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5.1: Propriedades das funções contínuas de densidade de probabilidade

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    O gráfico de uma distribuição contínua de probabilidade é uma curva. A probabilidade é representada pela área abaixo da curva. Já conhecemos esse conceito quando desenvolvemos frequências relativas com histogramas no Capítulo 2. A área relativa para uma faixa de valores era a probabilidade de desenhar aleatoriamente uma observação nesse grupo. Novamente com a distribuição de Poisson no Capítulo 4, o gráfico em Exemplo\(\PageIndex{14}\) usou caixas para representar a probabilidade de valores específicos da variável aleatória. Nesse caso, estávamos sendo um pouco casuais porque as variáveis aleatórias de uma distribuição de Poisson são números inteiros discretos e uma caixa tem largura. Observe que o eixo horizontal, a variável aleatória\(x\), propositalmente não marcou os pontos ao longo do eixo. A probabilidade de um valor específico de uma variável aleatória contínua será zero porque a área abaixo de um ponto é zero. Probabilidade é área.

    A curva é chamada de função de densidade de probabilidade (abreviada como pdf). Usamos o símbolo\(f(x))\) para representar a curva. \(f(x))\)é a função que corresponde ao gráfico; usamos a função densidade\(f(x))\) para desenhar o gráfico da distribuição de probabilidade.

    A área abaixo da curva é dada por uma função diferente chamada função de distribuição cumulativa (abreviada como cdf). A função de distribuição cumulativa é usada para avaliar a probabilidade como área. Matematicamente, a função de densidade de probabilidade cumulativa é a integral do pdf, e a probabilidade entre dois valores de uma variável aleatória contínua será a integral do pdf entre esses dois valores: a área sob a curva entre esses valores. Lembre-se de que a área abaixo do pdf para todos os valores possíveis da variável aleatória é uma, certeza. A probabilidade, portanto, pode ser vista como a porcentagem relativa de certeza entre os dois valores de interesse.

    • Os resultados são medidos, não contados.
    • Toda a área abaixo da curva e acima do eixo x é igual a um.
    • A probabilidade é encontrada para intervalos de valores de x em vez de\(x\) valores individuais.
    • \(P(c < x < d)\)é a probabilidade de que a variável aleatória X esteja no intervalo entre os valores c e d.\(P(c < x < d)\) é a área abaixo da curva, acima do eixo x, à direita\(c\) e à esquerda de\(d\).
    • \(P(x = c) = 0\)A probabilidade que\(x\) assume qualquer valor individual é zero. A área abaixo da curva, acima do eixo x e entre\(x = c\) e não\(x = c\) tem largura e, portanto, não tem área (\(\text{area }= 0\)). Como a probabilidade é igual à área, a probabilidade também é zero.
    • \(P(c < x < d)\)é o mesmo\(P(c ≤ x ≤ d)\) porque a probabilidade é igual à área.

    Encontraremos a área que representa probabilidade usando geometria, fórmulas, tecnologia ou tabelas de probabilidade. Em geral, o cálculo integral é necessário para encontrar a área abaixo da curva para muitas funções de densidade de probabilidade. Quando usamos fórmulas para encontrar a área neste livro didático, as fórmulas foram encontradas usando as técnicas de cálculo integral.

    Há muitas distribuições de probabilidade contínuas. Ao usar uma distribuição de probabilidade contínua para modelar a probabilidade, a distribuição usada é selecionada para modelar e ajustar a situação específica da melhor maneira.

    Neste capítulo e no próximo, estudaremos a distribuição uniforme, a distribuição exponencial e a distribuição normal. Os gráficos a seguir ilustram essas distribuições.

    Este gráfico mostra uma distribuição uniforme. O eixo horizontal varia de 0 a 10. A distribuição é modelada por um retângulo que se estende de x = 2 a x = 8,8. Uma região de x = 3 a x = 6 está sombreada dentro do retângulo. A área sombreada representa P (3 x < 6).
    Figura\(\PageIndex{2}\) O gráfico mostra uma distribuição uniforme com a área entre\(x = 3\) e\(x = 6\) sombreada para representar a probabilidade de que o valor da variável aleatória\(X\) esteja no intervalo entre três e seis.
    Figura\(\PageIndex{3}\) O gráfico mostra uma distribuição exponencial com a área entre\(x = 2\) e\(x = 4\) sombreada para representar a probabilidade de que o valor da variável aleatória\(X\) esteja no intervalo entre dois e quatro.
    Este gráfico mostra uma distribuição exponencial. O gráfico se inclina para baixo. Ele começa em um ponto no eixo y e se aproxima do eixo x na borda direita do gráfico. A região abaixo do gráfico de x = 2 a x = 4 é sombreada para representar P (2 < x < 4).
    Figura\(\PageIndex{4}\) O gráfico mostra a distribuição normal padrão com a área entre\(x = 1\) e\(x = 2\) sombreada para representar a probabilidade de que o valor da variável aleatória\(X\) esteja no intervalo entre um e dois.

    Para distribuições de probabilidade contínuas, PROBABILIDADE = ÁREA.

    Exemplo\(\PageIndex{1}\)

    Considere a função\(f(x) = \frac{1}{20}\) para\(0 ≤ x ≤ 20. x =\) um número real. O gráfico de\(f(x) = \frac{1}{20}\) é uma linha horizontal. No entanto, uma vez\(0 ≤ x≤ 20, f(x)\) é restrito à porção entre\(x = 0\) e\(x = 20\), inclusive.

    Isso mostra o gráfico da função f (x) = 1/20. Uma linha horizontal varia do ponto (0, 1/20) até o ponto (20, 1/20). Uma linha vertical se estende do eixo x até o final da linha no ponto (20, 1/20) criando um retângulo.
    Figura\(\PageIndex{5}\)

    \(f(x) = \frac{1}{20}\)para\(0 ≤ x ≤ 20\).

    O gráfico de\(f(x) =\frac{1}{20}\) é um segmento de linha horizontal quando\(0 ≤ x ≤ 20\).

    A área entre\(f(x) = \frac{1}{20}\) onde\(0 ≤ x ≤ 20\) e o eixo x é a área de um retângulo com base\(= 20\) e altura\(= \frac{1}{20}\).

    \[\operatorname{AREA}=20\left(\frac{1}{20}\right)=1\nonumber\]

    Suponha que desejemos encontrar a área entre\(bf{f(x)) = \frac{1}{20}}\) e o eixo x onde\(\bf{0 < x < 2}\).

    Isso mostra o gráfico da função f (x) = 1/20. Uma linha horizontal varia do ponto (0, 1/20) até o ponto (20, 1/20). Uma linha vertical se estende do eixo x até o final da linha no ponto (20, 1/20) criando um retângulo. Uma região é sombreada dentro do retângulo de x = 0 a x = 2.
    Figura\(\PageIndex{6}\)

    \[\operatorname{AREA}=(2-0)\left(\frac{1}{20}\right)=0.1\nonumber\]

    \[(2-0)=2= \text{base of rectangle}\nonumber\]

    LEMBRETE

    área de um retângulo = (base) (altura).

    A área corresponde a uma probabilidade. A probabilidade que\(x\) está entre zero e dois é\(0.1\), que pode ser escrita matematicamente como\(P(0 < x < 2) = P(x < 2) = 0.1\).

    Suponha que desejemos encontrar a área entre\(\bf{f(x) = \frac{1}{20}}\) e o eixo x onde\(\bf{ 4 < x < 15 }\).

    Isso mostra o gráfico da função f (x) = 1/20. Uma linha horizontal varia do ponto (0, 1/20) até o ponto (20, 1/20). Uma linha vertical se estende do eixo x até o final da linha no ponto (20, 1/20) criando um retângulo. Uma região é sombreada dentro do retângulo de x = 4 a x = 15.
    Figura\(\PageIndex{7}\)

    \(\operatorname{AREA}=(15-4)\left(\frac{1}{20}\right)=0.55\)

    \((15 – 4) = 11 = \text{the base of a rectangle}\)

    A área corresponde à probabilidade\(P (4 < x < 15) = 0.55\).

    Suponha que queiramos encontrar\(P(x = 15)\). Em um gráfico x-y,\(x = 15\) é uma linha vertical. Uma linha vertical não tem largura (ou largura zero). Portanto,\(P(x = 15) =\) (base) (altura)\(= (0)\left(\frac{1}{20}\right) = 0\)

    Isso mostra o gráfico da função f (x) = 1/20. Uma linha horizontal varia do ponto (0, 1/20) até o ponto (20, 1/20). Uma linha vertical se estende do eixo x até o final da linha no ponto (20, 1/20) criando um retângulo. Uma linha vertical se estende do eixo horizontal até o gráfico em x = 15.
    Figura\(\PageIndex{8}\)

    \(P(X ≤ x)\), que também pode ser escrito como\(P(X < x)\) para distribuições contínuas, é chamado de função de distribuição cumulativa ou CDF. Observe o símbolo “menor ou igual a”. Também podemos usar o CDF para calcular\(P (X > x)\). O CDF dá “área à esquerda” e\(P(X > x)\) dá “área à direita”. Calculamos\(P(X > x)\) para distribuições contínuas da seguinte forma:\(P(X > x) = 1 – P (X < x)\).

    Isso mostra o gráfico da função f (x) = 1/20. Uma linha horizontal varia do ponto (0, 1/20) até o ponto (20, 1/20). Uma linha vertical se estende do eixo x até o final da linha no ponto (20, 1/20) criando um retângulo. A área à esquerda de um valor, x, está sombreada.
    Figura\(\PageIndex{9}\)

    Identifique o gráfico com\(f(x)\)\(x\) e. Dimensione os\(y\) eixos\(x\) e com o máximo\(x\) e\(y\) os valores. \(f(x) = \frac{1}{20} , 0 ≤ x ≤ 20\).

    Para calcular a probabilidade que\(x\) está entre dois valores, veja o gráfico a seguir. Sombreie a região entre\(x = 2.3\)\(x = 12.7\) e. Em seguida, calcule a área sombreada de um retângulo.

    Isso mostra o gráfico da função f (x) = 1/20. Uma linha horizontal varia do ponto (0, 1/20) até o ponto (20, 1/20). Uma linha vertical se estende do eixo x até o final da linha no ponto (20, 1/20) criando um retângulo. Uma região é sombreada dentro do retângulo de x = 2,3 a x = 12,7
    Figura\(\PageIndex{10}\)

    \(P(2.3<x<12.7)=(\text { base })(\text { height })=(12.7-2.3)\left(\frac{1}{20}\right)=0.52\)

    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    Considere a função\(f(x) = \frac{1}{8}\) para\(0 \leq x \leq 8\). Desenhe o gráfico\(f(x))\) e encontre\(P(2.5 < x < 7.5)\).