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7.1: Prelúdio do Teorema do Limite Central

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    Habilidades para desenvolver

    No final deste capítulo, o aluno deverá ser capaz de:

    • Reconheça os problemas do teorema do limite central.
    • Classifique problemas contínuos de palavras por suas distribuições.
    • Aplique e interprete o teorema do limite central para médias.
    • Aplique e interprete o teorema do limite central para somas.

    Por que estamos tão preocupados com os meios? Dois motivos são: eles nos fornecem um meio termo para comparação e são fáceis de calcular. Neste capítulo, você estudará as médias e o teorema do limite central. O teorema do limite central (clt para abreviar) é uma das ideias mais poderosas e úteis em todas as estatísticas. Existem duas formas alternativas do teorema, e ambas as alternativas se preocupam em extrair amostras finitas de tamanho n de uma população com uma média conhecida e um desvio padrão conhecido\(\sigma\).\(\mu\) A primeira alternativa diz que, se coletarmos amostras de tamanho\(n\) com um “grande o suficiente”\(n\), calcularmos a média de cada amostra e criarmos um histograma dessas médias, o histograma resultante tenderá a ter uma forma de sino normal aproximada. A segunda alternativa diz que, se coletarmos novamente amostras de tamanho\(n\) “grande o suficiente”, calcularmos a soma de cada amostra e criarmos um histograma, o histograma resultante voltará a ter uma forma normal de sino.

    Em ambos os casos, não importa qual seja a distribuição da população original ou se você precisa mesmo conhecê-la. O fato importante é que a distribuição das médias e somas da amostra tende a seguir a distribuição normal.

    O tamanho da amostra,\(n\), que é necessário para ser “grande o suficiente” depende da população original da qual as amostras são retiradas (o tamanho da amostra deve ser de pelo menos 30 ou os dados devem vir de uma distribuição normal). Se a população original estiver longe do normal, mais observações serão necessárias para que as médias ou somas da amostra sejam normais. A amostragem é feita com substituição.

    Figura\(\PageIndex{1}\). Se você quiser descobrir a distribuição da mudança que as pessoas carregam em seus bolsos, usando o teorema do limite central e assumindo que sua amostra é grande o suficiente, você descobrirá que a distribuição é normal e em forma de sino. (crédito: John Lodder)

    ATIVIDADE DE SALA DE AULA COLABOR

    Suponha que oito de vocês joguem um dado justo dez vezes, sete de vocês joguem dois dados justos dez vezes, nove de vocês joguem cinco dados justos dez vezes e 11 de vocês joguem dez dados justos dez vezes.

    Cada vez que uma pessoa lança mais de um dado, ela calcula a média da amostra das faces exibidas. Por exemplo, uma pessoa pode jogar cinco dados justos e obter 2, 2, 3, 4, 6 em uma jogada.

    A média é\(\frac{2+2+3+4+6}{5} = 3.4\). O 3.4 é uma média quando cinco dados justos são lançados. Essa mesma pessoa lançaria os cinco dados mais nove vezes e calcularia mais nove médias para um total de dez médias.

    Seu instrutor distribuirá os dados para várias pessoas. Jogue seus dados dez vezes. Para cada rolo, registre as faces e encontre a média. Arredonde para o 0,5 mais próximo.

    Seu instrutor (e possivelmente você) produzirá um gráfico (pode ser um histograma) para um dado, um gráfico para dois dados, um gráfico para cinco dados e um gráfico para dez dados. Como a “média” quando você lança um dado é apenas a face do dado, que distribuição esses meios parecem estar representando?

    • Desenhe o gráfico das médias usando dois dados. A amostra significa mostrar algum tipo de padrão?
    • Desenhe o gráfico das médias usando cinco dados. Você vê algum padrão emergindo?
    • Finalmente, desenhe o gráfico das médias usando dez dados. Você vê algum padrão no gráfico? O que você pode concluir ao aumentar o número de dados?

    À medida que o número de dados lançados aumenta de um para dois para cinco para dez, acontece o seguinte:

    1. A média das médias da amostra permanece aproximadamente a mesma.
    2. A dispersão das médias da amostra (o desvio padrão das médias da amostra) fica menor.
    3. O gráfico parece mais íngreme e mais fino.

    Você acabou de demonstrar o teorema do limite central (clt). O teorema do limite central diz que, à medida que você aumenta o número de dados, as médias da amostra tendem a uma distribuição normal (a distribuição amostral).

    Glossário

    Distribuição de amostras
    Dadas amostras aleatórias simples\(n\) de tamanho de uma determinada população com uma característica medida, como média, proporção ou desvio padrão para cada amostra, a distribuição de probabilidade de todas as características medidas é chamada de distribuição amostral.