5.2: A distribuição uniforme

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A distribuição uniforme é uma distribuição contínua de probabilidade e está relacionada a eventos que têm a mesma probabilidade de ocorrer. Ao resolver problemas que tenham uma distribuição uniforme, tenha cuidado ao observar se os dados são inclusivos ou exclusivos dos endpoints.

A declaração matemática da distribuição uniforme é

\(f(x) = \frac{1}{b-a}\)para\(a \leq x \leq b\)

onde\(a =\) o menor valor de\(x\) e\(b =\) o maior valor de\(x\).

As fórmulas para a média teórica e o desvio padrão são

\(\mu=\frac{a+b}{2}\)e\(\sigma=\sqrt{\frac{(b-a)^{2}}{12}}\)

Exercício\(\PageIndex{1}\)

Os dados a seguir são o número de passageiros em 35 barcos de pesca fretados diferentes. A média da amostra = 7,9 e o desvio padrão da amostra = 4,33. Os dados seguem uma distribuição uniforme em que todos os valores entre zero e 14, incluindo, são igualmente prováveis. Declare os valores de\(a\)\(b\) e. Escreva a distribuição na notação correta e calcule a média teórica e o desvio padrão.

\ (\ PageIndex {1}\) “>

1	12	4	10	4	14	11
7	11	4	13	2	4	6
3	10	0	12	6	9	10
5	13	4	10	14	12	11
6	10	11	0	11	13	2

Tabela 5.1

Exemplo\(\PageIndex{2}\)

A quantidade de tempo, em minutos, que uma pessoa deve esperar por um ônibus é distribuída uniformemente entre zero e 15 minutos, inclusive.

a. Qual é a probabilidade de uma pessoa esperar menos de 12,5 minutos?

Responda

a. Seja\(X\) = o número de minutos que uma pessoa deve esperar por um ônibus. \(a = 0\)\(b = 15\)e. \(X \sim U(0, 15)\). Escreva a função de densidade de probabilidade. \(f(x) = \frac{1}{15-0}=\frac{1}{15}\)para\(0 \leq x \leq 15\).

Encontre\(P(x < 12.5)\). Desenhe um gráfico.

\[P(x<k)=\text { (base) (height) }=(12.5-0)\left(\frac{1}{15}\right)=0.8333\nonumber\]

A probabilidade de uma pessoa esperar menos de 12,5 minutos é de 0,8333.

Isso mostra o gráfico da função f (x) = 1/15. Uma linha horizontal varia do ponto (0, 1/15) até o ponto (15, 1/15). Uma linha vertical se estende do eixo x até o final da linha no ponto (15, 1/15) criando um retângulo. Uma região é sombreada dentro do retângulo de x = 0 a x = 12,5.

b. Em média, quanto tempo uma pessoa deve esperar? Encontre a média\(\mu\), e o desvio padrão,\(\sigma\).

Responda: \(\mu=\frac{a+b}{2}=\frac{15+0}{2}=7.5\)b. Em média, uma pessoa deve esperar 7,5 minutos.

\(\sigma=\sqrt{\frac{(b-a)^{2}}{12}}=\sqrt{\frac{(15-\theta)^{2}}{12}}=4.3\). O desvio padrão é de 4,3 minutos.

c. Noventa por cento das vezes, o tempo que uma pessoa deve esperar cai abaixo de qual valor?

Nota

^{Isso pede o percentil 90.}

Responda

c. Encontre o ^90º percentil. Desenhe um gráfico. Deixe\(k =\) o ^90º percentil.

\ (P (x )<k) >
\(0.90=(k)\left(\frac{1}{15}\right)\)

\(k=(0.90)(15)=13.5\)

O ^90º percentil é 13,5 minutos. Noventa por cento das vezes, uma pessoa deve esperar no máximo 13,5 minutos.

Exercício\(\PageIndex{2}\)

A duração total dos jogos de beisebol na liga principal na temporada de 2011 é distribuída uniformemente entre 447 horas e 521 horas, inclusive.

Encontre\(a\)\(b\) e descreva o que eles representam.
Escreva a distribuição.
Encontre a média e o desvio padrão.
Qual é a probabilidade de que a duração dos jogos de uma equipe na temporada de 2011 seja entre 480 e 500 horas?