8.4: Uma proporção da população

Durante um ano eleitoral, vemos artigos no jornal que indicam os intervalos de confiança em termos de proporções ou porcentagens. Por exemplo, uma pesquisa para um candidato específico concorrendo à presidência pode mostrar que o candidato tem 40% dos votos dentro de três pontos percentuais (se a amostra for grande o suficiente). Muitas vezes, as pesquisas eleitorais são calculadas com 95% de confiança, portanto, os pesquisadores teriam 95% de confiança de que a proporção real de eleitores que favoreceram o candidato estaria entre 0,37 e 0,43: (0,40 - 0,03-0,40 + 0,03).

Os investidores no mercado de ações estão interessados na verdadeira proporção de ações que sobem e descem a cada semana. As empresas que vendem computadores pessoais estão interessadas na proporção de residências nos Estados Unidos que possuem computadores pessoais. Os intervalos de confiança podem ser calculados para a proporção real de estoques que sobem ou diminuem a cada semana e para a proporção real de famílias nos Estados Unidos que possuem computadores pessoais.

O procedimento para encontrar o intervalo de confiança, o tamanho da amostra, o limite de erro e o nível de confiança de uma proporção é semelhante ao da média da população, mas as fórmulas são diferentes. Como você sabe que está lidando com um problema de proporção? Primeiro, a distribuição subjacente é uma distribuição binomial. (Não há menção de uma média ou média.) Se\(X\) for uma variável aleatória binomial, então

\[X \sim B(n, p)\nonumber \]

onde\(n\) está o número de tentativas e\(p\) é a probabilidade de sucesso.

Para formar uma proporção\(X\), pegue a variável aleatória para o número de sucessos e divida-a pelo\(n\) número de ensaios (ou o tamanho da amostra). A variável aleatória\(P′ \) (leia-se “P prime”) é essa proporção,

\[P' = \dfrac{X}{n}\nonumber \]

(Às vezes, a variável aleatória é indicada como\(\hat{P}\), leia “P hat”.)

Quando\(n\) é grande e não\(p\) está perto de zero ou de um, podemos usar a distribuição normal para aproximar o binômio.

\[X \sim N(np, \sqrt{npq})\nonumber \]

Se dividirmos a variável aleatória, a média e o desvio padrão por\(n\), obteremos uma distribuição normal de proporções com\(P′ \), chamada proporção estimada, como variável aleatória. (Lembre-se de que uma proporção é o número de sucessos dividido por\(n\).)

\[\dfrac{X}{n} = P' - N\left(\dfrac{np}{n}, \dfrac{\sqrt{npq}}{n}\right)\nonumber \]

Usando álgebra para simplificar:

\[\dfrac{\sqrt{npq}}{n} = \sqrt{\dfrac{pq}{n}}\nonumber \]

P′S segue uma distribuição normal para proporções:

\[\dfrac{X}{n} = P' - N\left(\dfrac{np}{n}, \dfrac{\sqrt{npq}}{n}\right)\nonumber \]

O intervalo de confiança tem a forma

\[(p′ – EBP, p′ + EBP).\nonumber \]

onde

• \(EBP\)é um limite de erro para a proporção.
• \(p′ = \dfrac{x}{n}\)
• \(p′ =\)a proporção estimada de sucessos (p′é uma estimativa pontual para p, a proporção real.)
• \(x =\)o número de sucessos
• \(n =\)o tamanho da amostra

O limite de erro (EBP) para uma proporção é

\[EBP = \left(z_{\frac{\alpha}{2}}\right)\left(\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}}\right)\nonumber \]

onde\(q\ = 1 - p'\).

Essa fórmula é semelhante à fórmula de limite de erro para uma média, exceto que o “desvio padrão apropriado” é diferente. Para uma média, quando o desvio padrão da população é conhecido, o desvio padrão apropriado que usamos é\(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\). Para uma proporção, o desvio padrão apropriado é

\[\sqrt{\dfrac{pq}{n}}.\nonumber \]

No entanto, na fórmula vinculada ao erro, usamos

\[\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}}\nonumber \]

como o desvio padrão, em vez de

\[\sqrt{\dfrac{pq}{n}}.\nonumber \]

Na fórmula de limite de erro, as proporções amostrais p′e q′são estimativas das proporções populacionais desconhecidas p e q. As proporções\(q′\) estimadas\(p′\) e são usadas porque\(p\) e não\(q\) são conhecidas. As proporções da amostra\(p′\) e\(q′\) são calculadas a partir dos dados:\(p′\) é a proporção estimada de sucessos e\(q′\) é a proporção estimada de falhas.

O intervalo de confiança só pode ser usado se o número de sucessos\(np′\) e o número de falhas\(nq′\) forem maiores que cinco.

Distribuição normal das proporções

Para a distribuição normal das proporções, a fórmula\(z\) -score é a seguinte.

E se

\[P' - N\left(p, \sqrt{\dfrac{pq}{n}}\right)\]

então a fórmula\(z\) -score é

\[z = \dfrac{p'-p}{\sqrt{\dfrac{pq}{n}}} \]

Exemplo\(\PageIndex{1}\)

Suponha que uma empresa de pesquisa de mercado seja contratada para estimar a porcentagem de adultos que vivem em uma grande cidade que têm telefones celulares. Quinhentos residentes adultos selecionados aleatoriamente nesta cidade são pesquisados para determinar se eles têm telefones celulares. Das 500 pessoas pesquisadas, 421 responderam que sim — elas possuem telefones celulares. Usando um nível de confiança de 95%, calcule uma estimativa do intervalo de confiança para a proporção real de residentes adultos desta cidade que têm telefones celulares.

Solução A

• A primeira solução é passo a passo (Solução A).
• A segunda solução usa uma função das calculadoras TI-83, 83+ ou 84 (Solução B).

Deixe\(X =\) o número de pessoas na amostra que têm telefones celulares. \(X\)é binomial.

\[X \sim B(500,\dfrac{421}{500}).\nonumber \]

Para calcular o intervalo de confiança, você deve encontrar\(p′\)\(q′\),\(EBP\) e.

• \(n = 500\)
• \(x =\)o número de sucessos\(= 421\)

\[p′ = \dfrac{x}{n} = \dfrac{421}{500} = 0.842\nonumber \]

• \(p′ = 0.842\)é a proporção da amostra; essa é a estimativa pontual da proporção da população.

\[q′ = 1 – p′ = 1 – 0.842 = 0.158\nonumber \]

Desde\(CL = 0.95\) então

\[\alpha = 1 – CL = 1 – 0.95 = 0.05\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) = 0.025.\nonumber \]

Então

\[z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.025 = 1.96}\nonumber \]

Use o comando da calculadora TI-83, 83+ ou 84+ InvNorm (0,975,0,1) para encontrar\(z_{0.025}\). Lembre-se de que a área à direita\(z_{0.025}\) é\(0.025\) e a área à esquerda\(z_{0.025}\) é\(0.975\). Isso também pode ser encontrado usando comandos apropriados em outras calculadoras, usando um computador ou usando uma tabela de probabilidade normal padrão.

\[EBP = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}} = (1.96)\sqrt{\dfrac{(0.842)(0.158)}{500}} = 0.032\nonumber \]

\[p' – EBP = 0.842 – 0.032 = 0.81\nonumber \]

\[p′ + EBP = 0.842 + 0.032 = 0.874\nonumber \]

O intervalo de confiança para a verdadeira proporção binomial da população é\((p′ – EBP, p′ +EBP) = (0.810, 0.874)\).

Interpretação

Estimamos com 95% de confiança que entre 81% e 87,4% de todos os residentes adultos desta cidade tenham telefones celulares.

Explicação do nível de confiança de 95%

Noventa e cinco por cento dos intervalos de confiança construídos dessa forma conteriam o valor real da proporção da população de todos os residentes adultos desta cidade que possuem telefones celulares.

Solução B

Pressione STAT e vá até TESTS.

Seta para baixo até a:1-propzint. Pressione ENTER.
Seta para baixo até xx e digite 421.
Seta para baixo até nn e digite 500.
Seta para baixo até o nível C e digite .95.
Seta para baixo até Calcular e pressione ENTER.
O intervalo de confiança é (0,81003, 0,87397).

Exercício\(\PageIndex{1}\)

Suponha que 250 pessoas selecionadas aleatoriamente sejam pesquisadas para determinar se elas possuem um tablet. Dos 250 pesquisados, 98 relataram possuir um tablet. Usando um nível de confiança de 95%, calcule uma estimativa do intervalo de confiança para a proporção real de pessoas que possuem tablets.

Resposta

(0,3315, 0,4525)

Exemplo\(\PageIndex{2}\)

Para um projeto de classe, um estudante de ciências políticas em uma grande universidade quer estimar a porcentagem de estudantes que são eleitores registrados. Ele pesquisa 500 estudantes e descobre que 300 são eleitores registrados. Calcule um intervalo de confiança de 90% para a porcentagem real de estudantes que são eleitores registrados e interprete o intervalo de confiança.

Resposta

• A primeira solução é passo a passo (Solução A).
• A segunda solução usa uma função das calculadoras TI-83, 83+ ou 84 (Solução B).

Solução A

• \(x = 300\)e
• \(n = 500\)

\[p' = \dfrac{x}{n} = \dfrac{300}{500} = 0.600\nonumber \]

\[q′ = 1 − p′ = 1 − 0.600 = 0.400\nonumber \]

Desde\(CL = 0.90\) então

\[\alpha = 1 – CL = 1 – 0.90 = 0.10\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) = 0.05\]

\[z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.05} = 1.645\nonumber \]

Use o comando da calculadora TI-83, 83+ ou 84+ InvNorm (0,95,0,1) para encontrar\(z_{0.05}\). Lembre-se de que a área à direita de\(z_{0.05}\) é 0,05 e a área à esquerda de\(z_{0.05}\) é 0,95. Isso também pode ser encontrado usando comandos apropriados em outras calculadoras, usando um computador ou usando uma tabela de probabilidade normal padrão.

\[EBP = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}} = (1.645)\sqrt{\dfrac{(0.60)(0.40)}{500}} = 0.036\nonumber \]

\[p′ – EBP = 0.60 − 0.036 = 0.564\nonumber \]

\[p′ + EBP = 0.60 + 0.036 = 0.636\nonumber \]

O intervalo de confiança para a verdadeira proporção binomial da população é\((p′ – EBP, p′ +EBP) = (0.564,0.636)\).

Interpretação

• Estimamos com 90% de confiança que a porcentagem real de todos os estudantes que são eleitores registrados está entre 56,4% e 63,6%.
• Redação alternativa: estimamos com 90% de confiança que entre 56,4% e 63,6% de TODOS os estudantes são eleitores registrados.

Explicação do nível de confiança de 90%

Noventa por cento de todos os intervalos de confiança construídos dessa forma contêm o valor real da porcentagem da população de estudantes que são eleitores registrados.

Solução B

Pressione STAT e vá até TESTS.

Seta para baixo até a:1-propzint. Pressione ENTER.
Seta para baixo até xx e digite 300.
Seta para baixo até nn e digite 500.
Seta para baixo até o nível C e digite 0,90.
Seta para baixo até Calcular e pressione ENTER.

O intervalo de confiança é (0,564, 0,636).

Exercício\(\PageIndex{2}\)

Um estudante pesquisa sua escola para ver se os alunos do distrito escolar são a favor ou contra a nova legislação sobre uniformes escolares. Ela pesquisa 600 estudantes e descobre que 480 são contra a nova legislação.

1. Calcule um intervalo de confiança de 90% para a porcentagem real de estudantes que são contra a nova legislação e interprete o intervalo de confiança.
2. Em uma amostra de 300 estudantes, 68% disseram ter um iPod e um smartphone. Calcule um intervalo de confiança de 97% para a porcentagem real de estudantes que possuem um iPod e um smartphone.

Responda a

(0,7731, 0,8269); Estimamos com 90% de confiança que a porcentagem real de todos os estudantes do distrito que são contra a nova legislação está entre 77,31% e 82,69%.

Resposta b

Sessenta e oito por cento (68%) dos estudantes possuem um iPod e um smartphone.

\[p′ = 0.68\nonumber \]

\[q′ = 1–p′ = 1 – 0.68 = 0.32\nonumber \]

Desde então\(CL = 0.97\), nós sabemos

\[\alpha = 1 – 0.97 = 0.03\nonumber \]

e

\[\dfrac{\alpha}{2} = 0.015.\nonumber \]

A área à esquerda de\(z_{0.05}\) é 0,015 e a área à direita de\(z_{0.05}\) é 1 — 0,015 = 0,985.

Usando a função de calculadora TI 83, 83+ ou 84+ InvNorm (0,985,0,1),

\[z_{0.05} = 2.17\nonumber \]

\[EPB = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}} = 2.17\sqrt{\dfrac{0.68(0.32)}{300}} \approx 0.0269\nonumber \]

\[p′ – EPB = 0.68 – 0.0269 = 0.6531\nonumber \]

\[p′ + EPB = 0.68 + 0.0269 = 0.7069\nonumber \]

Estamos 97% confiantes de que a proporção real de todos os estudantes que possuem um iPod e um smartphone está entre 0,6531 e 0,7069.

Calculadora

Pressione STAT e flecha até TESTS.

Seta para baixo até a:1-propzint. Pressione ENTER.
Seta para baixo até x e digite 300*0,68.
Seta para baixo até n e digite 300.
Seta para baixo até o nível C e digite 0,97.
Seta para baixo até Calcular e pressione ENTER.

O intervalo de confiança é (0,6531, 0,7069).

Intervalo de confiança “mais quatro” para\(p\)

Há uma certa quantidade de erro introduzida no processo de cálculo de um intervalo de confiança para uma proporção. Como não sabemos a proporção real da população, somos forçados a usar estimativas de pontos para calcular o desvio padrão apropriado da distribuição amostral. Estudos mostraram que a estimativa resultante do desvio padrão pode ser falha.

Felizmente, há um ajuste simples que nos permite produzir intervalos de confiança mais precisos. Nós simplesmente fingimos que temos quatro observações adicionais. Duas dessas observações são sucessos e duas são fracassos. O novo tamanho da amostra, então, é\(n + 4\), e a nova contagem de sucessos é\(x + 2\). Estudos de computador demonstraram a eficácia desse método. Ele deve ser usado quando o nível de confiança desejado é de pelo menos 90% e o tamanho da amostra é de pelo menos dez.

Exemplo\(\PageIndex{3}\)

Uma amostra aleatória de 25 estudantes de estatística foi questionada: “Você fumou um cigarro na semana passada?” Seis estudantes relataram fumar na semana passada. Use o método “mais quatro” para encontrar um intervalo de confiança de 95% para a proporção real de estudantes de estatística que fumam.

Solução A

Seis estudantes de 25 relataram fumar na semana passada, então\(x = 6\)\(n = 25\) e. Como estamos usando o método “mais quatro”, usaremos\(x = 6 + 2 = 8\)\(n = 25 + 4 = 29\) e.

\[p' = \dfrac{x}{n} = \dfrac{8}{29} \approx 0.276\nonumber \]

\[q′ = 1 – p′ = 1 – 0.276 = 0.724\nonumber \]

Desde então\(CL = 0.95\), nós sabemos\(\alpha = 1 – 0.95 = 0.05\)\(\dfrac{\alpha}{2} = 0.025\) e.

\[z_{0.025} = 1.96\nonumber \]

\(EPB = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}} = (1.96)\sqrt{\dfrac{0.276(0.724)}{29}} \approx 0.163\)

\[p′ – EPB = 0.276 – 0.163 = 0.113\nonumber \]

\[p′ + EPB = 0.276 + 0.163 = 0.439\nonumber \]

Temos 95% de confiança de que a proporção real de todos os estudantes de estatística que fumam cigarros está entre 0,113 e 0,439.

Solução B

Pressione STAT e flecha até TESTS.

Seta para baixo até a:1-propzint. Pressione ENTER.

LEMBRETE

Lembre-se de que o método mais quatro pressupõe quatro tentativas adicionais: dois sucessos e dois fracassos. Você não precisa alterar o processo de cálculo do intervalo de confiança; basta atualizar os valores de x e n para refletir esses ensaios adicionais.

Seta para baixo\(x\) e digite oito.

Seta para baixo\(n\) e digite 29.
Seta para baixo até o nível C e digite 0,95.
Seta para baixo até Calcular e pressione ENTER.

O intervalo de confiança é (0,113, 0,439).

Exercício\(\PageIndex{3}\)

De uma amostra aleatória de 65 calouros na State University, 31 estudantes declararam especialização. Use o método “mais quatro” para encontrar um intervalo de confiança de 96% para a proporção real de calouros na State University que declararam especialização.

Solução A

Usando “mais quatro”, temos\(x = 31 + 2 = 33\)\(n = 65 + 4 = 69\) e.

\[p′ = 3369 \approx 0.478\nonumber \]

\[q′ = 1 – p′ = 1 – 0.478 = 0.522\nonumber \]

Desde então\(CL = 0.96\), nós sabemos\(\alpha = 1 – 0.96 = 0.04\)\(\dfrac{\alpha}{2} = 0.02\) e.

\[z_{0.02} = 2.054\nonumber \]

\[EPB = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}} = (2.054)\left(\sqrt{\dfrac{(0.478)(0.522)}{69}}\right) - 0.124\nonumber \]

\[p′ – EPB = 0.478 – 0.124 = 0.354\nonumber \]

\[p′ + EPB = 0.478 + 0.124 = 0.602\nonumber \]

Estamos 96% confiantes de que entre 35,4% e 60,2% de todos os calouros do Estado U declararam especialização.

Solução B

Pressione STAT e vá até TESTS.

Seta para baixo até a:1-propzint. Pressione ENTER.
Seta para baixo\(x\) e digite 33.
Seta para baixo\(n\) e digite 69.
Seta para baixo até o nível C e digite 0,96.
Seta para baixo até Calcular e pressione ENTER.

O intervalo de confiança é (0,355, 0,602).

Exemplo\(\PageIndex{4}\)

O Berkman Center for Internet & Society em Harvard conduziu recentemente um estudo analisando os hábitos de gerenciamento de privacidade de usuários adolescentes da Internet. Em um grupo de 50 adolescentes, 13 relataram ter mais de 500 amigos no Facebook. Use o método “mais quatro” para encontrar um intervalo de confiança de 90% para a proporção real de adolescentes que relatariam ter mais de 500 amigos no Facebook.

Solução A

Usando “mais quatro”, temos\(x = 13 + 2 = 15\)\(n = 50 + 4 = 54\) e.

\[p′ = 1554 \approx 0.278\nonumber \]

\[q′ = 1 – p′ = 1 − 0.241 = 0.722\nonumber \]

Desde então\(CL = 0.90\), nós sabemos\(\alpha = 1 – 0.90 = 0.10\)\(\dfrac{\alpha}{2} = 0.05\) e.

\[z_{0.05} = 1.645\nonumber \]

\[EPB = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\left(\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}}\right) = (1.645)\left(\sqrt{\dfrac{(0.278)(0.722)}{54}}\right) \approx 0.100\nonumber \]

\[p′ – EPB = 0.278 – 0.100 = 0.178\nonumber \]

\[p′ + EPB = 0.278 + 0.100 = 0.378\nonumber \]

Estamos 90% confiantes de que entre 17,8% e 37,8% de todos os adolescentes relatariam ter mais de 500 amigos no Facebook.

Solução B

Pressione STAT e vá até TESTS.

Seta para baixo até a:1-propzint. Pressione ENTER.
Seta para baixo\(x\) e digite 15.
Seta para baixo\(n\) e digite 54.
Seta para baixo até o nível C e digite 0,90.
Seta para baixo até Calcular e pressione ENTER.

O intervalo de confiança é (0,178, 0,378).

Exercício\(\PageIndex{4}\)

O estudo do Berkman Center mencionado em Example conversou com adolescentes em grupos focais menores, mas também entrevistou outros adolescentes por telefone. Quando o estudo foi concluído, 588 adolescentes responderam à pergunta sobre seus amigos do Facebook, com 159 dizendo que tinham mais de 500 amigos. Use o método “mais quatro” para encontrar um intervalo de confiança de 90% para a proporção real de adolescentes que relatariam ter mais de 500 amigos no Facebook com base nessa amostra maior. Compare os resultados com os do Example.

Resposta

Solução A

Usando “mais quatro”, temos\(x = 159 + 2 = 161\)\(n = 588 + 4 = 592\) e.

\[p′ = 161592 \approx 0.272\nonumber \]

\[q′ = 1 – p′ = 1 – 0.272 = 0.728\nonumber \]

Como CL = 0,90, sabemos\(\alpha = 1 – 0.90 = 0.10\) e\(\dfrac{\alpha}{2} = 0.05\)

\[EPB = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\left(\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}}\right) = (1.645)\left(\sqrt{\dfrac{(0.272)(0.728)}{592}}\right) \approx 0.030\nonumber \]

\[p′ – EPB = 0.272 – 0.030 = 0.242\nonumber \]

\[p′ + EPB = 0.272 + 0.030 = 0.302\nonumber \]

Estamos 90% confiantes de que entre 24,2% e 30,2% de todos os adolescentes relatariam ter mais de 500 amigos no Facebook.

Solução B

• Pressione STAT e vá até TESTS.
• Seta para baixo até a:1-propzint. Pressione ENTER.
• Seta para baixo\(x\) e digite 161.
• Seta para baixo\(n\) e digite 592.
• Seta para baixo até o nível C e digite 0,90.
• Seta para baixo até Calcular e pressione ENTER.
• O intervalo de confiança é (0,242, 0,302).

Conclusão: O intervalo de confiança para a amostra maior é mais estreito do que o intervalo do Exemplo. Amostras maiores sempre produzirão intervalos de confiança mais precisos do que amostras menores. O método “mais quatro” tem um impacto maior na amostra menor. Ele muda a estimativa pontual de 0,26 (13/50) para 0,278 (15/54). Ele tem um impacto menor no EPB, alterando-o de 0,102 para 0,100. Na amostra maior, a estimativa pontual sofre uma mudança menor: de 0,270 (159/588) para 0,272 (161/592). É fácil ver que o método mais quatro tem o maior impacto em amostras menores.

Calculando o tamanho da amostra\(n\)

Se os pesquisadores desejarem uma margem de erro específica, eles poderão usar a fórmula de limite de erro para calcular o tamanho amostral necessário. A fórmula de limite de erro para uma proporção da população é

\[EBP = \left(z_{\frac{\alpha}{2}}\right)\left(\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}}\right)\nonumber \]

Resolver para\(n\) fornece uma equação para o tamanho da amostra.

\[n = \dfrac{\left(z_{\frac{\alpha}{2}}\right)^{2}(p'q')}{EBP^{2}}\nonumber \]

Exemplo\(\PageIndex{5}\)

Suponha que uma empresa de telefonia móvel queira determinar a porcentagem atual de clientes com mais de 50 anos que usam mensagens de texto em seus telefones celulares. Quantos clientes com mais de 50 anos a empresa deve pesquisar para ter 90% de confiança de que a proporção estimada (amostra) está dentro de três pontos percentuais da proporção real da população de clientes com mais de 50 anos que usam mensagens de texto em seus telefones celulares.

Resposta

Do problema, sabemos disso\(\bf{EBP = 0.03}\) (3% =0,03) e\(z_{\dfrac{\alpha}{2}} z_{0.05} = 1.645\) porque o nível de confiança é de 90%.

No entanto, para encontrar\(n\), precisamos saber a proporção estimada (amostra)\(p′\). Lembre-se disso\(q′ = 1 – p′\). Mas,\(p′\) ainda não sabemos. Como multiplicamos\(p′\) e\(q′\) juntos, fazemos com que ambos sejam iguais a 0,5 porque\(p′q′ = (0.5)(0.5) = 0.25\) resultam no maior produto possível. (Experimente outros produtos:\((0.6)(0.4) = 0.24\);\((0.3)(0.7) = 0.21\);\((0.2)(0.8) = 0.16\) e assim por diante). O maior produto possível nos dá o maior\(n\). Isso nos dá uma amostra grande o suficiente para que possamos ter 90% de confiança de que estamos dentro de três pontos percentuais da proporção real da população. Para calcular o tamanho da amostra\(n\), use a fórmula e faça as substituições.

\[n = \dfrac{z^{2}p'q'}{EBP^{2}}\nonumber \]

concede

\[n = \dfrac{1.645^{2}(0.5)(0.5)}{0.03^{2}} = 751.7\nonumber \]

Arredonde a resposta para o próximo valor mais alto. O tamanho da amostra deve ser de 752 clientes de telefones celulares com mais de 50 anos para ter 90% de confiança de que a proporção estimada (amostra) está dentro de três pontos percentuais da proporção real da população de todos os clientes com mais de 50 anos que usam mensagens de texto em seus telefones celulares.

Exercício\(\PageIndex{5}\)

Suponha que uma empresa de marketing na internet queira determinar a porcentagem atual de clientes que clicam em anúncios em seus smartphones. Quantos clientes a empresa deve pesquisar para ter 90% de confiança de que a proporção estimada está dentro de cinco pontos percentuais da proporção real da população de clientes que clicam em anúncios em seus smartphones?

Resposta

271 clientes devem ser pesquisados. Verifique a seção Imóveis em seu local

Glossário

Distribuição binomial

uma variável aleatória discreta (VR) que surge dos ensaios de Bernoulli; há um número fixo,\(n\), de ensaios independentes. “Independente” significa que o resultado de qualquer ensaio (por exemplo, ensaio 1) não afeta os resultados dos ensaios a seguir, e todos os ensaios são conduzidos nas mesmas condições. Nessas circunstâncias, o binômio RV\(X\) é definido como o número de sucessos em\(n\) ensaios. A notação é:\(X \sim B(\mathbf{n},\mathbf{p})\). A média é\(\mu = np\) e o desvio padrão é\(\sigma = \sqrt{npq}\). A probabilidade exata de\(x\) sucesso nos\(n\) testes é\(P(X = x = \left(\binom{n}{x}\right))p^{x}q^{n-x}\).

Limite de erro para uma proporção da população (\(EBP\))

a margem de erro; depende do nível de confiança, do tamanho da amostra e da proporção estimada (da amostra) de sucessos.