\sigma^{2}}{EBM^{2}}\)a fórmula usada para determinar o tamanho da amostra (\(n\)) necessário para atingir a margem de erro desejada em um determinado nível de confiança
Forma geral de um intervalo de confiança
\[(\text{lower value, upper value}) = (\text{point estimate} - \text{error bound, point estimate} + \text{error bound})\]
Para encontrar o limite de erro quando você conhece o intervalo de confiança
\[\text{error bound} = \text{upper value} - \text{point estimate}\]OU\[\text{error bound} = \frac{\text{upper value - lower value}}{2}\]
Média de população única, desvio padrão conhecido, distribuição normal
Use a distribuição normal para médias, o desvio padrão da população é conhecido\(EBM = z\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
O intervalo de confiança tem o formato\((\bar{x} - EBM, \bar{x} + EBM)\).
Use as seguintes informações para responder aos próximos cinco exercícios: Sabe-se que o desvio padrão dos pesos dos elefantes é de aproximadamente 15 libras. Queremos construir um intervalo de confiança de 95% para o peso médio de bezerros de elefantes recém-nascidos. Cinquenta elefantes recém-nascidos são pesados. A média da amostra é de 244 libras. O desvio padrão da amostra é de 11 libras.
Exercício 8.2.8
Identifique o seguinte:
- \(\bar{x} =\)_____
- \(\sigma =\)_____
- \(n =\)_____
Responda
- 244
- 15
- 50
Exercício 8.2.9
Em palavras, defina as variáveis aleatórias\(X\)\(\bar{X}\) e.
Exercício 8.2.10
Qual distribuição você deve usar para esse problema?
Responda
\(N\left(244, \frac{15}{\sqrt{50}}\right)\)
Exercício 8.2.11
Construa um intervalo de confiança de 95% para o peso médio da população de elefantes recém-nascidos. Indique o intervalo de confiança, desenhe o gráfico e calcule o limite do erro.
Exercício 8.2.12
O que acontecerá com o intervalo de confiança obtido, se 500 elefantes recém-nascidos forem pesados em vez de 50? Por quê?
Responda
À medida que o tamanho da amostra aumenta, haverá menos variabilidade na média, então o tamanho do intervalo diminui.
Use as informações a seguir para responder aos próximos sete exercícios: O Departamento do Censo dos EUA conduz um estudo para determinar o tempo necessário para preencher o pequeno formulário. O Bureau pesquisa 200 pessoas. A média da amostra é de 8,2 minutos. Há um desvio padrão conhecido de 2,2 minutos. A distribuição da população é considerada normal.
Exercício 8.2.13
Identifique o seguinte:
- \(\bar{x} =\)_____
- \(\sigma =\)_____
- \(n =\)_____
Exercício 8.2.14
Em palavras, defina as variáveis aleatórias\(X\)\(\bar{X}\) e.
Responda
\(X\)é o tempo, em minutos, necessário para preencher o formulário curto do Censo dos EUA. \(\bar{X}\)é o tempo médio necessário para uma amostra de 200 pessoas preencher o formulário curto do Censo dos EUA.
Exercício 8.2.15
Qual distribuição você deve usar para esse problema?
Exercício 8.2.16
Construa um intervalo de confiança de 90% para o tempo médio da população para preencher os formulários. Indique o intervalo de confiança, desenhe o gráfico e calcule o limite do erro.
Responda
\(CI: (7.9441, 8.4559)\)
\(EBM = 0.26\)
Exercício 8.2.17
Se o Censo quiser aumentar seu nível de confiança e manter o mesmo erro respondendo a outra pesquisa, quais mudanças ele deve fazer?
Exercício 8.2.18
Se o Censo fizesse outra pesquisa, mantivesse o mesmo limite de erro e pesquisasse apenas 50 pessoas em vez de 200, o que aconteceria com o nível de confiança? Por quê?
Responda
O nível de confiança diminuiria porque a diminuição\(n\) torna o intervalo de confiança mais amplo, então, no mesmo limite de erro, o nível de confiança diminui.
Exercício 8.2.19
Suponha que o Censo precisasse ter 98% de confiança no período médio de tempo da população. O Censo teria que pesquisar mais pessoas? Por que ou por que não?
Use as seguintes informações para responder aos próximos dez exercícios: Uma amostra de 20 cabeças de alface foi selecionada. Suponha que a distribuição populacional do peso da cabeça seja normal. O peso de cada cabeça de alface foi então registrado. O peso médio foi de 2,2 libras com um desvio padrão de 0,1 libras. Sabe-se que o desvio padrão da população é de 0,2 libras.
Exercício 8.2.20
Identifique o seguinte:
- \(\bar{x} =\)_____
- \(\sigma =\)_____
- \(n =\)_____
Responda
- \(\bar{x} = 2.2\)
- \(\sigma = 0.2\)
- \(n = 20\)
Exercício 8.2.21
Em palavras, defina a variável aleatória\(X\).
Exercício 8.2.22
Em palavras, defina a variável aleatória\(\bar{X}\).
Responda
\(\bar{X}\)é o peso médio de uma amostra de 20 cabeças de alface.
Exercício 8.2.23
Qual distribuição você deve usar para esse problema?
Exercício 8.2.24
Construa um intervalo de confiança de 90% para o peso médio da população das cabeças de alface. Indique o intervalo de confiança, desenhe o gráfico e calcule o limite do erro.
Responda
\(EBM = 0.07\)
\(CI: (2.1264, 2.2736)\)
Exercício 8.2.25
Construa um intervalo de confiança de 95% para o peso médio da população das cabeças de alface. Indique o intervalo de confiança, desenhe o gráfico e calcule o limite do erro.
Exercício 8.2.26
Em frases completas, explique por que o intervalo de confiança no Exercício é maior do que no Exercício.
Responda
O intervalo é maior porque o nível de confiança aumentou. Se a única alteração feita na análise for uma mudança no nível de confiança, tudo o que estamos fazendo é alterar a quantidade de área que está sendo calculada para a distribuição normal. Portanto, um nível de confiança maior resulta em áreas maiores e intervalos maiores.
Exercício 8.2.27
Em frases completas, dê uma interpretação do que significa o intervalo no Exercício.
Exercício 8.2.28
O que aconteceria se 40 cabeças de alface fossem amostradas em vez de 20 e o limite de erro permanecesse o mesmo?
Responda
O nível de confiança aumentaria.
Exercício 8.2.29
O que aconteceria se 40 cabeças de alface fossem amostradas em vez de 20 e o nível de confiança permanecesse o mesmo?
Use as seguintes informações para responder aos próximos 14 exercícios: A idade média de todos os estudantes do Foothill College em um período recente de outono foi de 33,2. O desvio padrão da população tem sido bastante consistente em 15. Suponha que vinte e cinco estudantes de inverno tenham sido selecionados aleatoriamente. A idade média da amostra foi de 30,4. Estamos interessados na verdadeira idade média dos estudantes do Winter Foothill College. Seja\(X\) = a idade de um estudante do Winter Foothill College.
Exercício 8.2.30
\(\bar{x} =\)_____
Responda
30,4
Exercício 8.2.31
\(n =\)_____
Exercício 8.2.32
________\(= 15\)
Responda
\(\sigma\)
Exercício 8.2.33
Em palavras, defina a variável aleatória\(\bar{X}\).
Exercício 8.2.34
O que é\(\bar{x}\) estimativa?
Responda
\(\mu\)
Exercício 8.2.35
É\(\sigma_{x}\) conhecido?
Exercício 8.2.36
Como resultado de sua resposta ao Exercício, indique a distribuição exata a ser usada ao calcular o intervalo de confiança.
Responda
normal
Construa um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira idade média dos estudantes do Winter Foothill College fazendo exercícios e respondendo aos próximos sete exercícios.
Exercício 8.2.37
Quanta área há nas duas caudas (combinadas)? \(\alpha =\)________
Exercício 8.2.38
Quanta área há em cada cauda? \(\frac{\alpha}{2} =\)________
Responda
0,025
Exercício 8.2.39
Identifique as seguintes especificações:
- limite inferior
- limite superior
- limite de erro
Exercício 8.2.40
O intervalo de confiança de 95% é: __________________.
Responda
(24,52, 36,28)
Exercício 8.2.41
Preencha os espaços em branco no gráfico com as áreas, os limites superior e inferior do intervalo de confiança e a média da amostra.
Exercício 8.2.42
Em uma frase completa, explique o que significa o intervalo.
Responda
Estamos 95% confiantes de que a verdadeira idade média dos estudantes do Winger Foothill College está entre 24,52 e 36,28.
Exercício 8.2.43
Usando a mesma média, desvio padrão e nível de confiança, suponha que\(n\) fossem 69 em vez de 25. O limite de erro se tornaria maior ou menor? Como você sabe?
Exercício 8.2.44
Usando a mesma média, desvio padrão e tamanho da amostra, como o limite do erro mudaria se o nível de confiança fosse reduzido para 90%? Por quê?
Responda
O limite de erro para a média diminuiria porque, à medida que o CL diminui, você precisa de menos área abaixo da curva normal (o que se traduz em um intervalo menor) para capturar a média real da população.
Revisão
Em muitos casos, o pesquisador não conhece o desvio padrão da população\(\sigma\),, da medida em estudo. Nesses casos, é comum usar o desvio padrão da amostra,\(s\), como uma estimativa de\(\sigma\). A distribuição normal cria intervalos de confiança precisos quando\(\sigma\) é conhecida, mas não é tão precisa quando\(s\) usada como uma estimativa. Nesse caso, a distribuição t do Student é muito melhor. Defina uma pontuação t usando a seguinte fórmula:
\[t = \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}}\]
A\(t\) pontuação -segue a\(t\) distribuição de Student com\(n – 1\) graus de liberdade. O intervalo de confiança sob essa distribuição é calculado com\(EBM = \left(t_{\frac{\alpha}{2}}\right)\frac{s}{\sqrt{n}}\) onde\(t_{\frac{\alpha}{2}}\) a\(t\) pontuação -com área à direita é igual a\(\frac{\alpha}{2}\),\(s\) é o desvio padrão da amostra e\(n\) é o tamanho da amostra. Use uma tabela, calculadora ou computador\(t_{\frac{\alpha}{2}}\) para encontrar um determinado\(\alpha\).
Revisão da fórmula
\(s =\)o desvio padrão dos valores da amostra.
\(t = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\)é a fórmula para o\(t\) -score, que mede a distância entre uma medida e a média da população na\(t\) distribuição -de Student
\(df = n - 1\); os graus de liberdade para a\(t\) distribuição -de Student onde n representa o tamanho da amostra
\(T \sim t_{df}\)a variável aleatória\(T\),, tem uma\(t\) distribuição de Student com\(df\) graus de liberdade
\(EBM = t_{\frac{\alpha}{2}}\frac{s}{\sqrt{n}} =\)o limite de erro para a média da população quando o desvio padrão da população é desconhecido
\(t_{\frac{\alpha}{2}}\)é a\(t\) pontuação -na\(t\) distribuição de Student com área à direita igual a\(\frac{\alpha}{2}\)
A forma geral de um intervalo de confiança para uma única média, desvio padrão da população desconhecido, t de Student é dada por (limite inferior, limite superior)
\[= (\text{point estimate} – EBM, \text{point estimate} + EBM)\]
\[= \left(\bar{x} - \frac{ts}{\sqrt{n}}, \bar{x} + \frac{ts}{\sqrt{n}}\right)\]
Use as informações a seguir para responder aos próximos cinco exercícios. Um hospital está tentando reduzir o tempo de espera no pronto-socorro. Está interessado na quantidade de tempo que os pacientes devem esperar antes de serem chamados de volta para serem examinados. Um comitê de investigação pesquisou aleatoriamente 70 pacientes. A média da amostra foi de 1,5 horas com um desvio padrão da amostra de 0,5 horas.
Exercício 8.3.3
Identifique o seguinte:
- \(\bar{x} =\)_______
- \(s_{x} =\)_______
- \(n =\)_______
- \(n - 1=\)_______
Exercício 8.3.4
Defina as variáveis aleatórias\(X\) e\(\bar{X}\) em palavras.
Responda
\(X\)é o número de horas que um paciente espera na sala de emergência antes de ser chamado de volta para ser examinado. \(\bar{X}\)é o tempo médio de espera de 70 pacientes na sala de emergência.
Exercício 8.3.5
Qual distribuição você deve usar para esse problema?
Exercício 8.3.6
Construa um intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de espera da população. Indique o intervalo de confiança, desenhe o gráfico e calcule o limite do erro.
Responda
\(CI: (1.3808, 1.6192)\)
\(EBM = 0.12\)
Exercício 8.3.7
Explique em frases completas o que significa o intervalo de confiança.
Use as seguintes informações para responder aos próximos seis exercícios: Cento e oito americanos foram entrevistados para determinar o número de horas que passam assistindo televisão por mês. Foi revelado que eles assistiram a uma média de 151 horas por mês com um desvio padrão de 32 horas. Suponha que a distribuição da população subjacente seja normal.
Exercício 8.3.8
- \(\bar{x} =\)_______
- \(s_{x} =\)_______
- \(n =\)_______
- \(n - 1=\)_______
Responda
- \(\bar{x} = 151\)
- \(s_{x} = 32\)
- \(n = 108\)
- \(n - 1= 107\)
Exercício 8.3.9
Defina a variável aleatória\(X\) em palavras.
Exercício 8.3.10
Defina a variável aleatória\(\bar{X}\) em palavras.
Responda
\(\bar{X}\)é o número médio de horas gastas assistindo televisão por mês a partir de uma amostra de 108 americanos.
Exercício 8.3.11
Qual distribuição você deve usar para esse problema?
Exercício 8.3.12
Construa um intervalo de confiança de 99% para a média de horas da população assistindo televisão por mês. (a) Declare o intervalo de confiança, (b) esboce o gráfico e (c) calcule o limite de erro.
Responda
\(CI: (142.92, 159.08)\)
\(EBM = 8.08\)
Exercício 8.3.13
Por que o limite do erro mudaria se o nível de confiança fosse reduzido para 95%?
Use as seguintes informações para responder aos próximos 13 exercícios: Os dados na Tabela são o resultado de uma pesquisa aleatória de 39 bandeiras nacionais (com substituição entre escolhas) de vários países. Estamos interessados em encontrar um intervalo de confiança para o verdadeiro número médio de cores em uma bandeira nacional. Deixe\(X =\) o número de cores em uma bandeira nacional.
| \(X\) | Freq. |
|---|---|
| \ (X\)” class="lt-stats-1928">1 | 1 |
| \ (X\)” class="lt-stats-1928">2 | 7 |
| \ (X\)” class="lt-stats-1928">3 | 18 |
| \ (X\)” class="lt-stats-1928">4 | 7 |
| \ (X\)” class="lt-stats-1928">5 | 6 |
Exercício 8.3.14
- \(\bar{x} =\)_______
- \(s_{x} =\)_______
- \(n =\)_______
Responda
- 3.26
- 1,02
- 39
Exercício 8.3.15
Defina a variável aleatória\(\bar{X}\) em palavras.
Exercício 8.3.16
O que é\(\bar{x}\) estimativa?
Responda
\(\mu\)
Exercício 8.3.17
É\(\sigma_{x}\) conhecido?
Exercício 8.3.18
Como resultado de sua resposta ao Exercício, indique a distribuição exata a ser usada ao calcular o intervalo de confiança.
Responda
\(t_{38}\)
Construa um intervalo de confiança de 95% para o número médio real de cores nas bandeiras nacionais.
Exercício 8.3.19
Quanta área há nas duas caudas (combinadas)?
Exercício 8.3.20
Quanta área há em cada cauda?
Responda
0,025
Exercício 8.3.21
Calcule o seguinte:
- limite inferior
- limite superior
- limite de erro
Exercício 8.3.22
O intervalo de confiança de 95% é _____.
Responda
(2,93, 3,59)
Exercício 8.3.23
Preencha os espaços em branco no gráfico com as áreas, os limites superior e inferior do intervalo de confiança e a média da amostra.
Exercício 8.3.24
Em uma frase completa, explique o que significa o intervalo.
Responda
Estamos 95% confiantes de que o verdadeiro número médio de cores das bandeiras nacionais está entre 2,93 cores e 3,59 cores.
Exercício 8.3.25
Usando o mesmo nível de confiança\(\bar{x}\)\(s_{x}\), e, suponha que\(n\) fossem 69 em vez de 39. O limite de erro se tornaria maior ou menor? Como você sabe?
Responda
O limite do erro se tornaria\(EBM = 0.245\). Esse limite de erro diminui porque, à medida que os tamanhos das amostras aumentam, a variabilidade diminui e precisamos de menos comprimento de intervalo para capturar a média real.
Exercício 8.3.26
Usando o mesmo\(\bar{x}\), e\(s_{x}\)\(n = 39\), como o limite de erro mudaria se o nível de confiança fosse reduzido para 90%? Por quê?
Referências
- Jensen, Tom. “Democratas e republicanos se dividem sobre a opinião dos ícones da música.” Pesquisa de políticas públicas. Disponível on-line em www.publicpolicypolling.com/Day2MusicPoll.pdf (acessado em 2 de julho de 2013).
- Madden, Mary, Amanda Lenhart, Sandra Coresi, Urs Gasser, Maeve Duggan, Aaron Smith e Meredith Beaton. “Adolescentes, mídias sociais e privacidade.” PewInternet, 2013. Disponível on-line em www.pewinternet.org/Reports/2... d-Privacy.aspx (acessado em 2 de julho de 2013).
- Prince Survey Research Associates International. “Pesquisa de 2013 sobre gestão de privacidade e adolescentes”. Pew Research Center: Internet and American Life Project. Disponível on-line em www.pewinternet.org/~/media//... al%20Media.pdf (acessado em 2 de julho de 2013).
- Saad, Lydia. “Três em cada quatro trabalhadores dos EUA planejam trabalhar após a idade de aposentadoria: um pouco mais dizem que farão isso por opção e não por necessidade.” Economia Gallup®, 2013. Disponível on-line em http://www.gallup.com/poll/162758/th...ement-age.aspx (acessado em 2 de julho de 2013).
- A pesquisa de campo. Disponível on-line em field.com/fieldpollonline/subscribers/ (acessado em 2 de julho de 2013).
- Zogby. “Nova pesquisa da Sunyit/Zogby Analytics: poucos americanos se preocupam com a ocorrência de situações de emergência em sua comunidade; apenas um em cada três tem um plano de emergência; 70% apoiam o 'investimento' em infraestrutura para a segurança nacional.” Zogby Analytics, 2013. Disponível on-line em http://www.zogbyanalytics.com/news/2...analytics-poll (acessado em 2 de julho de 2013).
- “52% dizem que o grande atletismo universitário corrompe o processo educacional.” Relatórios Rasmussen, 2013. Disponível on-line em http://www.rasmussenreports.com/publ...cation_process (acessado em 2 de julho de 2013).
Revisão
Algumas medidas estatísticas, como muitas perguntas de pesquisa, medem dados qualitativos em vez de quantitativos. Nesse caso, o parâmetro populacional que está sendo estimado é uma proporção. É possível criar um intervalo de confiança para a proporção real da população seguindo procedimentos semelhantes aos usados na criação de intervalos de confiança para médias populacionais. As fórmulas são um pouco diferentes, mas seguem o mesmo raciocínio.
Vamos\(p′\) representar a proporção da amostra,\(\frac{x}{n}\), onde\(x\) representa o número de sucessos e\(n\) representa o tamanho da amostra. Deixe\(q′ = 1 – p′\). Em seguida, o intervalo de confiança para uma proporção da população é dado pela seguinte fórmula:
(limite inferior, limite superior) =\(\left(p' - EBP, p' + EBP\right) = \left(p' - z\sqrt{\frac{p'q'}{n}}, p' + z\sqrt{\frac{p'q'}{n}}\right)\)
O método “mais quatro” para calcular intervalos de confiança é uma tentativa de equilibrar o erro introduzido usando estimativas da proporção da população ao calcular o desvio padrão da distribuição amostral. Imagine simplesmente quatro ensaios adicionais no estudo; dois são sucessos e dois são fracassos. \(p′ = \frac{x+2}{n_4}\)Calcule e prossiga para encontrar o intervalo de confiança. Quando os tamanhos das amostras são pequenos, foi demonstrado que esse método fornece intervalos de confiança mais precisos do que a fórmula padrão usada para amostras maiores.
Revisão da fórmula
\(p′ = \frac{x}{n}\)onde\(x\) representa o número de sucessos e\(n\) representa o tamanho da amostra. A variável\(p'\) é a proporção da amostra e serve como estimativa pontual para a proporção real da população.
\[q′ = 1 – p′\]
\[p' - N\left(p, \sqrt{\frac{pq}{n}}\right)\]A variável\(p′\) tem uma distribuição binomial que pode ser aproximada com a distribuição normal mostrada aqui.
\(EBP =\)o limite de erro para uma proporção\(= z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{p'q'}{n}}\)
Intervalo de confiança para uma proporção:
\((\text{lower bound, upper bound}) = (p′ – EBP, p′ + EBP) = \left(p' - z\sqrt{\frac{p'q'}{n}}\right), p' + z\sqrt{\frac{p'q'}{n}}\)
\(n = \frac{z_{\frac{\alpha}{2}}p'q'}{EBP^{2}}\)fornece o número de participantes necessários para estimar a proporção da população com confiança\(1 - \alpha\) e margem de erro\(EBP\).
Use a distribuição normal para uma única proporção da população\(p' = \frac{x}{n}\)
\(EBP = \left(z_{\frac{\alpha}{2}}\right)\sqrt{\frac{p'q'}{n}}p' + q' = 1\)
O intervalo de confiança tem o formato\((p′ – EBP, p′ + EBP)\).
- \(\bar{x}\)é uma estimativa pontual para\(\mu\)
- \(p′\)é uma estimativa pontual para\(\rho\)
- \(s\)é uma estimativa pontual para\(\sigma\)
Use as informações a seguir para responder aos próximos dois exercícios: As empresas de marketing estão interessadas em conhecer a porcentagem da população de mulheres que tomam a maioria das decisões de compra doméstica.
Exercício 8.4.6
Ao elaborar um estudo para determinar essa proporção da população, qual é o número mínimo que você precisaria pesquisar para ter 90% de confiança de que a proporção da população está estimada em 0,05?
Exercício 8.4.7
Se posteriormente fosse determinado que era importante ter mais de 90% de confiança e que uma nova pesquisa fosse encomendada, como isso afetaria o número mínimo que você precisa pesquisar? Por quê?
Responda
Isso diminuiria, porque a\(z\) pontuação -diminuiria, o que reduziria o numerador e diminuiria o número.
Use as informações a seguir para responder aos próximos cinco exercícios: Suponha que a empresa de marketing tenha feito uma pesquisa. Eles pesquisaram aleatoriamente 200 famílias e descobriram que em 120 delas, a mulher tomou a maioria das decisões de compra. Estamos interessados na proporção da população de famílias em que as mulheres tomam a maioria das decisões de compra.
Exercício 8.4.8
Identifique o seguinte:
- \(x =\)______
- \(n =\)______
- \(p′ =\)______
Exercício 8.4.9
Defina as variáveis aleatórias\(X\) e\(P′ \) em palavras.
Responda
\(X\)é o número de “sucessos” em que a mulher toma a maioria das decisões de compra para a família. \(P′\)é a porcentagem de famílias amostradas em que a mulher toma a maioria das decisões de compra para a família.
Exercício 8.4.10
Qual distribuição você deve usar para esse problema?
Exercício 8.4.11
Construa um intervalo de confiança de 95% para a proporção da população de famílias em que as mulheres tomam a maioria das decisões de compra. Indique o intervalo de confiança, desenhe o gráfico e calcule o limite do erro.
Responda
\(CI: (0.5321, 0.6679)\)
\(EBM: 0.0679\)
Exercício 8.4.12
Liste duas dificuldades que a empresa poderia ter em obter resultados aleatórios, caso essa pesquisa fosse feita por e-mail.
Use as seguintes informações para responder aos próximos cinco exercícios: Dos 1.050 adultos selecionados aleatoriamente, 360 se identificaram como trabalhadores manuais, 280 se identificaram como assalariados não manuais, 250 se identificaram como gerentes de nível médio e 160 se identificaram como executivos. Na pesquisa, 82% dos trabalhadores manuais preferiram caminhões, 62% dos assalariados não manuais preferiram caminhões, 54% dos gerentes de nível médio preferiram caminhões e 26% dos executivos preferiram caminhões.
Exercício 8.4.13
Estamos interessados em encontrar o intervalo de confiança de 95% para a porcentagem de executivos que preferem caminhões. Defina variáveis aleatórias\(X\) e\(P′\) em palavras.
Responda
\(X\)é o número de “sucessos” em que um executivo prefere um caminhão. \(P′\)é a porcentagem de executivos incluídos na amostra que preferem um caminhão.
Exercício 8.4.14
Qual distribuição você deve usar para esse problema?
Exercício 8.4.15
Construa um intervalo de confiança de 95%. Indique o intervalo de confiança, desenhe o gráfico e calcule o limite do erro.
Responda
\(CI: (0.19432, 0.33068)\)
\(EBM: 0.0707\)
Exercício 8.4.16
Suponha que desejemos diminuir o erro de amostragem. Qual é uma maneira de fazer isso?
Exercício 8.4.17
O erro de amostragem fornecido na pesquisa é\(\pm 2%\). Explique o que\(\pm 2%\) isso significa.
Responda
O erro de amostragem significa que a média real pode estar 2% acima ou abaixo da média da amostra.
Use as informações a seguir para responder aos próximos cinco exercícios: Uma pesquisa com 1.200 eleitores perguntou qual era a questão mais significativa na próxima eleição. Sessenta e cinco por cento responderam à economia. Estamos interessados na proporção da população de eleitores que acham que a economia é a mais importante.
Exercício 8.4.18
Defina a variável aleatória\(X\) em palavras.
Exercício 8.4.19
Defina a variável aleatória\(P′\) em palavras.
Responda
\(P′\)é a proporção de eleitores incluídos na amostra que disseram que a economia é a questão mais importante nas próximas eleições.
Exercício 8.4.20
Qual distribuição você deve usar para esse problema?
Exercício 8.4.21
Construa um intervalo de confiança de 90% e indique o intervalo de confiança e o limite de erro.
Responda
\(CI: (0.62735, 0.67265)\)
\(EBM: 0.02265\)
Exercício 8.4.22
O que aconteceria com o intervalo de confiança se o nível de confiança fosse de 95%?
Use as seguintes informações para responder aos próximos 16 exercícios: O Ice Chalet oferece dezenas de diferentes aulas de patinação no gelo para iniciantes. Todos os nomes das classes são colocados em um balde. Às 17h, segunda-feira à noite, com idades entre 8 e 12 anos, foi escolhida a aula de patinação no gelo. Nessa classe estavam 64 meninas e 16 meninos. Suponha que estejamos interessados na verdadeira proporção de meninas, de 8 a 12 anos, em todas as aulas de patinação no gelo para iniciantes no Ice Chalet. Suponha que as crianças da turma selecionada sejam uma amostra aleatória da população.
Exercício 8.4.23
O que está sendo contado?
Responda
O número de meninas, de 8 a 12 anos, às 17h da noite de segunda-feira começando a aula de patinação no gelo.
Exercício 8.4.24
Em palavras, defina a variável aleatória\(X\).
Exercício 8.4.25
Calcule o seguinte:
- \(x =\)_______
- \(n =\)_______
- \(p′ =\)_______
Responda
- \(x = 64\)
- \(n = 80\)
- \(p′ = 0.8\)
Exercício 8.4.26
Indique a distribuição estimada de\(X\). \(X \sim\)________
Exercício 8.4.27
Defina uma nova variável aleatória\(P′\). O que é\(p′\) estimativa?
Responda
\(p\)
Exercício 8.4.28
Em palavras, defina a variável aleatória\(P′\).
Exercício 8.4.29
Indique a distribuição estimada de\(P′\). Construa um intervalo de confiança de 92% para a proporção real de meninas de 8 a 12 anos que iniciam aulas de patinação no gelo no Ice Chalet.
Responda
\(P\ - N\left(0.8, \sqrt{\frac{(0.8)(0.2)}{80}}\right)\). \((0.72171,0.87829)\).
Exercício 8.4.30
Quanta área há nas duas caudas (combinadas)?
Exercício 8.4.31
Quanta área há em cada cauda?
Responda
0,04
Exercício 8.4.32
Calcule o seguinte:
- limite inferior
- limite superior
- limite de erro
Exercício 8.4.33
O intervalo de confiança de 92% é _______.
Resposta
(0,72; 0,88)
Exercício 8.4.34
Preencha os espaços em branco no gráfico com as áreas, os limites superior e inferior do intervalo de confiança e a proporção da amostra.
Exercício 8.4.35
Em uma frase completa, explique o que significa o intervalo.
Resposta
Com 92% de confiança, estimamos que a proporção de meninas de 8 a 12 anos em uma aula de patinação no gelo para iniciantes no Ice Chalet esteja entre 72% e 88%.
Exercício 8.4.36
Usando o mesmo nível\(p′\) de confiança, suponha que\(n\) tenham sido aumentados para 100. O limite de erro se tornaria maior ou menor? Como você sabe?
Exercício 8.4.37
Usando o mesmo\(p′\) e\(n = 80\), como o limite do erro mudaria se o nível de confiança fosse aumentado para 98%? Por quê?
Resposta
O limite de erro aumentaria. Supondo que todas as outras variáveis sejam mantidas constantes, à medida que o nível de confiança aumenta, a área sob a curva correspondente ao nível de confiança se torna maior, o que cria um intervalo maior e, portanto, um erro maior.
Exercício 8.4.38
Se você diminuísse o limite de erro permitido, por que o tamanho mínimo da amostra aumentaria (mantendo o mesmo nível de confiança)?